Università degli Studi di Cagliari Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica

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1 Università degli Studi di Cagliari Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Se RP n sconnette RP n+1 allora n = 1 Relatore Prof. Andrea Loi Tesi di Laurea di Daria Uccheddu Anno Accademico 2008/2009

2 Indice Introduzione i 1 Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema Richiami di base sulle varietà Gruppo fondamentale Rivestimenti Azioni di Gruppi Gruppo fondamentale di un rivestimento RP n non sconnette RP n+1 per n > 1 15 Bibliografia

3 Introduzione Sia RP n il proiettivo reale n-dimensionale. Questa tesi è dedicata alla dimostrazione del seguente: Teorema 1. Sia Φ : RP n RP n+1 un embedding di RP n in RP n+1, allora Φ(RP n ) non sconnette RP n+1 per n > 1. La dimostrazione di questo teorema non sembra essere nota nella letteratura matematica e si basa su strumenti di topologia differenziale e algebrica quali il Teorema del punto fisso di Brouwer (Teorema 1.36), il Teorema di Schöenflies generalizzato (Teorema 1.41) e su un profondo risultato dovuto a W. Massey (Teorema 1.37) di non esistenza di un embedding di RP n in R n+1 per n > 1. La tesi è organizzata come segue. Nel Capitolo 1 vengono richiamati i concetti di base sulle varietà differenziabili, del gruppo fondamentale e dei rivestimenti. Il Capitolo 2 contiene la dimostrazione del Teorema 1. i

4 Capitolo 1 Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema Richiami di base sulle varietà Definizione 1.1. Una varietà topologica di dimensione n è uno spazio topologico di Hausdorff X che possiede una base numerabile ed è localmente Euclideo, cioè per ogni punto x X esiste un aperto U di X omeomorfo ad un aperto dello spazio euclideo R n. Definizione 1.2. Una varietà differenziabile di dimensione n è una varietà topologica X dotata di una struttura differenziabile o C. Ovvero esiste una famiglia U = (U α, ϕ α ) dove U α è un aperto di X e ϕ α : U α V α R n è un omeomorfismo tale che : 1. U α ricopre X, 2. per ogni U α U β allora ϕ β ϕ 1 α differenziabile. : ϕ α (U α U β ) ϕ β (U α U β ) è 3. (U α, ϕ α ) è massimale, cioè preso (U, ϕ) che soddisfi la (2) allora (U, ϕ) U. Denotiamo con H n il semi-spazio positivo, ovvero H n = {(x 1,..., x n ) R n : x n 0}. Il bordo di H n è H n = {(x 1,..., x n ) R n : x n 0}. 1

5 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 2 Definizione 1.3. Una varietà differenziabile con bordo n-dimensionale, è una varietà topologica X dotata di una struttura differenziabile o C senso generalizzato). Ovvero esiste una famiglia U = (U α, ϕ α ) dove U α è un aperto di X e ϕ α : U α V α H n è un omeomorfismo tale che : 1. U α ricopre X, 2. per ogni U α U β allora ϕ β ϕ 1 α differenziabile. 3. (U α, ϕ α ) è massimale. (in : ϕ α (U α U β ) ϕ β (U α U β ) è In particolare il bordo di X, X è costituito da quei punti di x X tali che ϕ(x) H n. Teorema 1.4. Se X è una varietà differenziale con bordo n-dimensionale, allora X è una varietà differenziale (n 1)-dimensionale senza bordo. Dimostrazione. Si veda [Bo, Teor.4.2, pp ]. Definizione 1.5. Una varietà differenziabile X è detta orientabile se esiste una famiglia U = (U α, ϕ α ) tale che, per ogni α, β con U α U β il determinante del differenziale di ϕ β ϕ 1 α : ϕ α (U α U β ) ϕ β (U α U β ) è positivo. Teorema 1.6. Sia X è una varietà con bordo, X 0. Se X è orientabile allora X è una varietà orientabile. Per una dimostrazione di questo teorema si rimanda a [Bo, Teor.4.4, pp ]. Lo spazio proiettivo RP n è una varietà differenziale di dimensione n che si ottiene quozientando R n+1 rispetto alla relazione di equivalenza λ per cui x ed y R n+1 sono in relazione tra loro se e solo se x = λy con λ R e λ 0. Ovvero RP n = Rn+1 λ. Una definizione equivalente si ottiene quozientando la sfera n-dimensionale,

6 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 3 S n rispetto alla relazione antipodale, per la quale x, y S n sono in relazione tra loro se e solo se x = y oppure x = y. Ovvero RP n = Sn {±1}. Lo spazio proiettivo è una varietà topologica connessa e quindi connessa per archi, localmente connessa e semplicemente localmente connessa. Inoltre RP n è anche una varietà compatta, essendo il quoziente di S n che è compatta. Teorema 1.7. Lo spazio proiettivo n-dimensionale RP n è orientabile se e solo se n è dispari. Dimostrazione. Si veda [Do, Es.9, p.33]. Definizione 1.8. Un immersione f : X Y tra varietà differenziabili è un applicazione differenziabile (o C ) tra due varietà differenziabili tale che il differenziale d x f : T x X T f(x) Y sia iniettivo per ogni x X. Definizione 1.9. Un embedding f : X Y tra varietà differenziabili è un immersione iniettiva tale che f è un omeomorfismo tra X e la sua immagine dotata della topologia indotta da Y. Corollario Se X e Y sono varietà differenziabili compatte, allora data un immersione iniettiva f si ha che f è un embedding. Dimostrazione. Se f : X Y è un immersione iniettiva, affinchè f sia un embedding si deve avere f : X f(y ) omeomorfismo. Risulta chiaro che f è suriettiva e iniettiva per ipotesi, dunque ammette un inversa f 1. f è continua dal momento che f è differenziabile. Resta da mostrare che f 1 è continua. Sia C un chiuso di X. Poichè X è compatto, allora ogni sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto è compatto, quindi C è compatto. La controimmagine di C tramite f 1 è f(c) f(x), ma C è compatto quindi anche f(c) risulta essere compatto e quindi chiuso in Y che è uno spazio di Hausdorff. Questo mostra che f(c) f(x) è un chiuso di f(x) rispetto alla topologia indotta e quindi f 1 è continua. Notazione. Useremo spesso la notazione X Y per indicare che esiste un embedding tra X e Y.

7 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema Gruppo fondamentale Se X è uno spazio topologico e x X allora si chiama laccio (o cammino) di base x un applicazione continua f : I = [0, 1] X tale che f(0) = f(1) = x. Due lacci f ed h si dicono equivalenti se esiste un applicazione F continua, detta omotopia, F : I I X (t, s) F (t, s) tale che F (t, 0) = f(t), F (t, 1) = h(t) e F (0, s) = F (1, s) = x. Poichè tale relazione è una relazione di equivalenza sull insieme dei lacci di X, denoteremo con [f] la classe di equivalenza del laccio f. Se f e g sono due lacci di base x X allora il prodotto di f e g, f g : I X è { f(2t) se 0 t 1 2 (f g)(t) = g(2t 1) se 1 t 1. 2 Poniamo [f][g] = [f g], si ottiene così un prodotto ben definito di classi di equivalenza (per i dettagli si veda [Ko, Lem.14.2, p.132]). Definizione Sia X uno spazio topologico. L insieme delle classi di equivalenza di lacci basati in x, insieme con l operazione [f][g] = [f g] dove il prodotto è il prodotto di cammini, risulta essere un gruppo detto gruppo fondamentale di X nel punto x e si indica con π 1 (X, x). Definizione Sia X uno spazio topologico. qualche x X allora lo spazio si dice semplicemente connesso. Se π 1 (X, x) = {1} per Ricordiamo ora alcune proprietà importanti del gruppo fondamentale: Teorema Siano X e Y spazi topologici: 1. Se X è uno spazio connesso per archi, allora π 1 (X, x) = π 1 (X, y) per qualunque x, y X, 2. Se φ : X Y è un omeomorfismo, allora π 1 (X, x) = π 1 (Y, φ(x)). Dimostrazione. Si veda [Ko, pp ].

8 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 5 Teorema Siano X e Y due spazi topologici e sia ϕ : X Y un applicazione continua, allora l applicazione ϕ : π 1 (X, x) π (Y, ϕ(x)) è ben definita e gode delle proprietà seguenti: 1. ϕ è un omomorfismo di gruppi detto omomorfismo indotto da ϕ, 2. se id : X X è l appliazione identica, allora id è l omomorfismo identico di π 1 (X, x), 3. se ψ : Y Z è un applicazione continua, allora (ψϕ) = ψ ϕ, 4. se ϕ : X Y è un omeomorfismo, allora ϕ : π 1 (X, x) π (Y, ϕ(x)) è un isomorfismo. Dimostrazione. Si veda [Ko, pp ]. 1.3 Rivestimenti Tra le nozioni che utilizzeremo per la dimostrazione del teorema svolgono un ruolo molto importante i rivestimenti Definizione Un applicazione continua e suriettiva p : X X tra spazi topologici è chiamata rivestimento se per ogni x X esiste un aperto U di x tale che p 1 (U) è unione di aperti disgiunti di X ognuno dei quali viene mandato omeomorficamente su U tramite p. In altre parole si ha che p : X X è un rivestimento se: p è continua, p è suriettiva, x X esiste U x, tale che p 1 (U) = U j con U j aperto in X e U j U k = j k j J p Uj : U j U è un omeomorfismo. In tal caso U è anche detto aperto banalizzante per p. Gli spazi X e X sono detti rispettivamente spazio totale e spazio base.

9 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 6 Osservazione Se p : X X è un rivestimento tra varietà differenziabili e p è differenziabile allora p Uj : U j U è un diffeomorfismo. Nel seguito, se p : X X è un rivestimento tra varietà differenziabili intenderemo p differenziabile. Lemma Sia p : sia C X un sottoinsieme qualunque. p C : C C è ancora un rivestimento. X X un rivestimento tra varietà topologiche e Allora se C = p 1 (C) si ha che Dimostrazione. Verifichiamo che p C è ancora un rivestimento. La continuità si mantiene attraverso la restrizione. La suriettività è garantita perchè C è l insieme di tutti i punti che hanno immagine in C tramite p, per cui p( C) = p(p 1 (C)) è esattamente C. Infine sia x C, poiché p è un rivestimento, esiste un aperto U X di x banalizzante per p. Consideriamo quindi V = U C, questo è un aperto banalizzante per p C infatti, che si tratti di un aperto segue dalla definizione di topologia indotta, inoltre p 1 (V ) = p 1(U C) = p 1(U) p 1(C) = C C C C = C p 1 (U) = C j J U j = j J(U j C) dove gli U j C sono aperti disgiunti di C. Inoltre poiché p Uj : U j U è un omeomorfismo, anche p Uj C : U j C U C è un omeomorfismo. Lemma Sia p : X X un rivestimento tra varietà topologiche e X connesso. Sia Y X una componente connessa di X, Y, allora q = p Y : Y X è ancora un rivestimento. Dimostrazione. Sia x X e sia U x un aperto banalizzante per p, allora è chiaro che q 1 (U x ) = p 1 (U x ) Y = j J (U j Y ) e quindi è unione di aperti (nella topologia indotta) disgiunti, ognuno omeomorfo a U x. Resta da dimostrare che q è suriettiva. Y è un aperto in X, in quanto si tratta di una componente connessa di una varietà topologica, quindi q(y ) = p(y ) è aperto essendo p è un applicazione aperta e p(y ) poichè Y. Inoltre p(y ) è chiuso: sia x p(y ) un punto di accumulazione per p(y ) e sia U x X un aperto connesso banalizzante per p contenente x. Poiché x è un punto di accumulazione, si ha che (1.1) U x p(y )

10 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 7 Dalla precedente si ha che (1.2) p 1 (U x ) Y (se così non fosse applicando p ad entrambi i membri della (1.2) si ottiene un espressione in contrasto con la (1.1)). Poiché U x è un aperto banalizzante, la (1.2) si scrive U j Y da cui j J (U j Y ) e quindi esiste un U 0 tale che U 0 Y. U 0 è omeomorfo ad U x quindi è connesso, inoltre contiene un punto x tale che p( x) = x. Y è connesso e poichè ha un punto in comune con U 0 si ha che U 0 Y e dunque x Y. Se x Y allora p( x) = x p(y ) e quindi p(y ) è chiuso. In conclusione, dunque, p(y ) è contemporaneamente aperto e chiuso in X che è connesso, quindi essendo p(y ) si ha che p(y ) = X e quindi la restrizione di p alla componente connessa Y è suriettiva e dunque è ancora un rivestimento. Dato un rivestimento p : X X, non è difficile dimostrare che se X è connesso per archi la cardinalità della fibra #p 1 (x) non dipende dal punto x scelto. In particolare, se #p 1 (x) = 1, si dice che il rivestimento è ad un foglio e quindi p è un omeomorfismo, se la cardinalità è due, si dice che è a due fogli, etc. Lemma Siano X e Y varietà differenziabili, p : X X e q : Ỹ Y due rivestimenti e sia f : X Y un immersione, allora esiste un immersione f : X Ỹ che rende commutativo il diagramma: j J (1.3) X p X f > Ỹ q f > Y Dimostrazione. Che f sia continua e differenziabile deriva dal fatto che il diagramma è commutativo e che la composizione di funzioni differenziabili è

11 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 8 ancora differenziabile. Sia ora x un punto di X, e indichiamo con x = p( x), si ha che d x f = df(x) q 1 d x f d x p (per la regola della catena) e quindi d x f è iniettiva in quanto composizione di applicazioni iniettive. Il seguente esempio mostra che il Lemma 1.19 non si estende al caso degli embedding: Esempio Sia f : S 1 R 2 l inclusione canonica di S 1 in R 2 e siano p : R S 1 il rivestimento definito come p(t) = (cos t, sin t) e q l identità di R 2 in se stesso, ovvero il rivestimento banale e f : R R 2, f(t) = (cos t, sin t). Allora il seguente diagramma R p S 1 f > R 2 f > R 2 id R 2 è commutativo ma f non è iniettiva. Un caso interessante dove il Lemma 1.19 si estende agli embeddings è quando il rivestimento p : X X è la restizione del rivestimento q : Ỹ Y come illustra il seguente lemma: Lemma Sia q : Ỹ Y un rivestimento tra varietà differenziabili, e sia X Y una sottovarietà qualunque. Sia X = q 1 (X) e consideriamo il rivestimento q X : X X dato dal Lemma Allora esiste un embedding j : X Ỹ che rende commutativo il diagramma: X j > Ỹ (1.4) q q X i > Y dove i indica l immersione (embedding) di X in Y.

12 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 9 Dimostrazione. Per il Lemma 1.19, si ha che essendo i un immersione, anche j risulta essere un immersione. Per il Corollario 1.10 resta da dimostrare che dall iniettività di i segue l iniettività di j. Dalla commutatività del diagramma segue che i q = q j e dalla suriettività di q si ha che esiste un inversa destra, q q 1 = id Y. Siano quindi x 1 e x 2 punti di X tali che (1.5) j( x 1 ) = j( x 2 ). Ma X = q 1 (X) per cui x 1 = q 1 (x 1 ) e x 2 = q 1 (x 2 ) che sostituito nella (1.5) dà (1.6) j(q 1 (x 1 )) = j(q 1 (x 2 )), da cui componendo con q segue: q j(q 1 (x 1 )) = q j(q 1 (x 2 )) e quindi i q (q 1 (x 1 )) = i q (q 1 (x 2 )), da cui i(x 1 ) = i(x 2 ) e dall iniettività di i, x 1 = x 2 e quindi si ha l iniettività di j. 1.4 Azioni di Gruppi Dato un insieme X, e un gruppo G si ha un azione a sinistra su G o diremo che G agisce a sinistra su X, se esiste un applicazione (1.7) G X X (g, x) g x con 1 x = x per ogni x X e g 1 (g 2 x) = (g 1 g 2 ) x per ogni g 1, g 2 G e x X. Un azione è transitiva se per ogni x, y X esiste g G tale che g x = y. Un azione è fedele se per ogni g 1 di G esiste x X tale che g x x. Infine un azione è libera se per ogni g 1 di G e per ogni x X si ha che g x x. In altre parole un azione è libera se l unico elemento che fissa i punti x X è l identità di G. Chiaramente un azione libera è anche fedele.

13 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 10 Definizione Se G è un gruppo che agisce transitivamente su X, allora X è detto G-insieme omogeneo. Definizione Sia X uno spazio topologico e sia G un gruppo. X è detto G-spazio se G agisce su X e per ogni g G la funzione ϑ g : X X, ϑ g (x) = g x è continua. Un altra definizione che si rivelerà utile in seguito è quella di azione propriamente discontinua: Definizione Sia X un G-spazio, diremo che G agisce in modo propriamente discontinuo se per ogni x X esiste un aperto U che contiene x e tale che per ogni g G si ha gu U =. Si osservi che se G agisce in modo propriamente discontinuo su X, allora G agisce in modo libero. Teorema Sia G un gruppo che agisce in modo propriamente discontinuo su uno spazio topologico X, allora p : X X G Per la dimostrazione si rimanda a [Ko, Teor.17.1, p.162]. è un rivestimento. Esempio Consideriamo X = R e sia G = Z. R quozientato rispetto a Z è la sfera unidimensionale S 1. L azione di Z su R Z R R (m, x) x + m è propriamente discontinua. Sia x 0 R e si prenda ε < 1, allora l aperto 2 U = (x 0 ε, x 0 +ε) è tale che gu U = e dunque per il teorema precedente è un rivestimento. p : R R Z = S 1 Esempio Consideriamo X = S n e sia G = Z 2. Poiché quozientare rispetto alla relazione antipodale {±1} equivale a quozientare rispetto a G = Z 2 abbiamo RP n = Sn Z 2. Z 2 agisce in modo propriamente discontinuo su S n, infatti se Z 2 S n S n (±1, x) ±x

14 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 11 è l azione sinistra, x S n, l aperto U = {y S n tali che y x < 1 2 } è tale che U U =. Per il Teorema 1.25 la proiezione p : S n Sn Z 2 = RP n è un rivestimento dello spazio proiettivo n-dimensionale Gruppo fondamentale di un rivestimento Sia p : X X un rivestimento, siano π1 ( X, x 0 ) e π 1 (X, x 0 ) i gruppi fondamentali di X e X rispettivamente, con p( x0 ) = x 0. Allora l applicazione p : π 1 ( X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) [ f] p ([ f]) = [p f] è iniettiva ed è un omomorfismo di gruppi per il Teorema Non ci addentreremo in questi argomenti ma ricordiamo esclusivamente quelli che sono i teoremi utilizzati nel corso della dimostrazione del teorema principale della tesi. Definizione Un rivestimento p : X X è detto regolare (o Galoisiano) se p π 1 ( X, x 0 ) è un sottogruppo normale di π 1 (X, x 0 ). In particolare, se π 1 (X, x 0 ) è abeliano, allora il rivestimento p : X X è regolare. Se la cardinalità della fibra è due, allora p è regolare, in quanto l indice di p π 1 ( X, x 0 ) in π 1 (X, x 0 ) è due. Teorema Sia G un gruppo che agisce a sinistra su uno spazio topologico X in modo propriamente discontinuo, allora p : X X G è regolare. Ed inoltre si ha che π 1( X G, p(x 0)) p π 1 (X, x 0 ) = G. Viceversa se p : X X ( X connesso per archi) è un rivestimento regolare, allora esiste un gruppo G che agisce in modo propriamente discontinuo su X e X G è isomorfo a X.

15 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 12 Per la dimostrazione si rimanda a [Ko, Teor.19.3, p.175]. In particolare l insieme di tutti gli isomorfismi del rivestimento ( X, p) in se stesso Aut( X, p) agisce in modo propriamente discontinuo su X e si ha che G Aut( X, p).(si veda [Ko, Teor.21.9, p.191]). Più in generale si definisce isomorfismo tra rivestimenti il seguente: Definizione Dati due rivestimenti dello spazio X, p 1 : X1 X e p 2 : X2 X, si dice che ( X 1, p 1 ) è isomorfo a ( X 2, p 2 ) se esiste una funzione ϕ continua tale che rende commutativo il diagramma X 1 ϕ > X 2 p 1 > < X p 2 ed esiste ψ : X2 X 1 continua tale che ψ ϕ = id X1 e ϕ ψ = id X2. Corollario Se nelle stesse ipotesi del Teorema 1.29 si ha che X è semplicemente connesso, allora π 1 ( X G, p(x 0)) = G. Esempio Ricordando l Esempio 1.26 e applicando il corollario precedente, si ha che π 1 (S 1 ) = Z. Nel caso in cui n sia maggiore di 1 invece si ha che π 1 (S n ) = {1} (vedi[ko, p.147]) e quindi ricordando l Esempio 1.27 e applicando il corollario precedente, si ha che π 1 (RP n ) = Z 2 per ogni n > 1. Teorema Sia X una varietà topologica connessa e π 1 (X) il suo gruppo fondamentale. Allora per ogni sottogruppo H di π 1 (X) esiste un rivestimento p H : X H X, con X H connesso, unico a meno di isomorfismi, tale che p (π 1 (X H )) H. Dimostrazione. Per una dimostrazione del teorema si veda [Ko, Cor.22.2, pp ]. Esempio Si noti che nel caso di RP n, essendo π 1 (RP n ) = Z 2, gli unici sottogruppi possibili di Z 2 sono i sottogruppi banali, ovvero {1} e Z 2, che inducono a meno di isomorfirmi soltanto p Z2 : RP n RP n RP n e p {1} : S n RP n che è detto rivestimento universale di RP n per n > 1.

16 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 13 In generale Definizione Se p : X X è un rivestimento e X è semplicemente connesso, allora p è detto rivestimento universale. Ricordiamo inoltre che il rivestimento universale di una varietà topologica connessa X esiste ed è unico a meno di isomorfismi. Per una dimostrazione di questo fatto si veda ad esempio [Ko, Teor.22.1, pp ]. Denotiamo con B n la bolla chiusa n-dimensionale, dove B n = {x R n : x 1} e è la norma Euclidea di R n. Teorema 1.36 (del punto fisso di Brouwer). Ogni funzione continua f : B n B n, ammette un punto fisso, cioé f(x) = x per qualche x B n. Dimostrazione. In questa sede riportiamo solamente la dimostrazione del caso n = 2, poiché per dimostrare il caso generale si richiede l utilizzo di nozioni di omologia singolare (o di coomologia) che non tratteremo in questa tesi, a tal proposito si rimanda a [Ko, Cor.29.20, b), pp ]. Il caso bidimensionale risulta di più semplice soluzione grazie al fatto che la circonferenza S 1 ha gruppo fondamentale π 1 (S 1 ) = Z mentre per n 2 la sfera (n 1)-dimensionale è semplicemente connessa, π 1 (S n 1 ) = {1}. Per dimostrare il caso n = 2 supponiamo che esista una funzione f : B 2 B 2 senza punti fissi, cioè f(x) x per tutti x B 2. Definiamo r : B 2 S 1 come l applicazione che associa ad ogni punto x l intersezione della semiretta per x e f(x) con S 1 e r(x) = x per ogni x S 1. Si ha r i = id S 1, inoltre si r(x) f(x) x può scrivere esplicitamente r(x) = x + ( 1 x 2 + (x g(x)) 2 x g(x)) g(x)

17 Capitolo 1. Strumenti necessari per la dimostrazione del Teorema 1 14 dove g(x) = x f(x). Poiché f non ha punti fissi per ipotesi, si ha che g(x) x f(x) e r(x) sono continue. La condizione r i = id S 1 induce tra i gruppi fondamentali (per il Teorema 1.14) la relazione (r i) = r i : π 1 (S 1 ) π 1 (S 1 ) o in altre parole r i = id Z poiché π 1 (S 1 ) = Z. Dunque i : π 1 (S 1 ) π 1 (B 2 ) ha inversa sinistra (equivalentemente è iniettiva), cioè i : Z {1} è iniettiva, il che è chiaramente assurdo. Per dimostrare il Teorema 1 abbiamo bisogno dei tre teoremi che seguono. Teorema 1.37 (W.S. Massey[Ma], R. Thom[Th]). Sia n un numero naturale n > 1. Non esiste un embedding di RP n in R n+1. Osservazione La dimostrazione di questo teorema, che non fa parte di questa tesi, richiede nozioni di coomologia, in particolare la ragione della non esistenza di un embedding deriva dal fatto che la classe di coomologia modulo 2 di RP n, H (RP n, Z 2 ), non è somma diretta di algebre disgiunte di un certo tipo. Per il lettore interessato si consiglia l articolo di W. S. Massey ([Ma]) e l articolo di R. Thom ([Th, Teor.V.15]) in cui si trovano le condizioni che deve soddisfare H (RP n, Z 2 ) affinché esista l embedding. Osservazione Il corrispondente di questo enunciato relativo alle immersioni e non agli embeddings, non è più valido. Per esempio RP 3 ammette un immersione in R 4. Si veda Davis [Da] per lista dettagliata relativa alle immersioni di proiettivi in proiettivi. Teorema Sia X una varietà differenziale di dimensione n, Y una varietà differenziabile di dimensione m ed f : X Y un applicazione differenziale, se n < m allora l applicazione f non è suriettiva. Dimostrazione. Segue dal Lemma di Sard [GP, Cap.1, 7]. Teorema 1.41 (Teorema di Schöenflies generalizzato). Sia S n S n+1 un embedding. Allora esiste un omeomorfismo F : S n+1 S n+1 tale che F (S n ) = {x S n+1 x n+2 = 0}. Dimostrazione. Per la dimostrazione si rimanda a [Ru, p.33-34].

18 Capitolo 2 RP n non sconnette RP n+1 per n > 1 In questo capitolo dimostreremo il Teorema 1 del quale riportiamo l enunciato: Teorema 1. Sia Φ : RP n RP n+1 un embedding di RP n in RP n+1, allora Φ(RP n ) non sconnette RP n+1 per n > 1. Osservazione 2.1. Nel caso n = 1 è possibile fornire esempi di embeddings di RP 1 in RP 2 che sconnettono e che non sconnettono. Osserviamo che RP 1 è omeomorfo a S 1 mentre RP 2 può essere visualizzato come la sfera in cui si identificano i punti antipodali, ovvero un disco con i punti del bordo identificati. Consideriamo l inclusione di S 1 in R 2 composta con ϕ : R 2 RP 2 : (x, y) [x, y, 1], ossia l embedding ψ = ϕ i : S 1 RP 2 che associa ad ogni punto (x, y) della circonferenza la classe di equivalenza [x, y, 1] di RP 2. Poiché S 1 sconnette R 2 si ha che ψ(s 1 ) sconnette RP 2. D altra parte l embedding ζ : RP 1 RP 2 che associa alla classe di equivalenza [x] la classe di equivalenza [x, 0] di RP 2, non sconnette RP 2. Osservazione 2.2. Nel caso n sia pari la dimostrazione del Teorema 1 è immediata. Sia infatti Φ : RP 2k RP 2k+1 un embedding. Supponiamo che RP 2k+1 \ Φ(RP 2k ) sia sconnesso, quindi esistono U 1 e U 2 aperti e disgiunti tali che RP 2k+1 \ Φ(RP 2k ) = U 1 U 2. 15

19 Capitolo 2. RP n non sconnette RP n+1 per n > 1 16 Per il Teorema 1.7 RP 2k+1 \ Φ(RP 2k ) è orientabile e quindi U 1 e U 2 sono orientabili e per il Teorema 1.6 anche U 1 e U 2 sono orientabili. D altra parte U 1 = U 2 = RP 2k e dunque U 1 e U 2 non sono orientabili (sempre per il Teorema 1.7). Non potendo sussistere entrambe le condizioni si ha che RP 2k non disconnette RP 2k+1. Dimostrazione del Teorema 1: Consideriamo il rivestimento universale π : S n+1 RP n+1 di RP n+1 (vedi Esempio 1.27). Poiché la fibra di ogni punto tramite π è costituita da due punti di S n+1 si ha che il rivestimento π è a due fogli. Dato l embedding Φ, ne risulta il seguente diagramma: (2.1) π 1 (RP n ) > S n+1 π RP n Φ π > RP n+1. Per il Lemma 1.17 si ha che la restrizione π è ancora un rivestimento. Ora, dal fatto che π sia un rivestimento a due fogli, segue che il rivestimento π avrà un numero di fogli minore o uguale a due, dunque abbiamo solo due casi possibili: CASO 1: Il rivestimento π è ad un foglio. In tal caso, si ha che per il Teorema 1.33 π 1 (RP n ) è esattamente uno spazio proiettivo n dimensionale. Per il Lemma 1.21 si ha che l embedding Φ induce un embedding di RP n in S n+1. Grazie al Teorema 1.40, tale applicazione non è suriettiva e dunque se esiste un embedding di RP n in S n+1 allora lo stesso può essere visto come embedding di RP n in R n+1, giacché S n+1 meno un punto è diffeomorfa a R n+1. Un tale embedding però non può esistere per il Teorema Quindi questo caso non si può verificare. CASO 2: Il rivestimento π è a due fogli. In tal caso, per il Teorema 1.33 si può avere che π 1 (RP n ) = RP n RP n, oppure π 1 (RP n ) = S n. Se π 1 (RP n ) = RP n RP n poiché l unione è disgiunta, ognuno dei proiettivi è, per il Lemma 1.21, embedded in S n+1 e quindi si ricade nel

20 Capitolo 2. RP n non sconnette RP n+1 per n > 1 17 caso precedente. Dunque π 1 (RP n ) = S n. Consideriamo il diagramma seguente: (2.2) S n > S n+1 π RP n Φ π > RP n+1. Per capire quando RP n+1 \ Φ(RP n ) risulta essere uno spazio sconnesso osserviamo cosa accade nei rispettivi spazi totali. Grazie al Teorema di Schöenflies (Teorema 1.41) l embedding di S n in S n+1 sconnette S n+1, infatti S n+1 \S n corrisponde all unione disgiunta di due insiemi D 1 e D 2 entrambi omeomorfi ad una calotta sferica rispettivamente, con D 1 = D 2 = S n. Quindi S n+1 \ S n risulta essere sconnesso. Supponiamo quindi che RP n+1 \ Φ(RP n ) sia sconnesso e quindi si avrà con U 1 e U 2 disgiunti. RP n+1 \ Φ(RP n ) = U 1 U 2, Se restringiamo il rivestimento π ad una delle due componenti connesse di S n+1, diciamo D 1, si ha che π D1 (D 1 ) è una componente connessa di RP n+1 \Φ(RP n ) e quindi possiamo considerare π D1 : D 1 U 1 (oppure π D1 : D 1 U 2 ) che risulta essere ancora un rivestimento per il Lemma Ci chiediamo quindi quanti fogli abbia tale rivestimento, e anche in questo caso le possibilità sono solamente due: π D1 è un rivestimento ad un foglio, oppure π D1 è un rivestimento a due fogli. Caso 1. Se il rivestimento π D1 : D 1 U 1 è ad un foglio, significa che π D1 è un omeomorfismo, e quindi il bordo di D 1 deve essere omeomorfo al bordo di U 1. Ma il bordo di D 1 è S n mentre il bordo di U 1 è RP n e i due risultano omeomorfi solo per n = 1 mentre per n > 1 si ha l assurdo. Caso 2. Se il rivestimento π D1 è a due fogli allora per le osservazioni successive alla Definizione 1.28 si ha che il rivestimento è regolare. Quindi per il Teorema 1.29 (2.3) D 1 /Γ U 1

21 Capitolo 2. RP n non sconnette RP n+1 per n > 1 18 con Γ Aut(D 1 ) che agisce in modo propriamente discontinuo. Sia dunque γ Γ, allora γ : D 1 D 1 ha un punto fisso per il Teorema di Brouwer (Teorema 1.36). Inoltre se Γ agisce in modo propriamente discontinuo, allora agisce in modo libero, e quindi l unica applicazione che fissa un punto è l identità; ne segue quindi che Γ = {id D1 } e quindi dalla (2.3): (2.4) D 1 U 1. Come nel caso precedente, anche in questo caso, l omeomorfismo tra i bordi è possibile solo se n = 1. L assurdo in entrambi i casi, ci porta a concludere che lo spazio RP n+1 \ Φ(RP n ) non può essere sconnesso e dunque resta dimostrato il Teorema.

22 Bibliografia [Bo] Boothby, W. M, An Introduction to Differentiable Manifold and Riemannian geometry, Academic Press Inc., [Da] Davis, D., Table of immersions and embeddings of real projective spaces, dmd1/immtable. [Do] Do Carmo, M. P., Riemannian geometry, Birkhauser Boston, [GP] Guillemin, V., Pollack, A., Differential Topology, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, [Ko] Kosniowski, C., Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, [Ma] Massey, W. S., On the imbeddability of the real projective spaces in Euclidean Space, Pacific J. Math, 9 (1959), [Ru] Rushing, T. B., Topological Embeddings, Academic Press Inc., [Th] Thom, R., Espace fibrès eu Spherés et Carrès de Steenrod, Ann. Ecole Norm. Sup., 69(1952),