10 Spazi connessi. Geometria I 67. Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, 11 [1]. Il teorema del valore intermedio si può esprimere in termini di connessione:

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1 Geometria I Spazi connessi Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, 11 [1]. Il teorema del valore intermedio si può esprimere in termini di connessione: (10.1) Definizione. Uno spazio topologico X è detto connesso se gli unici sottoinsiemi di X simultaneamente aperti e chiusi 11 sono e X. Quando si considera un sottospazio Y X, allora Y è connesso se è connesso nella topologia indotta da X. Osserviamo che se A X è un sottoinsieme sia chiuso che aperto, anche il suo complementare X A è sia chiuso che aperto. Quindi X = A (X A), cioè X è unione disgiunta di due aperti non vuoti. (10.2) Teorema. Uno spazio topologico X è connesso se e solo se X non è unione di due aperti non vuoti e disgiunti X = A 1 A 2. (Equivalentemente: uno spazio topologico X non è connesso se e solo se X è unione di due aperti non vuoti e disgiunti X = A 1 A 2 ). (10.3) Esempio. Sia S 0 = { 1, +1} R la sfera di dimensione 0 (soluzioni dell equazione x 2 =1). Entrambi i punti sono chiusi in R, e quindi chiusi in S 0 (che è chiuso in R): S 0 non è connesso. (10.4) Esempio. L insieme vuoto e gli spazi con un solo punto sono connessi. (10.5) Definizione. Un intervallo in R (più in generale: in un insieme ordinato) è un insieme I R contentente più di un punto, tale che x, y I, s R, x < s < y = s I. Ricordiamo che m R è un minorante di un insieme di numeri X R se x X, m x (cioè se m X). Analogamente, M R è un maggiorante di X se x X, x M (cioè se X M). Si dice che X è limitato da sotto se esiste un minorante di X. Si dice che X è limitato da sopra se esiste un maggiorante di X. L insieme di tutti i minoranti di X è quindi un insieme non vuoto se e solo se X è limitato da sotto. L insieme di tutti i maggioranti di X è un insieme non vuoto se e solo se X è limitato da sopra. L insieme dei minoranti di X si scrive come minoranti = {m R : x X, m x} = {m R : x X, m (,x]} = {m R : m x X(,x]} = x X(,x]. 11 In inglese: clopen.

2 Geometria I 68 Dato che è l intersezione di una famiglia di chiusi, è un sottoinsieme chiuso di R. L insieme dei maggioranti di X si scrive come maggioranti = {M R : x X, M x} = {M R : x X, M [x, + )} = {M R : M x X[x, + )} = x X[x, + ). Dato che è l intersezione di una famiglia di chiusi, è un sottoinsieme chiuso di R. L estremo inferiore è il massimo dei minoranti, l estremo superiore è il minimo dei maggioranti. Dato che R ha la proprietà dell estremo superiore e dell estremo inferiore, gli intervalli sono tutti gli insiemi del tipo (,b],(,b),(a, b),(a, b], [a, b), [a, b], [a, + ), (a, + ), con a<b. Mostreremo che tutti gli intervalli sono connessi. Cominciamo dall intervallo chiuso (compatto) [a, b]. (10.6) Teorema. Ogni intervallo chiuso [a, b] R è connesso. Dimostrazione. Per assurdo, supponiamo che l intervallo [a, b] sia unione di due aperti disgiunti non vuoti [a, b] =A 1 A 2 (dove A 1,A 2, A 1 A 2 =, e quindi A 1 e A 2 sono chiusi nella topologia di [a, b]). Essendo [a, b] chiuso in R, A 1 e A 2 sono anch essi chiusi e non vuoti in R (nota: non sono necessariamente aperti! Vedi esercizio (3.3)). Dato che gli estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme chiuso di R sono contenuti nell insieme stesso (vedi esercizio (3.2)), risulta sup A i A i, inf A i A i per i =1, 2. Consideriamo per ogni y [a, b] l insieme chiuso B y = {x A 1 : x y} =[a, y] A 1 A 1. L intersezione B = y A 2 B y = {x A 1 : y A 2,x y}. è dunque un chiuso contenuto in A 1 (che consiste di tutti i minoranti di A 2 in A 1 ). Ora, a meno di cambiare gli indici, possiamo supporre che a A 1 (e quindi a A 2, poiché A 1 A 2 = ), e quindi a B. L estremo superiore s 1 = sup B (che esiste perché B ed è limitato) appertiene al chiuso B (e quindi è un minorante di A 2 ), e dunque appartiene a A 1 (che contiene B). D altra parte, consideriamo l estremo inferiore s 2 di A 2, che appartiene a A 2 dato che A 2 è chiuso: si ha che s 2 t per ogni t A 2,e t [a, b] t>s 2 = y A 2 : t > y, (cioè non esistono minoranti di A 2 più grandi di s 2, s 2 è il massimo dei minoranti). Quindi s 1 s 2, dato che gli elementi di B sono minoranti di A 2. In altre parole, B è contenuto nell insieme di tutti i minoranti di A 2, e quindi il massimo di B (cioè s 1 ) non può essere piú grande del massimo dei minoranti (cioè s 2 ).

3 Geometria I 69 Ora, se s 1 = s 2, si ha A 1 B s 1 = s 2 A 2 = s 1 = s 2 A 1 A 2, che è assurdo visto che A 1 A 2 =. Dunque deve essere s 1 <s 2. Prendiamo dunque un s [a, b] compreso tra s 1 e s 2 : sup B = s 1 < s < s 2 = inf A 2. Dato che per definizione di s 1 (estremo superiore di B) t [a, b] t>s 1 = t B, il punto s non è in B. Inoltre s < s 2 = inf A 2, e quindo s non può essere un elemento di A 2 (e dunque sta in A 1 ), ed è un minorante di A 2. Ma questo significa che s B, il che è assurdo. (10.7) Nota. Vedremo che il teorema precedente può essere generalizzato nel modo seguente: Un sottoinsieme A R con almeno due punti è connesso se e solo se è un intervallo. Per la parte solo se, si cerchi di dimostrare (esercizio (5.5)) che se un insieme ha almeno due punti e non è un intervallo, allora non è connesso (si veda anche la prossima nota). (10.8) Nota. Usando la stessa tecnica di dimostrazione di (10.6), si può dimostrare che A R non è connesso se e solo se esistono x, y A, s A tali che x < s < y (cioè A è connesso se e solo se x, y A, x < s < y = s A). Infatti, se A non fosse connesso, si definiscono A 1, A 2, B, s 1 e s 2 come sopra (s 1 = sup B e s 2 = inf A 2 ), e deve risultare s 1 <s 2. Ma allora esiste s A tale che s 1 < s < s 2 basta prendere s = 1 2 (s 1 + s 2 ). Questo fa seguire dall ultimo assioma di (7.1) la connessione di R. Viceversa, se esistono x, y A e s A tali che x < s < y, allora si possono definire i seguenti sottoinsiemi (chiusi e aperti) di A: la cui intersezione è vuota e la cui unione è A. A 1 = {x A : x s} = {x A : x<s} A 2 = {x A : x s} = {x A : x>s} (10.9) Teorema. Se X è connesso e f : X Y è una funzione continua, allora f(x) Y è connesso (con la topologia indotta da Y si dice che l immagine di un connesso è connessa). Dimostrazione. Se f(x) fosse non connesso, esisterebbero A 1 f(x) e A 2 f(x) aperti disgiunti (nella topologia indotta) e non vuoti tali che f(x) =A 1 A 2. Le controimmagini f 1 A 1 e f 1 A 2 sarebbero aperti disgiunti non vuoti in X tali che X = f 1 A 1 f 1 A 2,e dunque X non sarebbe connesso. (10.10) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è connesso se e solo se Y è connesso.

4 Geometria I 70 Dimostrazione. Come nella dimostrazione del corollario (7.18) Ricordiamo che S 0 = {±1} è lo spazio con due punti e la topologia discreta. (10.11) Uno spazio X è connesso se e solo se ogni funzione continua f : X S 0 è costante. Dimostrazione. Supponiamo che X sia connesso. Allora la sua immagine è un sottospazio connesso di S 0. Dato che S 0 non è connesso, fx non può essere S 0. Dato che fx, fx ha esattamente un elemento, e quindi f è costante. Viceversa, se X non è connesso allora esistono A 1, A 2 aperti disgiunti non vuoti tali che X = A 1 A 2. Si definisca allora la funzione f : X S 0 ponendo { +1 if x A 1 f(x) = 1 if x A 2. La funzione è ben definita, dato che A 1 A 2 = e X = A 1 A 2. È continua: basta osservare che gli aperti di S 0 sono tutti i suoi sottoinsiemi, {+1}, { 1}, S 0, e la controimmagine di ognuno di essi è aperto in X: f 1 ( ) = f 1 ({+1}) =A 1 E non è una funzione costante. f 1 ({ 1}) =A 2 f 1 (S 0 )=X. (10.12) Esempio. La funzione f : Q { 1, 1}, definita ponendo { 1 se x< 2 f(x) = 1 se x> 2 è continua su Q. (10.13) (Teorema del valore intermedio) Sia f :[a, b] R R una funzione continua tale che f(a) < 0 e f(b) > 0. Allora esiste x 0 (a, b) tale che f(x 0 )=0. Dimostrazione. L intervallo [a, b] è connesso per (10.6), e quindi la sua immagine f([a, b]) = {f(x) :a x b} è connessa, e dunque un intervallo (vedi anche (10.8)). Cioè, visto che f(a) f([a, b]) e f(b) f([a, b]), anche tutti i valori intermedi y [f(a), f(b)] appartengono all immagine f([a, b]). In particolare, 0 [f(a),f(b)], e quindi 0 f([a, b]), cioè esiste x [a, b] tale che f(x) =0.

5 Geometria I 71 (10.14) Esempio (Bisezione). Applichiamo (10.13) ad un caso concreto: determinare in modo costruttivo una successione di razionali che converge a un irrazionale. Osserviamo per esempio che q = 2 [0, 1] risolve l equazione 2x 2 =1, per cui non è un razionale (occorre 2 che si sappia dimostrarlo!). Non solo, è anche l unico punto di [0, 1] che risolve l equazione (perché?). Ora costruiamo per ricorsione una successione di intervalli [a n,b n ] di lunghezza 2 n con la proprietà che 2a 2 n 1 < 0 < 2b 2 n 1 nel modo seguente. Per n =0, poniamo Si ha < 0 < , e { a 1 =0 b 1 =1. dato che 0=a 1 < 2 2 <b 1 =1 0 2 < 1 2 < 12. Supponiamo di avere definito [a n 1,b n 1 ], entrambi razionali tali che 2a 2 n 1 1 < 0 < 2b 2 n 1 1. Allora c = a n 1 + b n 1 2 è ancora razionale, e quindi non può essere uguale a 2 2 che è irrazionale. Ma allora 2c 2 1 0, visto che in [0, 1] c è un unica soluzione di 2x 2 1 = 0. Si hanno quindi solo due casi, in cui si pone { [c, b n 1 ] se c<0; [a n,b n ]= [a n 1,c] se c>0. In entrambi i casi la lunghezza è la metà di quella di [a n 1,b n 1 ], cioè la metà di 2 (n 1) (ipotesi di induzione), che è n+1 =2 n ; inoltre { c<0 = 2a 2 n 1 = 2c 2 1 < 0 < 2b 2 n 1 = 2b 2 n 1 1, c>0 = 2a 2 n 1 = 2a 2 n 1 1 < 0 < 2c 2 1 = 2b 2 n 1. Quindi la successione è ben definita. Osserviamo che per ogni n 0 si ha [a n,b n ] [a n 1,b n 1 ]. Dato che per ogni n si ha q [a n,b n ], si ha quindi che sia a n che b n sono numeri che approssimano 2/2 a meno di 2 n, cioè a n < 2 n, 2 b n < 2 n. Questo segue dal fatto che 2/2 [a n,b n ] e che b n a n < 2 n.

6 Geometria I 72 (10.15) Nota. È possibile implementare facilmente questo algoritmo, per avere approssimazioni dell ordine 2 n, per ogni n, in qualche linguaggio che possa fare operazioni su frazioni senza limiti sulla grandezza dei numeratori/denominatori coinvolti (altrimenti prima o poi per il calcolatore 2 n =0). Meglio sarebbe se fosse direttamente in grado di eseguire operazioni tra frazioni. Ma anche supponendo di poter eseguire solo operazioni su interi di grandezza arbitraria, è possibile definire in modo semplice somme e prodotti di frazioni (come?); risulta un po più efficiente se si sa come ridurre le frazioni ai minimi termini (dividendo numeratore e denominatore per il massimo comun divisore). In altre parole, fissato per esempio q = 2/2 dovrebbe essere possibile scrivere un programma che per k assegnato calcola in modo esatto tutte le prime k cifre decimali di q (si veda anche la nota (8.9) a pagina 54). 12 (10.16) Definizione. Definiamo componenti connesse di uno spazio topologico X i sottospazi connessi massimali (cioè i sottospazi connessi di X che non sono contenuti in sottospazi connessi di X). L insieme dei sottospazi connessi di X è parzialmente ordinato, rispetto all inclusione di sottoinsiemi. Un elemento massimale è un sottospazio connesso Y che non è contenuto in nessun sottospazio connesso di X. Ogni elemento x X è contenuto in un tale Y : infatti, {x} è connesso. Se {x} non è contenuto in nessun connesso piú grande, allora {x} stesso è massimale e basta porre {x} = Y. Altrimenti, x appartiene ad un connesso piú grande. È vero che un connesso massimale che contiene x esiste sempre? È vero che ne esiste uno solo? È vero che quindi X si decompone in una unione disgiunta di componenti connesse? 12 Lo studente interessato potrebbe provare a calcolare le prime 200 cifre di π utilizzando per esempio lo sviluppo (è solo uno dei molti metodi possibili) con resto r n <x 2n+3 /(2n + 3) e l identità arctan x = n k=0 ( 1) k x2k+1 π = arctan k +1 + r n 1 Dato che 2n +3 è minore di quando 2n +3> , forse occorrono un po troppi termini. Roadrunner, il supercomputer più potente del mondo, supera il petaflop/s, cioè è in grado di eseguire 1105 teraflop/s (cioè approssimativamente FLoating point Operations Per Second). Ogni termine della somma richiede certamente più di una operazione (e non è detto che si usino float: a volte bastano gli interi), ma in ogni caso con questa formula occorrerebbero a Roadrunner non meno di secondi per terminare, cioè non meno di anni. Tenuto conto che l età stimata dell universo è intorno ai anni, il metodo è destinato al fallimento. Usando invece identità del tipo (formule di Machin) π 4 = arctan arctan 1 3 = arctan arctan arctan 1 8 è possibile sommare un numero ragionevole di termini. Lo studente interessato può provare a calcolare le prime 200 cifre di π con questo metodo, e anche a dimostrare le identità usate.

7 Geometria I 73 (10.17) Esempio. Uno spazio X è connesso se e solo se ha una sola componente connessa. Le componenti connesse di Q sono... (10.18) Teorema. Le componenti connesse di Q R sono i suoi punti. (10.19) Siano B X e {Y w } w W sottoinsiemi connessi di uno spazio topologico X tali che w W, B Y w. Allora l unione Y = B Y w è connesso. Dimostrazione. Basta dimostrare che ogni funzione continua f : Y {±1} è costante. Dato che B è connesso, la restrizione f B è continua e quindi per (10.11) è costante. Quindi esiste y S 0 tale che f(b) =y, per ogni b B. Ora, per ogni w W lo spazio Y w è connesso, e quindi la restrizione f Yw è una funzione costante dato che è continua. Ma Y w B, quindi esiste b Y w B, e deve essere f(y w )={f(b)} = {y}. Quindi per ogni x Y si ha f(x) =y, cioè f è costante. Vediamo un altra dimostrazione. Supponiamo che A 1 e A 2 siano aperti disgiunti tali che Y = A 1 A 2. Per ogni w W, A 1 Y w e A 2 Y w sono aperti disgiunti in Y w, e quindi non possono essere entrambi non vuoti, visto che Y w è connesso: cioè, Y w A 1 oppure Y w A 2. Lo stesso per A 1 B e A 2 B: supponiamo senza perdere in generalità che B A 1. Ma allora, poiché per ipotesi B Y w, deve anche essere w W, Y w A 1, e cioè Y A 1. Ma allora A 2 =. (10.20) Corollario. Siano A w, per w W, sottospazi connessi di uno spazio X tali che w A w. Allora w A w è connesso. w W Dimostrazione. Basta prendere uno degli A w e chiamarlo B: per ogni w W w A w A w B, e quindi si può applicare il lemma precedente. (10.21) Nota (Componenti connesse). Per ogni x X sia C x l unione di tutti i sottospazi connessi di X che contengono x C x = Y Y connesso x Y X Dato che {x} è connesso e contiene x, l insieme C x contiene x. Per (10.19), questa unione è un sottoinsieme connesso di X che contiene x. Non può essere contenuto propriamente in un connesso piú grande, perché se cosí fosse sarebbe contenuto propriamente in un connesso che contiene x, e dunque sarebbe contenuto propriamente in sé stesso. Quindi C x è una componente connessa (secondo la definizione (10.16)). Osserviamo che se z C x, allora C z = C x : infatti se C z è un connesso massimale che contiene z, dato che anche C x C z contiene z (ed è connesso per (10.19)), deve essere C x C z C z, cioè C x C z. Analogamente, C z C x C x, dato che è un connesso e contiene x, e quindi C z C x. Due componenti connesse o sono disgiunte

8 Geometria I 74 oppure coincidono: infatti se si ha C x C y, esiste z C x C y, e quindi C z = C x e C z = C y, da cui C x = C y. Quindi ogni x X è contenuto in una e una sola componente connessa di X: X è l unione disgiunta delle sue componenti connesse. (10.22) Corollario. Se I R è un intervallo, allora I è connesso. Dimostrazione. Per definizione I ha più di un punto, e se x, y I, allora x < s < y = s I. Siano x 1 e x 2 due punti di I, ex 0 = 1(x x 2 ). Allora x 1 <x 0 <x 2 e quindi x 0 I, da cui segue che I = [a, b], a I, b I a<x 0 <b visto che x I = x [x, x 2 ] (se x<x 0 ) oppure x [x 1,x] (se x>x 0 ), oppure x [x 1,x 2 ] (se x = x 0 ). Ora, se a I, b I e a<x 0 <b, allora x 0 [a, b], quindi la tesi segue da (10.19) ponendo B = {x 0 } e Y w =[a, b] con w W = {(a, b) I 2 : a<x 0 <b}. (10.23) Corollario. La retta reale R è connessa. Dimostrazione. Basta osservare che si può scrivere R = {0} R>0 [ R, R] e applicare (10.19), oppure direttamente il corollario (10.22). (10.24) Teorema. I sottoinsiemi connessi di R sono tutti e soli gli insiemi con un elemento solo e gli intervalli. Dimostrazione. Per (10.22) gli intervalli sono connessi, e i punti sono sempre connessi. Ora, un insieme X R con più di due punti che non sia un intervallo è tale che esistono x, y X e s R tali che x < s < y ma s X, e quindi X =[X (,s)] [X (s, + )], cioè unione disgiunta di due aperti non vuoti, e quindi X non è connesso. (10.25) Esempio. R n è connesso: è unione di rette per l origine. R n {0} è connesso. Perché? Vedi esercizio (5.2). (10.26) Teorema. Due spazi topologici X e Y sono connessi se e solo se il prodotto X Y è connesso. Dimostrazione. Se X Y è connesso, allora X e Y, in quanto immagini delle proiezioni canoniche p 1 : X Y X e p 2 : X Y Y, sono connessi (vedi (10.9)). Viceversa, se X e Y sono connessi, allora si scelga y 0 Y : per ogni x X i sottospazi {x} Y X Y e X {y 0 } X Y sono omeomorfi rispettivamente a Y e X, e quindi entrambi connessi. Ma allora X Y = X {y 0 } x X({x} Y ), e quindi possiamo applicare (10.19) con B = X {y 0 } e Y x = {x} Y.

9 Geometria I 75 (10.27) Proposizione. Se A X è connesso, allora la chiusura A di A in X è connesso. Dimostrazione. Per (10.11), basta mostrare che ogni funzione continua f : A {±1} è costante. Ma la restrizione di f ad A è costante e quindi f(a) è un solo punto: supponiamo che sia uguale a 1 (altrimenti sostituiamo f con f). Per (2.10)-2 (pagina 7), f(a) f(a), e quindi f(a) f(a) ={1} = {1}, cioè f è costante anche sulla chiusura A. (10.28) Corollario. Ogni spazio topologico X è unione disgiunta delle sue componenti connesse. Ogni componente connessa è chiusa in X. Dimostrazione. Abbiamo visto sopra che X è unione disgiunta delle sue componenti connesse. Se C x è una componente connessa, allora C x non può essere più grande di C x, e quindi C x = C x Spazi connessi per archi Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, 12 [1]. Un arco (oppure un cammino) in uno spazio X è una mappa (funzione continua) γ : [0, 1] X. Si dice che l arco parte da γ(0) e arriva a γ(1). (10.29) Definizione. Si dice che uno spazio X è connesso per archi se per ogni coppia di punti x 0,x 1 X esiste un arco γ tale che γ(0) = x 0 e γ(1) = x 1. (10.30) Se f : X Y è una funzione suriettiva e X è connesso per archi, allora Y è connesso per archi. Dimostrazione. Siano y 0, y 1 due punti di Y. La funzione è suriettiva, e dunque esistono x 0 e x 1 in X tali che f(x 0 )=y 0 e f(x 1 )=y 1. Dato che X è connesso, esiste un cammino γ : [0, 1] X tale che γ(0) = x 0 e γ(1) = x 1. Ma la composizione di funzioni continue è continua, e quindi il cammino ottenuto componendo γ con f: f γ : [0, 1] X Y è un cammino continuo che parte da y 0 e arriva a y 1. (10.31) Corollario. Se due spazi X e Y sono omeomorfi, allora X è connesso per archi se e solo se Y è connesso per archi. Dimostrazione. Si dimostra come nel caso della connessione e della compattezza (7.18). (10.32) Teorema. Uno spazio connesso per archi è connesso.

10 Geometria I 76 (0, 1 2 ) Figura 1: La pulce e il pettine dell esempio (10.36). Dimostrazione. Sia X uno spazio connesso per archi. Supponiamo che non sia connesso, e dunque che esista A X, A, A X sia aperto che chiuso. Dato che A, possiamo scegliere un punto x 0 A. Dato che A X, possiamo scegliere un punto x 1 A. Dato che X è connesso, esiste un cammino γ : [0, 1] X che parte da x 0 e arriva a x 1. La controimmagine γ 1 (A) è un sottoinsieme chiuso di [0, 1] (dato che γ è continua e A è chiuso) ed al tempo stesso un sottoinsieme aperto (dato che γ è continua e A aperto). Ma [0, 1] è connesso, quindi γ 1 A può solo essere oppure tutto [0, 1]. Ma x 0 γ 1 A, e quindi γ 1 A, ex 1 γ 1 A,e quindi γ 1 A [0, 1], e questo ci porta ad una contraddizione. (10.33) Teorema. Se X è un sottoinsieme aperto e connesso di R n, allora X è connesso per archi. Dimostrazione. Vedi esercizio (5.20) (10.34) Proposizione. I sottoinsiemi connessi di R sono connessi per archi. (10.35) Proposizione. Non è vero in generale che se X è connesso allora è connesso per archi. La dimostrazione (opzionale) è data dal seguente esempio. (10.36) Esempio (La pulce e il pettine). Sia A R 2 il seguente insieme (con la topologia euclidea di R 2 ): A = {( 1,y) : 0 y 1,n 1 intero} { (x, 0) : 0 <x 1}. n Applicando (10.19) si vede che A è connesso. È anche connesso per archi: per esempio c è un cammino che collega tutti i punti di A con (1, 0) A. Se P denota il punto di coordinate (0, 1 ), allora anche lo spazio X = {P } A è connesso: 2 infatti P è di accumulazione per A in R 2, e quindi la chiusura di A in X coincide con X. Ma

11 Geometria I Figura 2: Figura per l esempio (10.37). per (10.27) la chiusura di A in X è connesso, visto che lo è A, e quindi X è connesso perché coincide con la chiusura di A in X. Non è connesso per archi: sia γ : I X una funzione continua tale che γ(0) = P e γ(1) P. Le componenti di γ sono due funzioni continue (x(t),y(t)). Sia m = sup{t I : x(t) = 0} (l estremo superiore esiste dato che x(0) = 0). Per continuità, si ha x(m) =0e y(m) = 1 2 (cioè γ(m) =P ). Visto che γ(1) P e P è il solo punto con ascissa nulla, si ha x(1) > 0 e quindi m<1. Si prenda m tale che m < m 1. Se m m è abbastanza piccolo, si ha che y(t) è abbastanza vicino a 1 per ogni t [m, 2 m ]: supponiamo quindi che m m è cosí piccolo (ma positivo) da far sí che per ogni t [m, m ] si abbia y(t) 1. Osserviamo che per 4 costruzione comunque x(m ) > 0; l insieme B = {x(t) :m t m } è l immagine dell intervallo chiuso [m, m ] mediante la funzione continua x(t), e quindi è un intervallo (perché connesso) chiuso (perché compatto), cioè è della forma B = {x(t) :m t m } = [0,M], dove M è il massimo di x(t) in [m, m ] e risulta M>0. Ma ogni punto di γ([m, m ]) ha ordinata maggiore di 1, e quindi deve avere ascissa uguale 4 a un valore del tipo 1 con n intero, e dunque B non può essere un intervallo del tipo [0,M]. n È quindi assurdo supporre che γ(1) P, cioè tutti i cammini continui con γ(0) = P sono costanti in P : segue che X non è connesso per archi. (10.37) Esempio. Il sottoinsieme X R 2 definito da X = {(x, y) R 2 : x + y + xy 1}

12 Geometria I 78 è un aperto di R 2, quindi è connesso per archi se e soltanto se è connesso. Non è connesso, dato che la sua immagine in R mediante la funzione continua f(x, y) =x + y + xy non è un intervallo (e quindi non è connesso) perché contiene i due punti f(2, 0) = 2 e f(0, 0) = 0, ma non 1 che è intermedio. Osserviamo che X è l unione disgiunta dei due aperti A 1 e A 2 non vuoti definiti da A 1 = {(x, y) R 2 : x + y + xy > 1} A 2 = {(x, y) R 2 : x + y + xy < 1}. Verifichiamo che A 2 è connesso per archi (e quindi connesso): se (x 1,y 1 ) A 2, allora il cammino γ(t) definito per t [0, 1] da γ(t) = ( 1+t(x 1 + 1), 1+t(y 1 + 1)) parte da γ(0) = ( 1, 1) e arriva a γ(1) = (x 1,y 1 ). Per ogni t [0, 1] si ha ( 1+t(x 1 + 1)) + ( 1+t(y 1 + 1)) + ( 1+t(x 1 + 1))( 1+t(y 1 + 1)) = 1+t 2 (x 1 + y 1 + x 1 y 1 + 1) < 1+t 2 (1 + 1) = 2t = 1, e quindi γ(t) A 2. Invece A 1 non è connesso: si può scrivere come unione di aperti disgiunti non vuoti A + 1 A 1 definiti da = {(x, y) R 2 : x + y + xy > 1 x + y>0} A + 1 A 1 = {(x, y) R 2 : x + y + xy > 1 x + y<0}. Sono ovviamente disgiunti, inoltre x + y + xy > 1 = x + y 0 (perché?), e quindi A 1 = A + 1 A 1. Verifichiamo che A + 1 e A 1 sono connessi per archi, e quindi connessi. Cambiamo coordinate in R 2, e prendiamo le nuove coordinate a = x +1, b = y +1(è un omeomorfismo R 2 R 2 ). Allora nella coordinate (a, b) si ha e A + 1 {(a, b) R 2 : ab > 2 a + b>2}. Definiamo γ(t) =(a 1 + b 1 tb 1,a 1 + b 1 ta 1 ). Si ha γ(0) = (a 1 + b 1,a 1 + b 1 ) γ(1) = (a 1,b 1 ). Inoltre per ogni t [0, 1] si ha a 1 > 0, b 1 > 0 e quindi (a 1 + b 1 tb 1 )(a 1 + b 1 ta 1 ) a 1 b 1 > 2 a 1 + b 1 tb 1 + a 1 + b 1 ta 1 = (2 t)(a 1 + b 1 ) (a 1 + b 1 ) > 2,

13 Geometria I 79 quindi γ(t) A + 1. Definiamo ora un altro cammino η(t) ponendo per t [0, 1] Si ha Dato che η(t) = (2 + t(a 1 + b 1 2), 2+t(a 1 + b 1 2)). η(0) = (2, 2) η(1) = (a 1 + b 1,a 1 + b 1 ). (t, t) {(a, b) R 2 : ab > 2 a + b>2} se e soltanto se t 2 > 2, per mostrare che η(t) A + 1 (2 + t(a 1 + b 1 2)) 2 > 2. occorre mostrare che Ma questo segue dal fatto che a 1 + b 1 > 2, quindi 2+t(a 1 + b 2 2) > 2, e quindi il suo quadrato è maggiore di 2. Nelle coordinate a, b, quindi possiamo definire il cammino α(t) in A + 1 ponendo { η(2t) se t [0, 1/2] α(t) = γ(2t 1) se t [1/2,t], che collega (2, 2) con qualsiasi punto (a 1,b 1 ) di A + 1. Per A 1 si procede allo stesso modo (esercizio). Concludiamo quindi dicendo che X ha tre componenti connesse: A 2, A + 1 e A 1 (c era una dimostrazione più veloce?).

14 Geometria I 80 Optional: construzione di R (Dedekind) (-2.1) Consideriamo il sottoinsieme Q Q dei numeri razionali positivi o nulli: Q = {x Q : x 0}. Lo scopo di questo esercizio (e dei seguenti) è di rivisitare la costruzione delle sezioni di Dedekind in termini di connessione (così come la costruzione di Cantor dei numeri reali come completamento di Q è fatta in termine di convergenza di successioni di Cauchy). 13 Sappiamo che Q e Q non sono connessi (perché?): esistono quindi due aperti-e-chiusi non vuoti A 1,A 2 Q tali che A 1 A 2 = Q. Definiamo le sezioni di Q come segue: una sezione α Q è un intervallo aperto e limitato di Q contenente lo 0, cioè (i) 0 Q; (ii) p α = ɛ> 0,B ɛ (p) α (α è aperto). (iii) p α = [0,p) α (α è un intervallo che contiene lo 0); (iv) α è limitato (equivalentemente, α Q, dal momento che α è un intervallo che contiene 0). Dimostrare che le sezioni (definite come sopra) soddisfano le seguenti proprietà: (i) α non è vuoto e α Q; (ii) Se p α e q Q e q < p allora q α; (iii) Se p α allora p<rper qualche r α. (-2.2) Sia S l insieme di tutte le sezioni di Q. Consideriamo la funzione f : Q {0} S definita da f(q) =α = [0,q), per ogni q Q {0}. Dimostrare che è iniettiva (non è definita in 0). *(-2.3) Dimostrare che la relazione di inclusione α < β α β α β è una relazione di ordine totale su Q, cioè: (i) Se α e β sono sezioni in S, allora una sola delle relazioni seguenti è vera: α < β, β < α, β = α. (ii) (proprietà transitiva): se α, β e γ sono in S, eα < β β < γ, allora α < γ. *(-2.4) Dimostrare che l insieme delle sezioni S ha la proprietà dell estremo superiore: ogni insieme non vuoto e limitato in S ammette estremo superiore. (Suggerimento: se A S è un insieme limitato e non vuoto, allora si può definire l unione U = α A α le sezioni sono sì elementi di S, ma sono anche intervalli di numeri razionali, e quindi è possibile definire l unione... poi si dimostra che l unione in effetti è una sezione, e quindi U S... è un maggiorante di A, ed è poi possibile vedere che è il minimo dei maggioranti... ) 13 Questa non è la costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind.

15 Geometria I 81 *(-2.5) Ora dobbiamo mostrare che la somma e il prodotto, definite in Q, si estendono a S. Definiamo la somma come α + β = {a + b : a α, b β} e il prodotto come αβ = {ab : a α, b β}. Dimostrare che la somma e il prodotto di sezioni sono ancora sezioni. Dimostrare che la funzione f dell esercizio (-2.2) conserva le operazioni di somma, prodotto e la relazione d ordine: f(p + q) =f(p)+f(q), f(pq) =f(pq), p<q = f(p) <f(q). *(-2.6) Dimostrare che se α, β S, eα < β, allora esiste un unico γ S tale che β = α + γ. (-2.7) Dimostrare che se α S, allora esiste un unico β tale che αβ =1(dove identifichiamo 1 = [0, 1) = f(1). *(-2.8) Ora siano S + e S due copie di S, e sia R = S {0} S +. Se α S, allora indicheremo con +α (o anche semplicemente con α) l elemento corrispondente in S +, e con α l elemento corrispondente di S. Definire operazioni di addizione, moltiplicazione e la relazione d ordine su R in modo che R risulti un campo ordinato. *(-2.9) Mostrare che la funzione f di (-2.2) si estende in modo naturale ad una inclusione di campi Q R. (Vale la pena di concludere osservando che R = R... ).

16 Geometria I 82 Figura 3: Topologie con tre punti Esercizi: foglio 5 *(5.1) Dimostrare (direttamente) che gli intervalli semiaperti [a, b) sono connessi, così come gli intervalli (,a), (,a], (a, ) e [a, ) (vedi teorema (10.6) e (10.19)). (5.2) Dimostrare che R n {0} è connesso. (5.3) Dimostrare che i punti di uno spazio topologico sono connessi. (5.4) Dimostrare che Q non è connesso. Quali sono le sue componenti connesse? (Nota: Q non ha la topologia discreta!) (5.5) Dimostrare che i sottoinsiemi connessi non vuoti di R sono tutti e soli i singoli punti e gli intervalli (dove diciamo che un sottoinsieme A R è un intervallo se contiene almeno due punti distinti e se x, y A, x < s < z = s A). (5.6) Sia X un insieme con almeno due elementi. Quali sono i sottoinsiemi connessi, se X ha la topologia discreta? E se ha la topologia banale? (5.7) Se X è connesso e Y ha meno aperti di X, allora è vero che anche Y è connesso? Utilizzare questo fatto per determinare nel grafo (cfr. figure 4 e?? a pagg. 83 e??) delle classi di omoeomorfismo di spazi topologici finiti su 3 e 4 punti quali sono quelli connessi. Tra tutti gli spazi topologici finiti (a meno di omeomorfismo) con 3 o 4 punti, quanti sono quelli connessi?

17 Geometria I 83 Figura 4: Topologie con quattropunti (5.8) Determinare quali dei seguenti sottospazi di R 2 sono connessi: (i) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}. (ii) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 =1}. (iii) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. *(5.9) Supponiamo che f : X Z sia una funzione continua (dove Z, con la topologia indotta da R, ha la topologia discreta) e non costante. Dimostrare che X non è connesso. *(5.10) Dimostrare che R n {0} è connesso per n 2. Dedurne che la sfera di dimensione n S n e il piano proiettivo P 2 (R) sono connessi. (5.11) In uno spazio topologico X si consideri la seguente relazione: x y C X connesso tale che x C y. Mostrare che è una relazione di equivalenza. Mostrare poi che le classi di equivalenza sono le componenti connesse di X. Dedurre che le componenti connesse (definite in (10.16)) di uno spazio topologico sono ben definite e disgiunte (cfr. nota (10.21)). *(5.12) Sia X l unione dei sottospazi A e B di R 2 definiti da A = {(x, y) R 2 : x =0 1 y 1} e B = {(x, y) R 2 : y = cos 1 0 < x 1}. Dimostrare che X è connesso. x (Suggerimento: uno è nella chiusura dell altro)

18 Geometria I 84 1 y x *(5.13) Siano A = {(x, y) : 1 x 1,y =0} e B = {(x, y) :y = x, 0 x 1 per qualche n N}. 2 n Dimostrare che X = A B è connesso y x 0.2 (5.14) Sia S n = {x R n+1 : x 2 =1}. Dimostrare che S n è connesso. (Suggerimento: R n {0} è connesso) *(5.15) Dimostrare che S 1 non è omeomorfo ad un intervallo. (Suggerimento: S 1 meno un punto... ) *(5.16) Dimostrare che gli intervalli (0, 1) e [0, 1) non sono omeomorfi. (5.17) Dimostrare che uno spazio topologico X è connesso se e solo se ogni volta che si scrive come X = A B con A e B allora A B oppure B A. (5.18) Dimostrare che se S R non è un intervallo (cioè se esistono x, y, z con x<s<y, x, y S e s S ) allora S non è connesso.

19 Geometria I 85 (5.19) Mostrare che se uno spazio topologico X è unione di aperti connessi disgiunti e non vuoti, allora questi sono le componenti connesse di X. Dimostrare poi che se X ha un numero finito di componenti connesse allora esse sono sia aperte che chiuse e disgiunte. Trovare un esempio di spazio con infinite componenti connesse tutte chiuse ma mai aperte. *(5.20) Dimostrare che se X R n è un sottoinsieme aperto e connesso di R n, allora è anche connesso per archi. (Suggerimento: osservare che i cammini si possono comporre nel seguente modo: se γ : [0, 1] X è un cammino che va da x 0 X a x 1 X, eγ : [0, 1] X un secondo cammino che va da x 1 a x 2, allora γ può essere riparametrizzato (utilizzando un omeomorfismo [0, 1] [1, 2]) come γ : [1, 2] X. Ma allora è possibile definire un nuovo cammino α: [0, 2] X incollando i due cammini e verificare che è ancora continuo. Ora non rimane che dimostrare la seguente cosa: se si sceglie x 0 X, lo spazio di tutti i punti raggiungibili con un cammino che parte da x 0 è un aperto ( incollando al cammino un pezzettino di cammino rettilineo... ), ma è anche un chiuso (cioè lo spazio di tutti i punti non raggiungibili con un cammino che parte da x 0 è un aperto)... ) (5.21) Sia X uno spazio topologico, e la seguente relazione in X: x y se e solo se esiste cammino γ : [0, 1] X che parte da x e arriva a y. Dimostrare che la relazione è di equivalenza. Cosa sono le classi di equivalenza? Ricordiamo che nel sistema posizionale con base b all allineamento (finito a sinistra) corrisponde il numero reale (a n... a 3 a 2 a 1 a 0.a 1 a 2...) b a n b n a 3 b 3 + a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 + a 1 b 1 + a 2 b In generale si ha che 0 a n l esercizio (5.23 )). <b, ma ci sono sistemi in cui questo non è richiesto (vedi *(5.22) Sia C [0, 1] R l insime di numeri reali compresi tra 0 e 1 che hanno uno sviluppo in base ternaria (con cifre 0, 1, 2) in cui non compare mai il la cifra 1 (quando la rappresentazione non è unica, come per esempio quando l ultima cifra è 2 periodica (0. 2) 3 = (1.0) 3 oppure (0.1 2) 3 = (0.2) 3, basta che per una delle due rappresentazioni sia vero che non compare la cifra 1). L insieme C si chiama insieme di Cantor. Mostrare che (i) C è chiuso; (ii) C è compatto; (iii) se x C, allora x è di accumulazione per il complementare di C. (iv) se x C, allora x è di accumulazione per C ma non è interno a C. (v) se Y C è un sottospazio connesso e Y, allora Y ha un solo elemento (cioè l insieme di Cantor è totalmente sconnesso, come Q). (vi) (opzionale) Mostrare che C è omeomorfo allo spazio 2 N (con la topologia prodotto).

20 Geometria I 86 **(5.23) Nella notazione posizionale ternaria bilanciata invece degli allineamenti in base 3 (con i simboli 0, 1, 2) si considerano gli allineamenti dei tre simboli 1, 0, 1 (che corrispondono agli interi 1,0,1) in base 3. Nel sistema ternario si ha che 0 a n < 3, ma nel sistema ternario bilanciato si pone 1 a n 1, e si indica 1 = 1 per semplicità (negli anni , per un certo periodo il sistema ternario bilanciato è stato preso seriamente in considerazione, insieme al sistema decimale e al sistema binario, per la costruzione di calcolatori elettronici per esempio dal gruppo di S.L. Sobolev a Mosca). (i) Quanto valgono (0. 1) 3, (0.0 1) 3, (0. 1) 3 e (0.0 1) 3? (ii) È vero che ogni x R può essere scritto in notazione ternaria bilanciata? (iii) La rappresentazione è unica? L insime degli x che non hanno una rappresentazione unica è chiuso in R? (osservare che se x non ha una rappresentazione unica, allora nemmeno x/3 e x ± 1 hanno una rappresentazione unica e quindi h+1/2...) 3 k (iv) Sia X l insieme dei numeri reali in [ 1, 1 ] che ha almeno una rappresentazione ternaria 2 2 bilanciata in cui non compare mai la cifra 1. Ha le stesse proprietà dell insieme di Cantor (dell esercizio precedente, cioè è compatto, totalmente sconnesso e ogni punto è di accumulazione sia per X che per il complementare di X)? *(5.24) Sia f : X R R una funzione continua definita su un intervallo (connesso) X R. (i) Mostrare che se f non è (strettamente) monotona (né crescente né decrescente), allora non è iniettiva. (ii) Dedurre che se f è continua e iniettiva, l immagine di un intervallo aperto è un intervallo aperto (e quindi che f è una mappa aperta). (iii) Dimostrare che se f : X R è continua e biunivoca, allora è un omeomorfismo sull immagina f(x) R. (iv) Mostrare anche che non esistono funzioni continue e iniettive f : S 1 R. (5.25) Utilizzare l esercizio (5.24) per mostrare che (utilizzando il fatto che le funzioni (x, y) x + y e (x, y) xy sono continue su R 2, e che x x 1 è continua R {0} R): (i) Per ogni n N, n 1, la funzione f : [0, ) [0, ) R definita da f(x) =x n è un omeomorfismo. (ii) Per ogni n N, n 1, per ogni x 0, x R, esiste un unico y R tale che x n = y (la radice n-esima di x, indicata con n x) e che la funzione x n x è continua. (iii) La funzione x x p/q := q x p, definita per x 0, x R e p, q Z, q 0, è una funzione continua di x. Nel prossimo esercizio, utilizzare il seguente fatto (provare a dimostrarlo): comunque si scelgano n numeri positivi x 1,..., x n si ha ( ) n x1 + x x n x 1 x 2... x n, n e l uguaglianza è verificata solo quando i numeri sono tutti uguali fra loro. Ovvero: la media geometrica di n numeri positivi è sempre minore o uguale alla loro media aritmetica, e le due medie sono uguali se e solo se i numeri sono tutti uguali tra loro.

21 Geometria I 87 *(5.26) Per l esercizio (5.25), per ogni numero razionale x = p/q e ogni reale b>0 abbiamo visto che esiste b x. Dimostrare i seguenti fatti. (i) Per ogni x, y razionali e ogni b>0 reale si ha b x+y = b x b y e b 0 =1. (ii) Per ogni numero razionale x = p dell intervallo (0, 1) e per ogni numero reale b>0 q diverso da 1 vale la disuguaglianza b x < 1 + (b 1)x (utilizzare il confronto tra media geometrica e media aritmetica per n + m numeri, di cui n sono uguali a b e m uguali a 1.) (iii) Se b>1, funzione x b x è una funzione Q R continua e strettamente monotona crescente. (iv) Se b>1, la funzione x b x := sup{b y : y Q, y x}, definita R R, è ben definita, monotona e continua, ed estende la funzione x b x definita Q R. (v) Esiste una funzione continua x log b x, che associa ad x>0, x R, l unico numero reale y tale che b y = x. (vi) La funzione f : R >0 R R definita da f(b, x) =b x è una funzione continua (rispetto alla topologia prodotto del dominio). (suggerimento: si consideri l omeomorfismo log 2 : (0, ) R)