Soluzioni degli esercizi di Matematica e Statistica. Marco Abate

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1 Soluzioni degli esercizi di Matematica e Statistica Seconda edizione Marco Abate 5 giugno 0 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

2 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

3 Indice Capitolo. Aritmetica Numeri e unità di misura Operazioni Notazione scientifica e ordini di grandezza Approssimazioni Uguaglianze e disuguaglianze Propagazione degli errori 4 Percentuali 4 Teoria intuitiva degli insiemi 5 Logica elementare 6 Capitolo. Probabilità discreta 9 Eventi 9 Distribuzioni di probabilità 0 Frequenze relative 0 Assiomi della probabilità Eventi indipendenti La legge di Hardy-Weinberg Probabilità condizionata Test diagnostici Calcolo combinatorio Distribuzione binomiale 5 Capitolo. Rappresentazioni dei dati 7 Funzioni 7 Coordinate cartesiane 8 Equazioni e disequazioni 9 Diagrammi cartesiani Istogrammi Media, mediana e moda 4 Varianza 4 Capitolo 4. Bestiario, I: funzioni algebriche 5 Funzioni lineari 5 Programmazione lineare 8 Funzioni quadratiche 8 Il metodo dei minimi quadrati 4 Funzioni polinomiali 4 Funzioni potenza 5 Funzioni razionali 6 v Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

4 vi INDICE Limiti e continuità 7 Capitolo 5. Bestiario, II: funzioni trascendenti 9 Funzioni esponenziali 9 Funzioni logistiche 9 Funzioni logaritmiche 40 Tecniche di interpolazione 4 Funzioni trigonometriche 4 Funzioni sinusoidali 45 Successioni e serie 45 Capitolo 6. Calcolo differenziale 49 Derivate 49 Calcolo di derivate: funzioni algebriche 49 Calcolo di derivate: funzioni trascendenti 50 Massimi e minimi 5 Studio qualitativo di funzioni 5 La regola di de l Hôpital 65 Sviluppo di Taylor 66 Propagazione degli errori 67 Il metodo di Newton-Raphson-Wallis 67 Derivate parziali 67 Capitolo 7. Calcolo integrale 69 Definizione di integrale 69 Proprietà dell integrale 69 Integrale indefinito 70 Integrazione per parti 7 Integrazione per sostituzione 7 Integrali impropri 7 Media integrale 7 Capitolo 8. Probabilità continua 75 Variabili aleatorie 75 Media e varianza di variabili aleatorie discrete 76 Distribuzione di Poisson 77 Variabili aleatorie continue 78 Funzione di distribuzione 80 Distribuzione uniforme 8 Distribuzione esponenziale 8 Distribuzione normale 8 Campioni e popolazione 8 Test d ipotesi 8 Test Z 84 Test T di Student 84 Test F di analisi della varianza 84 Test χ 84 Capitolo 9. Equazioni differenziali 87 Introduzione 87 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

5 INDICE vii L equazioney = ay +b 88 Separazione delle variabili 89 Sistemi lineari di equazioni 9 L equazioney = ay +by +c 9 Capitolo 0. Algebra lineare 95 Vettori applicati 95 Lunghezze e angoli 95 Equazioni di rette e piani 96 Sistemi lineari triangolari superiori 97 Basi e dimensione 97 La riduzione a scala 97 Operazioni sulle matrici 0 Determinanti 05 Autovalori e autovettori 06 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

6 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

7 CAPITOLO Aritmetica Esercizio. (a), (b), (c), (e), (f). Numeri e unità di misura Esercizio. 7 < 0.5 < ( ) 4 < 5 < < Esercizio. (a) 6 libbre = 6/. kg; (b).5 kg = 5.5 libbre. Esercizio.4 (a) Kelvin=Celsius+7.6 (b) Fahrenheit= 9/5 Celsius+ (c) Celsius=Kelvin 7.6 (d) Fahrenheit= 9/5 Kelvin (e) Kelvin= 5/9 Fahrenheit+55.8 Esercizio.5 (a) 7.6 Kelvin (b) 04 Fahrenheit (c) -7.6 Celsius (d) Fahrenheit (e) 88.6 Kelvin (f) -5 Celsius ( ). Esercizio.6 Supponiamo che la radice quadrata di n sia data dal numero razionale ridotto ai minimi termini p/q; questo vuol dire che n = p /q, cioè q n = p. Scriviamo ora la decomposizione in fattori primi di p e q: p = p a pa h h e q = qb qb k k, dove p,...,p h e q,...,q k sono numeri primi e a,...,a h eb,...,b k sono numeri naturali. Inoltre, siccome la frazione p/q è ridotta ai minimi termini, tutti i p i sono diversi da tutti i q j. L uguaglianzaq n = p diventa q b q b k k n = p a p a h h. Siccome la decomposizione in fattori primi di un numero è unica, nei due membri di questa uguaglianza devono apparire esattamente gli stessi numeri primi che abbiano esponente diverso da zero. Ma nessuno dei q j compare nel membro destro; quindi gli esponenti dei q j devono essere tutti uguali a zero, cioè b = = b k = 0 e q =. Ma allora n = p, per cui n è effettivamente il quadrato di un numero naturale. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

8 . ARITMETICA Esercizio.7 (a)7 ; (b) /4 (c); (d) 4 ; (e) 7/4 ; (f)6 5/6 ; (g) 9/4. Esercizio.8 (a) b+a ab ; (b) ab a b ; (c) a 4b a b ; b+a (d) ab(a+b). Operazioni Esercizio.9 Applicando volte la proprietà distributiva otteniamo(a ab) (b + ba). Applicando la proprietà commutativa della somma e quella del prodotto otteniamo poi(a ab)+(ab b ). Infine, applicando la proprietà associativa otteniamo(a ab)+ (ab b ). Esercizio.0 Per la proprietà commutativa del prodotto by b = yb b e per la proprietà associativa del prodottoyb b = yb 4. Consideriamo ora l espressione x( y) y( x). Per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma diventa x + x( y) y +( y)( x). Per le proprietà associativa e commutativa del prodotto quest ultima diventa x xy y + xy. Applicando la proprietà commutativa della somma otteniamo poi x y, infine per la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto concludiamo(x y). Esercizio. R = RR R R. Esercizio. cono. Il secondo cono ha altezza uguale a h/0, dove h è l altezza del primo Esercizio < c < 0. Esercizio g. Esercizio Esercizio Esercizio Notazione scientifica e ordini di grandezza Esercizio.8 Supponiamo che la superficie con capelli sia un rettangolo di cm per 5 cm, e di disporre i capelli in maniera regolare. Siccome µm =0 4 cm, e accanto a ogni capello ci dev essere uno spazio di un capello, su una riga di cm ci stanno /( ) = 0 capelli. Analogamente, una colonna di 5 cm contiene Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

9 UGUAGLIANZE E DISUGUAGLIANZE 5/( ) = 5 0 capelli; quindi in totale ci sono( 0 ) (5 0 ) = 0 6 capelli. Quindi in ogni gruppo di esseri umani comprendente più di milioni di persone ce ne devono essere almeno due con lo stesso numero di capelli. In particolare, questo vale per il mondo e per l Italia; per la tua regione o la tua città dipende da se ha più o meno di milioni di abitanti. Esercizio Esercizio m. Esercizio. La massa totale dell atmosfera è di kg, mentre quella dell ossigeno in essa è di. 0 8 kg. Esercizio anni. Esercizio l. Esercizio Esercizio.5 (a) falso; (b) vero; (c) vero; (d) vero. Esercizio.6 b = 4. Approssimazioni Esercizio.7 Prima classe: s [,.], s.,.±0.. Seconda classe: s (.,.5],. < s.5,.5±0.5. Terza classe: s (.5,.9],.5 < s.9,.7±0.. Esercizio , 0., ,.46, ,.67, , 0., , 5.5, 5.5. Esercizio.9 Rispettivamente 0%, %, %, 67%. Esercizio.0 (a)(a+5) = (a+ a ) = a = 40 (b) b+6 = ( b + ) b = b = ±; (c) 4c = ( ) c+ c = c = 9 4 ; (d) 4d+ = ( ) d+ d = d = 6 9. Esercizio. (a)x = 0 x = 4; (b)x = 0 x = 5 x = 5; (c)x = 0 x = c x = c. Uguaglianze e disuguaglianze ; Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

10 4. ARITMETICA Esercizio. < x < 5. Esercizio. a =. Esercizio.4 0. < y x <.. Esercizio.5 x > 4. Esercizio.6 (a) No. (b) Sì. Esercizio.7 Il ragionamento è corretto fino a quando si ottiene l uguaglianza a(b a) = (b + a)(b a), ma a questo punto non possiamo semplificare dividendo ambo i membri perb a, dato cheb a = 0 per ipotesi. Esercizio.8 x y = ± 0 9. Esercizio.9 0 ± 0. Esercizio.40 Propagazione degli errori Il valore stimato è circa0., mentre l errore assoluto è circa0.0. Esercizio.4 Il valore stimato è00, mentre l errore assoluto è 4. Esercizio.4 Il valore stimato è0, mentre l errore assoluto è0.. Esercizio.4 Il valore stimato è000 m, mentre l errore assoluto è 0 m. Esercizio.44 (a) 6.68 ±.88 (b)6.68 π 4 ±.88π 4 Gli errori assoluti sono.88 e.88 π 4 i casi l errore relativo è.88/6.68. per (a) e (b) rispettivamente, mentre in entrambi Esercizio.45 Il valore stimato è5h, mentre l errore assoluto è 0.75 h. Esercizio.46 Il valore stimato è , mentre l errore assoluto è Esercizio.47 È compreso tra m e 6. 0 m. Esercizio %. Esercizio.49 56%. Esercizio.50 Esercizio.5 Esercizio.5 Esercizio.5 Esercizio.54 È indifferente. È diminuito dell %. In quello sotto casa. 0.%. 0.7%. Percentuali Esercizio.55 Nell Esercizio.5 l abbassamento di popolazione è dell.8% rispetto alla popolazione iniziale, mentre nell Esercizio.54 l abbassamento di popolazione è dell.8% rispetto alla popolazione iniziale aumentata dal.5%. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

11 TEORIA INTUITIVA DEGLI INSIEMI 5 Esercizio.56 I prezzi sono aumentati del % rispetto al prezzo di prima di lunedì, e devono essere abbassati di circa il 0.7% sul loro valore di venerdìper tornare al valore originale. Esercizio.57 Esercizio.58 Nel secondo. 900 euro. Esercizio g. Esercizio.60 (a) 700 kg. (b)5%. (c) Tra 90 kg e 0 kg. (d)5.5%. Esercizio.6 (a) 500. (b) Il.5% per la RR, il 6.5% per la VV. (c)50%. (d) È diminuita. Esercizio.6 Rispettivamente 5 e 7. Esercizio.6 (a)7.5%. (b) Tra76 m e84 m. (c) Di circa il 6.7%. (d) Il salotto diminuisce di circa il 44.%, mentre la camera da letto di circa il66.7%. Esercizio.64 Nel 009 sarà di 40.5 km. L alga impiegherà circa 7 anni a coprire tutta la superficie del lago. Esercizio.65 Dopon giorni l intensità di radiazione sarài 0 ( 0.05) n, e pertanto si sarà dimezzata dopo log(0.5)/ log(0.95) 4 giorni. Esercizio.66 Circa il 0.% hanno cancro alla prostata, il 6.% hanno cancro al fegato ed il 8.7% non hanno malattie cancrogene. Esercizio.67.4%. Esercizio %. Esercizio.69 Può voler dire che il numero di diagnosi errate sia passato dal 60% al 40%. Oppure può voler dire che il numero di diagnosi errate sia passato dal 60% al 60 ( 0.)% = 48%. Esercizio.70 Sta sbagliando: se il deficit resta costante ed il rapporto deficit/pil dimezza, allora il pil deve raddoppiare, ovvero deve aumentare del 00%. Esercizio.7 Vero. Esercizio.7 C D. Esercizio.7 F E. Teoria intuitiva degli insiemi Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

12 6. ARITMETICA Esercizio.74 A B = {,,5,7,9}; A\B = {0,,4,6,8}; N\B = {n n N}; N\(A B) = {0,,4,6,8} {n n N, n 0}. Esercizio.75 A B = {(,),(5,4),(6,6),(7,),(,4),(5,6),(6,),(7,4),(,6),(5,),(6,4),(7,6)}. B A = {(,),(4,5),(6,6),(,7),(4,),(6,5),(,6),(4,7),(6,),(,5),(4,6),(6,7)}. Esercizio Esercizio.77. Esercizio.78 Se x A\B, allora x A e x B c, quindi x A B c. Questo dimostra che A \B A B c. Ora, se y A B c, allora y A ma non si ha y B, quindiy A\B. Questo dimostra che inoltrea B c A\B, dunquea B c = A\B. Esercizio.79 Dapprima si verifica chea\(b C) A\B ea\(b C) A\C, da cui A \ (B C) (A \ B) (A \ C). Viceversa, se consideriamo un arbitrario a (A\B) (A\C), alloraaappartiene aama non ab né ac, da cuia A\(B C), e per l arbitrarietà diaotteniamo(a\b) (A\C) A\(B C). Analogamente, si verifica che A \ B A \ (B C) e A \ C A \ (B C), da cui (A \ B) (A \ C) A \ (B C). Viceversa, se consideriamo un arbitrario a A\(B C), allora a appartiene a A ma non contemporaneamente a B e C, ovvero a A \ B oppure a A \ C, da cui a (A \ B) (A \ C), e per l arbitrarietà di a otteniamoa\(b C) (A\B) (A\C). Esercizio.80 Esercizio.8 di 5. Esercizio.8 Esercizio.8 Logica elementare L affermazione è vera. Esprime che ogni x A è un numero pari. L affermazione è vera. Esprime che ogni multiplo di 0 è multiplo Esiste un giovane che non ama le canzoni dei Beatles. Esiste un bambino alle scuole materne che non crede a Babbo Natale. Esercizio.84 Se domani piove non è detto che dorma fino a tardi. Equivalentemente: può essere che domani piova e io non dorma fino a tardi. Esercizio.85 Mostrargli un caso in cui qualche malato di cancro alla prostata mastica una foglia di ananas due volte al giorno ma non guarisce in un mese dal cancro. Esercizio.86 Controbatti osservando che l esempio di decine di persone guarite non costituisce una prova della sua affermazione. Chi ci dice che non esistano altri esempi (che lui non conosce) di persone non guarite pur avendo masticato foglie di ananas? Esercizio.87 Determinare un meccanismo biologico che spieghi l influenza delle foglie di betel sugli stimoli della fame. Esercizio.88 Esercizio.89 (c), (d). (a), (c). Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

13 LOGICA ELEMENTARE 7 Esercizio.90 (a) falso (b) vero (c){9} (d)n Esercizio.9 Esercizio.9 Esercizio.9 (b), (c). (a), (c). Sono vere (b), (c), (e) ed (f). La.è espressa dalla (b), e la. dalla (f). Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

14 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

15 CAPITOLO Probabilità discreta Esercizio. Eventi Un opportuno spazio degli eventi è dato da: Ω = {(M,M),(M,F),(F,M),(F,F)}. L evento unione di primo figlio femmina e secondo figlio maschio è dato da {(F,M),(F,F),(M,M)}, mentre l evento intersezione è dato da {(F,M)}. Esercizio. Un opportuno spazio degli eventi è dato da: Ω = {R,8,9,0,,,,4,5,6,7,8,9,0,0L}. L evento promosso è dato da {8,9,0,,,,4,5,6,7,8,9,0,0L}. L evento complementare all evento voto maggiore di 7 è dato da {R,8,9,0,,,,4,5,6,7}. L evento voto minore di è incompatibile con l evento voto maggiore di e con l evento voto maggiore di 7. Inoltre l evento voto minore di 7 è incompatibile con l evento voto maggiore di 7. Esercizio. Lo spazio degli eventi è Ω = {(X,Y,z) X,Y {testa, croce}, z {,,,4,5,6}}. Se le monete o il dado sono truccati lo spazio degli eventi si riduce ad un sottoinsieme diω. Esercizio.4 Gli eventi composti sono i seguenti: {A, B} = peso alla nascita inferiore a 500 g; {B, C} = peso alla nascita superiore a 500 g; {A,C} = peso alla nascita inferiore a 500 g o superiore a 500 g; {A, B, C} = peso alla nascita qualsiasi. Esercizio.5 Ω = {(i,j) i {A,B,C}, j {P,N,R}}. 9 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

16 0. PROBABILITÀ DISCRETA Distribuzioni di probabilità Esercizio.6 No. Il fatto che due eventi siano diversi non mi consente di affermare che le loro probabilità siano diverse. Per esempio, se A Ω ha probabilità /, allora l evento complementare B = Ω \ A (che senza dubbio è diverso da A) ha anch esso probabilità /. Esercizio.7 Che sia multiplo di, dato che ogni multiplo di 9 è anche multiplo di. Esercizio.8 Lo spazio degli eventi è quello dell Esercizio.. Esso contiene 4 eventi elementari, ognuno dei quali ha probabilità /4. L evento due teste e un è un evento elementare, pertanto avrà probabilità /4. Esercizio.9 /6 ( (/) 6 ). Esercizio.0 Rispettivamente /8 e 85/048. Esercizio. I due eventi sono equiprobabili, con probabilità ( 5 ) (/) 5. Esercizio. La probabilità che sia 8 è 8/90, mentre che sia è 7/90. Lo spazio degli eventi è l insieme dei naturali compresi tra 0 e 99. Le somme più probabili sono 9 e 0, entrambe con probabilità /0. Esercizio. La probabilità di ottenereè/6, così come la probabilità di ottenere 6. La probabilità di ottenere 7 è 0. Esercizio.4 La probabilità di ottenere è /9. La probabilità di ottenere 6 è /9. La probabilità di ottenere7è0. Esercizio.5 probabilità /n. La somma più probabile, lanciando due dadi a n facce, è n +, con Esercizio.6 Le somme meno probabili, lanciando due dadi anfacce, sono en, entrambe con probabilità/n. Esercizio.7 /. Esercizio.8 /8. Esercizio.9 /4. Esercizio.0 (a)8/7; (b) /7; (c)5/7. Frequenze relative Esercizio. Rispettivamente 0.8, 0.4, 0.0, Esercizio. La probabilità che sia sana è/5, mentre quella che sia malata è /5. Esercizio. 7/. La probabilità di guarigione è 5/, mentre quella di non guarigione è Esercizio.4 La probabilità che pesi meno di g è /5, che pesi esattamente g è/5 = /5, e la probabilità che pesi più di g è /5. Esercizio Esercizio.6 0/6. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

17 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Assiomi della probabilità Esercizio.7 La probabilità di essere sordi e muti è 0.05%, mentre quella di essere sordi o muti è.05%. Esercizio.8 Esercizio.9 No. No. Esercizio Esercizio. 44.5% Esercizio. /00. Esercizio. Eventi indipendenti A e A c sono indipendenti se e solo se uno dei due ha probabilità zero. Esercizio.4 Due eventi incompatibili sono indipendenti se e solo se almeno uno dei due ha probabilità zero. Esercizio.5 Rispettivamente /, /, /6. Esercizio.6 Esercizio.7 Sì in tutti e tre i casi. Sono eventi indipendenti. La legge di Hardy-Weinberg Esercizio.8 La probabilità che contenga l allele A è 0.5, mentre quella che contenga l alleleb è Esercizio.9 Rispettivamente(0.556) e (0.66). Esercizio.40 p GG = 0.49,p Gb = 0.4,p bb = Esercizio.4 p c = 0.5, p L = 0.5, p cc = 0.5, P LL = ( 0.5), p Lc = ( 0.5) 0.5. Esercizio.4 p B = 0.5, p V = 0.5, p R = 0.4, p BB = 0.5, p VV = 0.065, p BV = 0.75,p RR = 0.6,p RB = 0.8,p RV = 0.0. Esercizio Probabilità condizionata Esercizio.44 La probabilità richiesta è /4, e non dipende dalla distribuzione di probabilità dei vari genotipi. Esercizio.45 Esercizio Esercizio.47 (a) 0.065; (b) 0.; (c) 0.05; (d) 0.5; (e). Infatti si calcola come p(entrambi maschi) p(almeno un maschio). Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

18 . PROBABILITÀ DISCRETA Esercizio.48 (a)0.60; (b) 0.6; (c) 0.75; (d) 0.65; (e)0. Esercizio.49 Rispettivamente 95.66% e 8.4%. Esercizio.50 Esercizio.5 p(a B C) p(a B C)p(B C) p(a B C) = = p(c) p(c) p(a B C)p(B C)p(C) = = p(a B C)p(B C). p(c) Esercizio.5 p(a B C) p(b C) p(a B C) p(c) = p(c) p(b C) = p(a C B)p(B) p(c B) p(b) = p(a C B). p(c B) Esercizio.5 p(b A c ) = p(b Ac ) p(a c ) = p(b) p(b A) p(a) = p(b) p(a)p(b A) p(a) p(a B C)+p(A B c C) = p(a B C)+p(A Bc C) p(c) = p(a C) = p(a C). p(c) Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio.57 (a) ; (b) ; (c) Esercizio.58 (a) 8.9%; (b) 7.6%. Esercizio.59 Test diagnostici Per errori di approssimazione. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

19 CALCOLO COMBINATORIO Esercizio.60 Fare 4. Calcolo combinatorio Esercizio.6. Esercizio.6 Non è un caso: l evento in un gruppo di persone ce ne sono due che hanno lo stesso compleanno può essere riparafrasato come l evento in un gruppo di persone tutti hanno lo stesso compleanno, e ai fini del calcolo delle probabilità è irrilevante che tu faccia parte o meno del gruppo. Esercizio.6 (a) 70, 5040, 400. (b) 5040, 060, (c) /6, /4, /6. (d)6 0 9, 0.04, /84. (e) 4, 0, 0, 46. (f) 76476, 970, Esercizio.64 k+ (a) k+ m ; (b) P n,h h ; (c) ( ) n+ 6. Esercizio.65 (a)x 4 +4x +x +6x+6; (b) k n n=0( k) y k ; (c)x 6 x 4 y x y 4 +y 6 ; (d)a 5 +80a 4 b+80a b +40a b +0ab 4 +b 5. Esercizio.66 (a)(/4) 5 ; In caso di estrazioni con reimbussolamento abbiamo: (b) 5 4 (4 ) 5. 5 In caso di estrazioni senza reimbussolamento abbiamo: (a) ; (b)4 5/ ( 5). Esercizio.67 Rispettivamente , 0.08, 0.065, Esercizio Esercizio.69 Se ogni compito può apparire al più una volta posso effettuare l assegnazione in 5 modi diversi. Se sono ammesse ripetizioni posso effettuare l assegnazione in 0 modi diversi. Esercizio Esercizio.7 (a)/0 5 ; (b)/5!; (c)/5!; (d)/0. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

20 4. PROBABILITÀ DISCRETA Esercizio.7 (a)/0 4 ; (b)/0 ; (c)/(4 9 ); (d)/4!; (e)/4!. Esercizio.7 (a)0; (b) 0; (c) ( n k) se k n, 0 altrimenti; (d) ( n k ) se k n+, 0 altrimenti. Esercizio.74 (a)(4/5) 0 ; (b)0!/5 0. Esercizio.75 Rispettivamente5/ ( 5 5), ( 5 Esercizio.76 ( ) 4/ 5 ) 5, se sono ammesse ripetizioni, nessuna altrimenti. Esercizio.77 Rispettivamente 9/4, 8/4 e 0. Esercizio.78 (a)4/5; (b) ; (c)48/( ). Esercizio.79 (a)4/40; (b) ; (c) (d) (e) ; 8 ; 8. Esercizio.80 (a)(/6) 6 ; (b)6!/6 6 ; (c) ( 6 ) 6 (d) ( 5 ) ; 6 5. Esercizio.8 ne ha Esercizio.8 (a)6!; (b) /; (c) rispettivamente7!,/7. Esercizio.8 4 (a) y i ; i= biologia ha 0080 anagrammi, chimica ne ha 60 e matematica Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

21 DISTRIBUZIONE BINOMIALE 5 b i ; n+ (b) (c) (d) (e) (f) i= k x i ; i=0 n x i ; i=0 4 a i ; i= N (x i y i ) ; i= Esercizio.84 (a)q +q +q +q 4 +q 5 +q 6 ; (b)x +x 0 +x +x +x 4 ; (c)0++ + = 4. Esercizio.85 (a) Segue dalla proprietà associativa della somma; (b) Segue dalla proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto; (c) Segue da (a) e (b). Esercizio.86 Distribuzione binomiale Circa 0.5, 0.6, 0.84, 0.59 rispettivamente. Esercizio.87 Sapendo che il primo figlio è maschio otteniamo circa 0.6, 0, 0.5, rispettivamente. Sapendo che il primo figlio è femmina otteniamo circa 0, 0.7, 0.6, 0.6 rispettivamente. Esercizio Esercizio Esercizio.90 Esercizio Esercizio.9 Almeno 4. Circa 0.4 e 0.68 rispettivamente. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

22 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

23 CAPITOLO Rappresentazioni dei dati Funzioni Esercizio. Dominio= {,,,4,5,6,7,8,9,0,,}, Codominio={rosso, blu}. Si tratta di una funzione, dato che ad ogni elemento del dominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio. Esercizio. (a) Dominio=Insieme di persone, Codominio={destro, mancino, ambidestro}. (b) No. (c) Dominio={,,,4,5,6,7,8,9,0,,}, Codominio= R +. (d) Dominio= {,,,4,5,6,7,8,9,0,,}, Codominio= R + R + (N volte, dove N è il numero di pazienti che hanno transitato nell ospedale in qualche ora del giorno). (e) Dominio={,,,4,5,6,7,8,9,0,,}, Codominio= R +. (f) Dominio= R +, Codominio=[0,]. Esercizio. Dominio= N, Immagine={0,,,, 4}. Esercizio.4 e bigettivo. È iniettivo per ognia 0 e b R. Per questi valori è anche surgettivo Esercizio.5 Si deduce che g è surgettiva, ma non che f lo sia. Considera l esempio in cui f: {0,} {0,,} e g : {0,,} {0} sono date da f(x) = x per ogni x {0,} e g(y) = 0 per ogniy {0,,}. Esercizio.6 Si deduce che f è iniettiva, ma non che g lo sia. Considera l esempio in cui f: {0,} {0,,} e g : {0,,} {0,} sono date da f(x) = x per ogni x {0,} e { y se y {0,}, g(y) = 0 se y =. Esercizio.7 surgettiva. Dai due esercizi precedenti, concludiamo solo che f è iniettiva e g è Esercizio.8 Rappresentano un grafico di funzione (b), (d) ed (f). I restanti non rappresentano un grafico di funzione. Esercizio.9 No. Esercizio.0 Γ è il grafico della funzione f: A B data da f(a) = b a per ogni a A, doveb a è l unico elemento dib tale che(a,b a ) B. Esercizio. (a) Dominio=R, Immagine=[0, ), non iniettiva. (b) Dominio= [, ], Immagine=[0, 9/4], non iniettiva. 7 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

24 8. RAPPRESENTAZIONI DEI DATI (c) Dominio=[, 0) [, ), Immagine=(, ), non iniettiva. (d) Dominio= R\{ }, Immagine=R\{ }, iniettiva. (e) Dominio={,,,4}, Immagine={b,c,d,e}, iniettiva. (f) Dominio= {,,, 4}, Immagine= {a, b, c}, non iniettiva. Esercizio. (a) Sì. (b) No. Esercizio. Esercizio.4 I = [, ). Non sono iniettivef edf 5, infatti sono funzioni pari. Esercizio.5 (a) Falso, considera per esempio f(x) = x per ogni x R. (b) Stesso esempio del punto precedente. Esercizio.6 (a) f g(x) = x 6 60x +8 per ognix R; g f(x) = 4(x x+) per ognix R. (b) f g(x) = (x x+) 4 per ogni x R; g f(x) = x 6 9x + per ogni x R. (c) f g(x) = 9x 6 +9x 8x 4 per ognix R; g f(x) = x 4 5x +8 per ognix R. (d) f g(x) = g f(x) = /x per ognix R\{0}. (e) f g(x) = /(x 6x+0) per ogni x R; g f(x) = ( x )/(x +) per ognix R. (f) f g(x) = /(x +) per ognix R; g f(x) = x 4 + per ognix R\{0}. (g) f g(x) = x/(x ) per ogni x (,0] (, ); g f(x) = x/( x ) per ognix [0,) (, ). Esercizio.7 La relazione mangiato/ucciso da è data da {(erba, erbivori), (erba, onnivori), (erba, altre cause), (erbivori, onnivori), (erbivori, carnivori), (erbivori, altre cause), (onnivori, carnivori), (carnivori, onnivori), (onnivori, altre cause), (carnivori, altre cause)}. Coordinate cartesiane Esercizio Esercizio.9 (, ) appartiene al III quadrante ed ai semipiani sinistro ed inferiore; (0, ) appartiene al semipiano superiore;(, /) appartiene al IV quadrante ed ai semipiani destro ed inferiore; (, ) appartiene al I quadrante ed ai semipiani destro e superiore; (, ) appartiene al I quadrante ed ai semipiani destro e superiore; (, ) appartiene al II quadrante ed ai semipiani sinistro e superiore; (/, /) appartiene al IV quadrante ed ai semipiani destro ed inferiore;(, 0) appartiene al semipiano destro. - Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

25 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI 9 Esercizio.0 (, ) (0, ) (, /) (,) (,) (,) (/, /) (,0) (, ) / 5 85/6 45 (0, ) / /6 + 4 / (, /) 0 5/ 0/ 4/ 85/6 70/ (, ) /6 0 (,) /6 09 (, ) 0 54/6 97 (/, /) 0 985/6 (, 0) Esercizio. Vertici: ( /, /),( /, /),(,0) Vertici: ( /, ), ( /, ), (,0) Esercizio. Con un sistema di riferimento monometrico in cui ogni unità lungo gli assi corrisponde ad cm, il triangolo può essere ottenuto scegliendo come vertici (0, 0), (,0),(, ). Esercizio. Esercizio.4 Equazioni e disequazioni (a) Si traccia la rettay = c, e si determinano le x I per cuif(x) sta sopra tale retta. (b) Si traccia la rettay = c, e si determinano le x I per cuif(x) sta sotto tale retta. (c) Si tracciano le due curve y = f(x) ed y = g(x), e si determinano le x I per cui la prima curva sta sotto la seconda. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

26 0. RAPPRESENTAZIONI DEI DATI Esercizio.5 (a) (b) (c) (d) Esercizio.6 (a) 0 < y < 4, < x < 6. (b) y = 0, 0 < x 4. (c) y. (d) Primo: x 0, y 0; secondo: x 0, y 0; terzo: x 0, y 0; quarto: x 0, y 0. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

27 DIAGRAMMI CARTESIANI (e) x <. (f) x. Esercizio.7 Perk = non ci sono soluzioni, perk c è un unica soluzione. y = f (x) y = f (x) Esercizio.8 y = x y = f (x) y = x y = x (a) (b) (c) f (x) x perx [,]. f (x) x perx [0,] [,+ ). f (x) x per x (,] [,+ ). y = f(x) y = f(x) y = f(x) Esercizio.9 R R R (b) L insiemer è vuoto. (a) (c) R 4 (d) Esercizio.0 S = {(x,y) R x, 0 y f(x)}, S = {(x,y) R 0 x 5, max{,f(x)} y }, S = {(x,y) R x, f(x) y 0}, S 4 = {(x,y) R 4 x 5, 4 y f(x)}. Diagrammi cartesiani Esercizio Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

28 . RAPPRESENTAZIONI DEI DATI Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Istogrammi Esercizio Esercizio Esercizio Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

29 ISTOGRAMMI Esercizio.9 L insetticida è più efficace a una concentrazione di 0 5 ppm Esercizio %. Esercizio Simili Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

30 4. RAPPRESENTAZIONI DEI DATI Esercizio Esercizio.47 Si è verificato un aumento progressivo della natalità fino al 965, successivamente un calo progressivo fino al 985, e quindi la natalità si è mantenuta pressoché costante sino al 005. Esercizio.48 Esercizio.49 Esercizio.50 No. No. Media, mediana e moda Sì, per esempio: 4,,,,,,8. Esercizio.5 (a) 5, 4,,,,,,,4,5. (b),,,4,5,50,60,70,80,90. (c) 50, 40, 0, 0,,,,,4,5. Esercizio C. Esercizio.5 Esercizio.54 Esercizio.55 Esercizio.56 Rispettivamente anni, anni, 4.55 anni anni. No: serve la popolazione femminile nelle 4 aree dell Italia. No. Varianza Esercizio.57 (a)4,5,6,7,8,,,4,5,6; deviazione standard =. (b)0 4,5,6,7,8,,,4,5,0+ 4; deviazione standard = 6. Esercizio.58 Intervallo di variazione = 680; media 709.9; deviazione standard 794.8; varianza 670.9; coefficiente di variazione Esercizio.59 Intervallo di variazione = 49569; media = ; deviazione standard 456.; varianza. 0 0 ; coefficiente di variazione =.86. Esercizio.60 Media.6; mediana = ; deviazione standard.99; varianza.959; coefficiente di variazione Esercizio.6 N individui intervistati = 74; media =.94; mediana = 4; deviazione standard =.405; varianza =.97; coefficiente di variazione Esercizio.6 Media.48; deviazione standard 0.68; varianza ; coefficiente di variazione ; intervallo di confidenza[0.4,.846]. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

31 CAPITOLO 4 Bestiario, I: funzioni algebriche Esercizio 4. (a) Non allineati. (b) Allineati sulla retta y = x. (c) Non allineati. (d) Allineati sulla retta y = x. Funzioni lineari Esercizio 4. f(x) = x + ; la famiglia di funzioni lineari il cui grafico passa per il punto(0,) è{f m (x) = mx+ m R}. Esercizio 4. (a)f(x) = x; (b)f(x) = ; (c)f(x) = x; (d)f(x) = x+; (e)f(x) = x 7; (f)f(x) = x ; (g)f(x) = x; (h)f(x) = ; (i)f(x) = x; (j)f(x) = x+0; (k)f(x) = x+ 4 ; (l)f(x) = x+; (m)f(x) = x. Esercizio 4.4 Nell Esercizio 4., le funzioni in (a), (c), (e), (f), (g), (j) e (k) sono strettamente crescenti. Le funzioni in (b), (d), (i), (l) e (m) sono strettamente decrescenti. Le funzioni in (b) e (h) sono costanti. Esercizio 4.5 Per ogni funzione f dell Esercizio 4. indico, in sequenza, gli insiemi {x R f(x) },{x R f(x) },{x R f(x) > },{x R f(x) < }. (a)[/, );(,/];(/, );(,/); (b) ; R; ; R; (c)[, );(,];(, ); (,); (d)(,/];[/, );(,/);(/, ); (e)[8/, );(,8/];(8/, );(,8/); (f)[, ); (,];(, ); (,); (g)[/, );(,/];(/, );(,/); (h)r; R; ; ; (i)(, ];[, ); (, );(, ); 5 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

32 BESTIARIO, I: FUNZIONI ALGEBRICHE (j)[ 9/, );(, 9/];( 9/, );(, 9/); (k)[, );(, ];(, ); (, ); (l)(,0];[0, ); (,0);(0, ); (m)(, /];[ /, );(, /);( /, ). Esercizio 4.6 Per ogni funzione dell Esercizio 4. indico, in sequenza, il limite per x e perx. (a)+, ; (b), ; (c)+, ; (d),+ ; (e)+, ; (f)+, ; (g)+, ; (h),; (i),+ ; (j)+, ; (k)+, ; (l),+ ; (m),+. Esercizio 4.7 Per ogni funzione dell Esercizio 4. indico, in sequenza, i punti di minimo, il valore minimo, i punti di massimo ed il valore massimo nell intervallo[,0]. (a),,0,0; (b)[,0],,[,0], ; (c), /, 0, 5; (d)0, 0,,4; (e), 0,0,; (f),,0,8; (g),,0,0; (h)[,0],,[,0],; (i)0, 0,,; (j),8,0,0; (k),,0,4/; (l)0, 4,,/; (m)0, 0,,. Esercizio 4.8 (a) (b) Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

33 FUNZIONI LINEARI 7 (c) (d) - (e) Esercizio 4.9 Se m > 0, gli insiemi sono rispettivamente (, y0 q m ), [y0 q m, ) e (, y0 q y0 q m ]. Se m < 0, gli insiemi sono rispettivamente (y0 q m, ), (, m ], e [ y0 q m, ). Se m = 0 e q < y 0, gli insiemi sono rispettivamente R,, e R. Se m = 0 e q > y 0, gli insiemi sono rispettivamente, R e. Se m = 0 e q = y 0, gli insiemi sono rispettivamente,rer. Esercizio 4.0 (a) Sef(b) < y 0, l insieme è vuoto; altrimenti è dato da[c,b], dovec è il minimox [a,b] tale chef(x) y 0. (b) Se f(b) y 0, l insieme è vuoto; Se f(b) < y 0, l insieme è tutto [a,b]; altrimenti è dato da[a,c), dovec è il massimox [a,b] tale chef(x) y 0. (c) Se f(x) > y 0 per ogni x (a, ), l insieme è vuoto; altrimenti, sia c l estremo superiore dell insieme degli x (a, ) tali che f(x) y 0 ; se c <, l insieme è dato da(a,c], altrimenti è dato da tutto(a, ). (d) Sef(b) y 0, l insieme è vuoto; altrimenti è dato da(c,b], dovec è l estremo inferiore deglix (a,b] tale chef(x) y 0. Esercizio 4. P(h) = h+. L immagine richiesta è[a,], dovea Esercizio 4. v(t) = 9.8t. Dopo secondo la velocità è v() = 9.8 metri al secondo. Dopo 0 secondi la velocità è v(0) = 98. metri al secondo. Dopo minuto la velocità è v(60) = metri al secondo. Raggiunge la velocità di 0 metri al secondo dopo circa.09 secondi. Esercizio 4. v(t) =.6t+.. Dopo secondo la velocità èv() =.8 metri al secondo. Dopo 0 secondi la velocità èv(0) = 7.4 metri al secondo. Dopo minuto Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

34 8 4. BESTIARIO, I: FUNZIONI ALGEBRICHE la velocità èv(60) = 98.5 metri al secondo. Raggiunge la velocità di 0 metri al secondo dopo circa secondi. Esercizio 4.4 Per stendere un filo lungo l equatore ad altezza h metri dal suolo, dobbiamo allungare il filo di partenza di π(h ) metri. Esercizio 4.5 Rispettivamente 0.4 mg/m, 5.6 mg/m, 0.8 mg/m (chiaramente il modello ottenuto mediante estrapolazione lineare non dà previsioni attendibili negli anni 00, 00 e 00). Esercizio 4.6 A(l) = 0.l Esercizio 4.7 (a).6 g di mozzarella e g di pollo. (b) 850. Esercizio 4.8 Esercizio 4.9 Esercizio 4.0 Programmazione lineare 0 g del reagente A e 5 g del reagente B, spendendo 95 Euro. 50 Euro. 50 auto. 00 ettari a patate e 700 ettari a grano. Esercizio g, ottenuti mediante la prima reazione usando 5 g del reagente A e 0 g del reagente B, e mediante la seconda reazione usando i grammi restanti di reagenti. Esercizio 4. (a)f(x) = x +4x; (b)f(x) = ; (c)f(x) = 4 x ; (d)f(x) = x 4x+; (e)f(x) = x +; (f)f(x) = x ; (g)f(x) = x +; (h)f(x) = x x+; (i)f(x) = x x; (j)f(x) = 9 x x. Funzioni quadratiche Esercizio 4. Nell Esercizio 4., le funzioni in (c), (d), (f) e (i) hanno concavità rivolta verso l alto. Le funzioni in (a), (e), (g), (h), (j) hanno concavità rivolta verso il basso. La funzione in (b) è costante. Esercizio 4.4 Per ogni funzionef dell Esercizio 4. indico gli insiemi {x R f(x) }, {x R f(x) },{x R f(x) > } e {x R f(x) < }, nell ordine. (a) [ /,+ /]; (, /] [ + /, ); ( /,+ /); (, /) (+ /, ); (b) ; R; ; R; (c) (, ] [, ); [,];(, ) (, ); (,); (d) (, /] [+ /, ); [ /,+ /];(, /) (+ /, );( /,+ /); Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

35 FUNZIONI QUADRATICHE 9 (e) [, ]; (, ] [, ); (, ); (, ) (, ); (f) (, ] [, ); [,];(, ) (, ); (,); (g) {0};R; ; R\{0}; (h) [ + 5, + 5 ];(, + 5 ] [ + 5, );( + 5, + 5 );(, + 5 ) ( + 5, ); (i) (, ] [ +, ); [, + ]; (, ) ( +, ); (,+ ); (j) [0 8,0+ 8]; (,0 8] [0+ 8, ); (0 8,0+ 8); (,0 8) (0+ 8, ). Esercizio 4.5 Per ogni funzione dell Esercizio 4. indico, in sequenza, il limite per x e perx. (a), ; (b), ; (c)+,+ ; (d)+,+ ; (e), ; (f)+,+ ; (g), ; (h), ; (i)+,+ ; (j),. Esercizio 4.6 Per ogni funzione dell Esercizio 4. indico, in sequenza, i punti di minimo, il valore minimo, i punti di massimo ed il valore massimo nell intervallo[, 0]. (a)0, 60,,; (b)[,0],,[,0], ; (c)0,0,0,5; (d),0,0,6; (e)0, 97,0,; (f)0,0,0,00; (g)0, 99,0,; (h) 0, 08, /, 5/4; (i),,0,80; (j){, }, /9, 5, 50/9. Esercizio 4.7 (a){0,}; (b) ; (c){0}; (d){}; (e){, }; (f){0}; (g){, }; (h){,}; (i){0,}; (j){0,0}. Esercizio 4.8 (a) Coefficiente direttore negativo, discriminante positivo. (b) Coefficiente direttore positivo, discriminante negativo. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

36 BESTIARIO, I: FUNZIONI ALGEBRICHE (c) Coefficiente direttore positivo, discriminante nullo. (d) Coefficiente direttore negativo, discriminante negativo. Esercizio 4.9 Rispettivamentef(x) = 5 x x+ e{f a(x) = ax +( a)x+ a R}. Esercizio 4.0 Se a > 0 e ȳ < y 0, le soluzioni sono i punti di (d,d + ). Se a > 0 e ȳ y 0, non ci sono soluzioni. Se a < 0 e ȳ y 0, le soluzioni sono i punti di (,d ) (d +, ). Se a < 0 e ȳ < y 0, ogni punto di R è soluzione. Le costanti d + e d qui menzionate sono definite da d ± = b± b 4a(c y 0 ). a Esercizio 4. Se a > 0 e 0, le soluzioni sono i punti di (,d ) (d +, ). Se a > 0 e < 0, ogni punto di R è soluzione. Se a < 0 e 0, le soluzioni sono i punti di (d,d + ). Se a < 0 e < 0, non ci sono soluzioni. Le costanti d + e d qui menzionate sono definite da d ± = b± b 4ac. a Esercizio 4. No. Considera per esempiof(x) = x, g(x) = x 5. Esercizio 4. (a) (b) (c) Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

37 FUNZIONI QUADRATICHE (d) - (e) - (f) (g) Esercizio 4.4 (a) (b) (c) (d) Esercizio 4.5 f(x) = x. Esercizio 4.6 y = 0x 0. Interseca l assexnei punti(,0) e(,0). Esercizio 4.7 No. Infatti, per ognix 0 abbiamox x ma f(x) = f( x). Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

38 4. BESTIARIO, I: FUNZIONI ALGEBRICHE Esercizio 4.8 (a) Pari. (b) Né pari né dispari. (c) Dispari. (d) Né pari né dispari. Esercizio 4.9 (a)0; (b) ; (c)7/. Esercizio 4.40 (a) h(t) = 40 t + 4 t 0. (b) Occorre confrontare il modello con la situazione (fisica, in questo caso) dell esperimento. Per esempio, se il lancio è avvenuto sul terreno, si deve avere h(t) 0, che accade per 5 ( 7) t 5 (+ 7). Se invece il lancio avviene nel mare (per esempio, da un sottomarino) e l altezza è misurata rispetto al livello del mare, allora sono ammissibili anche altezze negative (e tempi negativi, se il lancio è avvenuto prima dell istante scelto come origine dei tempi). Esercizio 4.4 La superficie (in m ) in funzione della lunghezza (in m) è data da S(l) = 0.5l +0.l+0.0. Può essere realistica, in quanto è ragionevole che al crescere dell elefante la lunghezza della proboscide cresca linearmente mentre la superficie delle orecchie cresca in modo quadratico. Esercizio 4.4 (a) T(t) = 4 t t+ 4. (b) Prima di tutto ci aspettiamo che la temperatura della torta estratta dal forno diminuisca, mentre cresce o rimane costante finché è in forno. In questo caso T(t) decresce per t 5/; quindi o il forno è stato spento.5 minuti prima di togliere la torta dal forno, oppure il modello è realistico solo per t 0. Inoltre, ci aspettiamo che la temperatura della torta non scenda sotto alla temperatura ambiente della cucina; per esempio, se la temperatura della cucina è 0 C, allora ci aspettiamo che T(t) 0. Siccome T(t) < 0 quando t > 5, il modello può rispecchiare il fenomeno solo fino a t = 5. Esercizio 4.4 D(r) = 6 5 r 98 5 r +88. Siccome la quantità di sostanza iniettata è fissata, la densità deve diminuire con l aumentare del raggio (e quindi del volume). La funzione trovata è decrescente solo per r µm, per cui il modello può rispecchiare il fenomeno solo fino a questo raggio. Inoltre, bisogna imporre anche un limite inferiore positivo al raggio; infatti, ci aspettiamo che la densità tenda a+ quando il raggio tende a 0 +, mentred(0) = 88 < +. Una funzione più ragionevole che possa descrivere il fenomeno studiato è una funzione potenza della formaf(r) = a/r. Esercizio 4.44 a = γ ȳ x, b = ȳ γ x e c = γ. Esercizio 4.45 y = ax +, dovea R. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

39 FUNZIONI QUADRATICHE 5 4 Esercizio Esercizio 4.47 (a)f(x) = (x ) ; (b)f(x) = (x+4) ; (c)f(x) = (x ) 4; (d)f(x) = (x+) +. Esercizio 4.48 (a)f(x) = 8 4x ; (b)f(x) = 8 x ; (c)f(x) = 5 0x ; (d)f(x) = 0x ; (e)f(x) = 8x 4x ; (f)f(x) = 8x 7x 66; (g)f(x) = 4x +6x 4; (h)f(x) = 4x +6x 4. Esercizio 4.49 (a)x ± = ± 4 ; (b)x ± = 7±5 6 ; (c)x ± = p± p q; (d)x = 0,x = a; (e)x = 0,x = ( b)/b; (f)y = 0,y = a/; (g)y ± = ± /b; (h)z ± ±.54; (i)z ± = ± 7 ; (j)λ ± = 8± 9 6. Esercizio 4.50 x +(t t/)x t /. Esercizio 4.5 (a)a=+ 5,b = 5; (b)a = k+ k(k 4),b = k k(k 4). Esercizio 4.5 λ > 9/4. Esercizio 4.5 Affinché l area sia massima, i lati devono essere della medesima lunghezza, ovvero 50 m. Nel caso generale, l/4. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

40 4 4. BESTIARIO, I: FUNZIONI ALGEBRICHE Il metodo dei minimi quadrati Esercizio 4.54 (a)y =.x+0.8, CP 0.98, buona interpolazione; (b)y = 0.74x 0.54, CP 0.98, buona interpolazione; (c) y =.0x 0., CP 0.99, buona interpolazione; (d)y =.x+., CP 0.98, buona interpolazione; (e) y =.x, CP , buona interpolazione. Esercizio 4.55 y = 0.06x+., CP Esercizio 4.56 y = 7.5x 47.5, CP Le formule che abbiamo visto negli Esempi 4., 4.0 e 4. forniscono modelli che passano esattamente per i punti forniti dai dati sperimentali, ma cambiano in modo drastico aggiungendo anche un solo dato. La retta di regressione non passa esattamente pr i punti forniti dai dati sperimentali (che del resto non sono mai esatti ma sono sempre soggetti a errore), ma non cambia eccessivamente aggiungendo un dato solo. Esercizio 4.57 y = 0.86x +.8, CP 0.986, i dati sono coerenti con l ipotesi di dipendenza lineare. Esercizio 4.58 La miglior interpolazione lineare è T(t) = 8.t , con CP 0.87, per cui l interpolazione è discreta. Esercizio 4.59 y = 0.47x , CP 0.994, l interpolazione è buona. Esercizio 4.60 La retta di regressione diy in funzione dixèdata day =.x 0., il coefficiente di Pearson è dato da CP 0.99, pertanto l interpolazione è buona. La retta di regressione di x in funzione di y è data da x = 0.47y + 0., il coefficiente di Pearson è dato da CP 0.99, pertanto l interpolazione è buona. Esercizio 4.6 È abbastanza ragionevole supporre una relazione lineare, dato che la retta di regressione di y in funzione di x ha coefficiente di Pearson pari a circa 0.88 (ma vedi l Esercizio 5.). Funzioni polinomiali Esercizio 4.6 Il polinomio di minimo grado passante per i dati è x x + x x. Esercizio 4.6 Rispettivamentef(x) = x /6 x x/6+, ef a (x) = ax x ax+ al variare dia R. Esercizio 4.64 (a) 6 x x x. (b) 8 x(x ). (c) 5 4 x x 5 4 x+. (d) x + 8 x + 4 x. Esercizio 4.65 (a). (b). (c). Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

41 FUNZIONI POTENZA 5 Funzioni potenza Esercizio 4.66 Infatti risulta pari a E 6π r 4, dovee è l energia dell onda emessa dalla nave. Esercizio 4.67 Rispettivamente.5% e %. Esercizio 4.68 Rispettivamente p = 4.7 e.04%. Esercizio 4.69 (a) Dominio=[0, ), immagine=[0, ). (b) Dominio= R\{0}, immagine= R\{0}. (c) Dominio= R\{0}, immagine= (0, ). Esercizio 4.70 (a) Strettamente crescente. (b) Non monotona. (c) Costante (dunque monotona, ma non strettamente). (d) Strettamente crescente. (e) Non monotona. (f) Non monotona. (g) Strettamente crescente. (h) Strettamente decrescente. (i) Crescente, ma non strettamente. Esercizio 4.7 (a) - (b) (c) (d) - (e) - Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

42 BESTIARIO, I: FUNZIONI ALGEBRICHE (f) (g) 0.5 (h) 0.5 (i) Funzioni razionali Esercizio 4.7 Le funzioni con grafico un iperbole equilatera passante per il punto (,) sono tutte quelle della formaf(x) = ax+b cx+d cona+b = c+d e ad bc 0. Se inoltre si haa = 4c+d eb = 6c d allora il grafico passa anche per(,). Un esempio èf(x) = 5x 7 x+. Esercizio 4.7 (a)f(x) = x (b)f(x) = x 4 (c)f(x) = x 4 (d)f(x) = x x +; x+5 +; x ; x +4. Esercizio 4.74 (a)f(x) = x x ; (b)f(x) = x x/ ; (c)f(x) = 0x 0 x ; (d)f(x) = 6x x ; (e)f(x) = x+ x ; (f)f(x) = x+6 x+4 ; (g)f(x) = x 4 x 4 ; (h)f(x) = x 4 x 4. Esercizio (a) x > ; - -4 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

43 LIMITI E CONTINUITÀ 7 5 (b) x > ; -5 5 (c) x < 0 ox > ; -5 5 (d) x < ox > ; -5 5 (e) x < / ox >. -5 Esercizio 4.76 Tende rispettivamente a + ed a b. Esercizio 4.77 (a)+, ; (b),+ ; (c)+,+ ; (d), ; (e),+. Limiti e continuità Indico nell ordine il limite a + e. Esercizio 4.78 lim x 0 ±a/x = lim x 0 ± a /x = a lim x 0 ±/x =. Significato a parole: la funzione a/x con a < 0 diventa arbitrariamente grande quando x è sufficientemente piccolo e negativo, e diventa arbitrariamente negativa quando x è sufficientemente piccolo e positivo. Significato in simboli: M > 0 δ > 0 : 0 < x < δ a/x < M e M > 0 δ > 0 : δ < x < 0 a/x > M. Esercizio 4.79 Esercizio 4.80 Esercizio 4.8 Esercizio 4.8 / sia a + che a. lim x ±f(x) =. lim f(x) = ±, lim f(x) =, x ± x ± lim x ± (a) Singolarità:. Limiti: lim f (x) = ±, lim f (x) = ; x ± x ± f(x) = 0. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

44 8 4. BESTIARIO, I: FUNZIONI ALGEBRICHE (b) Singolarità: ±. Limiti: lim x f (x) =, lim ± x f (x) = ±, lim f (x) = ± x ± 0; (c) Singolarità: ± 8. Limiti: lim x f (x) = ±, lim 8 ± x f (x) = ±, lim f (x) = 8 ± x ± 0; (d) Singolarità:. Limiti: lim f 4 (x) = +, lim f 4(x) = ; x ± x ± (e) Singolarità:,. Limiti: lim f 5 (x) =, lim f 5 (x) = ±, lim f 5(x) = x ± x ± x ± ±. Esercizio 4.8 (a) Singolarità:. Limiti: lim g (x) =, lim g (x) = ; x ± x ± (b) Singolarità:,. Limiti: lim x ±g (x) = +, ; (c) Singolarità: nessuna. Limiti: lim x ±g (x) =, lim g (x) = 0; x ± (d) Singolarità:. Limiti: lim x ±g 4(x) =, lim g 4(x) =. x ± lim g (x) = x ± Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

45 CAPITOLO 5 Bestiario, II: funzioni trascendenti Funzioni esponenziali Esercizio 5. m(t) = 0.6 t/ g. m(4) = g. Esercizio 5. (a) g. (b) g. (c) La produzione annuale mondiale di riso è pari a circa g, per cui servirebbero circa 000 anni per accumulare riso sufficiente a pagare l inventore... la massa della Terra è invece ben maggiore, essendo pari a circa6 0 7 g. Esercizio 5. (a) Segue dal fatto che quandoa > si haa 0 =, lim x a x = + e lim x + a x = 0. (b) Segue da (a) e dal fatto che, postog(x) = x +x, si hag(0) = 0 e lim g(x) = 0. x ± Esercizio 5.4 Grafico: 40 Occorrono 50 minuti. 0 Esercizio Esercizio 5.6 (a) R\{}. (b) x = (con la funzione originale la risposta è x = log 4 ). (c) x < ox > (con la funzione originale la risposta è x < log 4 o x > ). Esercizio 5.7 g(x) = bp x, conb = a(p h ). Esercizio 5.8 Circa persone nel 08, e circa persone nel 08. Esercizio 5.9 Nel 4, dopo 6 anni. Esercizio 5.0 richieste: Funzioni logistiche Indico solo una fra le infinite funzioni che soddisfano le proprietà 9 Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN

46 40 5. BESTIARIO, II: FUNZIONI TRASCENDENTI (a) f(x) = x. (b) f(x) = x. (c) f(x) = x. (d) f(x) = (e x ). (e) f(x) = 7 +e x. (f) f(x) = 4 5 +e x. Esercizio 5. richieste: Indico solo una fra le infinite funzioni che soddisfano le proprietà (a) f(x) = 4( e x )+, restringendone il dominio a R + = [0,+ ). (b) f(x) = ( e x ), restringendone il dominio a R + = [0,+ ). Esercizio 5. Non esistono. Se f è monotona crescente, allora f(x) f(0) < + per ognix < 0, per cui non può avere limite + perx, in quanto quale che sia x negativo f(x) non può essere maggiore di f(0) (e quindi non può diventare arbitrariamente grande). Esercizio 5. Esistono: per esempio,f(x) = e x. Esercizio 5.4 Indico (quando esiste) solo una fra le infinite funzioni che soddisfano le proprietà richieste: (a) f(x) = x ristretta a(,0). (b) Non esiste: se f è monotona decrescente allora f(x) f( ) < + per ogni x [,0), e quindi non può tendere a+ quandox 0. (c) f(x) = x ristretta a(,0). (d) Non esiste. Le ipotesi sui limiti ci dicono che esistonom < M < 0 tali chef(x) > / se x < M o M < x < 0. Inoltre, essendo f continua, ammette un minimo globale L nell intervallo [M,M ], cioè f(x) L per ogni x [M,M ] (vedi la Curiosità 4.). Quindi f(x) min{ /,L} per ogni x (,0), per cui f non può essere surgettiva (la semiretta(,l) non è contenuta nell immagine). (e) Non esiste, per lo stesso motivo del punto precedente. Esercizio 5.5 Una possibile risposta èf(x) = +x +x, ristretta a(,0). Esercizio 5.6 Una possibile risposta èc(x) = 0( e x ) g/l. Esercizio 5.7 Una possibile risposta èm(x) = 00 +(4/) 0 x %. Esercizio 5.8 La funzionee t è sempre positiva, per cuig(x) > 0 sempre. La funzionee t è strettamente crescente, per cuigèstrettamente crescente dove x / lo è, cioè in (, 0]. Per lo stesso motivo, G è strettamente decrescente in[0, + ), e quindi (essendo crescente prima e descrescente poi) ha un punto di massimo in 0. Infine x / tende a quandox ±, ede t tende a 0 quandot, per cuig(x) 0 perx ±. Funzioni logaritmiche Esercizio 5.9 Se esistesse il logaritmoy in basea > 0 di un numero negativox < 0, allora il numero positivoa y dovrebbe essere uguale al numero negativox, impossibile. Esercizio 5.0 (a) log log. (b) log log. Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita, e - McGraw-Hill Education (Italy) s.r.l ISBN