Meccanica. 9. Dinamica del Punto Materiale. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia

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1 Meccanica 9. Dinamica del Punto Materiale Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 22 febbraio 2017

2 Traccia 1. Primo Principio 2. Secondo Principio 3. Massa Inerziale 4. Quantità di Moto 5. Gravitazione e Moti Planetari 6. Problema Fondamentale della Dinamica del Punto Materiale 2

3 Il Primo Principio. Formulazione Classica Detto anche principio di inerzia, descrive il moto di un punto materiale non soggetto a forze. Formulato da Galileo Galilei ( ). Formulazione classica: Qualunque punto materiale, non soggetto ad alcuna forza, o rimane in quiete oppure si muove di moto rettilineo uniforme. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. È stata una fondamentale conquista scientifica, in quanto apparentemente contraddice l esperienza comune: Siamo abituati a pensare che sia necessario esercitare costantemente una forza per mantenere un corpo in movimento (automobile, bicicletta, ecc.). 3

4 Il Moto nella Fisica Pre-Galileiana Leggi diverse per moti di tipo diverso. Aristotele ( a.c.): impostazione errata, ma ritenuta valida per altri 1900 anni, impedendo di fatto lo sviluppo della meccanica. Moti naturali: Moto verso il basso o verso l alto (linea retta). Moto degli astri (circolare). Moti violenti: si credeva che fosse F v. Moto di un carro trainato. Maggiore è la forza applicata, maggiore è la velocità. Lancio di un sasso in direzione orizzontale. Cessata la spinta della mano, si attribuiva all aria la causa di una spinta aggiuntiva che sospinge il corpo in avanti con forza decrescente. 4

5 Il Moto nella Fisica Galileiana Utilizzo del metodo scientifico; Princìpi fondamentali che valgono per tutti i moti. La comprensione del principio di inerzia è stata ostacolata dalla presenza, difficilmente eliminabile, di una forza: la forza di attrito. Per comprendere le caratteristiche del moto in assenza di forze è necessario effettuare esperimenti in condizioni di attrito via via meno intenso ed estrapolarne i risultati alla condizione ideale di assenza della forza di attrito. 5

6 Esperimenti di Galileo: Piano Inclinato Su di un piano inclinato in discesa un punto materiale accelera. Su di un piano inclinato in salita un punto materiale decelera. Cosa accade se il piano è orizzontale? Dovrebbe non accelerare né decelerare, dunque muoversi di moto uniforme (in realtà decelera). accelera decelera (?) 6

7 Esperimenti di Galileo: Piani Orizzontali di Scabrosità Variabile Il punto materiale viene fatto scendere da un piano inclinato e poi continua su di un piano orizzontale scabro. Minore è la scabrosità del piano orizzontale, maggiore è il percorso del punto. Si deduce che la scabrosità del piano è causa del rallentamento. Se il piano fosse assolutamente liscio il punto continuerebbe a muoversi senza rallentare. 7

8 Esperimenti di Galileo: Doppio Piano Inclinato Il punto scende, percorre il tratto orizzontale, poi risale, raggiungendo approssimativamente l altezza iniziale (non la raggiunge esattamente a causa dell attrito). Diminuendo l inclinazione del secondo piano aumenta la distanza orizzontale percorsa. Se il secondo piano è perfettamente orizzontale, l altezza iniziale non può mai essere raggiunta, e, in assenza di attrito, il moto del punto diviene perpetuo. 8

9 Il Punto Materiale non Soggetto a Forze Per studiare il moto di un punto non soggetto a forze occorre eliminare tutte le forze che agiscono su di esso: Forze meccaniche (cordicelle che trainano, molle, ecc.). È sufficiente assicurarsi che non ci siano contatti meccanici. Forze idrostatiche (spinta di Archimede). Assicurarsi che il punto materiale non sia immerso in un liquido. Vincoli: devono essere eliminati. Attrito: devono essere eliminati strisciamenti e fluidi viscosi. Forze di interazione: devono essere eliminate cariche elettriche e magneti. Occorre inoltre allontanarsi dalla Terra e da altri corpi celesti. 9

10 Il Punto Materiale non Soggetto a Forze (II) Fatto questo, abbiamo eliminato tutte le forze? NO! Esiste un altro tipo di forza: Viaggiando in automobile, quando freniamo, ci sentiamo sospinti in avanti. Quando curviamo ci sentiamo sospinti all esterno della curva. Le forze che ci sospingono in avanti quando freniamo o all esterno quando curviamo: Non sono dovute né a una molla, né a un filo che tira, né a un vincolo, né a un fluido, né all attrito, né alla gravità, neppure all elettromagnetismo. Esistono nel SdR dell automobile, ma non nel SdR della strada. Sono dette Pseudo-Forze (o Forze Inerziali o Forze Apparenti, o Forze Fittizie o ancora Forze di d Alambert). 10

11 Il Punto Materiale non Soggetto a Forze (III) Esempi di Pseudo-Forze Quando ci troviamo su di un automobile che frena (accelerazione opposta alla velocità, quindi diretta indietro) ci sentiamo sospinti in avanti (rispetto all automobile): Osservatore a terra: non c è nessuna forza in avanti; Il passeggero tenderebbe a mantenere la stessa velocità mentre l auto diminuisce la propria velocità. Il passeggero tenderebbe quindi a uscire dall auto in avanti sfondando il parabrezza; Tuttavia il passeggero è rallentato dalla forza indietro esercitata dall attrito del sedile, dalle mani afferrate al volante o a una maniglia o dal vincolo della cintura di sicurezza. Osservatore sull auto: è presente anche una pseudo-forza in avanti: Essa non produce moto in quanto è equilibrata dalla forza indietro esercitata dall attrito del sedile, dalle mani afferrate al volante o a una maniglia o dal vincolo della cintura di sicurezza. 11

12 Il Punto Materiale non Soggetto a Forze (IV) Esempi di Pseudo-Forze Quando ci troviamo su di un automobile che curva (accelerazione centripeta, verso il centro della curva) ci sentiamo sospinti (rispetto all automobile) verso l esterno della curva: Osservatore a terra: non c è nessuna forza verso l esterno della curva: Il passeggero tenderebbe a proseguire in linea retta mentre l auto devia dalla linea retta verso l interno della curva. Il passeggero tenderebbe quindi a uscire dall auto lateralmente sfondando lo sportello esterno alla curva; Tuttavia il passeggero è trattenuto dalla forza centripeta (verso il centro della curva) esercitata dall attrito del sedile, dalle mani afferrate al volante o a una maniglia o dal vincolo della cintura di sicurezza. Osservatore sull auto: è presente anche una pseudo-forza verso l esterno della curva (pseudo-forza centrifuga): Essa non produce moto in quanto è equilibrata dalla forza centripeta (verso l interno della curva) esercitata dall attrito del sedile, dalle mani dalle mani afferrate al volante o a una maniglia o dal vincolo della cintura di sicurezza. 12

13 Il Punto Materiale non Soggetto a Forze (V) L unica maniera per eliminare le pseudo-forze consiste nel porsi in un SdR in cui esse non siano presenti Nel caso dell automobile che frena o che curva occorre porsi nel SdR della strada. Chiamiamo Sistema di Riferimento Inerziale un SdR in cui non sono presenti pseudo-forze: Nel quale, di conseguenza, un punto materiale non soggetto a forze (forze meccaniche, idrostatiche, vincoli, forze di attrito e forze di interazioni) o è in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme. Ma come possiamo sapere che esista almeno un SdR inerziale? 13

14 Il Primo Principio. Formulazione Moderna L esistenza dei SdR inerziali non è affatto ovvia: Dati molti corpi, molto lontani gli uni dagli altri In modo da annullare le forze meccaniche, idrostatiche, i vincoli, le forze di attrito e le forze di interazione, si può sempre trovare un SdR in cui un corpo qualunque, considerato separatamente dagli altri, sia in quiete o si muove con moto rettilineo uniforme: È sufficiente considerare un SdR animato con lo stesso moto del corpo considerato. Nessuna considerazione logica ci può invece assicurare che esista un unico SdR in cui tutti questi corpi si muovano simultaneamente con moto rettilineo uniforme. Per tale motivo l esistenza di un SdR inerziale è un principio fisico, derivato dall esperienza, ed è l essenza del principio di inerzia. 14

15 Il Primo Principio. Formulazione Moderna (II) Formulazione moderna del Primo Principio della Dinamica: Esiste almeno un Sistema di Riferimento inerziale. Alcuni commenti sull enunciato: Il primo principio della dinamica descrive il moto di un punto materiale in assenza di forze: La formulazione classica pone l enfasi sulle forze di attrito che per parecchi secoli hanno impedito una corretta comprensione dei principi della meccanica: L assenza di forze implica, in particolare, l assenza delle forze di attrito. La formulazione moderna pone l enfasi sulle pseudo-forze: L assenza di forze implica, in particolare, l assenza delle pseudo-forze. Nella formulazione moderna è evidente che il primo principio non è un caso particolare del secondo. 15

16 Sistemi di Riferimento Inerziali Principio di relatività ristretta o speciale : le leggi della fisica hanno la stessa forma in due Sistemi di Riferimento in moto Traslatorio (non rotatorio), Rettilineo (non curvilineo), Uniforme (non vario) l uno rispetto all altro. Segue che, se esiste un SdR inerziale allora ne esistono infiniti: Tutti i SdR in moto traslatorio rettilineo uniforme con velocità arbitraria rispetto al SdR inerziale dato. 16

17 Sistemi di Riferimento Non-Inerziali In un SdR non-inerziale, un punto materiale non soggetto a forze non si muove di moto rettilineo uniforme, perché subisce l accelerazione causata dalle pseudo-forze. Le pseudo-forze che agiscono su di un corpo sono proporzionali alla massa del corpo. Le pseudo-forze non hanno origine dall interazione con un altro corpo e non diminuiscono allontanandosi da altri corpi. 17

18 Sistemi di Riferimento Approssimativamente Inerziali Un automobile che percorre alla velocità di 10 m/s (36 km/h) una curva di raggio 20 m ha la componente normale dell accelerazione pari a 5 m/s 2 rispetto al SdR Terrestre (fisso rispetto alla superficie terrestre), che possiamo considerare con buona approssimazione inerziale. A causa di tale accelerazione il SdR dell automobile non è inerziale. Tuttavia il SdR Terrestre ruota a causa della rotazione della Terra attorno al proprio asse, con accelerazione normale pari a circa 0.02 m/s 2. A causa di tale accelerazione anche il SdR Terrestre non è perfettamente inerziale, anche se si avvicina a un SdR inerziale assai più del SdR dell automobile. 18

19 Sistemi di Riferimento Approssimativamente Inerziali (II) Un SdR geocentrico che non ruota come la Terra, ma ha gli assi puntati verso corpi celesti lontani con movimento trascurabile si avvicina ancora di più a un SdR inerziale. Tuttavia la Terra ruota attorno al Sole, con accelerazione normale pari a circa m/s 2. A causa di tale accelerazione anche il SdR geocentrico non è perfettamente inerziale, anche se si avvicina a un SdR inerziale assai più del SdR Terrestre. Il SdR delle stelle fisse che non orbita come la Terra attorno al Sole, ma ha l origine nel centro del Sole e gli assi puntati verso corpi celesti lontani con movimento trascurabile si avvicina ancora di più a un SdR inerziale. Tuttavia il Sole ruota attorno al centro della Via Lattea, con accelerazione normale pari a circa m/s 2. A causa di tale accelerazione anche il SdR delle stelle fisse non è perfettamente inerziale, anche se si avvicina a un SdR inerziale assai più del SdR Geocentrico. 19

20 Sistemi di Riferimento Approssimativamente Inerziali (III) All epoca di Newton si riteneva che il SdR delle stelle fisse fosse un SdR inerziale. Oggi sappiamo che le stelle fisse non sono del tutto fisse per cui anche nel SdR delle stelle fisse sono presenti pseudo-forze, per quanto di piccola entità. Oggi il concetto di SdR Inerziale non è più legato alle stelle fisse. Il concetto di SdR Inerziale è oggi legato alla semplicità delle leggi fisiche nel riferimento: Un SdR Inerziale è un SdR in cui sono assenti le pseudo-forze. Un SdR si avvicina a un SdR inerziale tanto più quanto più sono trascurabili in esso le pseudo-forze. 20

21 L Origine delle Pseudo-Forze Perché in alcuni SdR le pseudo-forze non sono presenti, mentre in altri esse sono presenti? In fondo, se chiamiamo O x y z un SdR inerziale e Oxyz un SdR che accelera rispetto a O x y z, per il Principio di Relatività: Se è vero che il SdR Oxyz accelera rispetto al SdR O x y z, È parimenti vero che il SdR O x y z accelera rispetto al SdR Oxyz. Perché le pseudo-forze sono assenti in O x y z e non in Oxyz? Non potevano piuttosto essere assenti in Oxyz e non in O x y z? Che cosa ha di speciale il SdR inerziale O x y z affinché in esso non siano presenti le pseudo-forze? 21

22 L Origine delle Pseudo-Forze (II) La risposta di Newton ( ), che oggi sappiamo essere sbagliata, fu che il SdR inerziale è privilegiato in quanto si trova in quiete (o in moto traslatorio rettilineo uniforme) rispetto a un presunto spazio assoluto o etere : Per Newton le pseudo-forze hanno origine da un accelerazione rispetto al presunto spazio assoluto. Contrariamente a Newton, Mach ( ) era fortemente convinto che lo spazio assoluto non esistesse: Ipotizzò che le pseudo-forze avessero origine dall accelerazione media rispetto alla totalità delle masse nell universo; Come conseguenza, un anisotropia della distribuzione della massa nell Universo, dovrebbe causare un anisotropia delle pseudo-forze. 22

23 L Origine delle Pseudo-Forze (III) Nella Teoria della Relatività Generale (Einstein, 1915) la risposta è un evoluzione del punto di vista di Mach: Il SdR inerziale è determinato dai campi gravitazionali locali che hanno origine da tutta la materia dell Universo, vicina e lontana: La materia lontana contribuisce in ritardo per la velocità finita di propagazione delle interazioni; Il SdR inerziale è un SdR in caduta libera nel campo gravitazionale locale: Solidale a un qualunque corpo che si muova sotto l azione del solo campo gravitazionale locale; Tuttavia, una volta che ci si è posti in un SdR inerziale, le leggi del moto non sono più affette dalla distribuzione della massa nell Universo. 23

24 L Origine delle Pseudo-Forze (IV) Il problema dell origine delle pseudo-forze è un problema ancora aperto della Fisica Moderna. Sono stati progettati e realizzati raffinati esperimenti, ma ancora i risultati sperimentali non hanno la precisione sufficiente per dare una risposta definitiva. Si cerca ancora di verificare se un anisotropia della distribuzione della massa nell Universo, causi un anisotropia delle pseudo-forze. 24

25 Il Secondo Principio Secondo Principio della Dinamica, detto anche Legge di Newton o Legge Fondamentale della Dinamica: In un SdR inerziale, un punto materiale, sottoposto a una o più forze F 1,... F n, si muove con accelerazione a, vettorialmente proporzionale alla risultante R = n i=1 Fi di tali forze: R = m a dove m è un coefficiente scalare di proporzionalità (detto massa inerziale) caratteristico del punto materiale considerato e indipendente dalla sua posizione e dal suo stato di moto. Poiché sperimentalmente R e a risultano avere sempre lo stesso verso, segue che m > 0. Se m non fosse costante l espressione R = m a non sarebbe corretta. 25

26 Misura Dinamica della Forza Misura statica della forza: Cordicella e dinamometro: Misura della deformazione di un corpo elastico. Misura dinamica della forza: Se su di un punto materiale, di massa m nota, agisce una forza sconosciuta F, tale forza può essere determinata a partire dalla conoscenza della massa m e dell accelerazione a: F = m a 26

27 Breve Storia dell Unità di Misura della Massa Inerziale L unità di misura della massa nel Sistema internazionale è il chilogrammo (simbolo kg). 1 Il grammo, pari a 1000 di chilogrammo, fu definito nel 1795 come la massa di un centimetro cubo di acqua al punto di fusione (0 C). Poiché gli scambi commerciali spesso riguardano oggetti ben più massivi di un grammo ed essendo un campione costituito di acqua scomodo e instabile, sorse l esigenza di creare un campione più massivo del grammo e basato su di un manufatto metallico. Nella realizzazione del primo prototipo di chilogrammo, nel 1799, si scelse di riferirsi al volume di un litro (ovvero 1 dm 3 ) di acqua nel suo stato di densità più stabile, cioè alla temperatura di 4 C, alla quale la densità dell acqua è massima. Il prototipo, di puro platino, aveva una massa pari alla massa di dm 3 di acqua a 4 C, fu ratificato come Kilogramme des Archives e rimase in vigore per novant anni. 27

28 Breve Storia dell Unità di Misura della Massa Inerziale (II) Dal 1889 il chilogrammo è stato definito come la massa di un nuovo manufatto, denominato International Prototype Kilogram (IPK), costituito di platino-iridio (lega 90%-10%) a forma di cilindro circolare retto, con altezza pari al diametro (per minimizzare la superficie rispetto al volume) ed entrambi pari a mm. Il prototipo è conservato presso il Bureau International des Poids et Mésures a Sèvres, vicino a Parigi. Nell anno 2017 questa definizione di chilogrammo è ancora in vigore. Il campione, a causa dell inevitabile accumulazione di contaminanti sulla superficie, è soggetto a una variazione di massa dell ordine di 1 µg all anno. Il chilogrammo si riferisce quindi alla massa del campione subito dopo il lavaggio, il quale deve essere eseguito con un procedimento ben definito. 28

29 Breve Storia dell Unità di Misura della Massa Inerziale (III) Dal 2018, in seguito alla ridefinizione del sistema internazionale, il chilogrammo sarà invece definito fissando la costante di Planck h, misurata in J s, ovvero in kg m 2 s 1, al valore numerico: h = J s = kg m 2 s 1 per cui il chilogrammo risulta definito come: 1 kg = = h m 2 s = = h c 2 T Cs h c h c 2 T Cs = s 1 2 s = dove c è la velocità della luce nel vuoto e T Cs è il periodo di oscillazione della radiazione elettromagnetica emessa dagli atomi di 133 Cs in una particolare transizione. 29

30 Breve Storia dell Unità di Misura della Massa Inerziale (IV) Si noti che, seguendo questo procedimento si definisce innanzitutto l unità di misura J s = kg m 2 s 1, con la quale si misura il momento angolare e l azione. Successivamente, da questa definizione e dalla definizione di secondo e di metro, si perviene alla definizione di chilogrammo. Il valore numerico kg m 2 s 1 assegnato alla costante di Planck è tale che nel momento in cui si adotta la nuova definizione il chilogrammo differisca dalla massa dell IPK meno di una parte su 10 8 (la massima precisione ottenuta fino a ora nella misura di h), onde garantire la continuità tra le vecchie e le nuove misure di massa. In seguito, un eventuale miglioramento della precisione della misura di h non ne modificherà il valore numerico, bensì renderà più precisa la definizione di chilogrammo. 30

31 Unità di Misura della Forza L unità di misura della forza (e in particolare del peso ovvero della forza-peso) nel Sistema Internazionale è il Newton (simbolo N): Corrisponde alla forza la quale, agendo su di una massa di 1 kg, le imprime un accelerazione di 1 m/s 2. Nel deprecato Sistema Tecnico, invece, la forza si misura in chilogrammi-forza (simbolo kgf): Corrisponde alla forza la quale, agendo su di una massa di 1 kg, le imprime un accelerazione di m/s 2. Conversioni: 1 kgf = N 1 N = kgf 31

32 Densità Si definisce densità la massa per unità di volume: La densità può essere riferita a un volume finito (densità media): ρ m = m V oppure a un volume elementare, cioè infinitesimo (densità puntuale): ρ = dm dv Nel Sistema Internazionale la densità si misura in kg/m 3. 32

33 Dimensioni e Unità di Misura Nel Sistema Internazionale (SI) sono definite 7 unità di misura fondamentali: L unità di lunghezza (L) cioè il metro (m); L unità di tempo (T ) cioè il secondo (s); L unità di massa (M) cioè il chilogrammo (kg); L unità di intensità di corrente elettrica (I) cioè l Ampère (A). L unità di temperatura (Θ) cioè il kelvin (K); L unità di quantità di materia (N) cioè la mole (mol); L unità di intensità luminosa (J) cioè la candela (cd); Tutte le altre unità di misura si dicono derivate, in quanto sono espresse in termini delle 7 unità fondamentali. 33

34 Dimensioni e Unità di Misura (II) Esempi di grandezze derivate: Grandezza Dimensione SI Unità SI Simbolo Velocità [v] = LT 1 metro al secondo m/s Accelerazione [a] = LT 2 metro al secondo quadrato m/s 2 Forza [F ] = [ma] = MLT 2 newton N = kg m/s 2 Densità [ρ] = [ ] m V = ML 3 chilogrammo per metro cubo kg/m 3 Quantità di moto [Q] = [mv] = MLT 1 chilogrammo metro al secondo kg m/s Pressione [p] = [ ] F S = ML 1 T 2 pascal Pa = N/m 2 Lavoro, energia [W ] = [F s] = ML 2 T 2 joule J = N m Potenza [P ] = [ ] W t = ML 2 T 3 watt W = J/s 34

35 Massa e Peso In assenza di aria, tutti i corpi, in prossimità della superficie terrestre, cadono con la medesima accelerazione pari a circa: g = m/s 2 : Varia lievemente, in realtà, da luogo a luogo, in relazione alla latitudine, all altitudine, ecc. Per il II principio della dinamica F = m a, e dunque, in particolare per quanto riguarda la forza peso (detta anche semplicemente peso): F p = F p = m g = mg Dunque, essendo l accelerazione di gravità indipendente dalla massa dei corpi, segue che il modulo della forza peso è proporzionale alla massa. 35

36 Massa e Peso (II) Ricordiamo tuttavia che la massa è uno scalare mentre il peso (o forza-peso) è un vettore applicato. Inoltre la massa di un corpo è la stessa ovunque, a qualunque latitudine, sulla Terra come sulla Luna. Il peso, invece, varia con l accelerazione gravitazionale g, dunque varia lievemente con la latitudine e sulla Luna è circa 1 6 del peso sulla Terra: Un grave che ha massa 60 kg sulla Terra, ha massa 60 kg anche sulla Luna. Lo stesso grave ha peso 588 N (cioè 60 kgf) sulla Terra a 45 di latitudine, ma ha peso circa 100 N (cioè 10 kgf) sulla Luna. 36

37 Quantità di Moto e Impulso Si definisce quantità di moto Q di un punto materiale il prodotto: Q = m v Per un sistema materiale qualsiasi (costituito da n punti materiali) è invece la somma vettoriale: n Q = m i v i i=1 Derivando rispetto al tempo l espressione per il punto materiale, si ottiene: Q = d dt d v (m v ) = m dt + dm dm v = m a + dt dt v 37

38 Quantità di Moto e Impulso (II) Se la massa m è costante, si ha: dm dt = 0 d dm Q = (m v ) = m a + v = m a dt dt Per cui il secondo principio della dinamica si può scrivere: R = Q (II principio Legge di Newton) In realtà questa espressione è più generale dell espressione R = m a e vale anche nel caso in cui la massa m varia nel tempo. 38

39 Quantità di Moto e Impulso (III) Se integriamo la relazione R = Q rispetto al tempo nell intervallo [t1, t 2 ], otteniamo: F = d Q dt t 2 t 1 F dt = t 2 t 1 d Q dt dt = î Q ó t2 t 1 = Q (t 2 ) Q (t 1 ) Si definisce impulso di una forza F nell intervallo di tempo [t 1, t 2 ], la quantità: I Ä F, [t1, t 2 ] ä t 2 = t 1 F dt 39

40 Quantità di Moto e Impulso (IV) La precedente relazione: I Ä F, [t1, t 2 ] ä = Q (t 2 ) Q (t 1 ) è detta Teorema dell Impulso. L impulso della forza risultante agente su di un punto materiale, relativo a un dato intervallo di tempo, è uguale alla corrispondente variazione della sua quantità di moto. 40

41 Quantità di Moto e Impulso (V) Il Colpo di un Martello Applicazione del Teorema dell Impulso: t2 I Ä F, [t1, t 2 ] ä = F dt = Q (t2 ) Q (t 1 ) t 1 A parità di variazione di quantità di moto (da un istante prima a un istante dopo il colpo): Se l acciaio è più rigido, e dunque si deforma di meno, l urto (cioè il contatto) dura per un intervallo di tempo minore e perciò la forza esercitata è maggiore. Un martello di piombo, che si deforma molto, esercita una forza piccola nel colpire. Acciaio meno rigido Acciaio più rigido 41

42 Leggi di Keplero Le forze gravitazionali, con cui tutti i corpi si attraggono l un l altro, furono studiate dapprima con misura dinamica e soltanto oltre un secolo più tardi con misura statica. Il moto dei pianeti, osservato con grande precisione e riferito alle stelle fisse (descrizione più semplice) fu riassunto da Keplero in 3 leggi empiriche (cioè leggi descrittive, che riassumono l osservazione). Dalle caratteristiche del moto dei pianeti, riassunte dalle leggi di Keplero, ricavando l accelerazione e dunque effettuando una misura dinamica della forza, Newton fu in grado di ricavare una legge assai più generale (Legge della Gravitazione Universale). 42

43 Leggi di Keplero (II) Le leggi di Keplero descrivono soltanto il moto dei pianeti e di altri corpi in orbita. La legge di Newton contiene le leggi di Keplero ma descrive, per esempio, anche il moto di un sasso che cade sulla Terra lungo la verticale, o il peso di un corpo in quiete. Leggi di Keplero: 1. I pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi (N.B.: le orbite giacciono su di un piano). 2. La velocità areolare dei pianeti rispetto al Sole è costante. 3. I quadrati dei tempi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle ellissi corrispondenti. 43

44 Forze Centrali Dalla seconda legge di Keplero si trova che la forza F SP che il Sole esercita sui pianeti è una forza centrale: Ovvero una forza diretta lungo la congiungente Sole-pianeta r SP. Infatti, per la costanza della velocità areolare, risulta: 1 2 r SP v P = A cost. per cui, derivando membro a membro rispetto al tempo, si ottiene: 1 2 v P v }{{ P + 1 } 2 r SP a P = 0 r SP a P = 0 r SP a P 0 Perciò la forza F SP = m P a P, avendo la stessa direzione dell accelerazione, è anch essa diretta come il vettore posizionale r SP. F SP r SP 44

45 Legge di Gravitazione Universale Dipendenza dalla Distanza Dalla prima e seconda legge di Keplero si trova anche che la forza F SP che il Sole esercita sui pianeti ha modulo inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Conviene utilizzare le coordinate cilindriche (r, ϕ, z) e la base di versori cilindrica {î r, î ϕ, ˆk}. L equazione dell ellisse di semiassi α (maggiore) e β (minore) ed eccentricità e si scrive, in coordinate cilindriche: r (ϕ) = α ( 1 e 2) 1 e cos ϕ e i 3 parametri α, β ed e sono legati dalla relazione: α 2 Ä 1 e 2ä = β 2 45

46 Legge di Gravitazione Universale (II) Dipendenza dalla Distanza Per la seconda legge di Keplero la velocità Areolare A è costante, per cui è costante anche il suo modulo A: 1 2 r2 ϕ = A cost. Inoltre, durante un periodo T del moto di rivoluzione, l area T A spazzata dal vettore posizionale r SP è pari all area dell intera ellisse, pari a παβ: T A = παβ T 1 2 r2 ϕ = παβ Ricaviamo quindi: r 2 ϕ = 2π T αβ ϕ = 2π T αβ r 2 46

47 Legge di Gravitazione Universale (III) Dipendenza dalla Distanza Determiniamo ora la componente azimutale a ϕ = 2ṙ ϕ + r ϕ dell accelerazione. Dalla relazione r 2 ϕ cost., derivando membro a membro rispetto al tempo, otteniamo: d ( r 2 ϕ ) = 0 2 r ṙ ϕ + r 2 ϕ = r (2 ṙ ϕ + r ϕ) = r a ϕ = 0 dt quindi, essendo r 0: a ϕ = 0 come ci attendevamo, trattandosi di una forza centrale e considerando la base cilindrica con origine in S. 47

48 Legge di Gravitazione Universale (IV) Dipendenza dalla Distanza Determiniamo ora la componente radiale a r = r r ϕ 2 dell accelerazione. Il secondo termine si scrive: Å ã 2π r ϕ 2 αβ 2 = r T r 2 = 4π2 α 2 β 2 T 2 r 3 Determiniamo ora il primo termine r a partire dall equazione dell ellisse: r (ϕ) = α ( 1 e 2) 1 e cos ϕ Derivando rispetto al tempo: ṙ = α ( 1 e 2) (1 e cos ϕ) 2 e (sin ϕ) ϕ = r 2 α (1 e 2 e (sin ϕ) ϕ = ) = r 2 ϕ e sin ϕ α (1 e 2 ) = 2π T αβ e sin ϕ α (1 e 2 ) 48

49 Legge di Gravitazione Universale (V) Dipendenza dalla Distanza Derivando nuovamente rispetto al tempo, otteniamo: r = 2π T αβ e cos ϕ α (1 e 2 ϕ = 2π ) T αβ e cos ϕ 2π αβ α (1 e 2 ) T r 2 = = 4π2 α 2 β 2 T 2 r 2 e cos ϕ α (1 e 2 ) La componente radiale dell accelerazione vale quindi: a r = r r ϕ 2 = 4π2 α 2 β 2 ñ e cos ϕ T 2 r 2 α (1 e 2 ) + 1 ô = r = 4π2 α 2 β 2 ñ e cos ϕ T 2 r 2 α (1 e 2 ) + 1 e cos ϕ ô α (1 e 2 = ) ( 1 e 2 ) = 4π2 α 2 β 2 1 T 2 r 2 α (1 e 2 ) = α 2 α 2 4π2 T 2 r 2 α (1 e 2 ) = α 3 4π2 T 2 r 2 dove abbiamo utilizzato la relazione β 2 = α 2 ( 1 e 2). 49

50 Legge di Gravitazione Universale (VI) Dipendenza dalla Distanza Otteniamo quindi: a r = 4π2 α 3 T 2 r 2 Infine dall espressione nella base cilindrica a = a r î r + a ϕ î ϕ + a z ˆk possiamo determinare il vettore accelerazione a P del pianeta: a P = 4π2 T 2 α 3 r 2 îr e la forza F SP = m P a P che il Sole esercita sul pianeta. F SP = m P 4π 2 T 2 α 3 r 2 îr Come si può osservare, tale forza ha modulo inversamente proporzionale al quadrato della distanza. 50

51 Legge di Gravitazione Universale (VII) Dipendenza dalla Massa Nell espressione: F SP = m P 4π 2 T 2 α 3 r 2 îr = m P k r 2 SP il fattore k = 4π2 α T 3 contiene il rapporto tra il cubo del semiasse 2 maggiore α dell ellisse e il quadrato del tempo di rivoluzione T, che, per la terza legge di Keplero (T 2 α 3 ) è lo stesso per tutti i pianeti. Per il III Principio della Dinamica, che introdurremo più avanti, la forza che il Sole esercita sul pianeta è opposta alla forza che il pianeta esercita sul Sole. Poiché la forza è proporzionale alla massa del pianteta m P, per considerazioni di simmetria, deve essere anche proporzionale alla massa del Sole m S. La costante k deve quindi contenere la massa del Sole m S. Potremo quindi scrivere: k = γ m S ˆr SP 51

52 Legge di Gravitazione Universale (VIII) Universalità Otteniamo quindi la legge: F SP = γ m P m S rsp 2 ˆr SP Newton suppose che questa forza attrattiva si esercitasse non soltanto tra Sole e pianeti, ma anche tra qualunque coppia di corpi materiali. F 12 = γ m 1 m 2 r 2 12 ˆr 12 = γ m 1 m 2 r 3 12 Legge di Gravitazione Universale (Newton): Qualsiasi punto materiale P 1, di massa m 1, esercita su qualunque altro punto materiale P 2, di massa m 2, una forza attrattiva diretta lungo la congiungente dei due punti, di modulo direttamente proporzionale alle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza dei due punti. r 12 52

53 Legge di Gravitazione Universale (IX) Universalità Nella Legge di Gravitazione Universale di Newton: F 12 = γ m 1 m 2 r 2 12 ˆr 12 = γ m 1 m 2 r 3 12 r 12 γ è una costante universale, che dipende soltanto dalle unità di misura:. Nel Sistema Internazionale γ = m 3 kg 1 s 2. La Legge di Gravitazione Universale di Newton è più generale (e più importante) delle leggi di Keplero: Descrive il moto dei pianeti lungo orbite ellittiche; Descrive anche la caduta dei gravi lungo la verticale. Lo studio dinamico di Newton, basato sulle leggi di Keplero, non consentiva tuttavia di determinare la costante γ. Per determinare γ è necessario eseguire una misura statica della forza di attrazione gravitazionale: Tale misura fu eseguita da Cavendish circa 100 anni dopo. 53

54 Esperimento di Cavendish Henry Cavendish ( ) eseguì per la prima volta nel 1798 una misura statica della forza di gravità, con cui fu possibile determinare il valore della costante gravitazionale γ e dedurre una stima della massa terrestre m T, fino ad allora sconosciuta. Filo di torsione: presenta elasticità di torsione: M (u) = k ϕ dove k è detto costante elastica di torsione. Se si torce il filo di un angolo ϕ le forze elastiche generano una coppia di momento assiale M (u). filo di torsione û 54

55 Esperimento di Cavendish (II) Esperimento di Cavendish: manubrio, con due sferette di piombo P 1 e P 2 di massa nota alle estremità, appeso a un filo di torsione (con k noto): Si avvicinano le 2 sfere S 1 e S 2, pure di piombo, di massa nota; Si osserva l angolo ϕ di rotazione del manubrio, da esso si calcola il momento assiale della coppia di forze e si risale alla forza. Ripetendo più volte l esperimento, con masse diverse e distanze diverse, si può determinare la costante gravitazionale γ. filo di torsione û 55

56 Esperimento di Cavendish (III) Conosciuto γ si può determinare la massa della Terra. Poiché la forza peso esercitata su di un punto materiale di massa m sulla superficie della Terra è: F p = m g e per la legge di gravitazione universale si deve avere anche, detto R T il raggio terrestre (la prima misura si deve a Eratostene, 240 a. C.) e m T la massa della Terra: F p = γ m T m ˆR RT 2 T si avrà, di conseguenza: m g = γ m T m R 2 T m T = R2 T g γ kg filo di torsione û 56

57 Massa Inerziale e Massa Gravitazionale La massa inerziale m (i), che compare nel Secondo Principio della Dinamica: F = m (i) a ha un significato concettualmente diverso dal significato della massa gravitazionale m (g), che compare nella Legge di Gravitazione Universale: F 12 = γ m(g) 1 m (g) 2 r12 2 ˆr 12 La massa inerziale m (i) è la resistenza opposta da un corpo sottoposto a una forza a modificare la propria velocità; La massa gravitazionale m (g) è la capacità di un corpo di attrarre altri corpi (massa gravitazionale attiva) o la capacità di un corpo di essere attratto da altri corpi (massa gravitazionale passiva). 57

58 Massa Inerziale e Massa Gravitazionale (II) Non c è ragionamento logico né calcolo matematico che ci consenta di concludere che m (g) m (i). Tuttavia osserviamo che l accelerazione con cui cade un corpo nel vuoto ha modulo: a = F m (i) = 1 m m(g) T γ m(g) (i) RT 2 = γ m(g) T RT 2 m (g) m (i) per cui, se non valesse rigorosamente la proporzionalità m (g) m (i), corpi di massa diversa cadrebbero, nel vuoto, con accelerazione diversa. Poiché, sperimentalmente, questo fenomeno non si osserva, possiamo concludere che m (g) m (i). Se m (g) e m (i) sono misurate con le stesse unità di misura, risulta m (g) = m (i). 58

59 Equazioni Differenziali Ordinarie Sono equazioni nelle quali l incognita è una funzione f (nelle equazioni algebriche l incognita è un numero): f : t x = f(t), f : R R, L equazione coinvolge la funzione f, la variabile indipendente t e le derivate di diverso ordine della funzione f: F t, f (t), f (t), f (t), f... (t),..., (n) f (t) = 0, F : R n+2 R Esempio (oscillatore armonico smorzato e forzato) ẍ (t) + λ m ẋ (t) + k m x (t) F 0 m cos (ω t) = 0 59

60 Equazioni Differenziali Ordinarie (II) I teoremi di Eulero e di Peano-Picard garantiscono, sotto certe condizioni, l esistenza e l unicità della soluzione del problema di Cauchy, ovvero di un equazione differenziale, date le condizioni iniziali: F t, f (t), f (t), f (t), f... (t),..., (n) f (t) = 0, f (t) = x 0,0 f (t) = x 0,1 f (t) = x 0,2 (n 1) f (0) = x 0,n 1 60

61 Forze Dipendenti da Posizione, Velocità e Tempo Esistono forze che dipendono dalla posizione occupata dal punto materiale (forze posizionali), come la forza di gravità, la forza elettrostatica, la forza elastica esercitata da una molla, ecc. Altre forze dipendono dalla velocità del punto materiale, come la resistenza viscosa, la resistenza idraulica, la forza magnetica, ecc. Altre ancora dipendono esplicitamente dal tempo, come quella esercitata dal dispositivo in figura. 61

62 Forze Dipendenti da Posizione, Velocità e Tempo (II) Una dipendenza implicita della forza dal tempo è una dipendenza mediata dalla posizione r e/o dalla velocità v. Essa consiste in: Una dipendenza della forza F dalla posizione r e/o dalla velocità v; Una variazione nel tempo della posizione r o della velocità v. F = F } ( v ) F = F Ä v (t) ä v = v (t) Una dipendenza esplicita della forza dal tempo, invece, non è mediata dalla modificazione della posizione o della velocità nel tempo: F = F (t) Quando la dipendenza dal tempo è esplicita, la forza varia nel tempo anche se posizione e velocità restano invariate. 62

63 Forze Dipendenti da Posizione, Velocità e Tempo (III) Nel caso più generale la dipendenza di una forza dal tempo si può scrivere: F = F Ä r (t), v (t), t ä e la sua derivata totale rispetto al tempo si scrive: df dt = F x dx dt + F dy y dt + F dz z dt + F dv x v x dt + F dv y v y dt + F dv z v z dt }{{} dipendenza implicita + F t }{{} dipendenza esplicita Se la dipendenza F = F ( r, v, t) è nota, dal II principio della dinamica si può calcolare l accelerazione: a = 1 m F ( r, v, t) 63

64 Problema Fondamentale Il problema che consiste nel prevedere il moto di un punto materiale sottoposto a forze conosciute, in un prestabilito Sistema di Riferimento, si chiama problema fondamentale della dinamica del punto materiale. Più precisamente, il problema fondamentale della dinamica del punto materiale consiste, a partire dalla conoscenza delle forze: F = F ( r, v, t) e della posizione e velocità iniziali: r (0) = r 0, v (0) = v 0, nel determinare la funzione vettoriale del moto del punto materiale: r = r (t) 64

65 Problema Fondamentale (II) Nella base cartesiana, il problema fondamentale della dinamica del punto materiale consiste, a partire dalla conoscenza delle forze: F x =F x (x, y, z, v x, v y, v z, t) F y =F y (x, y, z, v x, v y, v z, t) F z =F z (x, y, z, v x, v y, v z, t) e della posizione e velocità iniziali: x (0) = x 0 ẋ (0) = v 0x y (0) = y 0, ẏ (0) = v 0y z (0) = z 0 ż (0) = v 0z nel determinare la funzione vettoriale del moto del punto materiale: x = x (t) y = y (t) z = z (t) 65

66 Problema Fondamentale (III) Per affrontare il problema, si utilizza il Secondo Principio della Dinamica F = m a per ricavare l accelerazione: F = F Ä r (t), v (t), t ä a = 1 m F Ä r (t), v (t), t ä e si ottiene così, nella base cartesiana: ẍ (t) = 1 m F Ä ä x x (t), y (t), z (t), ẋ (t), ẏ (t), ż (t), t ÿ (t) = 1 m F Ä ä y x (t), y (t), z (t), ẋ (t), ẏ (t), ż (t), t z (t) = 1 m F Ä ä z x (t), y (t), z (t), ẋ (t), ẏ (t), ż (t), t Si tratta di un sistema di 3 equazioni differenziali del II ordine le cui incognite sono le 3 funzioni: x = x (t) y = y (t) z = z (t) 66

67 Problema Fondamentale Caso Unidimensionale Nel caso particolare in cui il punto materiale sia si muova lungo una retta si ha una sola equazione del II ordine, con due condizioni iniziali. Scelta, come asse x, la retta lungo la quale si muove il punto materiale, si ottiene: ẍ (t) = 1 m F Ä ä x x (t), ẋ (t), t { x (0) = x0 ẋ (0) = v 0x 67

68 Problema Fondamentale Caso Unidimensionale Forza Indipendente dalla Posizione Nel caso ancor più particolare di un punto materiale che si muove lungo una retta, soggetto a una forza indipendente dalla posizione, il sistema diviene: ẍ (t) = 1 m F Äẋ ä x (t), t { x (0) = x0 ẋ (0) = v 0x e si può ridurre a una sola equazione differenziale del I ordine in v x = ẋ: v x (t) = 1 m F Ä x vx (t), t ä v x (0) = v 0x Determinata v x (t), la funzione del moto si ottiene per integrazione diretta: t x (t) = x (0) + 0 v x (t) dt 68

69 Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia domenico.galli@unibo.it