Esercizi 11: Calcolo Integrale Integrali indefiniti. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, verificando i risultati indicati.

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Arnoldo Brunelli
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1 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. /4 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi : Calcolo Integrale Integrali indefiniti. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, verificando i risultati indicati. d Esercizio. = +c = +c Esercizio. d = +c = +c Esercizio. ( )d = c Esercizio 9. Esercizio. Esercizio. Esercizio. ( 5 5 sin+ 9 ( 4 cos 6 + +e ) 4 ) d = 5 6 (+) 7 d = 6 (+)8 +c ( +) d = 8 ( +) 4 +c sin cosd = sin +c d = ( ) +c sin cos 4 d = 5 cos5 +c ( ) ( ) d = 4 ( ) 4 +c ( +) 4 +d = ( 4 +) +c cos+9 ln +c d = 4 sin 6arctg +e + +c Esercizio. d = ( ) +c

2 Esercizio 9. Esercizio. Esercizio. Esercizio. Esercizio. 4+ d = 8 (4+ ) 4 +c + d = ++c 9 d = 9 +c + d = ln + +c 6 d = 6 ln 6 +c + d = ln + +c d = ln +4+ +c 6 d = ln 6 +c d = 6 ln +5 +c +5 4 d = ln +c d = +4 ln + +c + e d = e +c e d = e +c e d = e +c e +4 d = e +4 +c Integrali di funzioni razionali fratte. Calcolare i seguenti integrali, verificando i risultati indicati. 6 Esercizio. d = ln + ln 4 +c 8

3 4 Esercizio. d = ln + ln +c + +7 Esercizio. d = ln ln +c d = 9 4 ln 4 ln + +c + +5 d = ln( +5)+ 5 arctg 5 +c 5+4 d = ln 4 ln +c d = ln( ++4)+ 8 ( ) (+) arctg +c d = (+) +c Integrali per sostituzione. Calcolare i seguenti integrali per sostituzione, verificando i risultati indicati (tra parentesi si trova a volte indicata la sostituzione più conveniente). Esercizio. + d = arctg +c ( = t) Esercizio. Esercizio. +) e tg cos d = etg +c +e d = ln(+e )+c (t = e ) sin 4 cos d = 5 sin5 7 sin7 +c (sin = t) d = arctg +c + d = 64 (+)8 (+)5 + 6 (+) +c (t = (ln d = arctg(ln+)+c +4ln+5)

4 4 Regola di integrazione per parti. Calcolare i seguenti integrali per parti, verificando i risultati indicati. Esercizio. cosd = sin+cos+c Esercizio. Esercizio. Esercizio 9. Esercizio. Esercizio. Esercizio. Esercizio. lnd = ln 4 +c lnd = ln 9 +c e d = e e +c e d = e 4 e +c e d = e (+)+c e d = e ( +6 6)+c cosd = sin+ cos sin+c sind = cos+ sin+ cos+c cos d = sin cos+ +c arctg d = arctg + arctg +c e sind = e (sin cos)+c e cosd = e (sin+cos)+c e cosd = 5 e (sin+cos)+c Integrali definiti. Calcolare i seguenti integrali definiti, verificando i risultati indicati. Esercizio. ( +4)d = 6

5 5 Esercizio. Esercizio. Esercizio 9. Esercizio. Esercizio. Esercizio. Esercizio. π π 4 π π π π/6 ( +)d = e + d = e 4 e 5 5 d = 6 sind = ( +)d = 4 (+4) cosd = 5 π ( ) sind = π 6 + π/6 π 4 5 (+) sind = π + 5 ( 6) cosd = π 4+ (+) sind = 4 ln(+ )d = ln + π e d = 9 9 e e 4 d = e8 ln(+5)d = 6 ln6 5 ln( )d = + ln

6 6 Esercizio 9. Esercizio. Esercizio. Esercizio. Esercizio ln( 4)d = ln ln( 5)d = 4 ln4 ln(+6)d = 7 ln7 6 ln( )d = [ ln( ) ] = ln( ) = = ln d = 6 ln 9 ln 9+ + d = 7 ln 8 d = 5 ln 4 7 d = 7 ln6 4 d = ln 4+4 +c d = ln c ++5 d = ln d = ln Esercizio d = ln( +9)+ ( arctg Esercizio. d = ln π + 4 ) +c Integrali generalizzati. Calcolare i seguenti integrali generalizzati, verificando i risultati indicati. Esercizio. + d diverge +

7 7 Esercizio. Esercizio. + π π 4 4 Esercizi stile esame. cos d indeterminato 6 d = 5 ln6 (ln+)d = 4 d = 5 sin cos d = 6 d diverge Esercizio. Dopo aver calcolato 4 d, spiegare la differenza tra i tre seguenti integrali: 4 d, Esercizio. Studiare la funzione 4 d, 4 d. f() = ln () fino alla derivata seconda e tracciarne il grafico. Indicare gli eventuali punti di minimo, di massimo (sono relativi o assoluti?) e di flesso. Facendo riferimento alla funzione precedente a) determinare la primitiva di f() che in = vale. b) fornire un esempio di integrale indefinito, definito e generalizzato di f()(per questo punto si spieghi la differenza tra i tre integrali aiutandosi, quando è possibile, con il grafico della funzione).

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