Equilibrio di mercato e analisi di statica comparata

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1 CAPITOLO 1 Equilibrio di mercato e analisi di statica comparata Esercizio 1.1. Si consideri un mercato per un determinato bene. La curva di offerta delle imprese è Q S = 60 + p, quella di domanda dei consumatori Q D = 100 4p. (i) Determinare la configurazione di equilibrio del mercato. (ii) Calcolare l elasticità di domanda ed offerta in corrispondenza del prezzo di equilibrio. (iii) Supponiamo che le imprese attuino una campagna pubblicitaria che porta alla nuova curva di domanda Q D = 160 4p; si determini l effetto della campagna pubblicitaria sulla configurazione di equilibrio. Soluzione. (i) Per configurazione di equilibrio del mercato si intende la combinazione (p, Q) di prezzo di mercato e quantità scambiata che soddisfa la seguente proprietà: la quantità scambiata corrisponde sia alla quantità che i compratori decidono di acquistare sia alla quantità che i venditori decidono di vendere. In altri termini una configurazione di mercato è di equilibrio se al corrispondente prezzo di mercato le decisioni di compratori e venditori risultano compatibili. L equilibrio del mercato si ottiene, pertanto, dalla soluzione del sistema di equazioni seguente: Q D = 100 4p Q S = 60 + p Q D = Q S La prima equazione e la seconda descrivono il comportamento di compratori e venditori, rispettivamente; sostituendole nella terza, che descrive la condizione di compatibilità delle decisioni, possiamo scrivere: Q D = 100 4p Q S = 60 + p 100 4p = 60 + p Dalla terza equazione si ricava, pertanto: p = = Il ruolo del prezzo, come risulta da questa equazione, è quello di mettere d accordo compratori e venditori; il prezzo di equilibrio è p = 8. La corrispondente quantità scambiata è Q = Q D = Q S = 68. (ii) L elasticità (puntuale) di domanda ed offerta è definita da: e D p = QD /Q D p/p e S p = QS /Q S p/p cioè misura l intensità (relativa) della variazione di domanda (offerta) rispetto alle variazioni del prezzo di mercato. Possiamo scrivere l espressione precedente in questo modo: e D p = QD p p Q D 1 e S p = QS p p Q S

2 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA Pertanto: e D p = = 8/17 es p = 8 68 = /17 In corrispondenza del prezzo di equilibrio i compratori sono più reattivi dei venditori. (iii) L equilibrio del mercato si ottiene ora dalla soluzione del sistema di equazioni: Q D = 160 4p Q S = 60 + p Q D = Q S Sostituiamo le prime due equazioni nella terza, quella che definisce la condizione di compatibilità delle decisioni: Q D = 160 4p Q S = 60 + p 160 4p = 60 + p Dalla terza equazione si ricava il nuovo prezzo di equilibrio: p = = mentre dalle prime due si ricava la quantità scambiata: Q = Q D = Q S = 80 L effetto della spesa pubblicitaria sull equilibrio di mercato è rappresentato in termini geometrici nella figura 1. Figura 1 La spesa pubblicitaria determina un aumento di domanda, a parità di prezzo; l effetto sull equilibrio del mercato è un aumento della quantità scambiata ed un aumento di prezzo. Esercizio 1.. Il mercato dei veicoli fuoristrada è servito da produttori americani e giapponesi. La curva di offerta delle imprese americane è Q S A = p, quella delle imprese giapponesi è Q S G = p. Sia QD = p la curva di domanda del mercato. Supponiamo che vengano introdotte misure protezionistiche che impediscono alle imprese giapponesi di entrare sul mercato. Si determini l equilibrio prima e dopo le misure protettive.

3 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA 3 Soluzione. La curva di offerta aggregata è ottenuta sommando l offerta di automobili che proviene dalle imprese americane e quella che proviene dalle imprese giapponesi; pertanto: Q S = Q S A + Q S G = p p Quindi: Q S = p L equilibrio del mercato è definito dalla soluzione del sistema di equazioni: Si ricava che: Q D = p Q S = p Q D = Q S Q D = p Q S = p p = p Dall ultima equazione ricaviamo che il prezzo di equilibrio è: p = = 60 La quantità scambiata di automobili risulta: Q = 000 In particolare Q S A = = 1350 è l offerta che proviene dalle imprese americane mentre Q S G = = 650 è quella che proviene dalle imprese giapponesi. Se vengono adottate misure protezionistiche che impediscono l entrata delle imprese giapponesi sul mercato la curva di offerta è rappresentata da Q S = Q S A = p e quindi la configurazione di equilibrio del mercato soddisfa il seguente sistema di equazioni: cioè: Il nuovo prezzo di equilibrio è: Q D = p Q S = p Q D = Q S Q D = p Q S = p p = p p = = 70 mentre la quantità scambiata risulta ora pari a: Q = Q D = Q S = 1500 tutta di provenienza dalle imprese americane. La situazione è rappresentata, geometricamente, nella figura.

4 4 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA Figura La politica protezionistica, come si vede dalla figura, ha l effetto di ridurre l offerta di automobili sul mercato statunitense; la conseguenza è un aumento del prezzo di equilibrio dei veicoli fuoristrada. Esercizio 1.3. Si consideri un mercato perfettamente concorrenziale. Siano Q d = 10 4p la curva di domanda e Q s = p 4 la curva di offerta. (a) Si determini l equilibrio del mercato. (b) Supponiamo che il governo introduca un imposta di 3 euro per unità di merce scambiata: i) si determini l entrata complessiva per il governo; ii) si determini l effetto dell imposta sul beneficio dei consumatori. Si commenti. Soluzione (a) L equilibrio del mercato è definito dalla combinazione di prezzo unitario della merce e quantità scambiata che soddisfa il seguente sistema di equazioni: Q d = 10 4p Q s = p 4 Q d = Q s (1.1a) (1.1b) (1.1c) La (1.1a) definisce il comportamento dei consumatori (curva di domanda), la (1.1b) definisce il comportamento delle imprese (curva di offerta) ed infine la (1.1c) definisce la condizione di compatibilità delle decisioni di consumatori e imprese (equilibrio). Dalla soluzione del sistema (1.1) si ricava: p = 4, Q = 4 (1.) La figura 1 mostra geometricamente la determinazione dell equilibrio del mercato.

5 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA 5 Fig.1 (b-i) L introduzione dell imposta di 3 euro per unità di merce scambiata modifica la configurazione di equilibrio del mercato, che è ora determinata dalla soluzione del sistema di equazioni: Q d = 10 4p Q s = p N 4 p = p N + 3 Q d = Q s (1.3a) (1.3b) (1.3c) (1.3d) Dalla soluzione del sistema si ricava: ˆp = 5, ˆQ = 0 (1.4) e con ˆp N = ˆp 3 = che rappresenta il ricavo netto unitario delle imprese. L entrata per il governo è pertanto: E G = 3 0 = 60 (1.5) Si consideri la figura. Fig. (b-ii) Possiamo avvalerci della figura per determinare l effetto dell imposta sul beneficio dei consumatori. Prima dell introduzione dell imposta il beneficio dei consumatori è definito da: B C = (pd max p ) Q Poichè p d = 30 Q/4 si ricava che p d max = 30 e quindi: B C = (30 4) 4 (1.6) = 7 (1.7)

6 6 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA A seguito dell introduzione dell imposta il beneficio per i consumatori è, sempre applicando la (1.6): B C (30 5) 0 = = 50 (1.8) L introduzione dell imposta di 3 euro per unità di merce scambiata porta ad una diminuzione del beneficio per i consumatori pari a B C = 50 7 =. Esercizio 1.4. Si consideri un mercato in cui Q D = 100 4p è la curva di domanda e Q S = 8 3p quella di offerta. (i) Determinare la configurazione di equilibrio. (ii) Calcolare il beneficio (surplus) totale dei consumatori e delle imprese in corrispondenza della configurazione di equilibrio. (iii) Supponiamo che il Governo introduca un imposta di 5 euro per unità di merce scambiata: (a) si determini l effetto sulla configurazione di equilibrio del mercato e sul corrispondente beneficio (surplus) per consumatori e imprese; (b) si determini come cambiano i risultati del punto precedente se la curva di offerta è p = 15. Soluzione. (i) L equilibrio del mercato si ottiene dalla soluzione del sistema di equazioni: Q D = 100 4p Q S = (8/3)p Q D = Q S Sostituendo le prime due equazioni nella terza equazione, che definisce la condizione di compatibilità delle decisioni, si ricava che: Dall ultima equazione si ricava: Q D = 100 4p Q S = (8/3)p 100 4p = (8/3)p p = = 15 3 mentre dalle prime due equazioni otteniamo, sostituendo p = 15: Q D = Q S = Q = 40 cioè la quantità scambiata in equilibrio. (ii) Per calcolare il surplus o beneficio totale del mercato conviene considerare la formulazione del modello di mercato in termini di funzioni inverse di domanda e di offerta. La funzione inversa di domanda è: p D = 5 Q 4 e definisce il prezzo di domanda, vale a dire il prezzo massimo che i consumatori (compratori) sono disposti a pagare per acquistare una determinata quantità Q del bene. La funzione inversa di offerta è: p S = 3 8 Q e definisce il prezzo di offerta, cioè il prezzo minimo che gli offerenti (le imprese) vogliono realizzare per offrire una determinata quantità Q del bene. Se descriviamo il comportamento dei due lati del mercato in termini di prezzo di domanda e prezzo di offerta allora la condizione di equilibrio, cioè di compatibilità

7 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA 7 delle decisioni, richiede che la quantità scambiata sia quella per la quale prezzo di domanda e prezzo di offerta coincidono. Nel nostro caso abbiamo pertanto: p D = 5 Q/4 p S = 3Q/8 p D = p S Sostituendo le prime due equazioni nella terza si ricava che: 5 Q 4 = 3 8 Q cioè Q = 40. Dalle prime due equazioni si ricava infine p D = p S = 15. La figura 1 rappresenta geometricamente la configurazione di equilibrio del mercato. Figura 1 Il surplus o beneficio totale del mercato è misurato dalla differenza fra la somma massima che i compratori sono disposti a pagare per acquistare una determinata quantità e la somma minima che i venditori vogliono realizzare, per la stessa quantità. La somma massima che i compratori intendono pagare è misurata geometricamente dall area compresa fra la curva del prezzo di domanda e l asse delle quantità; la somma minima che i venditori vogliono realizzare è misurata geometricamente dall area compresa fra la curva del prezzo di offerta e l asse delle quantità. Il beneficio totale è pertanto misurato geometricamente dall area compresa fra le due curve, per la data quantità presa in considerazione; poichè calcoliamo il beneficio totale in corrispondenza della configurazione di equilibrio e poichè consideriamo curve lineari si può dimostrare che il beneficio totale è misurato da: cioè, nel nostro caso: Si consideri la figura. B = (pd max p S min )Q B = 5 40 = 500

8 8 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA Figura La figura mette in evidenza, inoltre, che il prezzo di mercato di equilibrio distribuisce il beneficio totale del mercato fra compratori e venditori. Il beneficio per i compratori è rappresentato dall area: B C = (pd max p )Q e misura la minor spesa che i compratori sostengono, in equilibrio, rispetto alla somma massima che sarebbero disposti a pagare per acquistare la quantità di equilibrio. Con riferimento all esempio numerico abbiamo, pertanto: B C (5 15)40 = = 00 Il beneficio per i venditori è rappresentato dall area: B S = (p p S min )Q e misura i profitti (lordi) per i venditori, cioè il maggior ricavo, in concorrenza, rispetto a quello necessario per indurli a offrire la quantità di equilibrio (Negli esempi che consideriamo gli offerenti vengono identificati con le imprese e quindi la somma minima che vogliono realizzare per offrire una determinata quantità viene identificata con il costo totale di produzione). Nel nostro caso abbiamo: B S = = 300 (iii-a) Se il governo introduce un imposta unitaria, cioè per unità di merce, sulla quantità scambiata la nuova configurazione di equilibrio del mercato deve ora tenere conto del fatto che il prezzo che pagano i compratori va in parte a favore degli offerenti ed in parte al governo, sotto forma di imposta; la configurazione di equilibrio è pertanto determinata dalla soluzione del seguente sistema di equazioni: p D = 5 Q/4 p S = 3Q/8 p Sl = 3Q/8 + 5 p D = p Sl La prima equazione definisce il prezzo di domanda dei compratori. La seconda equazione definisce il prezzo di offerta dei venditori. La terza equazione definisce il prezzo di offerta dei venditori al lordo (cioè comprensivo) dell imposta. L ultima equazione, infine, è la condizione di equilibrio: l equilibrio si ha in corrispondenza

9 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA 9 di una quantità scambiata per la quale il prezzo di domanda dei compratori supera il prezzo di offerta dei venditori in misura pari all imposta. Si consideri la figura 3. Figura 3 Effettuando le opportune sostituzioni possiamo scrivere l ultima equazione del sistema precedente nel modo seguente: 5 Q 4 = 3Q da cui si ricava che la quantità scambiata in equilibrio è ora pari a Q = 3. Il prezzo che, in equilibrio, pagano i compratori (consumatori) si ottiene dalla curva del prezzo di domanda: p D = 5 (3/4) = 17. Il prezzo che, in equilibrio e al netto dell imposta, ricavano gli offerenti si ottiene dalla curva del prezzo di domanda: p S = (3 3)/8 = 1. Il governo si appropria, attraverso l imposta, della differenza fra prezzo di domanda e prezzo di offerta. La conseguenza dell introduzione dell imposta unitaria è quindi un aumento del prezzo di mercato ed una conseguente diminuzione della quantità scambiata (Lo spostamento della curva del prezzo di offerta per tenere conto dell imposta avviene lungo la curva del prezzo di domanda). Quale la conseguenza dell imposta sul beneficio di compratori e venditori? Applicando la misura del beneficio per compratori e venditori introdotta nel punto precedente si ricava che: B C = (5 17) 3 = 18 B S = 1 3 = 19 Inoltre il governo trae un beneficio dagli scambi rappresentato dall entrata dell imposta: Il beneficio totale del mercato è ora: B G = 5 3 = 160 B = B C + B S + B G = = 480 La perdita di beneficio per i compratori è pari a B C = = 7, quella per i venditori B S = = 108. La perdita di beneficio (efficienza) di compratori e venditori è pari a B = 180. Come si può notare dalla figura 4 la perdita di beneficio totale di compratori e venditori può essere scomposta in due parti:

10 10 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA una prima parte, pari all ammontare dell imposta, è sostanzialmente una redistribuzione di benefici fra compratori e venditori da un lato e governo dall altro; una seconda parte è rappresentata dal fatto che ora i compratori acquistano di meno, e pagano un prezzo più alto, e i venditori vendono di meno, e ricevono un prezzo più basso rispetto alla situazione di equilibrio precedente l introduzione dell imposta. L imposta complessiva di 160 è a carico dei consumatori per un ammontare pari a (17 15) 3 = 64 e a carico dei venditori per un ammontare pari a (15 1) 3 = 96 ; se consideriamo anche il governo nella determinazione e distribuzione dei benefici del mercato questa parte rappresenta un trasferimento dai compratori e dai venditori al governo (una redistribuzione di benefici). La perdita di efficienza del mercato è quindi pari a B eff = = 0, ed è dovuta al fatto che la quantità scambiata è inferiore di 8 unità a quella socialmente ottimale; questa perdita di efficienza ricade in parte sui compratori: ed in parte sui venditori: (17 15) 8 (15 1) 8 = 8 = 1 Figura 4 (iii-b) La configurazione di equilibrio del mercato prima dell introduzione dell imposta si ottiene dalla soluzione del seguente sistema di equazioni: p D = 5 Q/4 p S = 15 p D = p S Chiaramente il prezzo di equilibrio non può che essere p = 15, dal momento che questo è il prezzo minimo che vogliono ottenere i venditori (produttori) per offrire la merce; un prezzo inferiore a 15 non potrebbe essere di equilibrio perchè non ci sarebbe offerta. Dalla terza equazione si ricava allora che: p D = 5 Q/4 = 15 cioè Q = 40. L equilibrio iniziale è quindi identico a quello del punto precedente.

11 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA 11 Con l introduzione dell imposta unitaria sulla quantità scambiata di 5 euro il nuovo equilibrio diventa: p D = 5 Q/4 p S = 15 p S = = 0 p D = p S Dalla soluzione del sistema di equazioni si ricava che: p D = 5 Q/4 = 0 e quindi Q = 0 e p D = 0, p S = 15. La situazione è rappresentata nella figura 5. Figura 5 Il prezzo di mercato è aumentato anche in questo caso ed è aumentato in misura esattamente pari all imposta (mentre nell esempio precedente era aumentato solo di euro); ciò si spiega con il fatto che, a parità di curva di domanda, ora la curva di offerta è molto più elastica (in termini relativi; in realtà la curva di offerta è infinitamente elastica). Il beneficio dei consumatori, nella situazione iniziale, è pari a: B C (5 15) 40 = = 00 come nel caso precedente. Ora, però, il beneficio per i venditori è nullo (dal momento che vendono ad un prezzo unitario pari al prezzo minimo che li induce a vendere): B S (15 15) 40 = = 0 Il beneficio totale coincide, pertanto, con quello dei compratori. Con l introduzione dell imposta il beneficio dei compratori diventa: B C (5 0) 0 = = 50 La perdita complessiva è quindi pari a B = = 150. Bisogna tuttavia considerare che ora il governo preleva, sotto forma di imposta, una somma pari a G = 5 0 = 100; la perdita di efficienza è quindi pari a 50 ed è dovuta al fatto che sul mercato, in equilibrio, arrivano 0 unità in meno. Esercizio 1.5. Si consideri un mercato perfettamente concorrenziale. Siano Q D = 10 3p la curva di domanda e Q S = p la curva di offerta.

12 1 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA (i) Si determini la configurazione di equilibrio del mercato. (ii) Si calcoli il beneficio (o surplus) totale del mercato, distinguendo il beneficio (o surplus) dei consumatori e quello dei produttori. (iii) Si mostri come cambia il risultato del punto precedente se gli scambi non avvengono al prezzo di mercato di equilibrio ma: (a) al prezzo di domanda che ciascun consumatore (o gruppo di consumatori) è disposto a pagare per ciascuna possibile quantità scambiata; (b) al prezzo di offerta che ciascuna impresa (o gruppo di imprese) vuole realizzare per ciascuna possibile quantità scambiata. Soluzione. (i) La configurazione di equilibrio del mercato è determinata dalla soluzione del sistema di equazioni: Q D = 10 3p Q S = p Q D = Q S Effettuando le sostituzioni si ricava che p = 4 e Q = Q D = Q S = 48. (ii) Per definizione il beneficio totale del mercato è dato dalla somma di beneficio )o surplus) dei compratori e beneficio (surplus) dei venditori. Il beneficio dei compratori è misurato geometricamente dall area del triangolo compreso fra la curva del prezzo di domanda e la curva del prezzo di mercato; poichè il prezzo di domanda è definito da p D = 40 Q/3 abbiamo che: B C (40 4) 48 = = 384 Sappiamo che il beneficio per i compratori può essere interpretato come la minor somma che spendono rispetto alla somma massima che sarebbero disposti a pagare per acquistare la corrispondente quantità; tale somma massima, E C è rappresentata geometricamente dall area del trapezio compreso fra la curva del prezzo di domanda e l asse delle quantità (per la quantità considerata). Nel nostro caso abbiamo: E C = = 115 Il beneficio dei venditori è misurato, geometricamente, dall area del triangolo compreso fra la curva del prezzo di equilibrio e la curva del prezzo di offerta; il prezzo di offerta è definito da p S = Q/ e quindi si ricava che: B S 4 48 = = 576 Il beneficio per i venditori può essere interpretato come il profitto che realizzano dalla vendita del bene. La somma minima, E S, che li induce ad offrire la corrispondente quantità è definita, pertanto, dalla differenza fra il ricavo totale effettivo ed il profitto (beneficio) ed è rappresentata geometricamente dall area compresa fra la curva del prezzo di offerta e l asse delle quantità; nel nostro caso abbiamo: E S = = 19 Il beneficio totale del mercato è pertanto pari a: B = B C + B S = = 960 (iii-a) Gli scambi avvengono ad un meccanismo diverso da quello del mercato ma a prezzi che sono compresi fra p = 40 e p = 4; i compratori acquistano complessivamente 48 unità del bene e pagano complessivamente una somma che è pari a E C = 115. Poichè quello che spendono effettivamente è pari alla somma massima che sarebbero disposti a spendere il loro beneficio (netto) è pari a zero: B C = 0.

13 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA 13 I venditori realizzano un ricavo di 115 mentre sarebbero disposti a realizzare la somma E S = 19 per offrire ai consumatori la quantità di 48 unità del bene; il loro beneficio è pertanto pari a: B S = = 960. Il beneficio totale del mercato (più correttamente, degli scambi) è quindi pari, in questo caso, a quello corrispondente alla configurazione di equilibrio, con la sola (e non trascurabile) differenza che ora è distribuito in modo diverso fra i due lati del mercato; tutti i benefici sono, in questo caso, appropriati dai venditori. (iii-b) Gli scambi avvengono ad un meccanismo diverso da quello del mercato ma a prezzi che sono compresi fra p = 0 e p = 4; i compratori acquistano complessivamente 48 unità del bene e pagano complessivamente una somma che è pari a E S = 19. Poichè quello che sarebbero disposti a spendere per acquistare la stessa quantità è pari a E C = 115 si ricava che il beneficio che essi attribuiscono agli scambi realizzati è pari a B C = E C E S = = 960. I venditori realizzano dagli scambi una somma che è pari esattamente a quella minima che li induce a vendere la quantità di 48 unità; pertanto il loro beneficio è pari a B S = E S E S = 0. Anche in questo caso il beneficio totale è pari a quello della situazione corrispondente all equilibrio del mercato, B = B C + B S = 960; ora però i benefici sono tutti appropriati dai compratori. L esempio vuole sottolineare il ruolo del meccanismo di formazione del prezzo al quale avvengono gli scambi nel processo di appropriazione (distribuzione) dei benefici dello scambio (mercato). Esercizio 1.6. Si consideri un mercato perfettamente concorrenziale. Siano Q D = 10 4p la curva di domanda e Q S = p la curva di offerta. (i) Si determini la configurazione di equilibrio del mercato. (ii) Si determini l effetto, sulla configurazione di equilibrio del mercato, di un contributo del governo alle imprese nella misura di 6 euro per unità di merce prodotta. (iii) Si determini il costo dell operazione per il governo. Soluzione. (i) Determiniamo la configurazione di equilibrio del mercato dalla soluzione del seguente sistema di equazioni: Q d = 10 4p Q S = p Q D = Q S Si ricava p = 0 e Q = Q D = Q S = 40. (ii) Per analizzare l effetto del contributo del governo sulla configurazione di equilibrio coniene considerare il modello del mercato formulato in termini di prezzo di domanda e prezzo di offerta: p D = 30 Q/4 p S = Q/ p D = p S La concessione di un contributo alle imprese ha l effetto di determinare un prezzo di mercato, che pagano i compratori (consumatori) diverso da quello che realizzano le imprese, cioè gli offerenti; per ogni unità venduta i venditori realizzano un prezzo che è pari alla somma del prezzo che pagano i consumatori, p D, e del contributo, c. Il modello del mercato diventa pertanto il seguente: p D = 30 Q/4 p S = Q/ p S = p S c p D = p S

14 14 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA Per c = 0 ritroviamo, chiaramente, la situazione iniziale; per c = 6 il sistema precedente può essere così scritto: p D = 30 Q/4 p S = Q/ p S = Q/ 6 p D = p S che possiamo scrivere più semplicemente: p D = 30 Q/4 p S = Q/ p D = Q/ 6 Dalla soluzione si ricava Q = 48, p D = 18 e p S = 4. L effetto del contributo è di determinare una diminuzione del prezzo di mercato e quindi un aumento della quantità scambiata, in equilibrio. (iii) Il costo della concessione del contributo, per il governo, è pari a G = 6 48 = 88. Esercizio 1.7. Si consideri un mercato concorrenziale. Siano Q d = 10 3p la curva di domanda e Q s = p la curva di offerta. (i) Si determini per quale prezzo la domanda possiede elasticità puntuale unitaria. (ii) Si determini per quale prezzo la curva di offerta possiede elasticità puntuale unitaria. (iii) Si determini la configurazione di equilibrio del mercato. (iv) Supponiamo che il governo voglia garantire alle imprese, in equilibrio, un prezzo superiore del 5% a quello del mercato; per fare questo può scegliere fra due politiche: (a) acquistare il bene sul mercato; (b) concedere un contributo unitario alla produzione Si calcoli il costo dell operazione per il governo in entrambi i casi. Soluzione. seguente: (i) L elasticità puntuale della domanda è definita dall espressione e d = dqd /Q d = dqd dp/p dp p Q d Poichè vogliamo determinare in corrispondenza di quale prezzo di mercato l elasticità della domanda è pari a 1 (la curva di domanda è decrescente e quindi le variazioni relative di prezzo e quantità domandata sono di segno opposto) dobbiamo risolvere la seguente equazione: p p = 1 cioè: 3p = 10 3p da cui si ricava p = 0. Quando il prezzo di mercato che pagano i consumatori è p = 0 e la corrispondente quantità domandata è Q = 60 l elasticità della domanda è unitaria; un 1% di variazione del prezzo determina un 1% di variazione di segno opposto della quantità domandata. (ii) L elasticità puntuale dell offerta è definita dall espressione seguente: e d = dqs /Q s dp/p = dqs dp p Q s La condizione di elasticità unitaria è definita allora dalla condizione: p p = 1

15 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA 15 da cui si ricava che l offerta ha elasticità unitaria per ogni possibile prezzo di mercato. (iii) La configurazione di equilibrio del mercato è determinata, come sappiamo, dalla soluzione del seguente sistema di equazioni: Q d = 10 3p Q s = p Q d = Q s Sostituendo la prima e la seconda equazione, che descrivono i comportamenti di compratori e offerenti, nella terza equazione, che definisce la condizione din equilibrio, cioè di compatibilità delle decisioni, possiamo scrivere il sistema precedente nel modo seguente: Q d = 10 3p Q s = p 10 3p = p Dall ultima equazione si ricava p = 4, mentre dalle prime due, sostituendo il valore di equilibrio del prezzo, si ricava Q d = Q s = Q = 48. (iv-a) L obiettivo del governo è di fare in modo che le imprese realizzino un prezzo pari a p = 4 + 0, 5 4 = 30. La prima possibilità è di sostenere la domanda. Indichiamo con Q g la quantità di bene domandata dal governo; la configurazione di equilibrio del mercato si ottiene dalla soluzione del sistema di equazioni: ˆQ d = 10 3p + Q g Q s = p p = 30 ˆQ d = Q s La decisione del governo di sostenere la domanda porta, come si può notare dalla figura, ad uno spostamento della curva di domanda; il sostegno alla domanda deve essere tale che il gioco della domanda e dell offerta porti ad un prezzo di equilibrio pari a p = 30, l obiettivo del governo. Possiamo scrivere il sistema precedente, effettuando le opportune sostituzioni, nel modo seguente: ˆQ d = 30 + Q g Q s = 60 p = Q g = 60 Dall ultima equazione si ricava Q g = 30; sostituendo tale risultato nella prima equazione si ottiene Q d = 30. Infine Q s = 60 e p = 30.

16 16 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA (iv-b) La configurazione di equilibrio quando il governo concede alle imprese un contributo unitario (cioè per unità prodotta) è determinata dalla soluzione del seguente sistema di equazioni: Q d = 10 3p Q s = (p + c) p + c = 30 Q d = Q s Come si può notare (dalla seconda equazione del sistema) la politica del governo viene ora rappresentata geometricamente dallo spostamento della curva di offerta; la concessione del contributo da parte del governo ha come conseguenza che il prezzo che pagano i consumatori è minore del prezzo che realizzano le imprese (il ricavo unitario delle imprese è dato dalla somma del prezzo di mercato che pagano i consumatori e del contributo erogato dal governo, cfr. la terza equazione). Effettuando le opportune sostituzioni possiamo scrivere il sistema che determina la configurazione di equilibrio nel modo seguente: Q d = 10 3p Q s = 60 p + c = p = 60 Dall ultima equazione si ricava p = 0. Dalla prima equazione otteniamo Q d = 60, mentre dalla terza ricaviamo l entità del contributo unitario del governo: c = 30 p = 30 0 = 10 L obiettivo è raggiunto se il governo eroga alle imprese un contributo unitario di 10 euro. La situazione è rappresentata geometricamente nella figura seguente.

17 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA 17 Il costo dell intervento governativo è pari a: G = p Q g = = 900 nel caso della politica di sostegno della domanda e a: G = c Q = = 600 nel caso della erogazione del contributo.

18 18 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA Esercizio (Allocazione e ottimo paretiano) Il modello del mercato (modello domanda/offerta) può essere utilizzato per illustrare il concetto di allocazione e di efficienza paretiana o ottimalità (di un allocazione). Si consideri pertanto la situazione in cui 6 persone, A(da), B(eatrice), C(arla), D(oriana), E(lisabetta) e F(rancesca) posseggono, nel loro insieme, euro e 3 automobili. Consideriamo allora la tabella seguente: M q v(q) W A B C D E F Allocazione iniziale La colonna M indica la quantità di moneta in possesso di ciascuna persona; se indichiamo con M i la quantità di moneta della persona i nella allocazione, con i = A, B, C, D, E, F, abbiamo che: M A + M B + M C + M D + M E + M F = (1.9) La colonna q indica le automobili in possesso di ciascuna persona; la variabile q può assumere solamente due valori, il valore 0, se la persona non possiede l automobile, ed il valore 1 se invece la persona possiede l automobile; pertanto: Possiamo introdurre la seguente definizione. q A + q B + q C + q D + q E + q F = 3 (1.10) Definizione 1 (Allocazione). Un allocazione è un assegnazione (attribuzione) di moneta e automobili fra le sei persone che soddisfa le condizioni (1.9) e (1.10). Nella tabella figurano altre due colonne. La colonna v(q) riporta la valutazione o prezzo di riserva che ciascuna persona attribuisce all automobile, ovvero sia il prezzo massimo che è disposta a pagare per avere l automobile, se non ne è in possesso, o il prezzo minimo che vuole realizzare per venderla. La figura 1 rappresenta geometricamente il prezzo di riserva dell automobile per le diverse persone; il prezzo di riserva di coloro che non possiedono l automobile definisce una spezzata che possiamo interpretare come la curva del prezzo di domanda dei compratori mentre il prezzo di riserva dei possessori delle automobili definisce una spezzata che può essere interpretata come la curva del prezzo di offerta dei venditori.

19 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA 19 Figura 1 Prezzo di riserva di un automobile L ultima colonna, W, indica la ricchezza di ciascuna persona: W i = M i + v i (q) per le persona che hanno l automobile e: W i = M i per quelle che non la possiedono. La ricchezza di una persona viene presa come misura, in questo caso, del benessere (welfare) della persona. Possiamo associare alla allocazione di partenza un indice che misuri il benessere complessivo delle persone interessate: W T = W A + W B + W C + W D + W E + W F cioè la ricchezza complessiva. Nel nostro caso abbiamo che W T = Data la situazione iniziale rappresentata nella tabella possiamo trovare un altra allocazione, quindi un altra assegnazione o ripartizione di moneta ed automobili fra le persone, che migliori la situazione per almeno uno dei soggetti e non la peggiori per nessun altro? Se una tale allocazione esiste si dice che rappresenta un miglioramento paretiano rispetto a quella di partenza. Definizione (Miglioramento paretiano). Un allocazione X rappresenta un miglioramento paretiano rispetto all allocazione di partenza (o iniziale) se soddisfa le (1.9) e (1.10) e migliora la situazione (cioè aumenta il benessere) per almeno una delle persone interessate senza peggiorarla per nessun altra. Consideriamo allora l allocazione X che si ottiene da quella iniziale quando F cede la sua automobile ad A in cambio di un prezzo p = v F (q) = 0. La nuova allocazione è quella indicata nella tabella seguente: M q v(q) W A B C D E F Allocazione X Come si può notare le condizioni che definiscono la fattibilità della allocazione sono rispettate (la colonna M non cambia dal momento che il trasferimento è gratuito, mentre nella colonna q abbiamo ora che q A = 1 mentre q F = 0). Inoltre abbiamo che il benessere di B,C,D,E non cambia (in quanto non sono interessati allo scambio), il benessere di F rimane invariato, dal momento che ha un prezzo di riserva pari a zero per l automobile che possiede mentre il benessere di A aumenta dal momento che riceve a prezzo zero un bene che valuta euro e quindi il suo benessere passa da della situazione iniziale a della nuova allocazione. Se consideriamo la cosa dal punto di vista collettivo abbiamo che: W T (X) = W A (X) + W B (X) + W C (X) + W D (X) + W E (X) + W F (X) = cioè il benessere collettivo è aumentato. Si consideri la figura.

20 0 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA Figura Consideriamo ora la nuova allocazione Y che si ottiene quando l automobile in possesso di E viene trasferita a B per un prezzo p = v E (q) = La nuova allocazione è rappresentata dalla tabella: M q v(q) W A B C D E F Allocazione Y B migliora la sua situazione, rispetto all allocazione X, dato che si ritrova in possesso di un automobile che ha pagato e che valuta,invece, euro; tutti gli altri non peggiorano la propria 1 ; la situazione è rappresentata nella figura 3. Figura 3 La situazione così determinata è pertanto un miglioramento paretiano. benessere collettivo risulta ora pari a: W T (Y ) = W A (Y ) + W B (Y ) + W C (Y ) + W D (Y ) + W E (Y ) + W F (Y ) = Come si può notare dalla colonna di ciascuna tabella che riporta il prezzo di riserva di un automobile per ciascuna persona, lo scambio dell automobile fra C e D non modifica il corrispondente benessere e quindi non modifica il benessere collettivo. Il 1 Non la peggiora, in particolare, E, che riceve una somma di denaro pari al valore che attribuisce all automobile che cede.

21 1. EQUILIBRIO DI MERCATO E ANALISI DI STATICA COMPARATA 1 La caratteristica dell allocazione Y è la seguente: non è possibile trovare un altra allocazione che migliori la situazione (il benessere) per qualche persona senza peggiorarla per qualcun altro. Consideriamo, per esempio, l allocazione Z seguente: M q v(q) W A B C D E F Allocazione Z L allocazione Z corrisponde all allocazione Y con una sola differenza: A paga un prezzo p = per l automobile che gli cede F. Il benessere complessivo è sempre pari a , come si può facilmente controllare dall ultima colonna della tabella; ora però la situazione è peggiorata per A, W A (Z) = mentre nell allocazione Y era W A (Y ) = ed è migliorata per F, il cui benessere passa da W F (Y ) = a W F (Z) = Possimo formulare, allora, la seguente definizione: Definizione 3 (Allocazione efficiente). Una allocazione Z si dice efficiente in senso paretiano se non esiste un altra allocazione che migliora il benessere di qualcuno senza peggiorarlo per alcuno. Supponiamo ora che gli scambi avvengano ad un prezzo unico, pari a p = Si ricava immediatamente che A,B, C acquisteranno l automobile e D,E,F la venderanno. La corrispondente allocazione risulta: M q v(q) W A B C D E F Allocazione corrispondente all equilibrio di mercato Il prezzo p = individua la configurazione di equilibrio del mercato; a tale prezzo le decisioni di domanda, che provengono dai primi tre individui, corrispondono alle decisioni di offerta, che provengono dagli altri tre. L esempio mostra, allora, che l equilibrio di mercato corrisponde ad un allocazione efficiente dei beni; diversa è, però, la distribuzione dei benefici rispetto ad altre situazioni, pure efficienti (e determinate da meccanismi diversi di assegnazione dei beni). L esempio si propone di mostrare tre proprietà. Le allocazioni Pareto-efficienti (o Pareto-ottimali) sono, in generale molteplici (nel nostro caso abbiamo che l allocazione Y,Z e l allocazione corrispondente all equilibrio di mercato sono allocazioni efficienti); in generale allocazioni efficienti diverse si distinguono per il diverso meccanismo di distribuzione dei benefici ad esse associati. Qualsiasi allocazione che rappresenti un miglioramento paretiano aumenta il beneficio o surplus totale (si consideri l allocazione X rispetto a quella iniziale). In generale non è vero che un allocazione efficiente è un miglioramento paretiano rispetto ad un allocazione non efficiente (Si confronti l allocazione corrispondente all equilibrio con l allocazione Y. L allocazione corrispondente all equilibrio è, come abbiamo visto, efficiente; tuttavia non rappresenta un miglioramento paretiano rispetto all allocazione Y dal momento che peggiora la situazione per la persona A.)

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