Laboratorio di Fisica I Prima Esperienza Distribuzione Statistica delle Misure del Periodo di un Pendolo

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1 Università degli Studi di Udine Corsi di Laurea in Ingegneria Laboratorio di Fisica I Prima Esperienza Distribuzione Statistica delle Misure del Periodo di un Pendolo 1 Introduzione Lo scopo principale di questa esperienza è quello di apprendere i concetti fondamentali della teoria degli errori attraverso l analisi statistica dei dati sperimentali. ell esperienza verranno effettuate delle misure ripetute del periodo di un pendolo (del tipo di quello mostrato in Figura 1) e con le serie di dati così ottenute verranno costruiti degli istogrammi al fine di studiarne la distribuzione e verificare l andamento normale. q Figura 1: Pendolo Le misure del periodo saranno effettuate per mezzo di un cronometro computerizzato. Sebbene il risultato di ogni misura corrisponderà ad una singola valutazione del periodo suddetto, al fine di migliorarne la precisione, sarà bene effettuare la misura di tempo su più oscillazioni del pendolo (ad esempio 5). 1

2 Il periodo di oscillazione di un pendolo è, in generale, funzione della sua ampiezza di oscillazione. Solo per piccoli angoli, le oscillazioni del pendolo diventano isocrone (e cioé indipendenti dall angolo di oscillazione). Ovviamente, dato che in tale esperienza si vuole avere a che fare con un oscillazione con periodo costante, le misure dovranno essere effettuate controllando che: i) gli angoli di oscillazione siano piccoli (si suggerisce un angolo massimo di oscillazione θ max < 15 ); ii) ripetendo le misure l angolo di partenza sia (essenzialmente) sempre lo stesso. 2 Raccolta dei dati e costruzione degli istogrammi Le serie di dati ottenuti con le misure del periodo possono essere raccolti in tabelle. Dalle nozioni di teoria degli errori abbiamo imparato che, in genere, le misure sperimentali si distribuiscono secondo la distribuzione normale (o distribuzione di Gauss) corrispondente alla funzione seguente f(x) = 1 e (x µ)2 2σ 2 (1) 2πσ dove le quantità µ e σ corrispondono rispettivamente al valor medio x e alla deviazione standard della popolazione associata alla grandezza considerata. Quindi, una volta ottenute una serie di misure del periodo x i (sebbene siano dei tempi li indicheremo con la quantità x), la prima cosa da fare sarà quella di calcolarne il valor medio x = 1 x i. (2) In generale, avendo un campione finito (abbiamo a disposizione solo misure), il valore che otteniamo per x sarà diverso da quello dell intera popolazione; ci spettiamo che tanto più grande sarà tanto meglio x si approssimerà µ. Per quanto riguarda la deviazione standard, come discusso nelle note dedicate alla Teoria degli Errori, converrà considerare quella del campione e cioè σ c = 1 1 i=1 (x i x) 2, (3) che nel limite di approssimerà la deviazione standard della popolazione σ = 1 (x i x) 2, (4) i=1 presente nell espressione (1) della distribuzione normale. I valori di x e di σ c ci danno un idea del centro della distribuzione e della semi larghezza della stessa. Per studiare la distribuzione reale delle misure e valutare l accordo con la distribuzione normale, con esse possiamo costruire un istogramma che è un diagramma bidimensionale molto usato per la visualizzazione dei dati. Per la sua costruzione abbiamo bisogno di definire, prima di tutto, la larghezza dell intervallo corrispondente alla larghezza dei cosiddetti bin dell istogramma. In effetti, la forma dell istogramma può essere fortemente influenzata, oltre che dal numero di dati a disposizione, anche dalla larghezza del bin. Quindi, analizzando i dati si valutano i corrispondenti valori minimo, x min, e massimo, x max, e poi si sceglie il numero n di parti in cui suddividere l intervallo x min x max. Dato 2 i=1

3 che σ c è strettamente correlato alla larghezza della distribuzione dei dati, una buona strategia può essere quella di scegliere il numero n in modo che la larghezza dei bin dell istogramma sia dell ordine di, ad esempio, 1 3 σ c. In questo modo, l intervallo x min x max risulterà diviso in n intervalli di larghezza x = (x max x min )/n e, per la costruzione dell istogramma, non dobbiamo fare altro che contare il numero n j di misure che cadono nel j esimo bin corrispondente ai valori x min + (j 1) x x i x min + j x. Costruendo poi su ognuno degli n intervallini un rettangolo di base x e altezza n j : otterremo l istogramma cercato che potrebbe avere una forma del tipo di quella riportata in Figura 2 (solo a titolo di esempio). Istogramma di 1 misure numero di misure x Figura 2: Istogramma delle 1 misure della lunghezza di una sbarra. el costruire l istogramma l intervallo x min x max è stato suddiviso in 2 intervalli. 3 Eventuale eliminazione di dati Prima della costruzione dell istogramma è utile considerare una veloce analisi dei dati al fine di controllare quanto essi siano, per così dire, coerenti con la distribuzione normale alla quale si suppone che essi appartengano. Come accennato nella sezione 2.5 delle note dedicate alla Teoria degli Errori, per dati che seguono la distribuzione normale, ci si aspetta che il 99.7% di essi cadano in un intervallo di semi larghezza 3σ centrato sul valor medio x. Pertanto, sarebbe bene verificare se nella serie di misure qualcuno dei dati cade al di fuori dall intervallo suddetto. In tal caso, quei dati dovrebbero essere eliminati. Dopo l eventuale eliminazione, con i rimanenti dati si devono ricalcolare sia il valor medio che la deviazione standard. Per le ragioni menzionate nella suddetta sezione 2.5, è bene applicare il presente criterio di eliminazione dati solo una volta! 3

4 4 Trattazione dei dati e confronto tra gli istogrammi e la distribuzione normale Al fine di chiarire i vari aspetti dell analisi statistica delle misure del periodo del pendolo, in questa sezione consideriamo l analisi di dati simulati. In effetti, grazie all uso del computer e di opportuni programmi è possibile produrre delle serie di dati che seguono il comportamendo che ci si aspetta in un esperimento. In relazione al nostro esperimento, considereremo delle serie di numeri casuali che seguono la distribuzione normale (del tipo della (1)) imponendo che tale distribuzione sia caratterizzata da specifici valori di µ e σ. In base alle precedenti considerazioni e allo scopo di ottenere dei dati simulati con valori e distribuzione in linea con quelli del periodo dei pendoli che troveremo in laboratorio, abbiamo scelto di impostare il generatore di numeri casuali gaussiani con µ = 2. s e σ = s. Quindi si sono generate tre serie di dati costituite rispettivamente da 3, 3, e 3 dati. ella Tabella 1 sono riportati gli effettivi valori medi x e deviazioni standard σ c delle tre serie di dati. x (s) σ c (s) Tabella 1: Medie e deviazioni standard del campione per i 3 gruppi di dati ottenuti con il generatore di numeri casuali gaussiani. Analogamente, in Figura 3, sono mostrati gli istogrammi delle tre serie di dati. Si noti che, in linea con quanto detto nella sezione 2, gli istogrammi sono stati costruiti considerando una stessa larghezza di bin pari a.1 s (circa 1/3 della deviazione standard). Quanto riportato in Figura 3 mostra che, come aspettato, all aumentare della numerosità del campione, la forma dell istogramma si avvicina (perlomeno qualitativamente) alla forma di una gaussiana. 3 misure 3 misure 3 misure numero di misure Figura 3: Istogrammi delle misure simulate del periodo del pendolo. In tutti e 3 gli istogrammi è stata utilizzata una stessa larghezza di bin pari a.1 s. Ora, nell ipotesi che i dati dovrebbero seguire la distribuzione normale (è l ipotesi di lavoro), possiamo valutare la bontà di questo accordo interpolando (fittando) gli istogrammi dei dati con delle gaussiane. A tal fine, dato che gli istogrammi in Figura 3 non sono 4

5 normalizzati, si può considerare un fit con una gaussiana del tipo f(x) = Ae (x µ)2 2σ 2 (5) dove le quantità A, µ e σ sono ora da vedersi come parametri. Un tale fit può essere realizzato con molti programmi al computer; ad esempio, questo può essere fatto con Excel, uno dei programmi più utilizzati dagli ingegneri. Sebbene uno dei metodi più utilizzati per l esecuzione dei fit parametrici sia quello dei minimi quadrati (come menzionato nelle note di Teoria degli Errori), talvolta nei programmi commerciali vengono utilizzati anche altri metodi. el caso attuale, volendo ottenere solo una valutazione qualitativa dell accordo tra la distribuzione normale e gli istogrammi dei dati, il particolare metodo di minimizzazione per il fit, non cambierà la sostanza del risultato. Viene, quindi, lasciata piena libertà nella scelta del metodo di fit. In alternativa al fit (o in aggiunta) potrebbe essere interessante confrontare gli istogrammi dei dati con delle gaussiane in cui ai parametri µ e σ si sostituiscono i corrispondenti valori di x e σ c del campione in esame. In tal caso, il parametro A della (5) dovrà essere dimensionato opportunamente in modo far si che la gaussiana si approssimi al meglio agli istogrammi. In Figura 4 mostriamo gli istogrammi già riportati in Figura 3 con sovrapposte le funzioni gaussiane, del tipo della (5), ottenute con il nostro fit. I valori dei parametri 3 misure 3 misure 3 misure numero di misure Figura 4: Istogrammi (linea nera) già mostrati Figura 3 con sovrapposte le rispettive interpolazioni le distribuzioni normali (linee rosse). ottenuti nei fit sono riportati in Tabella 2. A µ (s) σ (s) Tabella 2: Valori dei parametri ottenuti con il fit delle gaussiane per i gruppi di dati. Da un punto di vista visivo, la Figura 4 è eloquente nel mostrare come l accordo tra la distribuzione normale e l istogramma dei dati cresca all aumentare di. È però molto interessante fare anche un confronto tra i valori numerici di µ e σ ottenuti con i fit, e quelli di x e σ c dei rispettivi campioni. Come si vede i valori di µ e x sono in ottimo accordo già dal caso del campione meno numeroso ( = 3); inoltre, i loro valori si rivelano quasi indipendenti da (osserviamo 5

6 una fluttuazione solo sulla terza cifra decimale). A tale scopo, è interessante calcolare i valori delle deviazioni standard della media σ m che sappiamo essere pari a σ m = σ. In Tabella 3 sono riportati i valori dei σ m delle 3 serie di dati. Le entità di tali valori ci permettono di comprendere le piccole fluttuazioni di x e µ σ m = σc (s) Tabella 3: Valori della deviazione standard della media per le 3 serie di dati simulati. Anche tra i valori di σ c (del campione) e σ (del fit) vediamo un buon accordo. Le fluttuazioni sono maggiori di quelle riscontrate tra gli x e µ, ma l accordo è palese. 6

7 Schema di stesura della relazione della I a esperienza di Laboratorio di Fisica I Gruppo XX Udine GG/MM/AAAA TITOLO: Distribuzione Statistica delle Misure del Periodo di un Pendolo OGGETTO DELLA PROVA: Misura del periodo di oscillazione di un pendolo semplice: determinazione della distribuzione delle misure allo scopo di verificarne landamento secondo la legge normale. ellesperienza si dovranno effettuare tre serie di misure del periodo (con numero di dati crescenti; = 3, 1, 3) sulla base delle quali determinare le medie, le distribuzioni e i parametri statistici richiesti. CEI TEORICI: In base alle conoscenze acquisite ed alle nozioni impartite nella lezione teorica propedeutica alla presente esperienza di laboratorio riportare (sinteticamente) gli elementi della teoria degli errori necessari ai fini dellelaborazione dei dati. MISURE ED ELABORAZIOE DATI: Descrivere sinteticamente (in poche righe) le modalità con le quali si sono effettuate le misure. In particolare indicare: il valore scelto per langolo massimo delle oscillazioni del pendolo; il metodo con il quale si è verificato che lampiezza di oscillazione rispettasse langolo suddetto. Per ogni serie di misura riportare: il valore medio, x; la deviazione standard del campione, σ c ; l eventuale numero di eventi al di fuori dellintervallo [x 3σ c, x + 3σ c ] e, nel caso esso sia diverso da zero: la nuova determinazione del valor medio della misura; il nuovo valore della deviazione standard del campione; la deviazione standard della media, σ m ; l istogramma dei dati con sovrapposta la funzione di Gauss ottenuta con il fit; breve commento sulla simmetria dellistogramma e sugli eventuali discostamenti della distribuzione delle misure dalla distribuzione normale. A completamento della relazione riportare un breve commento finale sui risultati ottenuti. In particolare: fare un confronto tra gli istogrammi delle tre serie di misure commentandone la simmetria e l andamento allaumentare del numero di dati; dare una valutazione (propria del gruppo) sul successo o meno della verifica dell andamento normale della distribuzione delle misure; commentare i vari problemi e/o gli eventuali risultati negativi ottenuti e darne una possibile giustificazione fisica. 7