Flussi incomprimibili ideali 2D

Transcript

1 Flussi incomprimibili ideali 2D L equazione di continuità ci assicura che il campo di velocità di un flusso incomprimibile è solenoidale quindi 106/275 ed inoltre esiste il potenziale vettore A tale che V = 0 (201) V = A. (202) La funzione di corrente Per campi di moto bidimensionali (ci si concentra qui sul caso piano) deve risultare V 3 = 0, che implica in termini di A (definizione di rotore): soddisfatta per A 1 = A 2 = 0. A 2 x 1 A 1 x 2 = 0 ; (203)

2 Si definisce funzione di corrente ψ(r) l unica componente diversa da zero del potenziale vettore di un campo bidimensionale: ψ(r) = A 3. (204) In un riferimento cartesiano O(x, y) le componenti (u, v) di V sono date da u = ψ y ; v = ψ x. (205) In un riferimento polare O(r, θ) le componenti (V r, V θ ) di V sono date da V r = 1 ψ r θ ; V θ = ψ r. (206) Un campo di cui è data la funzione di corrente è certamente solenoidale ma non irrotazionale; irrotazionalità 2 ψ = 0. Un campo di cui è dato il potenziale φ è certamente irrotazionale ma non solenoidale; solenoidalità 2 φ = /275

3 Proprietà della funzione di corrente 1. L equazione di una linea di corrente è data da in termini di ψ questa relazione diventa: ψ x dy dx = v u, (207) ψ dx + dy = dψ = 0 ; (208) y la funzione di corrente è costante lungo una linea di corrente. 2. Il flusso di V attraverso una curva che congiunge due punti A e B di versore tangente t = (t 1, t 2 ) (quindi versore normale dato da n = (t 2, t 1 ) è dato da: B A V ndt = B A ψ dt = B A dψ = ψ(b) ψ(a). (209) 108/275

4 Il problema matematico 109/275 Ipotesi: 1. flusso 2D piano e stazionario f = f(x, y); 2. ρ = cost V = 0; 3. flusso ideale omoentropico V = 0, φ φ = V.

5 Equazione che governa il problema (equazione di Laplace): In coordinate cartesiane: In coordinate polari: 2 φ = 0. (210) 2 φ x + 2 φ 2 y = 0. (211) 2 2 φ r φ 2 r 2 θ + 1 φ 2 r r = 0. (212) Condizioni al contorno 1. All infinito: lim φ = V ; (213) r 2. sul corpo di equazione nota y = y u (x), y = y l (x): φ n = 0. (214) Problema ben posto: esiste una soluzione unica per φ continua in tutto il campo (a meno di una costante inessenziale). 110/275

6 Il problema in termini di ψ L equazione da risolvere è ancora l equazione di Laplace (con significato diverso!) 2 ψ = 0 ; (215) cambiano le condizioni al contorno. All infinito deve verificarsi Sul corpo ψ lim r y = V cos α, ψ lim r x = V sin α. (216) ψ = cost. (217) 111/275 Campo di pressione Noto il campo delle velocità è possibile determinare il campo di pressione utilizzando il teorema di Bernoulli: p p = 1 2 ρ(v 2 V 2 ). (218)

7 Soluzioni elementari dell equazione di Laplace Le soluzioni dell equazione di Laplace vengono dette funzioni armoniche. Essendo quest equazione lineare la somma di due funzioni armoniche è ancora armonica. È possibile ottenere soluzioni complesse sommando più soluzioni elementari. 112/275 Corrente uniforme Sorgente (o pozzo) In coordinate polari: φ = V cos α x + V sin α y ; (219) ψ = V cos α y V sin α x. (220) φ = Q 2π ln r ; ψ = Q 2π θ. (221)

8 Doppietta Si ottiene dalla sovrapposizione al limite di una sorgente e di un pozzo di intensità uguali ed opposte mantenendo costante il prodotto k = Q l. 113/275 φ = k cos θ 2π r ; ψ = k sin θ 2π r. (222)

9 Flusso non portante intorno al cilindro Si sovrapponga una corrente uniforme parallela all asse x ad una doppietta con asse parallelo ad x: ψ = V r sin θ k ( ) sin θ k = V r sin θ 1. (223) 2π r 2πV r 2 114/275 Ponendo R = k/2πv : ψ = V r sin θ [ 1 ( ) ] 2 R r. (224) r ψ V r sin θ = ψ. (225) ψ(r, θ) = 0. (226) Abbiamo trovato la soluzione potenziale incomprimibile di una corrente uniforme che investe un cilindro di raggio R.

10 Campo di velocità: Punti di ristagno: V r = 1 r Velocità sul corpo: Velocità massima: ψ θ V θ = ψ r [ ( ) ] 2 R = V cos θ 1 ; (227) r [ ( ) ] 2 R = V sin θ 1 +. (228) r V = (0, 0) { P1 = (R, 0) P 2 = (R, π) (229) V (R) = v(r) = 2V sin θ. (230) V = 2V θ A = π 2 θ B = 3π 2 (231) 115/275

11 Prob. n. 13: disegnare le linee di corrente intorno al cilindro non portante Esistono fondamentalmente due tecniche: 1. risolvere l equazione differenziale che le definisce (in coordinate cartesiane): dy dx = v u con condizione iniziale (x 0, y 0 ); 2. disegnare le curve ψ = cost con diversi valori della costante. 116/275 Campo di pressione sul cilindro non portante Definizione del coefficiente di pressione C p = p p 1 2 ρ V 2. (232) Caso di flusso incomprimibile governato dal teorema di Bernoulli: ( ) 2 V C p = 1. (233) V

12 Coefficiente di pressione sul cilindro: C p (R, θ) = 1 4 sin 2 θ. (234) 117/275 La forza aerodinamica (per unità di lunghezza) agente sul cilindro f = 1 2 ρv 2 2π i r = (cos θ, sin θ). Portanza (per unità di lunghezza): 0 i r C p (R, θ)rdθ, (235) l = 1 2 ρv 2 2π 0 (1 4 sin 2 θ) sin θrdθ = 0, (236) risultato scontato, per la simmetria del campo di moto.

13 Resistenza (per unità di lunghezza): d = 1 2 ρv 2 = 1 2 ρv 2 R 2π (1 4 sin 2 θ) cos θrdθ 2π ] cos θdθ 4 sin 2 θ cos θdθ = 0.(237) 0[ 2π 0 Incontriamo per la prima volta il Paradosso di D Alembert: la resistenza che agisce su un corpo immerso in una corrente bidimensionale ideale è nulla /275

14 Vortice isolato In coordinate polari (Γ > 0 verso orario): φ = Γ 2π θ ; ψ = Γ 2π Flusso portante intorno al cilindro ln r. (238) Alla precedente soluzione intorno a cilindro non portante si aggiunga il campo indotto da un vortice isolato posto nell origine del riferimento: ) ψ = V r sin θ (1 R2 + Γ r 2 2π ln r R. (239) Condizioni al contorno soddisfatte: ψ(r, θ) = 0 ; (240) r V V. (241) 119/275

15 Sono stati ottenuti infiniti campi di moto (al variare di Γ) intorno al cilindro tutti ugualmente plausibili dal punto di vista teorico. 120/275 Velocità sul corpo: V = 2V sin θ + Γ 2πR. (242) È possibile ottenere nella pratica un campo simile facendo ruotare il cilindro ad una velocità angolare Ω = Γ/(2πR 2 ) (Effetto Magnus). Circolazione sul cilindro: In termini del potenziale φ: φ(r) dl = V(R) dl = Γ. (243) dφ = Γ φ discontinuo! (244)

16 Il dominio è doppiamente connesso! 121/275 B A φ dl = φ(b) φ(a). (245) φ(b) φ(a) è costante lungo il taglio (la circolazione lungo il circuito (ABED) deve essere nulla).

17 Campo di velocità: V r = 1 r ψ θ V θ = ψ r [ ( ) ] 2 R = V cos θ 1 ; (246) r [ ( ) ] 2 R = V sin θ 1 + Γ r 2πr. (247) 122/275 Punti di ristagno, Γ/4πV R 1: ( P 1 = (R, θ 1 ), θ 1 = arcsin V = (0, 0) ( P 2 = (R, θ 2 ), θ 2 = arcsin Punti di ristagno, Γ/4πV R > 1: P 1 = (r 1, π), r 2 1 = V = (0, 0) P 2 = (r 2, π), r 2 2 = Γ 4πV Γ 4πV + Γ 4πV R Γ 4πV R ) ) IV quadrante III quadrante ( ) 2 Γ 4πV R 2 ( ) 2 Γ 4πV R 2 (248) (249)

18 Campo di pressione sul cilindro portante Coefficiente di pressione sul cilindro: [ C p = 1 4 sin 2 θ + 2Γ sin θ πv R + ( Γ ) ] 2 2πV R. (250) 123/275 La forza aerodinamica (per unità di lunghezza) agente sul cilindro Portanza (per unità di lunghezza): l = 1 2 ρv 2 2π Resistenza (per unità di lunghezza): 0 d = 1 2 ρv 2 C p sin θrdθ = ρv Γ. (251) 2π vale ancora il Paradosso di D Alembert. 0 C p cos θrdθ = 0 ; (252)

19 Il teorema di Kutta-Zukovskij In un flusso stazionario, subsonico, bidimensionale generato da una corrente uniforme ideale che investe un corpo impermeabile, la forza aerodinamica è data da 124/275 f = ρv Γ. (253) 1. La resistenza è nulla (Paradosso di D Alembert). 2. La portanza è proporzionale alla circolazione intorno al corpo.

20 La condizione di Kutta Così come per il cilindro anche per un corpo arbitrario immerso in una corrente ideale è possibile ottenere infinite soluzioni potenziali variando la circolazione Γ intorno al corpo. È possibile selezionare tra queste infinite soluzioni quella che ha un reale significato fisico? La risposta è affermativa per i corpi caratterizzati da un bordo d uscita aguzzo o cuspidato. 125/275 bordo d uscita aguzzo, bordo d uscita a cuspide

21 126/275 fisicamente impossibile, fisicamente possibile Condizione di Kutta: la velocità al bordo di ucita è continua; in particolare è nulla per bordi aguzzi e finita per bordi a cuspide.

22 Tra gli infiniti valori della circolazione Γ deve essere scelto l unico che consente di soddisfare la condizione di Kutta. Risulta univocamente determinato il campo di moto intorno al profilo e la corrispondente portanza individuata dal teorema di Kutta-Zukovskij. 127/275 Genesi della circolazione e della portanza Si consideri un campo fluido in quiete intorno ad un profilo alare. V = 0 Γ = 0 intorno a qualsiasi circuito materiale, in particolare rispetto ad un circuito lontano dal profilo e che lo racchiude. Quando il profilo comincia a muoversi, per il teorema di Kelvin, la circolazione intorno al circuito materiale deve rimanere nulla. Come è possibile allora che si generi circolazione e quindi portanza sul profilo che si mette in moto rispetto al fluido?

23 128/275 Γ = Γ 1 Γ 2 = 0 Γ 2 = Γ 1. (254) Il vortice che si stacca all avvio dal bordo di uscita compensa la circolazione che si genera intorno al profilo.

24 Distribuzione lineare di vorticità 129/275 Potenziale indotto da una distribuzione lineare di vorticità: ϕ(x, y) = 1 2π c 0 γ(ξ) arctan y dξ. (255) x ξ Componenti di velocità cartesiane indotte dalla distribuzione lineare di vorticità nel punto P (x, y): u = 1 2π c 0 γ(ξ)ydξ (x ξ) 2 + y, v = 1 2 2π c 0 γ(ξ)(x ξ)dξ (x ξ) 2 + y 2.(256)

25 Lungo il segmento (0, c) il campo di velocità è discontinuo. 130/275 lim n 0 V dl = (u + u )dξ = γdξ γ = u + u. (257) Per simmetria (il campo non può cambiare se capovolgiamo la figura): u + = u(x, 0 + ) = u = u(x, 0 ) = γ 2. (258)

26 Teoria di Glauert del profilo infinitamente sottile a piccoli angoli di attacco Ipotesi: 1. si assegna un profilo infinitamente sottile di equazione y = C(x); 2. la curvatura del profilo è piccola per cui C(x) 1 e C (x) 1; 3. il profilo è immerso in una corrente ideale, stazionaria, incomprimibile ad un piccolo angolo di attacco α 1. Bisogna risolvere il problema di Laplace con le condizioni al contorno di corpo linea di corrente e corrente uniforme all infinito. L eventuale circolazione deve essere tale da soddisfare la condizione di Kutta. 131/275

27 Si ponga φ(x, y) = φ (x, y) + ϕ(x, y), (259) dove φ è il potenziale della corrente asintotica uniforme e ϕ è detto potenziale di disturbo. Glauert ha trovato la soluzione esprimendo ϕ come il potenziale di una distribuzione lineare di vorticità lungo la corda del profilo: ϕ(x, y) = 1 2π c 0 γ(ξ) arctan y dξ. (260) x ξ Questa funzione è certamente armonica per cui, con le posizioni fatte, l equazione di Laplace è risolta. La condizione al contorno all infinito è certamente soddisfatta in quanto il campo indotto all infinito dalla distribuzione lineare di vorticità è nullo. Deve solo essere verificata la condizione di corpo impermeabile. Essendo il disturbo piccolo rispetto alla corrente uniforme si trascureranno termini quadratici del disturbo (del II ordine). 132/275

28 α 1 φ V x + V αy. (261) Per le ipotesi fatte sulla piccolezza sia di α che di C(x) il disturbo introdotto dal profilo sulla corrente è piccolo, cioè la velocità di disturbo indotta dalla distribuzione di vorticità è piccola rispetto alla velocità asintotica: u V, v V. (262) C(x) 1 per cui la condizione al contorno sul dorso e sul ventre del profilo può essere imposta, con errore trascurabile, direttamente lungo la corda del profilo: x (0, c) : V α + v(x, 0 ± ) V + u(x, 0 ± ) = C (x). (263) (x, 0 + ) indica un punto del dorso del profilo, mentre (x, 0 ) un punto del ventre. Si ottiene: x (0, c) : V α + v(x, 0 ± ) = C (x)v + C (x)u(x, 0 ± ). (264) L ultimo termine (del II ordine) può essere trascurato rispetto agli altri. 133/275

29 La condizione sul corpo diventa: x (0, c) : α + v(x, 0± ) V = C (x). (265) In termini della distribuzione di vorticità: x (0, c) : α 1 2πV c 0 γ(ξ)dξ x ξ = C (x). (266) Per determinare l incognita γ(ξ) occorre risolvere questa equazione integrale. In questo caso la condizione di Kutta è γ(c) = /275

30 Trasformazione di Glauert: 135/275 ξ = c 2 (1 cos θ 0), dξ = c sin θ 2 0dθ 0 ; x = c (1 cos θ). (267) 2 Si assume che C (x) sia sviluppabile in serie di Fourier rispetto a θ: C (x) = A n cos(nθ) ; (268) dove A 0 = 1 π n=0 π 0 C (x)dθ, n 1 : A n = 2 π π 0 C (x) cos(nθ)dθ. (269)

31 La soluzione del problema è: γ(θ) = 2V [ (α A 0 ) cot θ 2 + n=1 A n sin(nθ) ]. (270) 136/275 Prob. n. 14 (facoltativo): verificare che la relazione (270) è soluzione dell equazione integrale (266) Integrale di Glauert: π 0 cos(nθ 0 ) cos θ 0 cos θ dθ 0 = π sin(nθ) sin θ n = 0, 1, 2,... (271) (si ricorda inoltre che, dalle formule di prostaferesi, sin(nθ 0 ) sin θ 0 = 1 cos[(n 1)θ 2 0] 1 cos[(n + 1)θ 2 0]). Bisogna verificare che x (0, c) : 1 2πV c 0 γ(ξ)dξ x ξ = α C (x). (272)

32 Lastra piana ad incidenza La soluzione è (C(x) = C (x) = 0): γ(θ) = 2V α cot θ 2 = 2V α 1 x/c x/c. (273) 137/275 Verifica Deve essere soddisfatta l equazione integrale: x (0, c) : 1 2πV c 0 γ(ξ)dξ x ξ = α. (274) 1 2πV c 0 γ(ξ)dξ x ξ = α π = α π π 0 π 0 C.V.D. cot θ 0 sin θ 0 2 cos θ 0 cos θ dθ cos θ 0 cos θ 0 cos θ dθ 0 = α. (275)

33 Il campo di pressione ( ) 2 ( V = 1 + u ) 2 ( + α + v ) u, (276) V V V V trascurando, al solito, i termini del II ordine. ( ) 2 V C p = 1 = 2 u. (277) V V Un attenta analisi della soluzione del problema di Glauert γ(θ) mette in luce che: γ(θ) = γ α (θ) + γ C (θ), (278) γ α (θ): soluzione del caso lastra piana ad incidenza α; γ C (θ): soluzione del caso linea media ad incidenza nulla. Data la linearità del problema lo stesso risultato è valido per u, v e C p : u(x, y) = u α + u C, v(x, y) = v α + v C ; (279) C p (x, y) = C + C p α pc. (280) 138/275

34 Nelle ipotesi di piccoli disturbi (profilo infinitamente sottile con piccola curvatura ed a bassa incidenza) è valido il principio di sovrapposizione degli effetti: il campo di moto è ottenibile per sovrapposizione delle soluzioni lastra piana ad incidenza e linea media ad incidenza nulla. 139/275

35 Analisi della soluzione lastra piana u (x, 0 ± ) = ± γ(x) 1 x/c = ±α ; (281) V 2V x/c C p (x, 0 ± ) = 2 u (x, 0 ± ) = γ(x) 1 x/c = 2α. (282) V V x/c 140/275 Coefficiente di pressione su una lastra piana a α = 5 0 ; soluzione di Glauert.

36 Al bordo di attacco la soluzione è singolare (dove il disturbo in realtà non è piccolo). Al bordo d uscita C p = 0 (condizione di Kutta verificata). 141/275 I coefficienti di forza aerodinamica n: componente della forza aerodinamica (per unità di lunghezza) in 1 y (forza normale); n = C ρ n 2 V c; 2 a: componente della forza aerodinamica (per unità di lunghezza) in 1 x (forza assiale); a = C ρ a 2 V c; 2 s: ascissa curvilinea lungo il profilo C(x) (dx = cos δds).

37 142/275 Relazione con portanza e resistenza: Definizione di carico lungo il profilo: l = n cos α a sin α, (283) d = n sin α + a cos α. (284) C p (x) = C p (x, o ) C p (x, o + ) = 2 γ(x). (285) V Coefficiente di forza normale: T E ( s 1 ( x ) C n = C p (x) cos δ d = C p (x) d. (286) c) c LE 0

38 Il contributo della forza assiale alla portanza è del II ordine e può essere trascurato. C l C n cos α C n = γ(x) ( x ) d V c = 2Γ V c ; (287) l = 2Γ 1 V c 2 ρ V c 2 = ρ V Γ. (288) Il teorema di Kutta-Zukovskij è verificato. 1 γ(x) ( x ) C l 2 d { 0 V c [ π = 4 (α A 0 ) cot θ ] 2 + A n sin(nθ) = 4 [ 0 (α A 0 ) π 0 1 cos 2 θ 2 dθ } 1 sin θdθ 2 ] π A n sin(nθ) sin θdθ 1 0 (289) 143/275

39 C l 4 π 0 π cos 2 θ 0 2 dθ = π 2 ; { π n = 1 sin(nθ) sin θdθ = 2 0 n > 1 [ (α A 0 ) π 2 + π ] 4 A 1 = 2π ( α A 0 + A ) 1 2 (290) 144/275 C l C lα (α α zl ) (291) Per profili sottili a piccoli angoli d attacco la curva C l = C l (α) è una retta. C lα = 2π è il coefficiente angolare della retta di portanza ed è indipendente dal profilo. α zl = A 0 A 1 /2 è l angolo di portanza nulla, dipende solo dalla curvatura del profilo ed è proporzionale ad essa.

40 In modo analogo si calcola il momento di beccheggio (per unità di lunghezza) rispetto al bordo di attacco (positivo se cabrante) ed il relativo coefficiente: C mle = = 2 T E LE 1 0 m le = C mle 1 2 ρ V 2 c 2. (292) C p (x) cos δ x ( s c d c γ(x) x ( x ) c d c ) = 1 0 C p (x) x c d ( x c = π 4 (A 2 A 1 ) C l 4. (293) Il centro di pressione è il punto di applicazione della risultante delle forze aerodinamiche: C l x cp c = C m le x cp c = C m le C l. (294) ) 145/275

41 Il punto rispetto al quale il momento di beccheggio è indipendente dall angolo di attacco si chiama fuoco. 146/275 C mc/4 = C mle + C l 4 = π 4 (A 1 A 2 ). (295) Nei profili sottili a piccole incidenze il fuoco è posto a x = c/4.

42 Le forze aerodinamiche nel caso di lastra piana α zl = 0; C l = 2πα; C mle = C l /4; x cp = c/4; C mc/4 = /275

43 Re 1, M 1; esiste un ampio intervallo degli angoli di attacco in cui i risultati della teoria di Glauert sono in ottimo accordo con i dati sperimentali. C lα = 2π; α zl può essere facilmente calcolato nota la linea media; C mc/4 può essere facilmente calcolato nota la linea media. 148/275

44 Il profilo sottile simmetrico a incidenza nulla 149/275 Equazione del profilo: y = ±T (x), (296) T (x) 1, +: dorso, : ventre. φ(x, y) = V x + ϕ(x, y) ; (297) ϕ(x, y) = 1 c σ(ξ) ln (x ξ) 2π 2 + y 2 dξ, (298) 0 Il potenziale del disturbo è dato da una distribuzione lineare di sorgenti lungo la corda di intensità σ(x) = 2V T (x). (299)

45 Come nel caso linea media ad incidenza, occorre verificare che la condizione al contorno sul corpo sia verificata (imposta lungo la corda): x (0, c) : v V (x, 0 ± ) = ±T (x). (300) Poichè i campi indotti da un vortice e da una sorgente sono ortogonali risulta 3 : v(x, 0 ± ) = ± σ(x) ; (301) 2 con σ(x) = 2V T (x) la condizione (300) è ovviamente soddisfatta. Il campo di moto è singolare al bordo d attacco (dove il disturbo è grande). C p (x) = 0, C l = 0 e C mle = 0. Campi di moto non portanti possono essere descritti con distribuzioni di sorgenti e pozzi. 3 le componenti di velocità sono uguali ma scambiate. 150/275

46 Campo intorno ad un profilo sottile di spessore finito a piccole incidenze Ipotesi 1. ρ = cost, / t = 0, flusso ideale. 2. Corrente asintotica uniforme con α Equazione del profilo: y = C(x) ± T (x), con C(x), C (x), T (x), T (x) 1. C(x): equazione della linea media; T (x): equazione del semispessore del profilo simmetrico. 151/275

47 Soluzione del campo: φ = V (x + αy); c φ = φ 1 y γ(ξ) arctan 2π 0 x ξ dξ + 1 c σ(ξ) ln (x ξ) 2π 2 + y 2 dξ. (302) 0 [ γ(ξ) = 2V (α A0 ) cot θ + A 2 n=1 n sin(nθ) ], C (x) = A 0 n cos(nθ); σ(x) = 2V T (x). Condizioni al contorno imposte tutte lungo la corda (0, c) soluzioni sovrapponibili; vale ancora il principio di sovrapposizione degli effetti: Il profilo simmetrico ad incidenza nulla ha C l = 0:lo spessore non dà contributo alla portanza ed al momento nel caso di piccoli disturbi. 152/275

48 Carico basico e addizionale lungo il profilo α = A 0 = α i (α A 0 ) cot(θ/2) = 0: il carico al bordo d attacco è finito nella soluzione di Glauert. α i : angolo di attacco ideale; il corripondente C l = C li è il coefficiente di portanza ideale. α i = A 0 dipende dalla linea media. Lungo un profilo posto a α = α i vengono minimizzati i valori positivi di dp/dx > 0. Questi gradienti avversi di pressione hanno un ruolo sfavorevole sulla resistenza aerodinamica; presumibilmente il profilo avrà resistenza minima nell intorno di α = α i. Ulteriore decomposizione della soluzione di Glauert: Il carico lungo la lastra piana ad incidenza α α i è denominato carico addizionale. Il carico lungo un profilo infinitamente sottile può essere scomposto in carico basico e carico addizionale. 153/275

49 I profili NACA Definizione della geometria x (0, 1); y = y c (x): equazione della linea media; y = y t (x): equazione del semispessore (profilo simmetrico); tan θ = dy c /dx. 154/275

50 Coordinate dei punti del dorso (upper): Coordinate dei punti del ventre (lower): x U = x y t sin θ, (303) y U = y c + y t cos θ. (304) x L = x + y t sin θ, (305) y L = y c y t cos θ. (306) 155/275 Profili NACA a 4 cifre Semispessore: y t = ± t ( x x x x x 4). (307) t: spessore percentuale del profilo, il punto di spessore massimo è posizionato al 30% della corda, bordo d uscita aguzzo. r t = t 2 : raggio di curvatura del bordo di attacco.

51 Linea media: x p : y c = m p 2(2px x2 ) ; (308) x > p : y c = m (1 p) 2(1 2p + 2px x2 ) ; (309) p: posizione in x del punto di ordinata massima della linea media; m: ordinata massima della linea media. Sistema di numerazione Il profilo è individuato da 4 cifre D 1 D 2 D 3 D 4. D 1 /100 = m, curvatura massima; D 2 /10 = p, posizione del punto di curvatura massima; D 3 D 4 /100 = t, spessore massimo percentuale. 156/275

52 Profili NACA a 5 cifre Semispessore: la distribuzione del semispessore è la stessa della serie a 4 cifre. Linea media: 157/275 x m : y c = k 1 6 [x3 3mx 2 + m 2 (3 m)x] ; (310) x > m : y c = k 1m 3 (1 x). (311) 6 linea media m k

53 Sistema di numerazione Il profilo è individuato da 5 cifre D 1 D 2 D 3 D 4 D 5. D 1 D 2 D 3 individuano la linea media; D 4 D 5 /100 = t, spessore massimo 158/275 NACA 2412 NACA 23012

54 Il metodo ingegneristico NACA assegnato il C l, consente la determinazione delle velocità e delle pressioni lungo un profilo delle famiglia NACA in condizioni di flusso ideale e incomprimibile; non ha una solida base scientifica; si basa sulla sovrapposizione dei campi di velocità ottenuti da risultati esatti ed approssimati (teoricamente non possibile) disponibili sotto forma di tabelle. 159/ Profilo simmetrico ad incidenza nulla; soluzione ottenuta con un metodo esatto. 2. Linea media a C l = C li ; soluzione di Glauert. 3. Profilo simmetrico ad incidenza α α i ; soluzione esatta ottenuta per C l = 1 (valore di riferimento) ed assunta variabile linearmente con il C l (assunzione approssimata).

55 Le soluzioni 1 e 3 (per C l = 1) sono esatte e quindi non hanno singolarità al bordo di attacco. La soluzione 2 è il carico basico, per definizione, finito al bordo di attacco. La soluzione completa, ottenuta con il metodo NACA, non ha singolarità al bordo d attacco. Velocità sul profilo V V = V t V ± v V ± v a V (C l C li ). (312) V t /V : profilo simmetrico a α = 0 o. v/v : linea media a α = α i. v a /V : profilo simmetrico a C l = /275

56 161/275 e

57 162/275 Confronto del metodo NACA con dati sperimentali.

58 163/275

59 Applicazione del metodo NACA 1. Assegnare il profilo (spessore + linea media). 2. Assegnare C l. 3. Consultare la tabella della linea media per determinare C li. Solo le linee medie 6X dei profili a 4 cifre sono dispobili in forma tabulare; per determinare i dati della linea media 2X, ad esempio, occorre moltiplicare per 2/6 = 1/3 i dati della linea 6X (linearità dell effetto della linea media). 4. Calcolare il fattore moltiplicativo per il carico addizionale: f(c l ) = C l C li. 5. Compilare la tabella per il profilo. Il coefficiente di pressione si calcola con la formula C p = 1 (V/V ) 2. x c V t V v a V v a V f(c l ) v V V l V V u V C pl C pu C p 6. Ricalcolare C l = 1 0 C pd(x/c) per verifica. 164/275

60 L ala finita in regime ideale Ipotesi: 1. corrente uniforme V che investe un corpo tridimensionale; 2. regime stazionario; 3. regime ideale (Re r ); 4. regime incomprimibile (M 0). Il campo di moto è a potenziale e l equazione che governa il problema è ancora quella di Laplace: condizioni al contorno: lim φ = φ ; r 2 φ = 0 ; (313) sul corpo: φ n = 0. (314) 165/275

61 166/275 Esiste la possibilità che in piani paralleli al piano (x, z), in cui la sezione dell ala è un profilo alare, il campo di moto sia praticamente bidimensionale? Si, nel caso di ali caratterizzate da AR 1 e freccia Λ 0.

62 Come mai in regime ideale 2D la resistenza aerodinamica risulta nulla, mentre la teoria globale ha messo in luce, in 3D, l esistenza della resistenza indotta dalla portanza? 167/275

63 La differenza di pressione ventre-dorso tende a far ruotare l aria attorno alle estremità alari: alle estremità si formano due vortici controrotanti detti vortici liberi. 168/275

64 I vortici liberi tendono a far scendere l aria per b/2 < y < b/2 (downwash), mentre fanno salire l aria per y < b/2 e y > b/2 (upwash). 169/275

65 Per effetto del downwash (w) i profili alari si trovano a lavorare ad un angolo di attacco effettivo α eff = α α i più piccolo. α i è l angolo di incidenza indotto. La velocità effettiva a cui lavora il profilo (V eff ) ha cambiato direzione: la portanza ad essa perpendicolare ha una componente parallela a V : la resistenza indotta. Il downwash è proprio la componente di velocità associata alla variazione di quantità di moto verticale causa (per la II legge della dinamica) della portanza. 170/275

66 Il sistema vorticoso dell ala Se AR 1 e Λ 0 l esperienza mostra che, a parte le estremità, il flusso è bidimensionale in piani paralleli a (x, z). La teoria di Glauert mostra che un ala infinita infinitamente sottile e poco curva a bassa incidenza è descritta da una superficie vorticosa di intensità Γ = c γ 0 G(x)dx. Se l ala è finita, in generale Γ = Γ(y), in particolare Γ( b/2) = Γ(b/2) = 0. La distribuzione di vorticità γ G con asse parallelo a y costituisce il sistema di vortici aderenti. Se AR 1 il sistema di vortici aderenti può essere schematizzato con un unico vortice di intensità Γ(y). L intensità di un tubo vorticoso non può variare e la circolazione si conserva: per una variazione lungo y pari a dγ = dγ/dy dy deve nascere un vortice di pari intensità diretto come le linee di corrente. Questi vortici, sostanzialmente allineati a V, costituiscono il sistema di vortici liberi. 171/275

67 172/275 Il sistema vorticoso dell ala.

68 Il downwash Il downwash w è la velocità indotta lungo l asse y (x = 0) dal sistema di vortici liberi (w > 0 verso il basso). 173/275 I vortici liberi sono semi-infiniti. Downwash indotto da un vortice elementare infinito: dγ dw = 2π(y y 0 ). (315) Downwash indotto da un vortice elementare semi-infinito: dγ dw = 4π(y y 0 ). (316)

69 Downwash indotto da una distribuzione di vortici liberi lungo l ala: w(y) = 1 4π +b/2 b/2 1 dγ (y 0 )dy 0. (317) (y y 0 ) dy 0 174/275

70 La teoria del filetto portante di Prandtl Nelle ipotesi di piccoli disturbi, l incidenza indotta è piccola: α i (y) w V (y) = 1 4πV +b/2 b/2 1 dγ (y 0 )dy 0. (318) (y y 0 ) dy 0 175/275 α g (y) = α(y) α zl (y): angolo d attacco della sezione misurato rispetto alla retta di portanza nulla del profilo; α eff (y) = α g (y) α i (y): angolo di incidenza effettiva α eff a cui lavora la generica sezione dell ala (rispetto alla retta di portanza nulla del profilo). dl = ρv Γ(y)dy = C lα (y)α eff (y) 1 2 ρv 2 c(y)dy, (319) 2Γ(y) V c(y) = C lα(y)[α g (y) α i (y)]. (320)

71 Sostituendo l espressione integrale di α i (y): 2Γ(y) C lα (y)v c(y) + 1 4πV +b/2 b/2 1 dγ (y 0 )dy 0 = α g (y). (321) (y y 0 ) dy 0 176/275 Noto V e la geometria dell ala (c(y), svergolamento, profili utilizzati e quindi C lα (y)) quest equazione integrale è nell unica incognita Γ(y). Il carico lungo l ala γ = Γ V b = cc l 2b ; (322) Con η = y/(b/2) l equazione integrale (321) diventa: 2b C lα (η)c(η) γ(η) + 1 2π dγ (η 0 )dη 0 = α g (η). (323) (η η 0 ) dη 0

72 Posto η = cos θ: γ(θ) = A n sin (nθ) ; (324) n=1 177/275 si ottiene 4 : w V (θ) = e l equazione da risolvere diventa 2b C lα (θ)c(θ) A n sin(nθ) + n=1 n=1 n 2 A sin(nθ) n sin θ n=1 4 Ricordando l integrale di Glauert e che dγ = dγ dθ dη dθ dη n 2 A sin(nθ) n sin θ (325) = α g (θ). (326)

73 La portanza Assumendo piccoli disturbi: V eff V. L = +b/2 b/2 +b/2 l(y)dy = ρ V Γ(y)dy. (327) b/2 178/275 L C L = 1 ρ 2 V S = AR 2 Sostituendo γ = A 1 n sin(nθ): +1 1 γ(η)dη. (328) C L = π 2 ARA 1. (329) Il coefficente di portanza dipende solo da A 1.

74 La resistenza indotta D i = C Di +b/2 b/2 π 0 +b/2 ρ V Γ(y)α i (y)dy = ρ Γ(y)w(y)dy. (330) C Di = = AR D i 1 ρ 2 V S = AR 2 sin(nθ) sin(mθ)dθ = π b/2 [ ] [ A n sin(nθ) n=1 γ(η)α i (η)dη. (331) { π/2 per n = m 0 per n m n=1 ] n 2 A n sin(nθ) dθ = π 4 AR ( A A A na 2 n +... ). (332) C Di = C2 L πar (1 + δ2 ), dove δ 2 = n=2 na 2 n A 2 1. (333) 179/275

75 Ala con distribuzione di carico ellittica: dove γ 0 = Γ(0)/(V b). Se la distribuzione del carico è ellittica: γ(θ) = A 1 sin θ = γ 0 sin θ, (334) w V = α i = A 1 2 = C L πar. (335) 1. il downwash, quindi α i, è costante lungo l apertura; 2. C Di = C2 L πar è minimo (δ2 = 0) nell ambito di validità della teoria del filetto portante. 180/275

76 L ala ellittica Si può avere come soluzione dell equazione del filetto portante (326) il carico ellittico? Deve essere verificato che 2α g (θ) A 1 = = cost. (336) 4b sin θ 1 + C lα (θ)c(θ) Esistono infiniti modi di combinare forma in pianta, svergolamento e profilo (C lα ) per ottenere il carico ellittico. Uno dei modi, particolarmente interessante, è: 1. α g (θ) = cost, ala non svergolata aerodinamicamente; 2. stesso profilo lungo l apertura, quindi C lα (θ) = cost, α zl (θ) = cost (ala non svergolata anche geometricamente). 3. c(θ) = c 0 sin θ, forma in pianta ellittica. 181/275

77 Per l ala ellittica S = πbc 0 /4. C L = C Lα (α α zl ); C L = C lα 1 + C lα πar (α α zl ). (337) 182/275 C lα C Lα = 1 + C ; quindi C Lα < C lα ; lα πar α zl = α zl ; l angolo di portanza nulla dell ala coincide con quello del profilo. Prob. n. 15: determinare per un ala di assegnato AR e per un dato C L l ordine di grandezza di γ Dall equazione C L = AR +1 1 γdη si può calcolare il valor medio di γ.

78 183/275 Reggiane Re. 2001

79 Carico basico e addizionale lungo l ala Decomposizione del carico lungo l ala: γ(η) = γ b (η) + γ a (η) ; (338) 184/275 γ b (η): carico basico, distribuzione del carico per C L = 0; dipende essenzialmente dallo svergolamento aerodinamico dell ala; γ a (η) = γ(η) γ b (η): carico addizionale, differenza tra la distribuzione attuale e basica del carico; dipende essenzialmente dalla forma in pianta dell ala.

80 Il metodo ingegneristico di Schrenk Permette il calcolo della distribuzione del carico basico e del carico addizionale. Dati: 1. c/(b/2) = f(η): forma in pianta; 2. C lα = C lα (η), α zl = α zl (η): caratteristica di portanza nell intervallo di funzionamento lineare del profilo; 3. ε a = ε a (η): svergolamento aerodinamico. ( +1 C L = AR γ 1 bdη + ) +1 γ 1 adη = AR +1 γ 1 adη; nel tratto lineare della curva di portanza γ a è proporzionale a C L. γ a1 : carico addizionale per C L = 1. γ = γ b + C L γ a1, (339) 185/275

81 Determinazione del carico addizionale AR : il carico è proporzionale alla corda (α i 0, γ = cc l /(2b)). AR 0: l esperienza mostra che, per ali di basso allungamento, il carico diventa ellittico; ipotesi di Schrenk: per AR intermedi il carico addizionale per C L = 1 è dato dalla media tra la distribuzione delle corde effettiva e quella di un ala a forma in pianta ellittica e di pari superficie alare. γ a1 (η) = 1 [c(η) + c ell (η)] 2b 2 c ell (η) = c 0 1 η2 = c 0 sin θ; c 0 = 4S πb. AR +1 1 γ a1 dη = AR 4b [ +1 1 c(η)dη + 4S πb +1 1 ; (340) ] 1 η2 dη = 1. (341) 186/275

82 187/275 Carico addizionale con il metodo di Schrenk Il metodo di Schrenk è in errore alle estremità alari dove il carico dovrebbe essere nullo. Si può tenere conto della variazione del profilo lungo l apertura utilizzando la corda effettiva dell ala c e = cc lα / C lα con C lα = 2 b/2 0 C lα c dy/s.

83 Determinazione del carico basico 1. Si calcola α zl con la formula approssimata α zl = 2 S b/2 0 cε a (y) dy. (342) 188/ Si calcola l angolo di attacco basico con la formula α b = α zl ε a (y). (343) 3. Si assume il carico basico pari alla media tra il carico basico dell ala svergolata e quello della stessa ala non svergolata: γ b (η) = cc l b 2b = cc lαα b 4b, (344) per tenere conto dell effetto di contrasto dello svergolamento dovuto al maggior carico in mezzeria dell ala svergolata.