Il Principio dei Lavori Virtuali

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1 Il Principio dei Lavori Virtuali

2 Considerazioni introduttive L applicazione del Principio dei Lavori Virtuali(PLV nel seguito) ha il fine di determinare la condizione di equilibrio attraverso la connessione tra posizione(cinematica) e campi di forza applicati. Si tratta, di fatto, di un principio di tipo energetico. Fa parte di quella categoria di principi energetici che indicano che i sistemi evolvono nel senso di minimizzare l energia associata ad ogni stato di possibile configurazione. Spostamenti virtuali Dato un qualunque sistema, generalmente vincolato, gli spostamenti virtuali rappresentano tutti i possibili stati (deformazioni deformazioni) che non violino la compatibilità dei vincoli. In genere si considerano tali spostamenti infinitesimi, ossia come piccole perturbazioni rispetto allo stato iniziale Spostamento infinitesimo compatibile con i vincoli e reversibile

3 Considerazioni introduttive Prendiamo in esame il caso della trave incastrata ad una estremità Gli spostamenti reali della trave originati dalla presenza della forza esterna F possono essere calcolati attraverso l equazione della linea elastica. Essi sono tutti diretti verso il basso. Tuttavia è possibile tracciare una deformata virtuale virtuale che è ancora compatibile con I vincoli, ma I cui punti subiscono spostamenti verso l alto e verso il basso. Quindi essa non è in relazione con il carico applicato Il lavoro compiuto dalle forze agenti sul sistema per uno spostamento virtuale prende il nome di lavoro virtuale IlPLVesaminalacondizioneincuisitrovailsistemaimmaginandocheessopossasubire una variazione di configurazione a seguito di spostamenti virtuali, e valuta il lavoro delle forze agenti per tali spostamenti virtuali, ossia il lavoro virtuale

4 Considerazioni introduttive Se le forze agenti non hanno possibilità di compiere lavoro virtuale positivo, la configurazione è di equilibrio Viceversa, se la configurazione è di equilibrio, non è possibile discostarsene facendo compiere alle forze agenti lavoro virtuale positivo La formulazione originaria del PLVsi deve a Lagrange e recita Condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio di ogni sistema materiale a vincoliperfettièchesiaugualeazeroilvalorevirtualedelleforzeattiveperilpiùgenerico spostamento virtuale oppure(formulazione alternativa) Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema materiale sia in equilibrio, è che sia nullo il lavoro virtuale delle forze attive associato a qualunque spostamento virtuale compatibile In pratica il principio asserisce che ad un sistema perfettamente equilibrato e nella sua deformazione vera, se si perturba infinitesimamente la sua condizione, le forze esterne applicate non compiono lavoro il sistema non cambia stato energetico L energia totale è in una condizione di stazionarietà.

5 Campi di applicabilità del PLV A corpi rigidi o deformabili A strutture staticamente determinate o indeterminate(iso, iper, ipostatiche o labili) In presenza di non linearità di forze o spostamenti In presenza di vincoli cedevoli ossia vincoli con rigidezza finita In presenza di effetti legati alle dilatazioni termiche In presenza di stati di tensioni residue ossia tensioni interne alla struttura Tuttavia noi considereremo solo l applicazione a travi staticamente determinate e non ma sempre in regime elastico lineare. Saranno presi in considerazione casi con cedimenti vincolari e carichi dovuti a gradienti termici. In particolare applicheremo il PLV per Calcolare le reazioni nei vincoli di sistemi iperstatici(in questo caso si considera il corpo come deformabile e anche gli sforzi compiono lavoro virtuale) Studiare le deformazioni elastiche per sistemi isostatici e iperstatici(anche in questo caso si considera il corpo come deformabile e anche gli sforzi compiono lavoro virtuale)

6 PLV per strutture deformabili Consideriamo la trave in figura: ad essa sono applicati carichi concentrati, distribuiti, momenti flettenti e momenti torcenti La distribuzione degli sforzi che agiscono su una generica porzione della trave è data dalla sovrapposizione delle distribuzioni degli sforzi derivanti dall azione assiale, dal taglio, dal momento flettente dal momento torcente. Sotto l azione dei carichi applicati, la struttura è in equilibrio, quindi la distribuzione degli sforzi all interno della struttura è tale per cui ogni concio di trave di lunghezza dz è in equilibrio Supponiamo ora di imporre alla trave una deformata virtuale, tale cioè che coinvolga solo spostamenti infinitesimi compatibili con i vincoli e reversibili.

7 78 3 =: 3 ;8+= 3 >8 P 1 P 2 z y P 1 z 1 z 2 P 2 Consideriamo un tronco finito P 1 P 2 della trave 3 4 > C <3 4 C Inifinitesimalitàdegli spostamenti: gli spostamenti non modificano di molto la posizione delle forze, che possono considerarsi applicate alla configurazione indeformata.

8 PLV per strutture deformabili Supponiamo ora di imporre alla trave una deformata virtuale, tale cioè che coinvolga solo spostamenti infinitesimi compatibili con i vincoli e reversibili. SiindichinoconF i leforzeesterneagentisullatraveecon i leproiezioni,secondo la direzione e il verso della forza, degli spostamenti del loro punto di applicazione. Il lavoro delle forze esterne è allora espresso da: C F =GH I Δ I I Si indichino poi con N i le risultanti delle azioni interne e con δ i i corrispondenti spostamenti virtuali. Il lavoro virtuale interno è espresso dalla relazione: C I =GL I M I I

9 Lavoro virtuale delle forze esterne Il lavoro delle forze esterne è il lavoro compiuto dalle forze esterne applicate alla struttura durante lo spostamento virtuale C FNO =GH I Δ I I Seilcaricoesternoèunaforza forza, il lavoro virtuale è dato dal prodotto scalare della forza per lo spostamento del suo punto di applicazione per effetto della deformazione virtuale Seilcaricoesternoèunacoppia coppia, il lavoro virtuale è dato dal prodotto scalare della coppia per la rotazione del suo punto di applicazione per effetto della deformazione virtuale PC FNO,Q =H I PR I PC FNO,S =T I PU I C FNO =GH I PR I I +GT I PU I I Seilcaricoesternoèuncarico distribuito, il calcolo del lavoro compiuto si traduce nella valutazione di un integrale esteso alla lunghezza dell elemento su cui agisce il carico distribuito stesso, ma in pratica la valutazione di questo integrale non è necessaria

10 Il lavoro delle azioni interne è funzione della deformazione subita dall elemento durante lo spostamento virtuale In figura sono rappresentate le possibili deformazioni virtuali del generico elemento di lunghezza iniziale dx. Si vuole valutare il lavoro delle forze interne sull elemento considerato per le quattro deformazioni virtuali illustrate Lavoro delle forze interne per lo spostamento virtuale dδ Sullo spostamento virtuale dζ lavora solo l azione interna N mentre le altre azioni presenti non compiono lavoro Lavoro delle forze interne per lo spostamento trasversale virtuale dη. Sullo spostamento virtuale dλ lavora solo l azione ditagliot.(nota:dλ=γdzessendo γfattoreditaglio Lavoro delle forze interne per la rotazione virtuale dφ Sulla rotazione virtuale d φ lavora solo l azione interna di flessione M Lavoro delle forze interne per la rotazione virtuale tra due sezioni dφ. Sulla rotazione virtuale dφ lavora solo l azione internadimomentotorcentem t (PC I ) [ =NP\ (PC I ) ] =TP^ (PC I ) S = TP` (PC I ) SO =TPU

11 N,M,TeM t sonolerisultantidelleazioniinternerealinellastrutturaoriginatidai carichi applicati, mentre dδ, dθ, dλ e dφ sono gli spostamenti interni generalizzati associati alla deformazione virtuale. (PC I ) [ =NP\ (PC I ) ] =TP^ (PC I ) S = TP` (PC I ) SO =T O PU P\=b Pc=^ P`= d PU=Φ Il lavoro dl i complessivamente compiuto dalle azioni interne sull elementino dz, pertanto, risulta essere PC I =(PC I ) [ +(PC I ) ] +(PC I ) S +(PC I ) Sa PC I =NP\+TP^ TP`+T O PU PC I =Lb+fg+Td+T O Φ PC I = Lb+fg+Td+T O Φ Il lavoro L i compiuto dalle azioni interne sulla struttura sarà dato dall integrale C I =h Lb+fg+Td+T O Φ

12 Principio dei Lavori Virtuali Si mostra che, sotto le condizioni di sistema equilibrato di forze infinitesimalità, congruenza, compatibilità con i vincoli, del sistema di spostamenti il lavoro totale esterno uguale al lavoro totale interno Si consideri la generica struttura soggetta a vincoli e carichi esterni, ed una deformata virtuale (non legata ai carichi esterni). 3 4 > C <3 4 C Inifinitesimalitàdegli spostamenti: gli spostamenti non modificano di molto la posizione delle forze, che possono considerarsi applicate alla configurazione indeformata.

13 Principio dei Lavori Virtuali Consideriamo un tronco di trave finito compreso tra i punti P 1 e P 2. Su di esso agiscono le forze esterne f(z)e le azioni agenti sulle sezioni in P 1 e P 2 : N 1, T 1, M 1, N 2, T 2, M 2 (per semplicità, nella trattazione non si terrà conto del momento torcente)

14 Lavoro virtuale delle forze esterne Di seguito si indicheranno con N, T, M le azioni interne REALIgenerate dalle forze esterne. Con gli apicisi indicheranno le grandezze (spostamenti, azioni interne) relative alla deformazione VIRTUALE (fittizia). Nella configurazione deformata, il punto P 1 si porterà in P 1 ed il punto P 2 in P 2. Gli spostamenti v, w e ϕ dei due punti sono rappresentati in figura. Sul tronco di trave compreso tra P 1 ep 2. Su di esso agiscono le forze esterne f(z) e le azioni agenti sulle sezioni in P 1 e P 2. Scriviamo il lavoro compiuto dalle forze esterne (lavoro esterno)

15 Lavoro virtuale delle forze esterne Scriviamo l espressione per il Lavoro esterno (si noti che in P 1 il lavoro è negativo): l C F =i 4 :j 1 +=k 1 l 6 +L 2 k m 2+f 2 j m 2 T 2`m2 (L 1 k m 1+f 1 j m 1 T 1`m1) Gli ultimi 6 termini equivalgono a Lk m +fj m T`m 6 4 previa derivazione, si possono portare dentro l integrale l 4 C F =h :j +=k + Lk m +fj m T`m 6 4 l 6 l 4 C F =h :j +=k + P(Lkm ) l 6 Sviluppando le derivate si trova + P(fjm ) P(T`m) l 4 C F =h :(3)j +=(3)k + PL km +L Pkm +Pf jm +f Pjm P`m PT `m T l 6

16 Si ricorda che consideriamo un sistema di forze equilibrato ed un sistema di spostamenti virtuali congruente : PL +p(z)=0 Pf +q(z)=0 PT T(z)=0 Sistema equilibrato in forma forte, rappresenta l equilibrio per ogni elementino del tronco di trave. Pj =` +g Pk =b P` = d Congruenza ed infinitesimalità degli spostamenti virtuali

17 Lavoro virtuale delle forze esterne Pf +q(z)=0 l 4 C F =h :(3)j +=(3)k + PL km +L Pkm +Pf jm +f Pjm P`m PT `m T l 6 PL +p(z)=0 l 4 C F =h L Pkm P`m +fpjm PT `m T l 6 Pj PT Ricordando che =` +g e che T(z)=0 si trova l C F =h L Pkm +f(`m+g m ) f`m T P`m 4 l 6

18 Lavoro virtuale delle forze esterne Quindi si trova: l C F =h L Pkm P`m 4 +fgm T l 6 Infine, ricordando che l 4 C F =h Lb +fg m +Td l 6 =C I Pk m =b Pc =g P` = d E sostituendo nell espressione precedente si ottiene: l 4 C F =h Lb +fg m +Td l 6 =C I Ovvero, il lavoro compiuto dalla forze esterne è uguale al lavoro delle azioni interne

19 Abbiamo visto che il lavoro esterno è uguale al lavoro interno. Vediamo ora come arrivare a scrivere un sistema di equazioni utile perla risoluzione di problemi pratici. Simbologia: Con N, M e T(V) indicheremo le azioni interne riferite alla struttura REALE Con N, M e T (V ) indicheremo le azioni interne della struttura FITTIZIA Si ricordi che: P\ m =b m P^m=g m P` = d m PU =Φ m b = L st g = uf vt d = T sw Φ = T O vx y Trazione Taglio Flessione Torsione Sostituendo nell espressione del lavoro infinitesimo dl i si trova: PC I =N L st +Tuf vt +TT sw +TT O vx y

20 PerottenereillavoroL i complessivamentesvoltosullastrutturaoccorreintegrare l4 C I =hpc I =h N L st +Tuf vt +TT sw +T{T O vx y l6 Facciamo ora alcune considerazioni sulla struttura reale, sui carichi agenti su di essa, e sulle azioni interne che ne derivano. In generale, si consideri una struttura sulla quale agiscono m carichi, e sia L i il generico carico agente. Per effetto di tali carichi, nella struttura si genera una distribuzione delle azioni interne che, nella generica sezione identificata dalla coordinata z può essere espressa genericamente come: N(z), T(z), M(z), M t (z). Poiché si sta considerando il problema elastico-lineare e soggetto a spostamenti infinitesimi, la generica azione interna può essere espressa come la somma dei contributi attribuibili a ciascun carico. Pertanto, ad esempio, per l azione normale, si può scrivere:

21 Poiché si sta considerando il problema elastico-lineare e soggetto a spostamenti infinitesimi, la generica azione interna può essere espressa come la somma dei contributi attribuibili a ciascun carico. Pertanto, ad esempio, per l azione normale, si può scrivere: N z =N 6 (z) +N 4 (z)+ +N (z)=gn (3) N z =n 6 (z) L 6 +n 4 (z) L 4 + +n (z) L =Gn (3) L Dove L i è il generico carico agente sulla struttura, ed n i il coefficiente di proporzionalità tra il carico i-esimo ed relativo contributo N i all azione normale N(z). Analogamente, per il taglio, momento flettente e momento torcente si può scrivere: ƒ6 ƒ6 T z =Gt L ƒ6 M z =Gm L ƒ6 M z =Gm L ƒ6

22 Consideriamo il caso in cui la struttura sia n volte iperstatica e soggetta a p carichi esterni. Come visto in precedenza, per risolvere il problema è possibile associare alla sistema iperstatico un sistema equivalente costituito da una struttura isostatica soggetta ai medesimi carichi esterni e ad n forze che rappresentano l azione dei vincoli sovrabbondanti soppressi. Indicando con L e il generico carico esterno e con X la generica iperstatica, si ha la seguente situazione: m Carichi complessivamente agenti L k p Carichi esterni (noti) L ej n iperstatiche (da determinare) X i m=p+n

23 m carichi agenti, L k p Carichi esterni, L ej ej n iperstatiche, X i m=p+n le azioni interne possono quindi essere scritte nella forma: y Œ Œ N z =Gn (3) L =Gn Š L FŠ +Gn X =n +Gn X ƒ6 ƒ6 Iƒ6 Iƒ6 dove si è posto: y n =Gn Š L FŠ Iƒ6 Analogamente, per il taglio, momento flettente e momento torcente, si ha: Œ T z =t +Gt X Iƒ6 Œ M z =m +Gm X Iƒ6 M z =m +Gm X ƒ6

24 Torniamo all espressione del lavoro interno l4 C I =hpc I =h N L st +Tuf vt +TT sw +TT O vx y l6 Assumiamo come deformazioni virtuali quelle reali: b = n Œ + Iƒ6n X st Œ Iƒ6 ) g = u(t + t X vt d = m Œ + Iƒ6m X sw Φ = m + ƒ6 m X vx y

25 Se si considera la struttura isostatica associata come soggetta ai soli carichi esterni L ej, le azioni interne sarebbero date da: y y N z =G(n Š (3) L FŠ ) =n (3) T z =G(t Š (3) L FŠ ) =t (3) ƒ6 ƒ6 y M z =G(m Š (3) L FŠ ) ƒ6 =m (3) M z =G(m Š (3) L FŠ ) Šƒ6 =m O (3) Analogamente, se si considera la struttura isostatica associata come soggetta alla sola iperstatica X i, le relative azioni interne sono: N z =n 3 X M z =m (z) X T z =t 3 X M z =m (z) X

26 Si consideri la struttura isostatica associata e si applichi principio dei lavori virtuali n volte, per ciascuna delle quali si facciano le seguenti assunzioni: il sistema di forze sia dato dalla sola iperstatica h-esima di valore unitario il sistema di spostamenti sia il sistema di spostamenti reali. sistema di forze: N z =n 3 X =n 3 1=n f z =t 3 X =t M z =m (z) X =m M z =m (z) X =m sistema di spostamenti: b= n Œ + Iƒ6n X st Œ Iƒ6 ) g= u(t + t X vt d= m Œ + Iƒ6m X sw Φ= m + ƒ6 m X vx y

27 Lavoro esterno. L unica forza agente sulla i-esima struttura fittizia associata è l iperstatica Xi. Pertanto il lavoro esterno associato sarà pari al valore dell iperstatica per lo spostamento del punto di applicazione di quest ultima. Se l iperstatica h-esima è una coppia, lo spostamento sarà una rotazione. L =X δ Successivamente, nella formulazione delle equazioni di muller-breslau, il lavoro sarà genericamente indicato con η. In particolare, il lavoro esterno relativo all azione della i-esima iperstatica sarà indicato con: η =X δ

28 Il lavoro interno elementare relativo alla iperstatica h-esima sarà: dl =N εdz+t γdz+m κdz+m Φdz dl =N Œ n + Iƒ6n X st dz+t Œ u(t + ƒ6 t I X I ) vt dz+m Œ m + Iƒ6m X sw m + Šƒ6 m I X dz+m vx y dz dl =n Œ n + ƒ6n X st Œ u(t + Iƒ6 t X I ) dz+t vt Œ m + Iƒ6m X dz+m sw m + ƒ6 m I X dz+m vx y dz dl = n n st +ut t vt +m m + m m sw vx y dz+ n Œ Iƒ6n Š X Š st +u t Œ Iƒ6t X I vt + m Œ Iƒ6 m IX sw + m ƒ6 m I X vx y dz Per ottenere il lavoro totale integriamo sul tratto (finito) di struttura L =hdl =h n n st +ut t vt +m m + m m sw vx y dz+h n Œ Iƒ6n Š X Š st +u t Œ Iƒ6t X I vt + m Œ Iƒ6 m IX sw + m ƒ6 m I X vx y dz L =h n n st +ut t vt +m m + m m sw vx y dz+h Œ Iƒ6 n n I X I st +u Œ Iƒ6 t t X I vt + Œ Iƒ6 m m X sw + m ƒ6 m I X vx y dz L =h n n st +ut t vt +m m + m m sw vx y Poniamo: ^ =h st +u{ { vt + sw Œ dz+gx h n n st +ut t I vt +m m I sw + O O vx y Iƒ6 + m m I vx y dz ^ I =h I st +u{ { I vt + I + O OI sw vx y

29 Ricordando che per il teorema dei lavori virtuali, il lavoro interno è uguale al lavoro esterno, si può scrivere: C FNO, =C IŒO, C FNO, =^ = M C IŒO, =^ +^ I Œ ^ =^ +G^ I I Iƒ6 Quindi, applicando il PLV n volte (una volta per ciascuna iperstatica, si ottiene: ^66 6+^ ^6Œ Œ=^6 ^6 ^46 6+^ ^4Œ Œ =^4 ^4. ^Œ6 6+^Œ4 4+ +^ŒŒ Œ =^Œ ^Œ ^I =h I st +u{ { I vt + I + O OI sw vx y ^I =h I st +u{ I{ vt + I + OI O sw vx y Il risultato è un sistema lineare di n equazioni in n incognite. I coefficienti si determinano sulla base delle iperstatiche unitarie agenti sugli schemi isostatici associati. Solamente i termini η i0 dipendono dal carico (n 0, t 0, m 0, m t0 ). La matrice del sistema è simmetrica, η ij = η ji (n i n j = n j n i, etc)