L utilizzo dei derivati. Il problema della definizione degli scenari probabilistici naturali. Roma, 24 novembre Servizio Gestione dei Rischi

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1 Servizio Gestione dei Rischi L utilizzo dei derivati. Il problema della definizione degli scenari probabilistici naturali A. Rossetti Responsabile della Divisione Gestione rischi finanziari Servizio Gestione rischi finanziari - Banca d Italia - Roma Roma, 24 novembre 2017

2 Scaletta intervento a) Definizioni alternative di immunizzazione del rischio di tasso d interesse b) Probabilità risk-neutral e naturali c) Metrica appropriata di rischio, calcolo degli esiti della posizione: un criterio ragionevole per operare; d) Principali conclusioni e questioni aperte. 2

3 L utilizzo dei derivati. Il problema della definizione degli scenari naturali Definizioni alternative di immunizzazione dal rischio di tasso Una posizione in attività finanziaria può essere considerata immunizzata se: si è in grado di dire ex-ante il tasso di rendimento conseguito ex-post su un intervallo di tempo T (esempio z.c.b. emesso da un prenditore non defaultable); Oppure.. si è in grado di dire ex-ante che il tasso di rendimento sarà quello di un rollover al tasso di mercato di volta in volta variabile per attività risk-free (esempio titoli indicizzato perfettamente emesso da un prenditore non defaultable). Le distinzioni richiamano le diverse radici del prezzo del capitale: tempo, rischio di mercato e rischio di credito 3

4 L utilizzo dei derivati. Il problema della definizione degli scenari naturali Definizioni alternative di immunizzazione dal rischio di tasso. Tasso deterministico Esigenza di costituire un capitale fissato alla data t, che fissa l holding period dell investimento oltre il quale l impiego si azzera. In sostanza è per l investitore che compra la remunerazione del tempo e quella del costo opportunità. Minimo rischio reinvestimento massimo rischio costo opportunità La prassi gestionale a livello di portafoglio è quella di generare un allocazione t.c. il rischio di reinvestimento sia della stessa entità (a mano di infinitesimi di ordine inferiore) del rischio c/capitale. Questo si ottiene quando la duration del portafoglio coincide con l holding period (teorema di Babcock, 1984); infatti Rendimento ex-post=irrex-ante+(1-d/hp)*dirr+ε NB la tesi è sottoposta ad alcune ipotesi semplificatrice legate all entità delle escursioni dei tassi, alla costanza della pendenza della curva dei rendimenti e alla gestione del portafoglio soggetto a frequenti ribilanciamenti. 4

5 L utilizzo dei derivati. Il problema della definizione degli scenari naturali Definizioni alternative di immunizzazione dal rischio di tasso. Tasso incerto exante E funzionale ad un investitore che abbia l esigenza di investire ad un saggio il linea con l andamento dell economia, per esempio per mantenere una certa proporzione tra alcune grandezza e il suo capitale. In sostanza è per l investitore che compra il fattore tempo. Massimo rischio di reinvestimento minimo rischio costo opportunità. La prassi gestionale a livello di portafoglio è quella di generare un allocazione t.c. il c/interessi vari molto e ciò renda stabile il c/capitale Questo si ottiene creando portafogli di sostanziali titoli indicizzati (anche costruiti anche in maniera sintetica, p.e. tramite derivati). 5

6 La logica del pricing dei derivati (la valutazione risk-neutral) Costruire un portafoglio comprensivo di derivato e sottostante tale che sia immunizzato Le incidenze sono funzione delle derivate parziali cioè sostanzialmente delle elasticità ai fattori di rischio Siccome il portafoglio è immunizzato rende il riskfree (se richiede capitale) o vale zero (se è una struttura funding, come lo swap), da tale condizione estrapolando il prezzo del derivato si ottiene il suo pricing 6

7 La valutazione neutrale nei confronti del rischio : il prezzo Nell approccio di pricing rappresentato nessuna variabile dipende dall avversione al rischio dell operatore per cui il risultato, cioè il prezzo del derivato, NON dipende dall avversione al rischio ai fini del pricing si possono fare tutte le assunzioni che semplifichino il pricing rispetto all avversione per esempio che si sia tutti neutrali, ovvero che tra una lotteria con rendimento pari a i con p=1 e una con rendimento pari a i con p<1 si sia indifferenti per cui nessuno chiederà premi al rischio e tutte le attività avranno un rendimento atteso pari al tasso risk-free Conseguenze: 1. nell attualizzazione si usa la curva dei risk-free 2. Nel mondo naturale sia i flussi a numeratore (rendimento) ponderati con le probabilità sia il tasso a denominatore (sconto) presenteranno INVECE i premi al rischio: la risk-neutral valutation funziona perché questi due effetti si elidono 3. Il derivato avrà lo stesso valore per tutti gli operatori INDIPENDETEMENTE dalla loro avversione al rischio e dalla loro curva di utilità 7

8 Probabilità risk-neutral e naturali Il risultato del pricing risk-neutral consente una determinata interpretazione del parametro che pondera i flussi come di una probabilità «posticcia» che distorce il prodotto flussi*prob e rende il loro valore atteso scontato al risk-free coincidente a quello che si avrebbe valutando i flussi con le probabilità naturali e scontando con il rendimento atteso (i+premio) Per cui la valutazione risk-neutral è corretta per il pricing ma le probabilità risk-neutral (=distorte) NON vanno bene per la costruzione di scenari, cioè per il risk-management I dati storici sono frequenze sotto la misura naturale ma non è detto che siano sic et simpliciter buoni previsori 8

9 L idea visiva dell avversione al rischio Data una lotteria che fornisca B con prob p e A con prob (1-p). Vale la disuguaglianza di Jensen: se U( ) è una funzione concava e W è una variabile casuale con varianza diversa da zero, allora: E(U(W*)) > U h (E(W*)). L utilità richiesta è U(pA+(1-p) vs pu(a)+(1-p)u(b) e il PREMIO RICHIESTO è il segmento h-j 9

10 Scenari probabilistici sotto la misura naturale: un possibile approccio non storico Nella gestione del profilo di rischio-rendimento di un intermediario vi è la necessità di ragionare sulle probabilità naturali; La non oggettività della stima dei premi rende la procedura della definizione degli scenari naturali non utilizzabili nei confronti della «clientela»; L implementazione per la funzione di risk-management si basa sulla cd simulazione Monte Carlo il cui funzionamento è in essenza semplice: la probabilità viene determinata costruendo un elevato numero di possibili outcomes e sezionando la distribuzione ottenuta al percentile desiderato. Per utilizzare il Monte Carlo si deve preliminarmente definire l equazione o l insieme di equazione che descrivono il sistema che si vuole stimare, con il Monte Carlo si stima la componente stocastica 10

11 T P dp r-free 30Y exp(rp) s.d. ε (0,1) ,764 0,019 0,025 0,2 0, ,764 1, ,019 0,025 0,2 0, ,8563-1,5034 0,019 0,025 0,2-0, ,3529-1, ,019 0,025 0,2-0, , , ,019 0,025 0,2 1, ,5956 0, ,019 0,025 0,2 0, ,067-2, ,019 0,025 0,2-1, ,846 1, ,019 0,025 0,2 0, ,9683 1, ,019 0,025 0,2 0, ,5272-0, ,019 0,025 0,2-0, ,2853 4, ,019 0,025 0,2 2, ,5649-2, ,019 0,025 0,2-1, ,4165 1, ,019 0,025 0,2 0, ,7572 0, ,019 0,025 0,2 0, ,0787-1, ,019 0,025 0,2-0, ,1311 0, ,019 0,025 0,2 0,23 11

12 L utilizzo dei derivati. Il problema della definizione degli scenari naturali Un esempio di stima degli scenari naturali su uno swap Lo swap è una posizione lunga in un tasso fisso finanziata con un posizione a tasso variabile. La posizione opposta è quella del venditore dello swap Al momento della stipula poiché il tasso variabile è ottenuto tramite i tassi forward il valore di mercato dello swap è zero. Di seguito, l evoluzione dei tassi genera il cambiamento del valore di mercato del contratto: gli scenari di gestione del rischio implicano la stima della distribuzione di probabilità del valore dello swap sotto la misura naturale. Per fare questo posso stimare la relazione tra le duration delle due gambe dello swap, le escursioni stimate dei tassi e il valore di mercato del contratto. 12

13 L utilizzo dei derivati. Il problema della definizione degli scenari naturali Un esempio di stima degli scenari naturali su uno swap 13

14 L utilizzo dei derivati. Il problema della definizione degli scenari naturali Un esempio di stima degli scenari naturali su uno swap Il modello con cui stimiamo i tassi è un approccio autoregressivo (le variabili correnti dipendo dai valori che le stesse hanno assunti nel passato) che utilizza le serie storiche ma anche alcuni prior dell analista (modello bayesiano, CD VAR bayesiano). Le due distribuzioni ottenute dalla storia (logica frequentista) e quella ricavata dagli a priori (logica bayesiana) si fondono nella distribuzione a posteriori. Ricampionando con il Monte Carlo i residui delle equazione si generano le traiettorie delle variabili per cui dei tassi e per questa via del valore del derivato. 14

15 L approccio bayesiano di stima dei rendimenti «Prior» Stimatore «classico» Ottica frequentista Parametri come entità fisse (inconoscibili, da stimare in funzione delle osservazioni campionarie). I momenti distributivi del parametro stimato danno conto del possibile errore nella stima Approccio bayesiano I parametri sono essi stessi variabili casuali, in quanto su di essi il gestore è chiamato ad esprimere un pronostico (concezione soggettiva della probabilità). La stima della loro distribuzione prende in input le osservazioni campionarie e l esperienza dell analista 15

16 L approccio bayesiano di stima dei rendimenti Un esempio di una traiettoria Monte Carlo sullo spread corporate Periodo Valore Valore Q317 (t) 0,91 0 (Deterministico) Q417 (t+1) 0,951 = 0,22+0,82 0,91+(-0,0153) -0,0153 Q118 (t+2) 1,3929 = 0,22+0,82 0,951+0,3969 0,3969 Q218 (t+3) 1,1130 = 0,22+0,82 1,3929+(-0,2433) -0,2433 Q318 (t+4) 1,3668 = 0,22+0,82 1,1130+0,

17 L approccio bayesiano di stima dei rendimenti Un esempio di una traiettoria Monte Carlo sullo spread corporate 17

18 La distribuzione del tasso a breve e del rendimento a lunga ottenute con il modello VaR bayesiano 18

19 La distribuzione naturale delle variazioni di valore dello swap stimata con il VaR bayesiano 19

20 L utilizzo dei derivati. Ambiti di riferimento. La logica ALM ALM? NO SI RIFERIMENTO A SINGOLE POSTE LOGICA MARK-TO- MARKET IL BILANCIO E SIMILE AD UN PORTAFOGLIO / IL RIFERIMENTO E AL PATRIMONIO IMMUNIZZAZIONE FISSANDO UN RENDIMENTO EX-ANTE? NO TRAMITE I DERIVATI TRASFORMARE IL PATRIMONIO IN UN TITOLO INDICIZZATO SI TRAMITE DERIVATI TRASFORMARE LA DURATION DEL PATRIMONIO UGUAGLIANDO L HOLDING PERIOD CONTROLLO DEL RISCHIO E RISULTATI RIFERITI A SINGOLI CONTRATTI/POSIZIONI CONTROLLO DEL RISCHIO E RISULTATI RIFERITI AL PATRIMONIO/ questioni aperte: metrica rischio e funzione obiettivo 20

21 L utilizzo dei derivati in una logica ALM Conclusioni In un ottica ALM, da un punto di vista meramente finanziario: I contratti derivati sui tassi dovrebbe essere volti a controllare-coprire il rischio non di singole poste ma del patrimonio Il risultato finale del derivato non dovrebbe essere letto stand-alone ma riferito all intero bilancio (Es. se l IRS trasforma l indebitamento variabile in fisso e i tassi scendono la perdita dovrebbe essere confrontata con il capital gain implicito dell asset a tasso fisso inscritto in attivo) Posizioni in volatilità (opzioni) in generale non rientrano in politiche di copertura del rischio sul patrimonio in quanto il vega del bilancio iniziale è nullo, per cui le operazioni ceteris paribus possono aggiungere rischio sul patrimonio Le metriche di rischio basate sulla dispersione della performance sono indicatori di alea appropiati anche nel caso di bilancio a costi storici. La dinamica è inferibile stimando il prezzo del rischio 21