Proprietà strutturali

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1 Cotroll utomt Propretà strutturl L8 Propretà strutturl Mod propr e mod fort Stltà Cotrollo degl stt e otrollltà Osservoe degl stt e osservltà L8 /8

2 Propretà strutturl Mod propr e mod fort L8 Mod propr e mod fort TC x(t) y(t) Ax(t) Bu(t) Cx(t) Du(t) L sx(s) x() Ax(s) Bu(s) y(s) Cx(s) Du(s) x(s) (si A) y(s) Bu(s) C (si A) B Du(s) C (si A) evoluoefort (si A) x() evoluoeler x() L8 4/8

3 Mod propr e mod fort TC y () y () y y y m u (m) u u u s y(s) sy(s) y(s) m s m Y (s) u(s) su(s) u(s) U (s) y(s) m ms s u(s) s s evoluoe fort Yo (s) U(s) s s evoluoe ler L8 5/8 Fuoe d trsfermeto (fdt) s G(s) G(s) C(sI A) G(s) y(s) u(s) ms s odo l ulle B D s s m L y C dj(si det(si f, o (t) A)B A) m D G(s) Per sstem ler vrt l fdt G(s) è u fuoe role: N(s), doven(s) e D(s) soo polom D(s) s L8 6/8

4 Fuoe d trsfermeto (fdt) s Il pssggo VS fdt è dto dll reloe G(s) C(sI A) B D C dj(si A) B D det(si A) C dj(si A) B Ddet(sI det(si A) ms s s s m o A) m L8 7/8 x(s) y(s) (si A) Bu(s) Cdj(sI A)B det(si A)D u(s) det(si A) evoluoefort Als dell dm TC (si A) x() Cdj(sI A)x() det(si A) evoluoeler N(s) N (s) m ms s Yo (s) U(s) y(s) u(s) s s s s evoluoefort evoluoeler D(s) Nu(s) Ipotes semplftv: u(s) D (s) u L8 8/8

5 Ipotes semplftv: D(s) e D u (s) ho rd dstte. N(s) Nu(s) N(s) y(s) D(s) D (s) D(s) D(s) D u (s) y(s) u (s u (s ) Als dell dm TC u u r ru s s u ) r s evoluoefort evoluoeler L8 9/8 Mod propr e mod fort L - y(t) t ut re rue u evoluoefort t re evoluoeler e e u t t mod mod propr fort L evoluoe fort è u omoe lere d mod propr e d mod fort L evoluoe ler è u omoe lere d mod propr Nel so d pol ompless ougt e/o multpl, rsultt ssumoo form smle L8 /8

6 Clolre l rspost el tempo del sstem desrtto dll fdt G(s), per u gresso grdo mpo 5 e d odo l Y G(s) (s )(s 3) 5 y() u(t) 5 u(s) ; Y s y() soluoe: modpropr modo for. modpropr t 3t t t 3t y(t) 3e e e e e 3e t ev. for. e 3t e L8 /8 t Esempo TC ev.l. fdt: G(s) N(s) D(s) pol: rd del deomtore er: rd del umertore gudgo storo: K gudgo d sm. Prmetr dell fdt s D(s) N(s) s utvl.a posoe K p velotà K v eleroe K L8 /8 st o umero d tegrtor lm s G(s),

7 Prmetr dell fdt s ostt d tempo: (per pol gudgo ( K rel) prte rele pol lm s s m G(s) ompl.o.) Defte le grdee preedet, è possle rppresetre l fdt dvers mod; d volt volt, se l prolem orrete, s potrà seglere l form pù oveete. L8 3/8 Forme ohe dell fdt s m ms s polomle: G(s) s s (s ) (s ) fttort: G(s) m K (s ) (s ) r r fro prl: G(s) s s ostt d tempo: s prtolr G(s) K o: st (pol s m s s s, j j sempl.) L8 4/8

8 Mod del prmo orde Il modo del prmo orde orrspode u polo rele: g(s) s K g(t) Ke t form grf L8 5/8 Mod del prmo orde Mod propr del prmo orde: exp(lmd*t) o lmd=-, -,, Mod propr del prmo orde: exp(lmd*t) o lmd=-, -,, lmd Ampee Ampee Tempo t Tempo t L8 6/8

9 Rspost l grdo utro orde G(s), s y(t) e t e L8 7/8 Mod del seodo orde (opp pol..) g(s) T s K g(t), 4> K s s Mod Kdel seodo orde (s j )(s j ) o K e t s o s( form grf o o L8 8/8 o t) o

10 Mod del seodo orde (opp pol..) j o s( ) -j o t L8 9/8 o o o Mod propr del seodo orde: exp(-*w*t)*s[w*t*(-^)^.5] o =.9, Mod propr del seodo orde: exp(-*w*t)*s[w*t*(-^)^.5] o =.9,.5.5 Ampee Ampee w Tempo ormlto w*t Tempo ormlto w*t L8 /8

11 Rspost l grdo utro ( orde) l prodotto t s può defre ome uov vrle dpedete (tempo ormlto) G(s) s y(t) s o e t e t, s s o L8 /8 o t t t t Rspost l grdo utro ( orde).o orde: rspost l grdo utro t r ŝ.9 Ampe t s tˆ t t L8 /8

12 ŝ tˆ Rspost l grdo utro ( orde) : sovrelogoe mssm reltv; : tempo orrspodete ll ŝ ; t s : tempo d slt; t r : tempo d slt %9% t : tempo d ssestmeto. L8 3/8 Esemp d mod propr (pol sgol) Boler, Sttol, Shvo: Fodmet d otroll utomt, MGrw-Hll L8 4/8

13 Esemp d mod propr (pol dopp) Boler, Sttol, Shvo: Fodmet d otroll utomt, MGrw-Hll L8 5/8 S rord: u() è usle Mod propr e mod fort TD x( ) Ax() Bu() y() Cx() Du() Z x() x() Ax() y() Cx() Du() Bu() x() y() (I A) B u() C (I A) B D u() C(I A) evoluoefort (I A) x() evoluoeler x() L8 6/8

14 Mod propr e mod fort TD y( ) y( ) m y( ) y( ) y() u( m) u( ) u( ) u() y() y() y() m m Y () u() u() u() U () y() m m u() evoluoe fort Yo () U() evoluoe ler L8 7/8 Fuoe d trsfermeto (fdt) G() G() y() u() odo l ulle G() C(I A) m m B D L y f, () C dj(i det(i A)B A) D G() Per sstem ler vrt l fdt G() è u fuoe role: N(), doven() e D() soo polom D() L8 8/8

15 Fuoe d trsfermeto (fdt) Il pssggo VS fdt è dto dll reloe G() C(I A) B D C dj(i A) B D det(i A) C dj(i A) B Ddet(I det(i A) m m o A) m L8 9/8 fdt: G() pol: rd del deomtore er: rd del umertore N() D() D() N() gudgo storo: gudgo d sm. Prmetr dell fdt o utvl.a posoe K p velotà K v eleroe K L8 3/8 K lm G() T umero d tegrtor

16 Prmetr dell fdt ostt d tempo: (per pol rel) r (r modulo pol ompl. o.) gudgo K m lm G() Defte le grdee preedet, è possle rppresetre l fdt dvers mod; d volt volt, se l prolem orrete, s potrà seglere l form pù oveete. L8 3/8 Forme ohe dell fdt m m polomle: G() ( ) ( m) fttort: G() K ( ) ( ) r r fro prl: G() ostt d tempo: G() Kst o: s prtolr (pol sempl.) L8 3/8 ( ) m ( ) ( ) ( ), j j

17 D u() B x(+) + - x() C + y() A L8 33/8 A..... B.. ' C.. D... G() y - u x () x 3 () - - x () x () L8 34/8

18 L8 35/8 C '.. B G() D A x - () u x () x () x () + y L8 36/8 D j D jk jk j j B.. jk jk j ' j C.. k k j p q A... j j r k jk jk jk jk s D... q p t s... r G() k k k k k k k jk k jk jk jk jk t p q....

19 r + - x () u p k - - x k+ ()= x k (+) x k () -q k s k t k y D L8 37/8 Mod del orde (polo = ; = r) x y() = r x y() = x y() = r ostte d tempo (. d pss) x y() = r L8 38/8

20 Mod del orde (polo = ; = r) x y() = () x y() = (-) r x y() = (-) x y() = (-) r L8 39/8 Mod del orde (polo = ; = r; =f) r ostte d tempo (.o d pss) x T T = f perodo osllo (.o d pss) x T x T L8 4/8

21 Mod del orde (polo = ; = r; =f) x T x vlore le vluppo s f T x T L8 4/8 Als d stltà TC Stltà ter mod propr degl stt utovlor d A Stltà ester mod propr dell ust pol dell fdt Stltà : se tutt mod propr rmgoo lmtt per og t. Stltà : se tutt gl stt rmgoo lmtt per og u(t) lmtto e per og t. Stltà 3: se l ust rme lmtt per og u(t) lmtto e per og t. Stltà 4:... L8 4/8

22 mod propr sempl: mod propr multpl: mod propr e for. sempl: mod propr e for. multpl: Crter d stltà TC e/o s( t ) Dlle espresso sopr rportte s dedue quto segue: e t t e e t t e t t e/o e/o e/o e e t t e t t o s( s( t e t o s( o t ) t ) o t ) L8 43/8 Stltà TC U sstem è stotmete stle se tutt suo pol (utovlor) soo rel egtv o ompless ougt prte rele egtv (stltà stot). Se l sstem possede he de pol (utovlor) ull o prte rele ull e sempl llor è semplemete stle (stltà semple). U sstem è stle se possede lmeo u polo (utovlore) rele postvo ovvero lmeo u opp d pol (utovlor) ompless ougt prte rele postv ovvero or pol multpl prte rele ull (stltà). L8 44/8

23 Defoe Stltà BIBO TC Vle quto gà rportto, o l eeoe he o soo stl pol prte rele ull. Iftt, u sstem o u polo ullo (o o opp d pol ompless ougt prte rele ull) etto o u gresso rtterto d u trsformt o pol det, preseteree u ust o lmtt. Esempo : tegrtore etto d u grdo. Esempo : oslltore dele etto d u susode d freque det quell propr del dspostvo. L8 45/8 Im Stltà TC po C S t l t à I s t l t à Re Cs prtolr L8 46/8

24 Als d stltà TC Pol (utovlor) polomo rttersto lolo delle rd prolem: evtre l lolo delle rd ovvero ls dell stltà d oeffet del pol. rttersto Soluoe: rtero d Routh L8 47/8 Crtero d Routh Ds () s s s (moo) tell d Routh x 3 dove oeffet,,..., x soo osì determt: L8 48/8

25 Crtero d Routh x 3 5 7,, 3, ,, 6 L8 49/8 Crtero d Routh Crtero d Routh: U sstem possede tt pol prte rele postv qute soo le vro d sego ell prm olo dell tell d Routh U sstem è stle (stotmete) se o soo vro d sego ell prm olo dell tell d Routh Cs prtolr: elemeto/ dell prm olo = L8 5/8

26 Als d stltà: rter poloml TC Codoe eessr e suffete (CNS) perhè tutt pol so strettmete el sempo d sstr è he s soddsftto l rtero d Routh. Codoe solo eessr (CN) perhè tutt pol so strettmete el sempo d sstr è he oeffet del polomo rttersto (moo!) so tutt postv. N.B: qulhe oeffete egtvo mpl ertmete qulhe polo el sempo d destr; tutt oeffet postv o è detto he mplho tutt pol el sempo d sstr; se tutt pol soo el sempo d sstr llor tutt oeffet del polomo rttersto soo postv. L8 5/8 D(s) s > D(s) s D(s) s D(s) s 3 4 CNS per l stltà TC: s prtolr > s > s s 3 > s > > > > s s d d> > d L8 5/8 / > > / / > > d

27 Stltà TD L stltà d u sstem (modello) TD dpede dll posoe de pol sul po omplesso. stltà s prtolr = o d stltà stltà L8 53/8 Stltà TD U sstem dsreto e stle (stotmete) se tutt suo pol ho modulo more d uo. U sstem dsreto e stle (stotmete) se tutt suo pol s trovo detro l rofere d rggo utro. U sstem dsreto e stle se preset lmeo u polo fuor dll rofere d rggo utro. Pol sull rofere d rggo utro s osdero stl se ho molteplt. L8 54/8

28 Crtero d Jury (C.N.S.) L8 55/8 Crtero d Jury (C.N.S.) ( ) F( ) + ostrts + ostrts L8 56/8

29 Per sstem del o orde è le (C.N.&S.): Per sstem del o orde:,, C.N. & C.S. Crtero d Jury (s. stltà) - L8 57/8 - - Per sstem del 3 o orde: Crtero d Jury (s. stltà) 3 ( ) o ttvo ( ) L8 58/8

30 Per sstem del 3 o orde: Crtero d Jury (s. stltà) 3 ( ) o ttvo ( ) L8 59/8 Crtero d Jury (s. stltà 3 orde),,, st. stltà ll tero del trgolo o < < L8 6/8

31 Retrooe dgl stt d r + _ u S x y K L8 6/8 Retrooe dgl stt x y u Ax Bu Cx Du r Kx x( ) Ax() Bu() y() Cx() Du() u() r () Kx() x y A (A BK) x (C DK) x C B Br D r D A B x( ) (A BK) x() Br () y() (C DK) x() D r () C D L8 6/8

32 Retrooe dgl stt: shem equvlete r + u Sstem x y dove N D P P (s) (s) N D (s) (s) K A B D, KsI A B C si N N K P P Se l modello A,B,C,D è estto, questo shem è lgermete equvlete l preedete L8 63/8 Cotrollltà: possltà d trsferre lo stto uo stto desderto e prefssto (detto stto ero). Rggugltà: possltà d rggugere qulss stto prtre d uo stto desderto e prefssto (detto stto ero). Per sstem ler vrt: otrollltà rggugltà S C B AB A U sstem (l. e v.) è ompletmete otrollle se l mtre d otrollltà C è rgo peo. L8 64/8 B A Cotrollltà B

33 Polomo te hus: = det(si A D BK) Pol te hus ot e dt K d: D (s ) det(si A BK) Zer te hus: odet o quell dell te pert Gudgo storo te hus K st, : K st, L8 65/8 (s A D C B I mer det per sstem TD Retrooe dgl stt ) Retrooe dgl stt: spefhe Pol te hus (posslmete due ompless ougt domt he mpogo l d): B Gudgo storo te hus: K st, L8 66/8

34 Es. : otrollo d posoe d u motore A. B C D Spefhe: pol te hus: gudgo storo: K st, j.8 Verfhe: smulo (e verf spermetle) L8 67/8 A C 3 Spefhe: Esempo B o D ompl. otrollle pol te hus:, Sstem d eq. rsultte: L8 68/8 k k k k 3 Sstem o vertle geerle; vertle se = -, per quluque )

35 Retrooe dgl stt rostrut Prolem: utlre vtgg dell retrooe dgl stt evtdo d msurre gl stess. Soluoe: rostrure gl stt sull se delle msure d gresso e ust. Te : rostruoe stte. Te : rostruoe stot. L8 69/8 xˆ O Y T Rostruoe stte dello stto T.C. Modello: O O - x (Y HU) C y CA CA CA Ax Bu Cx Du ; H dove D CA d u, dervdo e sosttuedo: CB CAB B CAB () T () y y y y ; U u u u u L8 7/8 D CB D CB D Atteoe! O deve essere vertle

36 Rostruoe stte dello stto T.C. u Sstem y O H s O s + xˆ o s s, s, s,, s T L8 7/8 Rostruoe stot dello stto T.C. Sstem : x y Rostrutt ore : Ax Cx Bu Du xˆ xˆ xˆ ŷ Cxˆ Du Axˆ Bu L(y ŷ) (A LC)xˆ S defse l' errore d stm ê B LD Axˆ Bu u Ly L(y Cxˆ Du) ê ê x xˆ (A LC)ê L8 7/8

37 Rostruoe stot dello stto T.C. xˆ xˆ ê (A (A (A LC)xˆ LC)xˆ LC)ê B B LD LD u Ly L u y L vee lolto mpoedo pol del rostruttore (utovlor d A LC). Atteoe! Ahe questo so l mtre d osservltà O deve essere vertle L8 73/8 Rostruoe stot dello stto T.C. u Sstem y D B sia C xˆ ŷ e L L L8 74/8

38 Rostruoe stte dello stto T.D. Modello: x( ) Ax() Bu() y() Cx() Du() d u: xˆ( ) O - (Y HU) dove: Y U T T y( ) u( ) y( ) u( ) y( ) u( ) y() u() O e H soo deft ome per sstem TC Atteoe! O deve essere vertle L8 75/8 Rostruoe stte dello stto T.D. u() Sstem y() O Hs O s + xˆ 3 o T s,,,,, L8 76/8

39 Rostruoe stot dello stto T.D. Sstem : x( ) Ax() Bu() y() Cx() Du() Rostrutt ore : xˆ ŷ Cxˆ Du xˆ( ) Axˆ Bu xˆ( ) (A LC)xˆ S defse l' errore L(y ŷ) B LD d stm ê Axˆ Bu u Ly L(y Cxˆ Du) ê x ê( ) xˆ (A LC)ê() L8 77/8 Rostruoe stot dello stto T.D. xˆ( ) xˆ( ) ê( ) (A (A (A LC)xˆ() LC)xˆ() LC) ê() B B LD LD u() Ly() L u() y() L vee lolto mpoedo pol del rostruttore (utovlor d A LC). Atteoe! Ahe questo so l mtre d osservltà O deve essere vertle L8 78/8

40 Rostruoe stot dello stto T.D. u Sstem y D B IA C xˆ ŷ e L L L8 79/8 Rostrultà/Osservltà dello stto U sstem (lere e vrte) è ompletmete osservle (rostrule) se l mtre d osservltà O è rgo peo O èvertle det(o) U sstem (lere e vrte) è ompletmete otrollle (rggugle) se l mtre d otrollltà C è rgo peo C èvertle det(c) L8 8/8

41 Se u sstem o è ompletmete otrollle e/o o ompletmete osservle llor lu utovlor sro ellt d ltrettt er, ovvero: polom det( si A) e Cdj(sI vro u o pù rd omue NOTA IMPORTANTE A)B Ddet(sI A) S rord he det(sia) e Cdj(sIA)B+Ddet(sIA) soo rspettvmete umertore e deomtore dell fuoe d trsfermeto NB: quest evetultà è stt gà tt L5 L8 8/8 Retrooe dgl stt rostrut: shem r + - u Sstem x y Rostr.re x K L8 8/8