CAPITOLO XV - INTEGRALI

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1 5_te-ewo fb - 6//7 - :: CAPITOLO XV - INTEGRALI 5 - Itegrle efto S ssegt u fuzoe rele vrle rele, f, e l s oser el solo tervllo huso [, ] el suo omo; s oser qu l superfe rhus tr l grfo ell fuzoe e l tervllo [, ] stesso Tle fgur vee ett trpezoe, quto, ome s vee, ror u trpezo rettgolo C s poe or l prolem vlutre l re tle superfe osero l stess ott sego o, verrà osert postv l porzoe superfe he st l sopr ell sse elle ssse, egtv quell he st l sotto, vevers verteo l verso Il prolem o è erto fle soluzoe, m u str he s propoe tutvmete potree essere quell vere elmete l tervllo [, ] tt tervll, oguo se u trpezoe, ovvmete molto pù polo quello orgle Quest ultmo è uque otteuto ome uoe tutt quest trpezo pù pol Oguo quest potrà vere pprossmto u rettgolo vete ome se l tervllo se el trpezoe e ome ltezz uo quluque e vlor he l fuzoe ssume tle tervllo L somm elle ree tl rettgol à u msur pprossmt ell re el trpezoe E evete he l pprossmzoe troott è tto more, e l rsultto tto mglore, quto mggore è l umero egl tervll e qul s è somposto [, ] : l fgur post qu lto mostr ome l pprossmzoe mglor seslmete quo l geero rettgolo vee vso ue prt: s vee, veo selto tutt s ome ltezz e rettgol l vlore mmo ell fuzoe e rspettv tervll, ome el seoo so veg pres oserzoe u porzoe superfe he el so preeete rmev eslus Duque è leto supporre he l umeto el umero egl tervll e qul suvere lo tervllo orgle [, ] re sempre pù ttele l proesso msur proposto; ltre prole vee suggert l e he l pssggo l lmte per l umero tervll ell somposzoe he

2 5_te-ewo fb - 6//7 - :: tee fto ull l errore Vemo or formlzzre le oserzo preeet Elehmo le tppe he s evoo segure e he mo llustrto preeez; - suvsoe rtrr ell tervllo [, ] tervll oseutv, sez tersezo per roprre tutto [, ] : osttusoo quell he s hm prtzoe [, ] ; sgol tervll verro t ome,,,, e gl estrem tl tervll soo t ome,,,,, ; o tle otzoe l geero tervllo srà,,,,, o, ; - selt rtrr, per og tervllo f ξ ; lolre l vlore ell fuzoe, u puto ξ o ξ, el qule - ostruzoe ell somm tegrle, oss f ξ, he rppreset l somm elle msure e rettgol e qul è stto pprossmtvmete somposto l trpezoe orgle; - pssggo l lmte per l mpezz tutt gl tervll he tee zero, o, equvletemete, per l umero tervll he tee fto: lm m f ξ lm f ξ Tle lmte, se esste fto, è l tegrle efto ell fuzoe f ell tervllo [ ] rppreset l msur ert ell superfe el trpezoe; vee to ome tegrle [efto] tr e ell f _s; l,, e f legg: f è l fuzoe tegr, l quttà è l fferezle, e soo gl estrem tegrzoe, [, ] l tervllo tegrzoe, l vrle tegrzoe A questo puto soo eessre ue preszo Per prm os, ffermeremo, sez re mostrzoe, he l rtrretà e pssgg e el proesso llustrto o h lu fluez sul rsultto: ò sgf he l esstez e l vlore el lmte ell somm tegrle soo peet l moo el qule l somm tegrle stess è stt otteut è evete he se osì o fosse l proesso or esrtto o rsolveree fftto l prolem proposto Aettt quest oserzoe, verrà turle el seguto seglere ome prtzoe rtrr [, ] quell prtolre prtzoe osstete tervll tutt ugul, oè quell per u,, ; ell prtzoe gl estrem egl tervll soo, o, e Come seo oserzoe, otmo he l tegrle efto è u lmte fto, e uque u

3 5_te-ewo fb - 6//7 - :: umero! Allor l vrle tegrzoe he ompre opo meglo: sotto l sego tegrle o rppreset u vrle peete, ome sree osueto, quto l ettà el lmte o peerà fftto l prtolre ome he le s stto ttruto Il suo sgfto è ompletmete fferete: ess st soltto re he l proesso tegrzoe eve vvere tr gl estrem e, tr qul l vrle tegrzoe ssume tutt vlor U volt he ess h ssuto tutt quest vlor, h esurto l suo ompto Tle vrle s e vrle mut, e vee potree essere t o ', t o o quluque ltr letter o omzoe lettere: f f ' ' f t t Le srtture te ffersoo soltto perhè el prmo so mo he el proesso tegrzoe l vrle ssume tutt vlor ompres tr e, el seoo he el proesso tegrzoe l vrle ' ssume tutt vlor ompres tr e, el terzo he el proesso tegrzoe l vrle t ssume tutt vlor ompres tr e, l he è evetemete l stess os 5 - Esemp lolo sempl tegrl eft Come etto suo tempo per gl esemp llor propost per l lolo u lmte, he per l lolo u tegrle efto l str effettvmete segut o srà quell he presetmo or; sopo egl esemp seguet è ftt quello hrre o tetre hrre quto etto preeez, o quello lolre effettvmete egl tegrl Come prmo esempo osermo l fuzoe y f k, oè u fuzoe ostte I tl so mo, uso l prtzoe tervll ugul, ome fremo sempre, k f k k k lm ξ k [ k] lm lm Il smolo he hue l espressoe v teso l moo seguete: l quttà he ompre tr pretes qure v remett tr gl estrem t opo le pretes stesse, he soo po gl estrem tegrzoe, el seso he eve vere lolt ell estremo superore e qu, l vlore osì otteuto, v sottrtto l vlore ell meesm espressoe lolto ell estremo ferore Il rsultto ttule è el resto el tutto prevele, quto l trpezoe msurre questo so è u rettgolo se e ltezz k Come so prtolre, ottemo he, se k, l tegrle efto è esso stesso ullo, ome el tutto turle e prevele Per seoo esempo osermo l fuzoe y ; he questo so potremmo lo-

4 5_te-ewo fb - 6//7 - :: lre l rsultto sez over rorrere, lmeo ppretemete, u proesso tegrzoe: l trpezoe vlutre quest volt è ftt propro u trpezo, rettgolo Amo, sempre uso l prtzoe tervll ugul e lolo sempre l fuzoe ell estremo superore og tervllo, oè poeo ξ, f lm lm lm lm ξ lm lm Come ultmo esempo, osermo l fuzoe y ; mo, uso l solto l prtzoe tervll ugul e lolo l fuzoe ell estremo superore og tervllo, lm lm lm 6 lm 6 lm Rssumeo gl esemp preeet, mo: [ ] k k ; ; ; osservmo osì he l tegrle efto u fuzoe ostte è legto u fuzoe lere, quello u fuzoe lere u seo potez, quello u seo potez u fuzoe terzo gro; uque l proesso tegrzoe u fuzoe potez ter umet u utà l vlore ell espoete L os, he s preset moo troppo regolre per poter essere ttrut l so, ror l proesso fferezzoe tl fuzo, he l otrro f mure u utà l espoete Queste osservzo fo supporre he u erto qul seso le operzo tegrzoe e fferezzoe so l u l verso ell ltr Veremo el seguto ome quest osservzoe, l mometo purmete tutv, s poss presre per frle qustre u suo gusto vlore 5 Prpl propretà egl tegrl eft Come prm, mmet propretà el lolo tegrle ffermmo he

5 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 5 P f L mostrzoe è le; el resto,he tutvmete s roose he l re msurre è rott zero, esseos rotto l solo puto l tervllo se Come seo propretà ffermmo he, per qulss selt,, o l sol ozoe he s trtt estrem tervll he pprtegoo l omo ell fuzoe tegr, P: f f f L preeete propretà P rppreset l osì ett propretà tvtà egl tegrl S ot he soo te per sosftte le propretà sotto le qul esstoo gl tegrl ovolt Dlle preeet propretà P e P see mmetmete l P: f f Per l mostrzoe srà suffete mporre ell P l oez e put e, roro qu l P Del resto, l propretà ttule s rolleg ll osservzoe ftt suo tempo per l qule l rsultto ell tegrzoe eft forse u re ott sego: è llor turle he verteo l mmo tegrzoe rsult vertto l sego ell re otteut U ltr propretà mmet è l P se f g f g ; e see he l tegrle u fuzoe o egtv è su volt o egtvo Aor P5 kf k g ; ome è mmeto mostrre sos sull propretà strutv ell somm e el prootto umer rel S us re he u ostte moltpltv ell fuzoe tegr s può portre fuor l sego tegrle Importtssm, he se semple, è l P6 [ ± g ] f g ± f Columo questo sro eleo elle prpl e pù sempl propretà egl tegrl eft euo e mostro u teorem strorr mportz per tutte le pplzo he

6 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 6 se e fro el seguto, eessre per l mostrzoe ello stesso Teorem fometle el lolo tegrle E questo l osetto Teorem ell me Esso fferm he, ssegt u fuzoe otu e tegrle ell tervllo [, ], esste lmeo u puto [,] ξ tle he f f ξ L mostrzoe el teorem s s sull gà ot propretà egl tegrl per l qule, se f e g soo fuzo tegrl el meesmo tervllo, el qule è sempre g f g Allor, etto m l vlore mmo ell f [ ] f, e segue, e M l vlore mssmo ell f ell tervllo he evoo esstere se o ltro per l rhest otutà ell m f M segue e uque, l mometo he, m f M m f M m f M f, Pohé l rpporto posto l etro ell te seguglze rppreset u umero rele ompreso tr l mmo m e l mssmo M ell fuzoe f ell tervllo [ ],, el qule ess è otu per potes, vrtù u teorem gà tto, ello stesso tervllo esste lmeo u puto ξ tle he f ξ f 5 - Itegrle efto, otutà, tegrltà, esstez ell prmtv Rormo he fuzoe prmtv u fuzoe ssegt f è u qulss fuzoe F tle he F ' f Il prolem ell rer ell prmtv o mmette soluzoe u, m, selte ue fferet prmtve ell meesm fuzoe f, l loro fferez è u ostte Itegrle efto ell fuzoe f è l totltà elle sue prmtve, he hmo ome

7 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 7 f F k, ove F è u qulss elle prmtve ell f, e l vrre ell ostte tv k s ottegoo tutte le ltre S ot ome l smolo o l qule è to l tegrle efto oe o quello mete l qule s rppreset l tegrle efto, o l u, per ltro sgftv, fferez osttut ll zoe, el seoo so, egl estrem ell tervllo tegrzoe Rme uque l ftto he u lsse fuzo, l tegrle efto, e u umero, l tegrle efto, vegoo t qus llo stesso moo; ovvmete, per questo eve esser u rgoe, he rooseremo quto segue Premettmo oserzo sull esstez ell tegrle efto, oss sull tegrltà, u tervllo huso e lmtto [, ], u fuzoe f E rgoevole pesre he, se l fuzoe ell tervllo oserto rme lmtt, oss se l suo grfo è oteuto u rettgolo he h per se l tervllo tegrzoe e per ltezz l fferez tr mssmo e mmo ell fuzoe, l tegrle efto e esstere, he se, forse, l suo lolo o rsult gevole I prtolre, l tegrltà o rhee l otutà, quto srà possle tegrre he fuzo he so otue trtt, qul l fuzoe gro, o l fuzoe prte ter Tuttv, quto segue lmteremo oserre, ome l solto, fuzo he so otue, per lo meo e put ter ll tervllo tegrzoe Cosermo u fuzoe eft e otu u tervllo huso e lmtto [, ], e s u puto questo; ell tervllo [, ] llor l fuzoe goe tutte le propretà posseute [ ],, uque s potrà lolre l suo tegrle efto f ' ' Tle tegrle è u umero peete ll selt ell estremo superore ell tervllo tegrzoe rteeo fssto l estremo ferore el meesmo tervllo, e è uque fuzoe tle estremo, he heremo ome F : pomo oè F f ' ' S ot ome ell espressoe preeete l vrle tegrzoe o s t o l letter, m o ' o quluque ltr letter, vers, e questo per evtre re o l meesmo smolo tto l vrle tegrzoe quto l estremo superore ell tervllo tegrzoe el qule l tegrle stesso è fuzoe Dmostrmo or he quell ppe eft è u pr-

8 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 8 tolre prmtv ell fuzoe tegr f, mostrmo oè he F f ' ' f L mostrzoe, he svolgmo ttolo eserzo, s effettu lolo rettmete l ervt ell F mete l efzoe stess ervt, e oè ome lmte el rpporto remetle: f f f F F F lm ' ' ' ' ' lm lm Applo l teorem ell me ll tegrle efto ell tervllo [ ], ottemo F lm f ' lm [ f ξ ] f L ultm uguglz s ottee ll oserzoe he l puto ξ eve essere sempre oteuto tr e, e potrà srvers ome ξ Θ, ove Θ e, l teere ; uque f ξ f Θ zero, l suppost otutà ell f grtse l teere f ξ f Vemo or l teorem fometle el lolo tegrle he permetterà ollegre l oetto tegrle efto quello tegrle efto e soprtutto otteere u potete metoo lolo egl tegrl stess Il teorem fometle el lolo tegrle fferm he l tegrle efto u fuzoe f ell tervllo [ ], s può otteere ome fferez el vlore ssuto u qulss prmtv G ell f ell estremo superore o l vlore ssuto ll stess ell estremo ferore: se G ' f, e segue he [ G ] f G G Duque, se l teorem or euto, l prolem el lolo tegrle, efto e efto, srà rsolto o ppe s stt trovt u prmtv ell fuzoe tegr o he l os s preset, geerle, term elemetr, tto rsultre rttur mpossle s prtolrmete sfortut! U volt trovt l prmtv, sommole u ostte rele s ottee l tegrle efto, oss l totltà elle prmtve ell fuzoe tegr, metre l suo remeto tr gl estrem ell tervllo tegrzoe osttuse l tegrle efto, uque l re

9 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 9 tr l tervllo [, ] ell sse elle ssse e l grfo ell fuzoe tegr Per l mostrzoe el teorem rormo he l fuzoe f ' ' F è u prtolre prmtv ell fuzoe otu f ; se tegr f G è u qulss ltr prmtv ell fuzoe, per quto etto l fferez tr le ue eve essere ostte, oss eve vers relzoe vl per qulss, G F k f ' ' k, Impoeo he l tegrle esteso s ullo, ottemo k G, moo he G f ' ' G ; per l relzoe preeete porge or l tes f G G [ G ] q e Rpetmo, vst l mportz el rsultto, he l prolem ell tegrzoe è rsolto o ppe s s trovt u prmtv ell fuzoe tegr, e è osì rootto ll etermzoe prmtve elle fuzo ssegte ome tegre L os ertmete o è mmet se o el so fuzo prtolr ote, quelle per teer elle qul mo suo tempo rportto tell le ervte: l stess tell, lett ll otrro, à he le prmtve Iftt, se l fuzoe tegr f s preset rettmete ome ervt u fuzoe ot, se oè mo se s trtt u f F, rvmo mmetmete he f F F k se s trtt u tegrle efto ello tegrle efto, o f F F F tervllo [, ] 55 - Itegrl geerlzzt For per l lolo u tegrle efto mo sempre oserto tervll tegrzoe hus e lmtt; vemo or se s possle superre quest lmtzoe e lolre tegrl eft he tervll pert o sempert, lmtt e llmtt Commo o l oserre tervll tegrzoe superormete o ferormete llmtt: f S potree pesre,

10 5_te-ewo fb - 6//7 - :: feo rfermeto l sgfto ell tegrle efto, gà presetto ome msur o sego! u prtolre superfe, he l ftto he l lto se tle superfe s vetto superormete llmtto, e qu esso stesso fto, l re elmtt vet ft e qu l tegrle o esst I reltà l stuzoe o è eessrmete quell or esrtt; ftt può pors l so u prtre u erto puto po l fuzoe tegr vet molto pol, tlmete polo he l otruto ll superfe quello stesso puto s trsurle S può verfre tutto questo srveo, se F è u prmtv ell fuzoe tegr, f lm f ' ' lm F F ; se l lmte to esste fto essterà he l tegrle Vemo ue esemp S l fuzoe tegr f : mo lm l l, e uque l tegrle proposto o esste quto, s pure o l su rtterst letezz, l logrtmo turle verge ll fto f ; mo S or lm, he, ome s vee, esste fto L fferez e ue s st el ftto he seee etrme le fuzo tegre overgo zero ll fto ozoe ertmete eessr per l esstez ell tegrle geerlzzto, solo l seo lo f o rptà suffete per fr sì he prtre u erto mometo, oè u erto vlore ell, po, l otruto f ll somm tegrle s trsurle U ltro so he s può presetre e el qule è eessro geerlzzre l oetto tegrle, è quello u l fuzoe tegr o s eft uo o etrm gl estrem ello tervllo tegrzoe, he pure rme lmtto Per esempo, l tegro o s efto ello estremo ferore ell tervllo tegrzoe, he vee tl so, ], e ò quto l fuzoe verge; or l re msurre trmte l proesso tegrzoe, rppresett f, potree vetre ft quto quest volt è l su ltezz vetre superormete llmtt, e o l su se ome el so esrtto preeez Esmmo tle rostz feo uovmete rorso u pssggo l lmte, srveo quest volt f lm f F lm F ε ε ε ε,

11 5_te-ewo fb - 6//7 - :: esseo ε u qulss rele postvo, per ltro rtrro Come el so preeete l tegrle essterà se essterà fto l lmte to Vemo he questo so ue esemp S pprm f, per l qule l prmtv è F ; mo l tegrle o esste quto S po f lm ε ; ε ε verge prossmtà ello zero, he h ome prmtv lm ε ε F ; questo so he port ove l lmte esste fto Il rgometo è smle quello ftto el so preeete el qule l fuzoe tegr overgev ll stoto orzzotle y ; questo so vee l fuzoe tegr preset u stoto vertle ell estremo ferore ell tervllo tegrzoe L rptà o l qule le ue fuzo tegre vvo tle stoto è fferete, prtolre solo l seo è tle grtre l esstez ell tegrle proposto No s re he l eesstà el rorso ll tegrzoe geerlzzt s sempre ovut l ftto he prolem s verfo egl estrem: ftt l prolem, e oè l vergez ell fuzoe tegr, potree presetrs he ll tero ell tervllo tegrzoe, lmtto o llmtto he esso s Per esempo, sree ssolutmete sglto trttre ome ormle l tegrle seguete he port trovre u rsultto egtvo frote u fuzoe tegr sempre postv E evete he o s è volutmete! roosuto l ftto he ell tervllo tegrzoe è stto ompreso he l puto, el qule l fuzoe tegr o è eft Sree questo so eessro srvere l tegrle proposto ome somm ue tegrl geerlzzt,, rvo flmete l o esstez ell tegrle s ve l prmo esempo proposto sopr 56 - Alu meto tegrzoe Illustrmo or lu poh e prpl meto tegrzoe, meto oè he possoo fl-

12 5_te-ewo fb - 6//7 - :: tre l etermzoe prmtve fuzo ssegte ome tegre Presmo he og so meto propost osetro solmete sostture ll tegrle proposto u ltro tegrle, he o è etto s eessrmete pù semple quello orgle Strà ll ltà, fft ll esperez, el Solutore roosere se l str trpres s l pù opportu, o se, l otrro, ess port omplre zhé fltre l soluzoe, oss l etermzoe u prmtv ell fuzoe tegr 56 Itegrzoe per sosttuzoe Per prmo llustrmo l metoo sto sull sosttuzoe vrle Esso osste, frote el prolem tegrre l fuzoe f, f, sostture quello proposto o u ltro tegrle, sperlmete pù semple trttre; ome evete ll su stess eomzoe, l le gu tle metoo s s sull trourre u uov vrle, t pe o t, o o ltr letter, ell qule l veh vrle s ess stess fuzoe, g t essere ervle e vertle lmeo trtt S uque t g ell uov vrle t, s preset ome l mometo he, se g t, g' t t g t f g t t, t, fuzoe he eve ; l uovo tegrle, espresso Come premesso, l metoo presuppoe he l uovo tegrle s pù fle trttre quello proposto, m l os o è eessrmete ver: u sosttuzoe vrle, s pure orrettmete esegut, può portre ll trttzoe u tegrle pù ffle quello zle S f ttezoe he, el so tegrl eft, l sosttuzoe vrle eve teressre he gl estrem tegrzoe Iftt, se l tegrle v, quello ell uo- v vrle t o v gl stess estrem, m vee t t g t t g f g g t f g t t t g Vemo lu esemp S se t t g t f g t t t : f tegrre ell tervllo [, ] π ; pomo llor t, u ottemo l vers t, e l fferezle t t; se, he t, e se π, π ; mo t

13 5_te-ewo fb - 6//7 - :: π se π t se t t t π se tt [ ost ] π π os os Nel so ell tegrle efto ell meesm fuzoe, l sorso rgurte l etermzoe ell prmtv per sosttuzoe vrle s rpeteree ome or svolto, o l fferez però he tle prmtv o s sree potut lsre ome fuzoe ell uov vrle t : se t se t t se t t ost k, t m l s sree ovut rsrvere ome fuzoe ell veh vrle, ovvmete sempre per mezzo ell fuzoe vers ell g t, t g : ltre prole vremmo vuto se os t k os k Il vtggo el lolo tegrle rspetto quello, erto pù semple, el lolo fferezle, osste ell spoltà u semple otrollo el rsultto otteuto: è suffete ftt effetture l ervt ell prmtv trovt e otrollre he tle ervt o o l fuzoe tegr Tle oez o st esluere l possltà error è ftt sempre possle ommettere, l seoo e qul ompes l prmo; l mt oez è vee suffete seglre, o ertezz, l presez lmeo u errore Come seoo esempo osermo s e os ; pomo t s, ll qule otte- mo os se t e l fferezle t ; uque t os k t s t t t s e e t t e t e k e Cosermo fe l tegrle ; effettumo l sosttuzoe se α, ll qule mo α rse, e l fferezle osα α ; uque se α osα α os α α α osα α α osα α osα α per vlutre l uovo tegrle, per ltro elemetre, srà possle proeere u uov sosttu- zoe poeo α β, u α β ; uque α osα α α os β β α se β k

14 5_te-ewo fb - 6//7 - :: L prmtv è or propost ome fuzoe ue uove vrl α e β he evoo essere etrme sosttute per otteere l prmtv fuzoe solmete ell ; uque α se β k rse se α k rse se rse k rse se rseos rse k rse se rse k rse k L ervzoe ell prmtv osì etermt verfherà l esttezz el rsultto 56 Itegrzoe per prt S e or lolre l tegrle efto o efto u fuzoe h ell qule s roos l prootto ell ervt u fuzoe, he hmo per esempo o f, ervt f ', he srà ett fttore fferezle, o u seo fuzoe, t per esempo o g, o ervt, he srà ett fttore fto: s oè h f ' g tegrle el tpo f h g, e s e lolre u No s re he quell qu propost s u stuzoe el tutto prtolre: u po prt ftt overà ome qulss fuzoe tegr poss essere pest quest form se o ltro perhé qulss h s può pesre ome prootto u fuzoe g oete o l stess h, g h, o l ervt ell fuzoe f, he, ome oto, à f ' : uque l h srà effettvmete prootto u fttore fto, h g o u fttore fferezle, f ' ottemo Se rormo l regol ervzoe el prootto fuzo f g [ ] f g f g, f g h g f g f g f g f S è osì sosttuto l lolo ell tegrle orgle quello u uovo tegrle, el qule soo stt smt ruol tr fttor fferezle e fto L sperz, m o l ertezz, è he l lolo el uovo tegrle rsult pù gevole quello zle Ove osì o fosse l str tr-

15 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 5 pres, pur formlmete orrett, ree mmetmete ot per erre u fferete L regol preeete vle he el so tegrl eft; og moo, l srvmo, per mggore hrezz e per l gre mportz he ess rveste: h [ f g ] f g g f f g g f h Come prmo esempo, osermo l tegrle efto o efto ell fuzoe os, vsto, moo el tutto turle, ome prootto ell ervt f se, fttore fferezle, o g, fttore fto; uque, l metoo or llustrto permette srvere os se se se se se se os k Al solto, l ervzoe quest prmtv rporteree ll fuzoe tegr S ot he l meesm fuzoe tegr s potev he pesre ome os os os os os se ; he quest proeur è ertmete orrett, m l uovo tegrle s preset meo gevole trttre quello zle: ftt or mo l prootto u fuzoe trgoometr, ome el so preeete, per l qurto ell vrle, metre ll zo s vev l prootto u fuzoe trgoometr rettmete o l vrle L str uque o rsult remuertv Il proesso tegrzoe per prt s può terre, sempre feo ttezoe he uov tegrl v v otteut s preseto form mglore quell he ess sosttusoo Cosermo l semple esempo seguete, el qule soo eessre ue suessve tegrzo per prt: os se se se se os se os os se os se Come seoo esempo possmo roserre l tegrle el qurto el oseo, trttto preeez el lolo ell tegrle k, quest volt feo rorso ll tegrzoe per

16 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 6 prt Amo llor: os os os se os se os os se os, se os se se os se u, rogleo memro sstro ue tegrl ugul e veo qu mo memr per os se se ue, rottemo os k k Clss soo s seguet: l k l l l l l l, he permette trovre u prmtv ell fuzoe logrtmo; rtg rtg rtg rtg rtg rtg l k ; rse rse rse rse rse rse k ; ros ros ros ros ros ros k, he permettoo trovre prmtve elle fuzo verse elle fuzo trgoometrhe Il prmo e s or elet permette he trttre l tegrle geerlzzto l ; srà l lm l l lm ε l ε ε, l mometo he lm ε l ε Iftt ε ε ε ε quello proposto è l lmte u form etermt el tpo, he s ovrà rsrvere ome lm l ε, per poter qu pplre l teorem e l Hosptl, l qule segue mmetmete ε ε ε lm lm ε ε ε ε

17 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 7 56 Itegrzoe fuzo rzol frtte Cosermo or l so el qule l fuzoe tegr è u fuzoe rzole frtt, e Pk uque u rpporto tr polom el tpo f E teresse l solo so el qule l gr- P o k el umertore è ferore quello m el eomtore; ftt, ove osì o fosse, sree suffete esegure l vsoe tr polom per otteere ome rsultto u polomo gro k m e u resto gro ferore m, e srveremmo qu Pk P f Qk m P P m m P Vemo llor l so f P, o < m Deheremo prtolre ttezoe, m prm trttre revemete quello geerle, l so u l gro el eomtore m o s mggore ome Commo o m, e uque L tegrle s srve llor, ell form pù geerle, f, ove prmetr rel e evoo essere etrm vers zero Allor l k S or m, per u può essere s he, so questo he osermo per prmo Trttmo uque l rpporto tr u polomo prmo e u polomo seoo gro: f e, ove or ue prmetr rel e soo vers zero, per rspettre l ozoe post sul gro e polom Possmo llor srvere, o pssgg evet, e e l prmo e ue tegrl seoo memro h ome tegr u ervt logrtm, e uque m ; e e' e l e e k Il prolem è osì rootto quello ell tegrzoe el rpporto tr u polomo gro zero,

18 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 8 oè u ostte he potremo trqullmete porre ugule, e u polomo seoo gro, he è l ultmo prolem el qule omo oupre S uque α β, esseo ovvmete e veo posto α e β Oorre stguere tre s, seo he l eomtore preset ue r rel stte, ue r rel oet o essu re rele o è ftt possle trovre u re rele e u ompless Trttmo suessoe tl s, ell ore sopr esposto - Esstoo ue r rel stte,, quto l srmte α β è postvo; llor possmo somporre fttor l eomtore ell tegro, he srvmo qu el moo seguete α β L form ssut l eomtore oe o quell he s vree porto eomtore omue l somm ue frzo el tpo λ L ettà propost è u ettà tr polom, e ome tle rsult vl solo se oeffet e ue soo ortmete ugul, e uque solo se prmetr e soo le soluzo el sstem lere, he hmo ome * e *; uque * * { *l * } k l - Esstoo ue r rel oet, λ, quto l srmte α β è ullo; llor l tegro vee uque α β λ λ λ ; k

19 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 9 - o esstoo r rel quto l srmte α β è egtvo I questo so l eomtore α β rsult sego efto, postvo u evetule sego egtvo sree ogloto el prmetro he è stto rolto fttore; l str segure osste el erre u sosttuzoe vrle seguto ell qule, meo ostt moltpltve, l eomtore s- sum l form z, esseo z l uov vrle; l tegrzoe questo uovo tegro port ll rotgete Duque α β β β ω, ove s è posto ω β α β α, quttà postv per potes quto h l sego opposto quello, egtvo, el srmte; llor Posto z ω α β ω ω ω, u ω z e ω z, ottemo ω z z ω ω z rtg z α k rtg z k ω rtg β α β α rtg k rtg k k I olusoe l tegrzoe el reproo u polomo seoo gro port fuzo logrtmhe el so r rel stte, l reproo u polomo prmo gro el so u re rele opp, ll fuzoe rotgete el so r omplesse Nturlmete tutt rsultt propost soo susettl mmet verf trmte ervzoe Pssmo or trttre l so pù geerle el qule l fuzoe tegr è u fuzoe rzole frtt, sez lu lmtzoe sul gro m el eomtore: P, P f turlmete sempre o l ozoe he, gro el umertore, sosf l suguglz < m m Come e s preeet, s ovrà sempre somporre fttor l eomtore os o

20 5_te-ewo fb - 6//7 - :: sempre gevole! eroe le r I orrspoez r rel α ottemo, ell somposzoe fttor, om el tpo α, o eessrmete ll prm potez quto le r potreero omprre pù volte s prleree r multple I orrspoez r omplesse ottemo polom gro mggore l prmo, per ltro pr, o ulterormete sompole; he quest possoo omprre elevt potez, quto h ess s potreero rpetere ell somposzoe: per esempo l terme potree omprre o pù volte, o org- e l fttore U volt esegut l somposzoe fttor, s pss ll etermzoe elle frzo przl feo rorso lle regole seguet I orrspoez term he ho orge lle r rel srvmo, per le r sgole α, frzo el tpo α, metre, per le r multple, srveremo tte frzo qut è l loro moltepltà, tutte o umertore ostte e o eomtore poteze v v reset α,,, fo α r α r α, ll prm ll r-esm, e oè D term he ho orge r omplesse, oè term he o rsulto sompol el mpo rele e soo espress polom gro k >, o k pr, ottemo, el pù semple so moltepltà uo, u frzoe o eomtore l terme stesso e umertore l geero polomo gro ferore, k : D term seoo gro, el tpo P P k k k k, o, moltepltà mggore, per esempo, o l stess log quell llustrt per le r rel multple ottemo u somm ue frzo: h k h k o, per l geer moltepltà r, l somm r frzo przl h k h k h k r r, r ove Pk k è sempre verso zero, l mometo he o è sompole, e suo oeffet soo ovvmete ot, metre oeffet k el polomo P k u Per moltepltà r u re s tee l umero volte u ess ompre tr le r

21 5_te-ewo fb - 6//7 - :: mertore evoo vere etermt Nel so fe fttor o sompol gro k >, omuque pr, e moltepltà r, rpeteo l sorso preeete reltvo lle r multple, vremo tte frzo przl qut è l moltepltà, o umertore sempre geer polom gro k, e eomtore tutte le poteze el terme o sompole, ll prm fo ll r-esm Dopo vere sompost l fuzoe tegr ell somm tte frzo przl, ome suggerto sopr, l rtoro eomtore omue eve rportr etmete ll fuzoe zle Per l eomtore l os è ovv, metre umertore s ottee u polomo gro m, rtterzzto m oeffet or etermt, otteut geer oeffet e geer polom srtt umertore elle frzo przl Quest oeffet s ottegoo ll ozoe he l uovo umertore, P m, s etmete ugule quello orgle, m P o S ottee llor u sstem equzo ler elle m ogte osttute oeffet troott umertore elle sgole frzo przl, e uque l prolem ell tegrzoe ell fuzoe rzole frtt ssegt è rootto quello, ertmete pù semple m o per questo elemetre, ell tegrzoe tutte le sgole frzo przl Vemo lu esemp S vlutre ; ome etto, oorre somporre ft- tor l eomtore, otteeo ; qu s eve porre ; ll ettà e ue umertor rvmo l sstem lgero lere ue equzo u l soluzoe,, mmet, ove s oser l sottrzoe memro memro ell prm ll seo I eftv l l k S or, ome seoo esempo, l so u eomtore gro mggore ue, he propomo gà somposto fttor per fltre l ruzoe frzo przl Esmmo l fuzoe tegr L somposzoe frzo przl s effettu srveo

22 5_te-ewo fb - 6//7 - ::, u ottemo l sstem lere,, : soluzoe, e, otteut sommo memro memro le tre equzo per otteere suto, he, trootto ell seo, porge he su volt, o l prm, à I olusoe, l l k Come esempo suessvo osermo ; per l somposzoe fttor el eomtore s vee ome, ll essere u re trpl moltepltà, e u re sgol, mo Allor srvmo L mposzoe tle ettà port l sstem lere

23 5_te-ewo fb - 6//7 - :: soluzoe 8, 8, 7 e, he quest volt o s ottee v elemetre ome e s preeet, m omuque sez eessv ffoltà Duque l l k Il rsultto può vere otrollto mete ervzoe, ome el resto tutt s preeet Cosermo or L somposzoe frzo przl à L mposzoe ell ettà elle ue forme elle qul vee espresso l umertore port l sstem lere l qule s ottee l soluzoe,, e he s ottee flmete, solo he s roos he l prm, troott ell terz, à mmetmete, u, esmo or l seo e l qurt, mo, uque e Ne segue l l k Come ultmo esempo osermo 5, el qule l fttore rrule ompre ue volte oè o moltepltà L somposzoe s effettu poeo

24 5_te-ewo fb - 6//7 - :: f e f e 5 f e e f f e Ottemo l sstem lere 6 equzo 6 ogte f f e f e e o soluzoe,,, 5, e, f Tle soluzoe osete srvere l tegrle ome 5 k rtg rtg 5 l 8 l rtg l 8 l k Iftt, prte gl tegrl elle prme tre frzo przl he s effettuo qus mmetmete, l tegrle ell qurt frzoe port k, e, he s può esegure per sosttuzoe, poeo α t, u mo α α t ; u-

25 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 5 que t α t α α α os α α t α α se α osα α t α t α t α rtg k Or, ome e pù he e s preeet, sree opportuo proeere ll verf u rsultto osì sofferto ervo l prmtv otteut, ell sperz, per o re l ertezz, rtrovre l fuzoe tegr E questo u suggermeto per l ortese e pzete Lettore 57 Clolo ell re lue superfe pe Come sppmo, l tegrle efto rppreset l re ompres tr u tervllo ell sse elle ssse e l grfo u fuzoe; esso possmo uque servr per etermre l re lue fgure pe m, potremmo veere, o solo pe l u lolo sree ltrmet puttosto ffle Ovvmete o rfermo fgure elemetr, qul rettgol, trgol o trpez rettgol, m puttosto ltre, omuque regolr e gre mpego, qul erh e ellss Iftt, l superfe u erho s può otteere prteo ll equzoe ell su perfer, oss ell roferez, he per sempltà peseremo etrt ell orge el rfermeto, e he espltmo y r r r Così feo, mo selto oserre l prte roferez he st l sopr ell sse elle ssse, el sempo y, metre l selt y r r vree portto ll oserzoe ell prte ferore ell stess E evete he ostr f l os è essezle, l mometo he, prte l sego, he l ostr selt ree postvo, quto eve esprmere l msur u superfe, etrm s l re he e erv è l metà quell he erhmo I ltre prole, l rsultto el lolo r r rppreset l metà ell re ert, e u volt otteuto rà moltplto per ue r r Esegumo uque l lolo, he el resto, è gà stto ftto ltr rostz, per esempo mete ue suessve sosttuzo vrle, poeo u prm volt ' r, otteeo l uovo tegrle r ' ', e qu ' s α, per rrvre r π π s α osα α L fu- I reltà, he l etermzoe, per esempo, ell re u rettgolo ome semple prootto se per ltezz soe u s pur elemetre proesso tegrzoe

26 5_te-ewo fb - 6//7 - :: 6 zoe tegr, r os α, h ome prmtv l fuzoe F α r [ α s α osα ], he, remett egl estrem ell tervllo tegrzoe, port r r r π π π π π s α osα α π π π π r π π r, π [ α s α osα ] s os s os he, ome etto, rppreset l metà ell re ert Ne olumo he l superfe el erho è S π r, ome ovree essere e oto, se o ltro ll geometr ell suol elemetre Vemo fe qule s l superfe rhus u ellsse, ell qule srvmo l equzoe, ou u opportu selt el rfermeto, ome Proeeo ome ftto per l y erho, espltmo y, he rport l lolo el meesmo tegrle Fort quto vsto preeez, gugmo ll olusoe he l superfe ert è S π, he s rue ll preeete superfe el erho el so he r, oss se s rtor ll ellsse ll roferez