Appunti di Calcolo Numerico. Sistemi lineari

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1 Apput d Coo Numero ezo8- Sstem er esgez d rsovere u sstem ere se d svrte ppzo prthe. Ad esempo, osdermo proem d voer ostrure u det he soddsf ert requst. S suppog d voer preprre u ozoe o tte mgro, pe, mrmet e sott modo d otteere 476 ore. Per essere equrt det deve oteere grmm d protee, 8 grmm d rodrt, grmm d grsso. seguete te rport umero d ore, e protee (espresse grmm), rodrt (espress grmm) e grss (espress grmm), fort d og grmmo d meto. tte gro Pe rmet Bsott Core Protee Crodrt Grss Idhmo o,,, 4, rspettvmete, umero d grmm de quttro met eessro per soddsfre e rheste de ostr det. I vore erto è souzoe de seguete sstem ere:

2 souzoe d questo sstem ere è:.57, 9.8, Cò sgf he ostr det rhede he so.57 grmm d tte mgro, 9.8 grmm d pe, 9.99 grmm d mrmet e grmm d sott. Studeremo seguto he ffhè questo sstem mmett u ed u so souzoe è eessro studre e propretà de su mtre de oeffet. Geertà su sstem er Cosdermo u sstem ere A o A ( m ), R, R m S possoo verfre seguet s: Cso ) m<, oè mo pù ogte he rezo er tr d esse. I sstem è de tpo A m < e s de determto. Se dhmo o k rgo de mtre A e k<, or sstem mmette k souzo.

3 ) Cso m>, oè mo meo ogte he rezo er tr d esse. I sstem è de tpo: > m A e s de sstem sovrdetermto. I questo so sstem o mmette u souzoe estt, m u souzoe pprossmt. Esste souzoe estt soo se rgo(a) è ugue rgo [A ]. ) Cso m, oè umero d ogte è ugue umero d rezo er tr d esse. I sstem è de form m A e s de sstem orme e sotto opportue potes può mmettere u ed u so souzoe. D or vt preremo soo de sstem orm, o m. Teorem: Codzoe eessr e suffete ffhé sstem ere A, ( ) A, R, mmett u ed u so souzoe, omuque s seg, è he mtre A s rgo mssmo (oè he mtre A s verte); s h però: A

4 U metodo e oto per souzoe d sstem er è sto su rego d Crmer, he o ompoete -esm de souzoe fedo uso de oo de determte (rezzto medte formu d pe). Questo metodo omport u ompesstà omputzoe d r (+)! operzo. Questo sgf he per rsover u sstem o oorreree fre 9968 operzo. Per (+)!. Qud se soo eessr -9 seod per fre u prodotto, per rsovere u sstem d equzo ogte soo eessr seod, he equvgoo r / d 5. Ne prt qud vegoo utzzt tr metod per souzoe d u sstem ere. etod umer per souzoe d u sstem ere. I metod per souzoe d sstem er vegoo usumete dvs due rggruppmet: ) etod drett Quest metod, ssez d error d rrotodmeto, oduoo souzoe estt u umero fto d pss. Ess soo dtt per souzoe d sstem o mtre de oeffet des e d moderte dmeso. ) etod tertv Quest metod geero u suessoe d souzo, he, sotto opportue potes, overgoo souzoe de sstem. mtre de oeffet o vee modft durte oo e qud è pù gevoe sfuttre sprstà. Soo dtt, qud, per souzoe d sstem o mtre de oeffet d grd dmeso e sprs. I ssez d error d rrotodmeto oduoo souzoe estt u umero fto d pss. Pohé s d etrme e ss d metod dree d à deo sopo d questo orso, d seguto verrà osdert soo u sse d metod drett. 4

5 etod d fttorzzzoe. Quest metod s so su ftto he esstoo dee ss d mtr per u souzoe de sstem A è mmedt. Cosdermo d esempo e mtr trgor. S u mtre trgore ferore ed r R r r r r r r r r r u mtre trgore superore souzoe d sstem er o queste mtr de oeffet s ottee fmete medte sosttuzoe. Souzoe de sstem, e so u mtre s trgore ferore Sosttuzoe vt ( ) / k ( k ( k + k + k, k k ))/ k, k k,, Coè, form gortm: for,,.., for,,,- 5

6 - ed for / ed for Souzoe de sstem R, e so u mtre R s trgore superore Sosttuzoe detro r, ( r k ( k ( rk, k, + ) / r k + + r, k, k + k + + r k, ))/ r k, k k,,, oè, form gortm, for,-,, for +,, -r ed for / ed for Compesstà omputzoe: Como ompesstà omputzoe de gortmo d sosttuzoe vt. Per ore prm ompoete de souzoe è eessr dvsoe. Per ore seod ompoete de souzoe soo eessre motpzoe ed dvsoe, qud operzo motptve Per ore ompoete -esm de souzoe soo eessre - motpzo ed dvsoe, qud operzo motptve. Rssumedo: 6

7 souzoe perzo motptve ompesstà omputzoe term d operzo motptve è : ( + ), qud de orde d. o stesso rsutto ve per ompesstà omputzoe de gortmo d sosttuzoe detro. U sse d metod d fttorzzzoe osste e fttorzzre mtre A e prodotto d due mtr trgor, u ferore ed u superore R, t he ed R so rgo mssmo, oè se s può spezzre proem orge due proem d mmedt souzoe AR A AR he s può spezzre e form: 7

8 y R y. I prmo proem he sorge per otteere quest fttorzzzoe modo uvoo è he mtre A h eemet, e R ho tote; s devoo, qud, mporre odzo. ( +) eemet suo, oè I) Se s mpoe he g eemet dgo d R so tutt ugu d s pr II) d fttorzzzoe d Crout; Se s mpoe he g eemet dgo d so tutt ugu d s pr d fttorzzzoe d Dootte. + I seodo proem è heders se ssegt A, rgo mssmo, esste ed è u su fttorzzzoe R. rspost questo proem è dt d seguete teorem: Esstez de fttorzzzoe. Teorem Se mor prp d orde k, k,, de mtre A ( ) ho rgo mssmo, or esste u ed u so mtre trgore ferore, o su dgoe, u ed u so mtre trgore U o su dgoe e u ed u so mtre dgoe Ddg(d ), d, per u E poedo s h ADU RDU 8

9 Quest fttorzzzoe è u. AR Agortmo d fttorzzzoe d Guss gortmo d fttorzzzoe d Guss vee hmto he metodo d emzoe d Guss quto esso osste e sottoporre sstem ere he domo rsovere d opportue trsformzo modo te d emre suessvmete e ogte de vre equzo fo rdurs d u sstem trgore d rsovere per sosttuzoe. Pù presmete, osdert mtre ompet [ A ]..... A prmo psso s er d emre ogt d tutte e equzo suessve prm; questo sgf ure tutt term de prm oo de mtre sotto ; per fr questo s sottre u mutpo opportuo de prm equzoe de restt equzo, modo te d ure esse oeffet d. vordo sug eemet de mtre, s vrà, qud, per g eemet de prm oo: m,, D qu s rv he, se s vuoe he quest s uo, s dovrà segere 9

10 m dove per potes G eemet de mtre verro qud modft osì: () () m m,,,.., Qud, dopo prmo psso, mtre ompet dvet: [ A ] () () ().. (). () () ().. () Queste operzo su mtre s possoo esprmere medte premotpzoe d [ A ] per u mtre d tpo S, (vst e ezoe preedete), m o g eemet de prm oo tutt dvers d zero, osì deft: m m [ ] () A [ ] A m

11 () Su mtre A ] [ A ] [ opermo or ome seodo psso uteror trsformzo tte d ure tutt term sottodgo de seod oo. I term mtr questo s può effetture premotpdo [ A ] mtre per m m dove m,4,, S vrà or: [ A ] ()... () ().. () () () () () () I geere, qud, k-esmo psso, o k, verrà emt ogt k de equzo he vo d k+-esm -esm, medte e seguet trsformzo de mtre ompet:

12 k,, k mk kk mk k mkk k +,,, k +,, ( k ) I term mtr ò equve premotpre [ A ] per mtre k m m k +, k, k. Per k- s vrà: [ A ] [ R y]. () Se pomo. mo he è u mtre trgore ferore vete dgo ugu d. tutt g eemet

13 Qud () può essere rsrtt ome: [ ] [ ] [ ] y R A A dove y y R A R A D u s vede he fe de metodo d emzoe d Guss o soo mo otteuto fttorzzzoe R de mtre m mo he rsoto sstem y y. Srà qud suffete ppre gortmo d sosttuzoe detro per otteere souzoe de sstem. E d otre he ppdo gortmo osì ome o mo desrtto s ottee posto d A mtre R, m o vee memorzzt. Iftt, se ( )... r se m m m

14 s h e qud rsut he srà dt d m m m m m m m m S è sot utzzre e ozo d memor sottodgo d A per memorzzre g m eemet d dvers d zero, oè g, k +,.. k,, m k Not ee: gortmo d Guss osì ome desrtto è rezze se e soo se kk, k,,. Questo è grtto de potes de Teorem. Queste potes soo moto restrttve e dff d verfre. I geere u mtre d u sppmo soo he è rgo mssmo o è fttorzze e prodotto R. Esempo: A è rgo mssmo m o è fttorzze perhé. Tuttv s può dmostrre he esstoo ss d mtr per e qu fttorzzzoe R esste: esse soo e mtr dgoe domte e e mtr defte postve. 4

15 I seguete teorem eggerse e potes de Teorem e forse u uovo metodo per fttorzzre mtr qudrte quss purhè rgo mssmo. Teorem : Se A ( ) è rgo mssmo, esste sempre u mtre d permutzoe P per u: PAR dove è trgore ferore o su dgoe e R è trgore superore o r,,..,. D puto d vst gortmo questo port gortmo d Guss o pvotggo. A psso k, prm d ore motptore m k, se, s v erre e oo k-esm, prtre d rg k-esm, poszoe d rg u s trov prmo eemeto dverso d zero. Se rg è dvers d rg k-esm, s effettu o smo tr rg k-esm e rg -esm de mtre e de terme oto, e po s proede seodo o shem de gortmo sso. Quest set grtse esstez de fttorzzzoe R, per que è suffete he, k,, kk Esste u tr vrte de gortmo d Guss, o pvotggo pero mssmo, he psso k, prm d ore motptore m k, v erre e oo k-esm, prtre d rg k-esm, poszoe d rg u s trov eemeto d moduo mssmo. Vedremo he per sttà de fttorzzoe è mego utzzre vrte de pvotggo pero mssmo, modo te he g eemet d rsuto tutt mor od ugu d. kk 5

16 Esempo Rsovmo o metodo d emzoe d Guss seguete sstem A Cosdermo [ A ] A psso k, s oo motptor m, m, m 4 4 e s sottre seod rg prm rg motpt per m ; terz rg prm rg motpt per m, qurt rg prm rg motpt per m 4, stess operzoe vee effettut su terme oto. S ottee: [ A ] ()

17 A psso k, s oo motptor m, m 4 4 e s sottre terz rg seod rg motpt per m ; qurt rg seod rg motpt per m 4 ; stess operzoe vee effettut su terme oto. S ottee: [ A ] () A psso k, s o motptore m 4 4 e s sottre qurt rg terz rg motpt per m 4 ; stess operzoe vee effettut su terme oto. S ottee: [ A ] () A questo puto mtre A è stt rdott form trgore superore R ed terme oto è dvetto souzoe y de sstem trgore ferore y. Bsog desso rsovere sstem trgore superore 7

18 Ry Rsovmoo medte sosttuzoe detro: Rvmo d utm equzoe 4 4 Sosttumo 4 e terz equzoe e rvmo ( 4 4 ) / Sosttumo, 4 e seod equzoe e rvmo ( 6 4 ) / Sosttumo,, 4 e seod equzoe e rvmo ( 4 4 ) / Compesstà omputzoe de gortmo d fttorzzzoe d Guss Per zzre umero d operzo eessre per rsovere u sstem ere A medte gortmo d emzoe d Guss, osdermo seprtmete umero d operzo eessre per fttorzzzoe, per sosttuzoe vt y y e per sosttuzoe detro. Cosdermo e operzo eessre fttorzzzoe R: prmo psso soo eessre - dvso per ore motptor m,,,. Po soo eessre ( ) motpzo ed ( ) ddzo per modfre mtre redo umer (),,,. Stetzzdo s h: Psso Addzo otpzo Dvso 8

19 ( ) ( ) ( ) (-) ( ) (-)... - Tote ( )( ) 6 ( )( ) 6 ( ) dove mo utzzto seguete e oto rsutto. Dto u tero p p p 6 p( p + ) p( p + )( p + ) Qud s h he per fttorzzzoe R soo eessre ( otpzo e dvso: ) ( )( ) Addzo e sottrzo: 6 Per souzoe de due sstem trgore soo eessre operzo motptve e operzo motptve e ddzo sottrzo suo. Qud ompessvmete ddzo e sottrzo. Qud, ompesstà omputzoe tote per rsovere A srà dt d 9

20 otpzo e dvso: + Addzo e sottrzo: + Sttà umer de gortmo d emzoe d Guss per fttorzzzoe R Sez perdere geertà, osdermo so de fttorzzzoe AR e studmo effetto he h su rsutt ftto he quest fttorzzzoe veg esegut operdo o umer ft; pohé e operzo rtmethe he ompoo e gortmo d emzoe d Guss per ore fttorzzzoe R d u mtre A vegoo esegute rtmet ft, fe de gortmo s ottegoo, zhé fttor estt ed R fttor ed R; quest s possoo pesre ome +δ RR+δR, () oè dt d fttor estt pù u po perturzoe. Utzzdo fosof de s detro trodott d Wkso, fttor ed R possoo essere pest ome fttorzzzoe estt d u mtre perturt: A+δA R ()

21 S stud, però, d os dped ettà de perturzoe δa. De rezo () e () s ottee oè A+δA (+δ ) (R+δR) A+δA R+ δr + δ R +δ δr d u segue per δa seguete espressoe: δaδ R+ δr +δ δr. Quest rezoe mette evdez he perturzoe δa, o soo dpede de poe perturzo δ e δr, m è tto pù grde quto pù grd soo g eemet de fttor ed R. Quest osservzoe port ftto he s defse sttà de fttorzzzoe R term deg eemet d e d R. Defzoe d sttà d u gortmo d fttorzzzoe R S de he u gortmo produe u fttorzzzoe R umermete ste seso forte d u mtre A, u eemet soo tutt mor od ugu d, se s possoo trovre dee ostt postve e, dpedet d orde e dg eemet d A t he r Se e ostt e dpedoo d orde d A s de he fttorzzzoe R è ste seso deoe.

22 Se utzzmo quest defzoe per vedere se gortmo d fttorzzzoe d Guss s vede he ppdo strteg de pvotg o pero mssmo per ooe s ottee he tutt g eemet d soo mor od ugu d k m k ( quto dopo ppzoe de strteg de pvot per kk ooe pero mssmo, surmete per k+,,). Qud, ostte de defzoe rsut essere. kk k Questo speg perhé s sege mssmo eemeto moduo e o sempemete u eemeto dverso d zero. Per quto rgurd g eemet d R s vede he ess possoo resere espoezmete o. Iftt prmo psso: () + m o m e qud () m A seodo psso: () () + m () () + () () m

23 A geero psso k s vrà: ( k ) k m A psso fe k- rsut: r ( ) m Qud, se m, ostte de defzoe rsut essere -., Qud gortmo d Guss o è fortemete ste perhé dpede d. Wkso h trovto u mtre u quest mggorzoe vee rggut: A perdo fttorzzzoe R s trov he eemeto r è propro ugue. Esempo: Cosdermo so u mtre d Wkso s d orde 8. eemeto r è ugue 8. Effettumo u perturzoe d.5 su eemeto r, oè u perturzoe deo.5%.

24 δ R.5 Se dmo d effetture prodotto (R+δR) otterremo u mtre A he poszoe (8,8) h vore d.5. Coè mo otteuto u perturzoe de 5%. Qud geere metodo d Guss o pvotggo prze produe u fttorzzzoe ste seso deoe. Per fortu e prt e ose o vo po osì me: ) e vutzoe empr de metodo d Guss h mostrto he geere, r, oè g eemet d R o resoo po osì veoemete. ) Esstoo ss d mtr per u fttorzzzoe d Guss è umermete ste seso forte.. tr dgoe domte. tr smmetrhe e defte postve. 4

25 Codzometo d u sstem ere I quest sezoe s vuoe esmre ome perturzo sug eemet de mtre A e sug eemet de terme oto fuezo souzoe de sstem ere. Queste perturzo soo tpmete dovute s g error d pprossmzoe qudo mtre A ed terme oto vegoo rppresett o umer ft, s ftto he tutte e operzo de fttorzzzoe e souzoe de sstem trgor vegoo effettute rtmet ft. Teorem: S u quuque orm ture; s A ( ) rgo mssmo e s δa u mtre d perturzoe e δ vettore d perturzoe de terme oto. Aor se è souzoe d A e δ soddsf rezoe: (A+ δa)(+ δ)+δ s h δ δ δa K( A) + (4) A dove K ( A) A A è detto de d odzometo o umero d odzoe de mtre A. de d odzometo de mtre dettà è ugue d, K(I). I geere de d odzometo d u mtre è mggore o ugue d, K(A). Se K(A) >>, or mtre A è m odzot ed proem A è m posto. I questo so error he moto po su term de mtre o de 5

26 6 terme oto, possoo trsformrs error moto eevt su souzoe fe (ved (4)). Se K(A) or mtre A è e odzot ed proem A è ee posto. I questo so error po su term de mtre o de terme oto o vegoo mpft su souzoe. Esemp d mtr m odzote. ) tre d Vdermode: dto u vettore ),,, (, mtre d Vdermode è u mtre d dmesoe (+) (+), u geero eemeto d posto (,) è dto d ) (,..,.. oè: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A ) tre d Hert mtre d Hert è osì deft: h,,, + Ne so H

27 de d odzomete de mtre d Hert d orde 4 è K(H).55* 4. sservzoe: de d odzometo d u mtre dpede trsemete d proem, d mtre stess, oè o h u he vedere o fttorzzzoe ste o o; esso de ome e evt perturzo he s ho su mtre o su terme oto s rperuotoo su souzoe de sstem, presdedo d ome quest souzoe s ottee. U mtre A smmetr e deft postv può essere m odzot; questo so he u gortmo fortemete ste può dre rsutt ompetmete fs. Vedmo or o u esempo e ome u to de d odzometo può fsre rsutt ompetmete prtre d poe perturzo su dt org. Cosdermo sstem ere A dove 7 A souzoe estt d questo sstem ere è. Questo puto d R puto d tersezoe dee due rette 7 + e

28 . S δ u perturzoe de terme oto.. Rsovmo o stesso sstem ere o terme oto perturto: ' + δ..69 souzoe dvet Coè e rette.7 '. 7 ' +. e s terseo e puto.7. 8

29 Como de d odzometo de mtre A: A A K(A) δ. (errore de % su terme oto)..7 δ '. δ.7..7 Coè u errore retvo su dt de orde de % omport u errore retvo su souzoe mggore de % (presmete de 7%). 9

30 Ne so u s dz u proem m posto, s possoo segure e seguet strde: ) Cmre formuzoe de proem, per superre ostoo. ) Usre presoe mutp e o ) Usre tehe d regorzzzoe, he sosttusoo proem d prtez u proem eggermete modfto, m he rsut e odzoto.

31 Fttorzzzoe d Choesky per mtr smmetrhe e defte postve. U mtre A d orde s de smmetr e deft postv, se A T T A e A > R Quest odzoe è dffe d verfre, esste u odzoe suffete ffhè u mtre smmetr s deft postv, he rsut ute e prt. Teorem: S A R smmetr: se A h eemet dgo postv ed è dgoe strettmete domte, oè se : Aor A è deft postv. > No ve vevers. Coè possoo esstere mtr A defte postve, he o soddsfo e potes de teorem. Per fttorzzzoe dee mtr smmetrhe e defte postve è stto studto u gortmo d fttorzzzoe, detto d Choesky, he derv d seguete teorem: Teorem d Choesky. S A u mtre d orde smmetr e deft postv, or esste u mtre trgore ferore o eemet dgo postv, ( ( >, ) te he A T

32 Prtedo d Teorem, rvmo gortmo he permette d ostrure. S A u mtre smmetr e deft, per teorem s h: A Impoedo ugugz terme terme tr g eemet de mtre A e g eemet de mtre prodotto T A. Commo o g eemet de prm oo: (s ot he rddo srà surmete postvo essedo mtre A smmetr deft postv per potes. S prede rde postv, essedo, seodo teorem, g eemet dgo postv).

33 , Adesso proedmo o g eemet de seod oo: + / ) ( +, Costrumo desso oo -esm k k,, k k k, ) / ( ) / (,,

34 Qud, mtre vee ostrut oo per oo, medte seguete gortmo, detto Agortmo d Fttorzzzoe d Choesky: for, k k for +,.. k k ) / k ed for ed for Not: Se mtre A è deft postv, ome d potes, rdd preset e gortmo rsuto postv. gortmo d Choesky è he u test per verfre se mtre A smmetr è deft postv. Se durte orso de gortmo s verf u rddo egtvo, s può oudere he mtre smmetr dt put o è deft postv. Compesstà omputzoe. Per ore eemeto soo eessre operzo motptve. Su rg -esm de mtre soo soo eemet, essedo mtre trgore ferore. Qud per ore g eemet de rg -esm soo eessre: ( + ) operzo motptve. 4

35 Bsog ostrure rghe,,..,, qud ompesstà omputzoe tote srà dt d: oè metà de ompesstà omputzoe de Agortmo d fttorzzzoe d Guss. 6 As de sttà. Per studre stt d u gortmo d fttorzzzoe d u mtre, sog, ome mo vsto, verfre se esstoo dee ostt dpedet d orde de mtre he mto rest deg eemet de fttor u è stt fttorzzt. Ne so de fttorzzzoe d Choesky, st fre questo studo per g eemet de mtre trgore ferore. D rezoe: s rv he + + +, +, + + +,, + D u segue he Rsut qud 5

36 Ed ddo o m eemeto d motduo mssmo tr g eemet d ed o m eemeto d moduo mssmo deg eemet d A, s può oudere he m m e qud gortmo d Choesky è ste seso forte perhé è posse mggorre g eemet d o u ostte he o dpede d orde de mtre. 6

37 7 Fttorzzzoe d Guss e so d mtr trdgo. S A u mtre d orde trdgoe o sgore A A può essere fttorzzt, medte gortmo d Fttorzzzoe d Guss, e prodotto d due mtr (dgoe ferore) ed R (dgoe superore): R β β β β β Apphmo gortmo d fttorzzzoe d Guss mtre A

38 8 Como motptore β e sottrmo seod rg prm motpt per β. G tr eemet sottodgo eemeto, soo gà u. A () dove β I seodo psso de gortmo s rdue sempemete e modfre terz rg sottredoe seod rg motpt per β. mtre dvet: A () dove β A psso - esmo s modfherà rg -esm sottredoe rg - esm motpt per

39 9 β mtre dvet: A ) ( dove β A psso - esmo s modfherà rg -esm sottredoe rg - esm motpt per β mtre dvet:

40 4 A ) ( dove β. Qud mtre A è stt rdott form trgore superore e mtre srà dt d: β β β β β D seguto vee rportto gortmo d fttorzzzoe d Guss sempfto per so d mtr trdgo: β β,, ompesstà omputzoe de gortmo è:

41 - dvso, - motpzo ed - somme. Qud (-) operzo. E qud ere. Se s vuoe rsovere u sstem ere o mtre A trdgoe, dopo ver fttorzzt AR, sog rsovere due sstem er: y Ry Essedo, dgoe ferore, gortmo d sosttuzoe vt souzoe de sstem y dvet: per y y -β y -, Essedo R, dgoe superore, gortmo d sosttuzoe detro per souzoe de sstem Ry dvet: y ( y ) / + -,-, Csuo d quest gortm h ompesstà de orde d (). 4