Prof. Lidia La Mendola SCHEDE RISOLUZIONE DEI SISTEMI INTELAIATI

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1 UNIERSITÀ EGI STUI I PERO OTÀ I INGEGNERI orso d ure Igeger ve orso d Tecc dee ostruzo Prof. d edo SHEE RISOUZIONE EI SISTEI INTEITI

2 STRUTTUR INTEIT e d 9 teo portte 9--- soo c trve portte trve d coegmeto trve pstro p [N/m] s spze può essere rcodott s d pù sstem p. teo d coegmeto 4-8- odo c d e RIHII I SIENZ EE OSTRUZIONI etod d rsouzoe per sstem persttc metodo dee ORZE metodo dee EORZIONI ETOO EE ORZE potes: sstem equrto eqq. rsovet: equzo d cogruez ETOO EE EORZIONI potes: sstem cogruete eqq. rsovet: equzo d equro I sstem persttc pù sempc soo costtut de trv cotue - etodo dee forze Sstem vot persttco cogt X equzoe o vcoo s dc dfferetemete questo cso (soo co crch vertc) ppoggo scorrevoe o ppoggo fsso X X - etodo dee deformzo cogte,, Equzo ; ; I questo cso covee utzzre metodo dee forze ( cogt frote d ) 4

3 I umero d equzo che s scrvoo qudo s oper co metodo dee ORZE è coesso umero d STE (cogte soectzo) dee EORZIONI è coesso umero d NOI (cogte spostmet) I u teo c soo pù ste che od ter e pertto è coveete procedere co metodo dee deformzo Per teo qu rppresetto: ste 8; od ter 9 etodo dee ORZE: equzo d cogruez d og odo umero pr umero d ste che fferscoo meo u; etodo dee EORZIONI: u equzoe d equro d og odo; Per rsouzoe d TRI ONTINUE è coveete ppcre metodo dee forze. È ecessro pertto scrvere e espresso dee rotzo fuzoe de momet () Per rsouzoe de TEI è coveete ppcre metodo dee deformzo. È ecessro scrvere e espresso de momet fuzoe dee rotzo () 5 ONENZIONE SUI SEGNI (trv fesse) spostmet rotzo postv se cocord co postve se orre d/d momet d estremtà tg postv se tedoo e fre feror goo e rezo (Scez dee ostruzo) d d d dp p; ; ; d d d d d d d curvtur; d d d EI co p crco dstruto co sego postvo se cocorde co. postv se: sstr orett verso to e destr verso sso (rotzoe orr) d d ; d d p; 4 d d p - 4 d d EI EI p 6

4 ESPRESSIONI EE ROTZIONI IN UNZIONE EI OENTI () Per st - () I() () p() Schem () () coo d secodo og de ohr () p() p() - - P p* () d () () () () (P)/ (P)/ () * * ( ) d p ( ) d ; Trve de ohr * * p * ()/(EI()) * d ( )( ) EI( ) 7 Schem () ( ) ( ) * d * ( ) ( ) ( ) ( ) d d d ( ) EI ( ) EI ( ) EI ( ) ( ) d ( ) EI( ) ( ) EI ( ) co d ( ) EI( ) * Schem () ( ) * d * ( ) ( ) d d EI ( ) EI ( ) ( ) d ( ) EI( ) ( ) β d ( ) EI ( ) ( ) EI ( ) co β d ( ) EI( ) * 8

5 Schem () e quttro quote soo tutte postve (rotzo orre) ( ) d ; EI( ) d ( )( ) ; EI ( ) d β ( ) EI( ) () β Per otteere espressoe d s procede modo ogo. I rsutto che s ottee s può determre d espressoe precedete: scmdo co (-) e vcevers e teedo coto de cmo d sego per cue quote. espressoe d cu s pervee è seguete: co ( β ) co d EI ( ) d ( ) EI ( ) 9 ESPRESSIONI d () β β -( ) I() p() co d ( ) ; EI ( ) d ( )( ) ; EI ( ) d ; EI( ) β d ( ) ; EI( ) d ( ) EI( ) dove,, β soo coeffcet d deformtà soo rotzo dovute so crch cmpt. Queste possoo essere messe, rezoe momet d cstro perfetto che per cs pù frequet (sezoe co Icost. e crch rcorret) soo tet. OENTI I INSTRO PERETTO I momet d cstro perfetto soo momet e estremtà d u st crct qudo queste soo mpedte d ruotre, ovvero soo que momet che ppct e estremtà de st pest ppoggt producoo e rotzo e che sommte e rspettvmete cosetoo rspetto de vco (cstr perfett).

6 I momet d cstro perfetto e s ottegoo poedo ee espresso dee rotzo β β otpcdo prm dee ( ) per β e secod per s ottee β β β β e sommdo memro memro s h β β ( ) β β ( ) ( β ) β otpcdo prm dee ( ) per e secod per β s ottee β β β β e sommdo memro memro s h ( β ) β ( β ) β e espresso d e fuzoe de momet d cstro perfetto possoo essere otteute prtre de espresso ( ) : ( β ) β e pertto ee espresso d () s può scrvere β ( β ) ( β ) ( β ) Prtcorzzzoe per I ( ) I cos t d ( ) ( ) d ( EI EI EI d β ( ) ( )d ( ) EI EI EI EI 6 6EI ( ) ( ) 6EI 6EI ( ) ( ) 6EI 6EI ) d EI EI EI EI

7 OENTI per st sezoe costte ( ) ( ) β β β 6EI ( ) ( ) β β β 6EI ( EI ) ( EI ) ( EI ) essedo β s ottee EI EI β 6 per cu 9 6 EI EI d d ( ) ( )( ) ( ) EI o EI ( )( ) ( ) ( ) d d 6 6 ( ) d S d () momet dovut soo crco su trve ppoggt g estrem mometo sttco de superfce sempce de momet rspetto trsecte d destr s d ( )d EI EI d d ( ) ( ) ( )( ) EI EI ( )( ) ( ) ( ) d d 6 6 rssumedo Esempo ( ) d S s 6 S d ; 6 S s mometo sttco de superfce sempce de momet () rspetto trsecte d sstr s d ( ) d p ( ) p p p s d p p S d d d ( ) ( )( ) 4 4 p p p ( ) d

8 4 6 p p 6 4 p p Pù sempcemete s può procedere fcedo rfermeto rsutte R d ()d cu mometo, rspetto d s o d, però occorre dre u sego d dr dà u cotruto postvo perchè () d è postvo dr dr dr dà u cotruto egtvo perchè è egtvo qud se R st sstr d d S d è postvo p p p R ( ) d ( ) d or R 4 p p Sd R 6 6 R 6 p S d orro torro 5 TRI ONTINUE e espresso (Μ) s utzzo e rsouzoe dee trv cotue - - etodo dee orze Icogte: omet Equzo: ogruez,, ppoggo,, ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 6EI 6EI 6EI 6EI ( ) ( ) (,, ) (,, ) 6EI 6EI 6EI 6EI EQUZIONE EI TRE OENTI ((, -, ) e cogte soo soo pochè e soo ot (potes d cedmet estc) S scrvoo tte equzo qut soo g ppogg termed e se occorre, se e codzo d vcoo s scrvoo tre equzo g estrem. e equzo d cogruez s rcvo momet e d rezo d equro dee sgoe ste s rcvo tg,,,,, 6

9 ,,,,,,, Not tg s possoo determre e rezo g ppogg ttrverso equro trszoe vertce,, N.. I tgo s ottee come somm d queo dovuto crco cmpt o e d queo dovuto momet d estremtà (ugue quot destr e sstr) R,,,, R Ne cso d ppoggo cedevoe estcmete vor d ee equzo d cogruez o soo ot, m soo egt e rezo d rezoe R R rgdezz de mo Occorre pertto ssocre e equzo d cogruez rotzoe tre equzo scrtte corrspodez deg ppogg cedevo R fuzoe de tg che s scrvoo fuzoe de momet Icogte 7 Esemp q P P q P - P - - cogt: - - 6EI 6EI 6EI 6EI -P P ( ) ( ) ( ) ( ) q P 8

10 6EI 6EI come sopr m co q P P ( ) ( ) e due equzo s rcvo e due cogte:, ε ε q P P s esprme come prm, m vee post ε come ε zoe su st - zoe su vcoo dove s mpoe cogruez. e soo dscord e per questo sego meo 9 4 q P I I I ( ) ( ) 6EI 6EI ( ) ( ) ( ) 6EI 6EI 6EI e due equzo cotegoo e cogte, e che. Occorre ggugere u equzoe: q q q equzoe

11 5 q estco I cedmeto estco compre etrme e equzo, m è oto (ssegto). 6 q P, (cogte) e codzo s scrvoo come 5 ; questo cso o è oto, m è fuzoe d R. Occorre qud ggugere u equzoe: R P fuzoe de tg che s esprmoo fuzoe de momet TEI ON STE INEORII SSIENTE Ne potes d ste deform ssmete vgoo e seguet defzo: Teo od fss Teo od spost I od possoo soo ruotre. GRO I IPERSTTIITÀ I UN TEIO I sstem può vere u deformt cogruete per que od, otre ruotre, trso. Per dvdure prmetr dpedet d spostmeto s troducoo od dee cerere e s vuto e posstà d meccsmo. motepctà cerer comport u umero d tà tere pr d - mg chus comport persttctà coteggo dee persttctà ttrverso g e m > persttco sosttco < e odzoe ecessr m o suffcete

12 Per vutre se u teo è od fss o od spost occorre fre rfermeto d u struttur cu s sosttuscoo tutt od co cerere. Se quest rsut sosttc o persttc sstem orgro srà od fss, trmet srà od spost e umero d prmetr d spostmeto dpedet srà dto d umero d tà. Occorre fre ttezoe comuque ftto che codzoe è ecessr m o suffcete. seguto s preset quche esempo. v.. g (4-)-- - Strutture d u odo sposte 6 v.. g (6-)-- sosttco, m per presez dee cerere ete è u cemtsmo. Se s mpedsce o spostmeto, per p.es. ggugedo u st teo dvet od fss. v.. m per crch vertc è sosttco v.. g I cu cs o è ecessro coteggo de umero de od spost (teo mge regor) g g

13 TEI SIETRII mpte dspr / I teo dvet od fss per smmetr, N ; codzo meccche codzo cemtche IPENOO e cogte che ssez d smmetr sreero (8 rotzo e spostmet d po) dveto 4. ò quto e rotzo retve metà struttur specure soo ugu e opposte quee determte e g spostmet d po o soo poss quto, e rspetto de cogruez, o sreero soddsftte e codzo d smmetr. I dgrmm dee crtterstche d soectzoe smmetrche ed N s rto smmetrcmete; dgrmm de tgo emsmmetrcmete. 5 Esempo per smmetr N N - smmetrco emsmmetrco smmetrco 6

14 mpte pr I teo dvet od fss per smmetr. I rtto su sse d smmetr è soggetto soo sforzo orme.,,n INSTRO,, e cogte, che ssez d smmetr sreero 8 (6 rotzo e spostmet d po), dveto. ò quto e rotzo su sse d smmetr soo ue; quee retve metà struttur specure soo ugu e opposte quee determte e g spostmet d po o soo poss quto, e rspetto de cogruez, o sreero soddsftte e codzo d smmetr. I dgrmm dee crtterstche d soectzoe smmetrche ed N s rto smmetrcmete; dgrmm de tgo emsmmetrcmete. 7 Esempo - * N - - * * - * smmetrco emsmmetrco N smmetrco 8

15 TEI EISIETRII mpte dspr / N, RREO, cogte 6 cogte e cogte che ssez d emsmmetr sreero (8 rotzo e spostmet d po) dveto 6. ò quto e 4 rotzo retve metà struttur specure soo ugu quee determte. G spostmet d po soo poss e rspetto de cogruez e de emsmmetr. I dgrmm dee crtterstche d soectzoe smmetrche ed N s rto emsmmetrcmete; dgrmm de tgo smmetrcmete. 9 Esempo cogte cogte / - N - N - emsmmetrco smmetrco emsmmetrco

16 mpte pr I I/ 8 cogte 6 cogte N t t t t trve p pstro t N t p N p t t p N t N t t Rtto co mometo d erz dmezzto t p N t p t N p t rsouzoe vveut N p s poe ed p e p s motpco e cogte che ssez d emsmmetr sreero 8 (6 rotzo e spostmet d po) dveto 6. ò quto e rotzo retve od de rtto d destr sro ugu quee de rtto d sstr. G spostmet d po soo poss e rspetto de cogruez e de emsmmetr. I dgrmm dee crtterstche d soectzoe smmetrche ed N s rto emsmmetrcmete; dgrmm de tgo smmetrcmete. Esempo I I/ * * N* N - * - * N*-N* emsmmetrco smmetrco N emsmmetrco

17 RISOUZIONI EI TEI S dotterà metodo dee deformzo. Ne potes d deformtà sse dee ste e cogte sro: - e rotzo de od per te od fss; - e rotzo de od pù g spostmet dpedet per te od spost. Ne cso d te od fss s scrvero equzo d equro rotzoe od E E de qu s rcvero e cogte e.occorre pertto espctre momet fuzoe dee rotzo. vor d rcvt srà posse rsre momet fettet e ttrverso equzo d equro s rcvo tg e g sforz orm su tutte e ste. Ne cso d te od spost s ggugoo e cogte spostmet (prmetr dpedet). Per teo d fgur e cogte soo,, e e equzo d equro rotzoe de od s ggugerà equzoe d equro trszoe de trverso. ( tg oro vot s esprmoo fuzoe de momet) e equzo d equro trszoe soo d fce scrttur (equzo d po) soo qudo te soo mge regor. trmet occorre utzzre u tro metodo (metodo de vco usr) che s s su Prcpo d Sovrpposzoe deg Effett. Occorre esprmere momet fuzoe d e deg evetu. S trtt d espctre e espresso d rspetto d ed. β ( β ) ( β ) ( β ) otpcdo prm per e secod per β e po sommdo memro memro s ottee: β β β β β β β β β ( β ) ( β ) ( β ) d cu s ottee β β (*) 4

18 Procededo ogmete e coè motpcdo prm dee (*) per β e secod per s ottee: β β Ne cso d trve sezoe costte ; β EI 6EI ; EI e pertto β EI EI EI 6 e ogmete EI 5 I mometo che sce può essere vsto come somm d tre quote: -que dovut rotzoe odo epurt de rotzoe rgd; -que dovut rotzoe epurt de rotzoe rgd; -que dovut crch get cmpt. β β β β β / quot dovut rotzoe estremo epurt d rotzoe rgd quot dovut rotzoe estremo epurt d rotzoe rgd quot dovut crch cmpt e potes d rotzo e spostmet mpedt quot d rotzoe egt mometo d estremtà S troduce or cocetto d rgdezz fessoe odo come que mometo che sce qudo odo ruot d u quttà utr metre tutt g tr prmetr d spostmeto soo ugu zero ( ). 6

19 È opportuo cmre covezoe su seg de momet per fctre scrttur dee equzo d equro odo. S ttrurà mometo sego postvo se orro e sego egtvo se torro. Pertto occorrerà cmre sego mometo. e espresso scrtte for s modfco e modo seguete: Per trve sezoe geerc β ( β ) β ( β ) Per trve sezoe costte ( ) ( ) 6EI 6EI ( ) ( ) 6EI 6EI β β β β EI EI 7 I cmo d covezoe su sego de mometo rede e espresso d e e d ed formmete ugu. seguto s ccoo e rgdezze fesso odo e odo e momet d trsporto rspettvmete e. omet e rotzo cocord s che espressoe de mometo otteut come somm dee tre quote può essere modfct e cso d ste che preseto scoesso o trtt rgd, etc., cudedoe presez e ccoo dee rgdezze e de momet d cstro perfetto. 8

20 RIGIEZZ ESSIONE β β β β β β β β β β ; t β (coeffcete d trsporto) Ne cso d trve sezoe costte EI 4EI ; EI EI EI ; 6EI t 9 Tordo espressoe d ed s rscotr presez dee quttà ppe defte e e dee oghe quttà trsporto e che rppreseto rgdezz fessoe odo e mometo d β β β β β β Rsut per teorem d recproctà. 4

21 Se soo preset scoesso e estremtà: oppure ) ) e rotzo e g spostmet d odo possoo o cocdere co rotzo e spostmet d estremtà cso ) cso ) co soprsego s soo dcte e quttà che s rferscoo e estremtà de st. S tee coto dee posstà d spostmeto/rotzoe retve e estremtà de st e scrttur dee rezo che ego rotzo e spostmet d estremtà co momet d estremtà. ttrverso t rezo s possoo ccore e. 4 coo de rgdezz odo de st st estremo è coess ttrverso u vcoo estco odo de teo. S dc co ε deformtà de vcoo cedevoe rotzoe Impoedo u rotzoe utr odo, vcoo estco d coegmeto tr estremo de st e odo produrrà u copp d rezoe oppost rotzoe ttrut, per cu rotzoe estremo de st srà: ε ε ε β ε β ε β ε β β ( ) β ε ε ε 4EI Per ste sezoe costte β ε β 4

22 ε S cco d seguto mometo d trsporto. β β β β ε β ε Per ste sezoe costte ε 4EI OSSERZIONE: rgdezz è verso de somm dee due deformtà: que d st coc que de vcoo Per ε cstro Per ε cerer β ; β β Prtcorzzzo 4 coo de rgdezz odo de st ε Per ccoo de rgdezz s mprme rotzoe utr (co ) ε β ε β motpcdo prm per e secod per β e po sommdo memro memro s ottee: β β β β ( ) β ε β ε β β ε per st sezoe costte ε 4EI 44

23 ε β β β ε β β ε β ε per st sezoe costte EI ε ε 4EI Prtcorzzzo ( ) ε β ε Per ε (cstro) Per ε (cerer) β ; EI β β 4EI per st sezoe costte EI per st sezoe costte 45 coo de rgdezz odo de st β β ovedo rsutre uo tgo su tutt st s h: Sosttuedo: β β β β e sottredo memro memro d s ottee: ( β ) β Per st sezoe costte s h: EI t β Per st sezoe costte s h: EI 46

24 coo de rgdezz odo de st β β ( β ) β β β β Rsutdo costte mometo su tutt st, sosttuedo ee due equzo e sottredo memro memro secod d prm s ottee: β Per st sezoe costte s h: EI β Per st sezoe costte s h: EI 47 coo de rgdezz odo de st ε ε β ε β Rsutdo costte mometo su tutt st, s sosttusce ee due equzo e sottredo memro memro s ottee: β ε β β ε ( β ) ε ( β ε ) β ε Prtcorzzzo Per ε ; β β ε EI Per st sezoe costte Per ε Procedmeto ogo s dott per ccoo de rgdezz odo. 48

25 st equvete Ne cso d ste terrotte d vco termed, serte u teo, è coveete o cosderre e scoesso d t vco come od, co vtggo d rdurre umero de od d zzre. Qud è posse rppresetre e ste - e - co u uc st - ccodoe e rgdezze equvet fessoe, coeffcet d trsporto ed momet d cstro perfetto. t 49 coo de rgdezz odo de st espressoe che sosttut e prm equzoe forsce: β β Per ertà de dgrmm de momet rsut: (ugugz de tg sstr e destr de cerer) e sosttuedo e secod: ( ) ; oto s h: t 5

26 Per trve sezoe costte PRTIORIZZZIONI Per s ottegoo g stess vor de cso d st coc perché cerer è post u puto d uo EI EI E I EI ; 4 4EI 4EI ( EI ) E I E I Per ccoo de rgdezz odo s procede ogmete. 5 OSSERZIONE: S può otteere rgdezz che come verso de deformtà. deformtà odo è rotzoe de odo per effetto d u copp utr ppct, co e stesse codzo d vcoo defte per ccoo de rgdezz. β β EORIIT EORIITÀ β t t β β t β Per cso de st equvete co scoessoe ter cerer, se mometo d erz è costte, è coveete otteere rgdezz rcvdo deformtà trmte og de ohr. coeffcete d trsporto RIGIEZZ t EI * EI * * EI EI * EI EI EI EORIITÀ 5

27 coo de rgdezz odo de st equvete ( ) ( ) ( ) ( ) β () ( ) β () β β β β Rsovedo sstem dee equzo (), () e () ee cogte, e s ottee: S mpoe otre che : β β Per st sezoe costte ( ) EI EI EI EI 6EI 6EI EI EI EI o og de ohr ccoo de deformtà e qud de rgdezz è mmedto: EI () * EI * EI 5 coo de rgdezz odo de st I cost EI è u cstro 4EI 4EI equro rotzoe de trtto rgdo toro s h: d cu 4EI EI 6EI ed essedo EI 6EI EI poedo ξ s h: t ( ξ ) t EI ( ξ ) 54

28 coo de rgdezz odo de st 6EI ( ) ( ) ( ) 6EI 6EI 6EI ( ) ( ) ( ) EI otpcdo () per e sommdo memro memro s ottee EI ( ξ ) I cost () s rcv 6EI EI 6EI EI EI ( ξ ) ξ ( 6ξ ξ ) ( ξ ) Rcvto s determ trmte u equzoe d equro rotzoe toro e po d equro rotzoe de trtto rgdo. 55 EI 6EI ( 6ξ ) ( ξ ) EI EI ( ξ ) ( ξ ) 4EI ( ξ ξ 6ξ ) ( ξ ξ ) 6EI Pertto [ ( ξ ξ )] 4EI t EI ξ ( ξ ) t 4EI ξ ξ ξ ξ ( ) ( ) 56

29 OO EI OENTI I INSTRO PERETTO IN PRESENZ I SONNESSIONI Ne cso d ste de teo che preseto dee scoesso è posse gore effetto e ccoo de momet d cstro perfetto otteut cosderdo od perfettmete cstrt. Esemp d ste co scoesso e estremtà oppure oppure ε I momet che scoo e estremtà dee ste crcte, e cofgurzoe cu od de teo soo occt rotzoe e trszoe, soo deomt cor momet d cstro perfetto, m dct co soprsego. S ottegoo sommdo e quote d mometo dovute d evetu,,, momet che scoo e estremtà de st suppoedo queste utme occte rotzoe. quot dovut d evetu spostmet (tes seso geerzzto) dee estremtà de st. 57 I Esemp (covezoe S. d..) ε I() β β ε β β β e momet d cstro perfetto otteut d estremtà occte s ottee motpcdo prm per, secod per e sommdo memro memro β β ε β β β β ( β ) ( β ) ε ( β ε ) ( β ) β ε ε β β Se ε (cstro) Se ε (cerer) 58

30 s ottee motpcdo prm per β, secod per e sommdo memro memro β β β β ε β β β ( ) ( ) β β εβ βε β βε β ε βε β β ε β Se ε (cstro) Se ε (cerer) β 59 so prtcore (ε e I cost) q II I cost Utzzdo e espresso trovte: β q q q q 4 8 ffrotdo drettmete cso d cerer estremtà, d equzoe s ottee suto espressoe d, uc cogt, teuto coto che β β fesso - q 8 β 6

31 S cosder cso de pedoo co ptto d estremtà cedevoe estcmete: β β III I() ε t β β e otre ε t Ne cso d ε t pedoo terz equzoe è e tre equzo s trovo e cogte Se vcoo è pedoo e Icost, s scrve: I q e, ( ) ( ) 6EI 6EI ( ) ( ) 6EI 6EI 6EI q 6EI q 6 q 6EI () 4 q 6EI 4 può essere dedotto d prm equzoe q 6EI 4 q EI 4 q 6EI 4 q 8EI 4 q 6EI q 6EI q 6EI 4 q 6EI È ecessro scrvere u tr equzoe q q EI q q 6EI q 6EI 4 4 q q EI 4EI 6

32 4 q 6EI q 4EI q 6EI 4 q 4EI q q 4 q q 4 q q q 6 q Questo rsutto può essere otteuto se s gurd trve come metà d uo schem doppo (ughezz ) cu pedoo vee posto su coco d smmetr. q q 6 q q 4 ( ) q ( ) q 6 q (ometo mezzer) (ometo g cstr) 6 I q Icost e cogte soo momet d cstro perfetto e ed cedmeto. e equzo d scrvere soo: Questo sstem d equzo, sfruttdo e rezo fr e crtterstche d estremtà de trve, s scrve: ( ) 6EI ( ) ( ) 6EI 6EI q q Rcvdo d terz e teedo coto che 4 q 8 5 q q 8 de prme due equzo s ottee: 64

33 Pù sempcemete s può procedere scoettedo e due ste - e -, ccodo g ssmet e ed mpoedo cogruez; s trov così tgo e co sempc rezo d equro s trovo momet d cstro perfetto. q Per ccoo d e s utzz og de ohr. Trtto - Trtto - I ) II ) q q Trve usr I II Trve usr Trve usr EI I II * * EI * ( ) /( EI) EI EI * * I EI q ( ) 4 4 ( ) * II q q q d d EI EI EI 4 8 EI 65 ogruez 4 q EI EI 8EI ( ) q q e rezo d equro per trtto - e per trtto - s ottegoo momet d cstro perfetto. 4 q 8 q q q

34 RISOUZIONE EI TEI NOI ISSI Per rsouzoe de te od fss e equzo rsovet soo equzo d equro rotzoe od. e espresso de momet soo e seguet: teuto coto che ed essedo odo omet postv orr sue ste e torr odo um ero ste cocorret 67 e equzo od possoo essere scrtte form comptt Per esempo per teo d fgur s scrvoo 4 equzo essedo cogte e rotzo od,, ed E t - t E H G E E E H E E E E EG E E E E (smmetrc) E EG Note e rotzo s ccoo momet co espressoe e d equro dee sgoe ste tg. G sforz orm sro ccot successvmete ttrverso scrttur dee due equzo d equro trszoe og odo. 68

35 q P ESEPIO H G Rgdezze e coeff. d trsporto E, EI,,, 4 EI E,,,, EI E per st H vremo: H H EI EI G G EI 8 8 EI EI EI pochè t H H EI omet d cstro perfetto q q 8 q ; 8 (ST ) 69 q P q 6 G ( ) q q ; G G q (ST G) 6 P H P P (ST H) P H P P 4 P H 4 P H E E q G S I. H G H G 7

36 Nodo Nodo E E ugu ed oppost somm ugue P H Nodo Nodo H H H G G G E q G ; ; ; E E G G G H H H S procede po co ccoo de tg e deg sforz orm. 7 RISOUZIONE I TEI NOI SPOSTII ON GIE REGORI Per rsouzoe de te mge regor od spost e equzo d equro rsovet soo d d due tp: - rotzoe de od - trszoe de p e cogte soo: rotzo d odo e spostmet d po. G E H ( ) ( ) umero d ste che cocorroo odo 7

37 G Equzoe d equro rotzoe odo E H e, form espct: umero d ste che cocorroo odo per ste cocorret, ffette d rotzoe rgd ψ ( ) Ψ 7 Equzoe d equro trszoe po ν po ν r S ν, ν co r umero d rtt che fferscoo po ed ν rsutte d tutte e forze get d sopr de po ν (e cso fgur ν ) Sν, S ν, -esmo rtto d tezz h ν ν rsutte ν s ttrusce sego postvo se quest duce sue ste (che suscoo spostmet retv) u rotzoe Ψ ν orr ν ψ ν h ν Ψ ν h ν 74

38 S ν, S ν, po ν r S ν, ν...cotu Per rcvre S ν, s scrve equro rotzoe de -esmo rtto ttoro d -esmo rtto d tezz h ν,, Sν,,, ν, ν, S h,, Sν, hν, ( ), h ν ν r r r,, Sν, hν, hν ometo dotto d crco su rtto Ψ ( ) ( ) ( ) r r r r r,,,,,, ν,,, ν, hν, (, ) 75 Ne cso cu po so preset rtt d dfferete tezz II I Ι Ψ Ι Ψ Ψ I I hi Ι Ι η Ψ Ι Ψ h I h I h hi Ψ IhI Ψ h Ψ Ψ I Ψ ηψ I h h I S ggugerà per og rtto η ; questo cso srà h equzoe d po s modfc come d seguto: h I η η ed η η h po ν ( ) h ν ν h hν η (, ) (,, ), (,, ), ν (,,, ) ( ),, r r r r r, hν η,, η η Ψ η ν 76

39 Per teo d fgur e cogte soo:,,,, E,, Ψ I, Ψ II, Ψ III E Ψ I Ψ II Ψ III G Equro rotzoe odo H e e equzo soo: 6 d equro rotzoe d equro trszoe ( ) Equro trszoe po ν ( ) ( ) Ψ ( ) (,, ),,,,,,,,,, r r r r r ν ν ν h 77 h II P ESEPIO II cogte,,,, Ψ I, Ψ II h I I E ( ) E E E E E E E E Ψ Ψ I I I P h I ( ) P h II 78

40 OEIIENTE I RIPRTIZIONE ESSIONE ( ) uc quot presete perchè Per equro rotzoe de odo e esempo fgur Sosttuedo espressoe d s ottee Rcvdo d e d e poedo ugu e due espessos h co ( ) ( ) ( ) ( ) s rcv c co c È evdete che: c ( ) rgdezz fessoe de odo OEIIENTE I RIPRTIZIONE ESSIONE NOO Per esempo d fgur se e tre ste fferet odo ho ugue ughezz e sezoe costte d ugue mometo d erz s vrà c > c > c 79 ( ) E q Se per teo d fgur s f potes che rotzoe odo s pcco te d potere essere trscurt, (rgdezz odo eevt) s rprtsce mometo tr e ste E p (pstro) e t (trve), come se c fosse u cstro. q I mometo d rprtre è - E p rgdezz de pstro odo t rgdezz de trve odo E p q q p c ( ) p t p t p E t q q q t q p c ( ) p t p t p t t Rsuto ugu per equro odo (orro) q q p (cerer ) q t t t s prtcor: p (cstro ) t ( ) (torro) 8

41 RIGIEZZ TGIO È forz che occorre ppcre d u estremo de st - per produrre uo spostmeto utro, qudo tutt g tr prmetr d spostmeto soo post ugu zero. ( ) ( ) - ( ) ; Ne cso d st sezoe costte 4EI 4EI EI EI v, v, RIGIEZZ TGIO Per spostmeto utro ( ) ( ) ; ( ) v, 8 espressoe otteut v, è vd che per e ste che ho e estremtà vcote odo modo dverso o che per e ste equvet, quto è dedott d equro. Per st v, ftt ; ( ) EI che per st sezoe costte dvet o che ; ( ) Per st o che v, β β β Iftt per st sezoe vre v, EI EI EI e per st sezoe costte v, 8

42 Per st equvete Per / v, Ne cso d st sezoe costte EI ; EI ; EI EI EI EI v, 8 ( ) EI EI EI v, S ottee stess rgdezz tgo d u st coc ( ssez d cerer) propro perché cerer è post e puto d mometo uo / puto d mometo uo / IGR EI OENTI OUNE E UE STE PER 8 OEIIENTE I RIPRTIZIONE TGIO,, h per og rtto spostmeto de trverso zoe d tgo trsmess d rtto trverso v, () equro trszoe de trverso: r r v, ν, r ν, Ne esempo fgur r Egugdo () e () s ottee v, r v, r ν, ν, () Per esempo esme, e potes d ste sezoe costte I I I I, s h: EI EI ; ; s ; s ; s h h 5 5 ( s ) coeff. d rprtzoe tgo s 84

43 RISOUZIONE I TEI NOI SPOSTII ON GIE NON REGORI etodo de vco usr E P G P E m m H q q Ne cso d te o regor scrttur dee equzo d equro d ssocre prmetr dpedet d spostmeto o rsut sempce e pertto s può procedere co metodo de vco usr che s s su prcpo d sovrpposzoe deg effett. S troducoo tt crre qut soo od spost e s ottee souzoe sommdo tt schem qut soo crre pù uo. Per mego cpre metodo è opportuo premrmete ppcro d u teo mge regor. Teo tre od spost. S troducoo tre crre per mpedre g spostmet. S rsove struttur così otteut od fss, cu momet d cstro perfetto soo dovut crch get sue ste. S procede fo vutzoe dee rezo de crre. * R, R, R R * * * R * G H 85 Neg tr schem momet d cstro perfetto soo dovut e dstorso mpresse corrspodete crreo (spostmeto rtrro mposto). Occorre pertto per og schem co spostmeto mpresso costrure deformt od occt e vutre g spostmet retv de tpo per og st che geero momet d cstro perfetto. questo puto s procede come prm fo determzoe dee rezo de crre R R ( ) ( ) R 6EI Se st è coc co I costte s h momet d cstro S procede modo ogo per g tr due schem (spostmet mpress ed rspettvmete). Se g spostmet mpress fossero corrett questo puto sovrpposzoe de quttro schem forree souzoe, m cosderto che g spostmet mpress soo rtrr, occorre corregger ttrverso de coeffcet che per tre schem sro dct co, e rspettvmete. T coeffcet sro determt mpoedo che rezoe d og crreo deve essere u ( crreo e sstem ree o esste). 86

44 S rsoverà u sstem d tre (pr umero de crre) equzo ee cogte coeffcet d correzoe: * R R R R R R R R,, * R R R R * e rezo soo d cosderrs co oro sego questo puto motpcdo tutte e quttà d og schem per retvo coeffcete d correzoe s possoo sommre g schem: * ( ) ( ) ( ) eff. G spostmet effettv de od, ed s ccoo come d seguto:, eff., eff., eff. Ne cso d presez d vcoo estco rezoe de crreo srà e ogmete per tg e g sforz orm. v *, eff. R R v umero d crre rgdezz de mo spostmeto rtrro 87 Per teo d fgur s cco umero de od spost fcedo rfermeto cemtsmo ssocto che s ottee troducedo cerere tutt od g ( 4 ) 4 equzo crd de sttc motepctà de vco ester umero d tà tere trodotte de cerere umero d mge chuse Pertto teo rsut 4 od spost e occorre trodurre 4 crre, così come fgur 88

45 Schem co spostmet mpress eformte od occt rotzoe per determzoe de momet d cstro perfetto 89 coo dee rezo Per esempo per teo d fgur, prtedo d odo tero s determ rezoe. β N N N cos s N cos β s β N s cos N s β cos β N E odo e cogte soo R* ed N E quto N è oto (d equro odo e d equro de st ) E R* NE ogmete s cco rezoe, u vot oto o sforzo orme N N. 9

46 oteggo de umero d od spost per teo d fgur: g ( 6 ) I presez d mge chuse rsut pù compess rcerc de put fss per costruzoe dee deformte. Ne cso d fgur ssmeto de puto comport che puto s port e mg trgore scoess può ruotre ttoro cetro O. O 9 Per determzoe de rezoe de crreo occorre cooscere o sforzo orme N. Scrvedo equzoe d equro rotzoe de porzoe d struttur dct fgur rspetto poo O s h: c N Poo O N N ( ) N c d cu s cco N e po rezoe. procedur ve s per fse co spostmeto mpresso che per fse od fss ( cu occorre serre evetu crch ester se preset su porzoe d cu s scrve equro). 9

47 Può verfcrs u proem d persttctà sforzo orme per cu per rsouzoe rsut ecessro rmuovere potes d deformtà sse d quche st, come e teo d fgur S trtt d u teo co u odo sposte per cu s rsovoo due schem. I ccoo de rezoe (de crreo ) per og schem o comport ecesstà d ccore prm g sforz orm ee ste, rgoe de geometr regore. P E 9 fe de procedmeto però, qudo ecesst cooscere o sforzo orme og st s preset u proem d persttctà per e ste e. È ecessro rmuovere potes d deformtà sse per etrme e ste e se spostmeto mpresso R coo de rezoe de crreo E R E X X, sse E E E X Occorreree fe cudere e rsouzoe momet d cstro perfetto che scoo per effetto deo X N spostmeto vertce d che s è vutto per rsouzoe de persttctà E E 94

48 P Ne cso de esempo fgur s procede rsovedo equzoe N rmuovere potes d deformtà sse per tutte e ste come e esempo qu rportto. È coveete operre co metodo dee deformzo secodo cu e cogte soo due per odo (spostmet ugo e ) e o co metodo dee forze secodo cu e cogte soo g sforz orm d tutte e ste cocorret odo. fuzoe d d cu rcvre e d equro trszoe, per trovre g persttctà sforzo orme comport d dovere β Per teo d fgur, trovt tg, per determzoe deg sforz orm s scrvoo grupp d equzo: - d compttà - costtutve - d equro Operdo co metodo dee deformzo s potzz soddsftt cogruez e s scrvoo e equzo d equro. e equzo rsovet sro e due equzo d equro odo dr. e dr. scrtte ee due cogte e 95 Nee espresso scrtte d seguto dc o spostmeto sse postvo se comport ugmeto, egtvo se comport ccorcmeto β * compttà s β cos β s cos N β N costtutve N N N E E E E β β ( s cos ) E E ( s cos ) N equro cos N s cos β N s β N cos s N cos β s β N I queste utme equzo s troducoo e equzo costtutve cu soo gà stte cuse quee d compttà e s ottee sstem ee due cogte e 96

49 E E ( s β cos β ) s β cos β ( s cos ) s cos E E E s β ( s β cos β ) cos β s ( s cos ) cos E E E E s s β s β c o s β s co s E E s β E s c o s c o s β c o s β E * E c o s cos β cos s β s o spostmeto de odo * geer uteror momet fettet (secodr) d equrre tr e tre ste. T momet producoo uteror quote d tgo che tervegoo ee rezo d equro e sstem rsovete. Per gugere corrett vutzoe dee soectzo occorre qud terre procedmeto. 97 Esempo d teo co ste soggette t uforme t t Occorre rmuovere potes d deformtà sse per st Ne fse od fss, otre teere coto de momet d cstro perfetto su st, occorre teere coto d que che scoo sue ste cus de dtzoe de st che prm pprossmzoe s cosder pr sse t, trscurdo rezoe offert d rmete prte d struttur cu st è coess (cò perché o s coosce o sforzo orme N che srà oto dopo rsouzoe). ò comporterà d dovere terre procedmeto per rrvre souzoe. t costruzoe de deformt od occt rotzoe, dovut ugmeto de st cosete d ccore momet d cstro,,, che sro sommt que dovut crch e fse od fss 98

50 se corrspodete o spostmeto mpresso crreo t costruzoe de deformt cosete d ccore momet d cstro perfetto; s procede utzzdo sempre stess mtrce de coeffcet de fse od fss rsouzoe vveut occorre correggere o schem od fss, prtcore momet d cstro perfetto dovut presez de t, quto ugmeto srà corretto come segue: co N determto fe de rsouzoe sse t N E N t orretto o schem od fss, s somm co queo od spost che rme terto e s ter procedmeto fchè per due terzo successve dfferez tr momet d cstro perfetto otteut o dvet pcco secodo u toerz prefsst 99 t Se su st c è u crco termco t, e fse od fss s ggugoo momet d cstro perfetto dovut ugmeto de st. quest utmo è posse soo se s può ccorcre st. I ccoo d,sse comport d dovere rsovere o schem persttco cu tgo trsmesso d st è cogto e pertto vee trscurto; procedur è qud tertv quto oto fe rsouzoe s rccoerà per rsovere sstem fchè procedmeto o coverge. E se spostmeto mpresso t coo de momet d cstro dovut,ss.?,ss. t X t X E E, ss. X otox scco, ss. X t E S costrusce deformt ; s ccoo mometdcstro perfetto e. fe rsouzoe s torerà questo schem per cudere effettode tgo trscurto.

51 ETOO TRIIE Ne cso cu e deformzo ss o possoo essere trscurte s procede rsouzoe de teo co ETOO EE EORZIONI cu e cogte soo g spostmet ( per og odo) e e equzo d utzzre soo quee d equro ( per og odo). o G H odo e cogte soo compoet d spostmeto,, defte rspetto sstem d rfermeto O (,). mo d covezoe per spostmet e soectzo postv se cocord co postv se cocord co postv se orr (come prm) E e equzo rsovet soo d equro. Se e scrvoo per og odo. o N (, ) (, ) N N postv se cocord co postv se cocord co postv se orr (come prm) sstem d rfermeto oce (retvo d og st) O sstem d rfermeto goe e equzo d equro s rferscoo sstem goe: odo Equro trszoe drezoe f Equro trszoe drezoe f Equro rotzoe umero d ste cocorret odo ; f e f rspettvmete proezo drezoe ed dee soectzo (sforzo orme e tgo) trsmesse de ste cocorret., e soo evetu zo ppcte odo. I prmo psso d fre è queo d cooscere egme tr e soectzo e estremtà de st e g spostmet od. Pù precsmete per ppcre metodo deformzo occorre espctre e soectzo fuzoe deg spostmet (cogte). Queste s ottegoo sovrppoedo due effett: SOEITZIONI OUTE GI SPOSTENTI EI NOI SOEITZIONI OUTE I RIHI SU ST SOEITZIONI TOTI egme soectzo spostmet per sgo st ettore spostmet ettore soectzo d cstro perfetto Per st - S f S S f f ettore soectzo trce d rgdezz

52 Per esteso egme s scrve N υ v N υ v trce d rgdezz de st e sstem d rfermeto oce (, ) co e e trce smmetrc e deformzo propre de st soo que sse e que fessoe e coè rspettvmete ugmet o ccorcmet e curvture. Soo trscur e deformzo d tgo, coè g scorrmet. Ne seguto co s dc ughezz de st - coo de coeffcet d rgdezz oo e e soectzo che producoo questo stto deformtvo soo N N - N d N N, RIGIEZZ SSIE E d E 4, ; 5 6 Neo schem cu può sotto trsre drezoe e è cstrto rgdezz sse è forz d ppcre per produrre utro E Ne cso d st sezoe costte N, E 4

53 oo e ( ) ( ) ( ) Per equro scoo tg e v, 6 - ed postv perchè orr ( ) ; ( ) postvo quto cocorde co egtvo quto ds cocorde co v, v, 5 I questo schem tg che scoo o soo tro che RIGIEZZ TGIO v,. Imprmedo o scoo sforz orm pertto 4 Per st sezoe costte: 6EI ; 6 5 v, 4EI EI 4EI EI EI 6EI 5 oo e I momet che scoo questo schem soo: e 6 RIGIEZZ ESSIONE NOO ometo d trsporto ed postv se orr Per equro tg vgoo: e 5 No scoo sforz orm e pertto: 4 Per st sezoe costte: 4EI EI ; ; 4EI EI 6EI 6 5 6

54 4 oo e N N E N, per cost. 4 e 44 e ,,, 5 oo e ( ) ( ) 5 ( ) 65 Per equro tg vgoo: v, RIGIEZZ TGIO ed egtv perché torr Qud e 5 v, 55 v, No scoosforz orm per cu 5 45 Per st sezoe costte: 6EI EI 5 65 e oo e I mometo è: 66 RIGIEZZ ESSIONE NOO ed postv quto orr e mometo è mometo d trsporto 6 Per equro ed N N pertto Ne cso d st sezoe costte 6 - EI 4EI 6EI 6 ;

55 IN EINITI per st d estrem e,, v, v,,, v, v, mtrce è smmetrc: m m e e cso d st sezoe costte E E EI 6EI EI 6EI 6EI 4EI 6EI EI E E EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI 4EI 9 Equzo d equro odo N N umero d ste che fferscoo odo co N f f Trszoe drezoe Trszoe drezoe Rotzoe e equzo d equro s scrvoo e sstem d rfermeto goe. I form comptt: f f f f vettore dee soectzo trsmesse de ste che fferscoo odo, proettte e sstem d rfermeto goe vettore dee evetu zo ppcte odo

56 Occorre qud proettre e soectzo d sstem d rfermeto oce (,) queo goe O (,). N cos cos f N cos cos f z preo z λ ( ) λ T λ mtrce gode dee propretà e pertto co cos cos λ cos cos S cos cos N f cos cos f λ f T λ S f e proezo dee soectzo de st g estrem e soo effettute ttrverso mtrce : S λ f S λ f Λ S Λ f Rcorddo che: S S S f f S f S f odo : S λ f essedo s scrve f f λ e s rcv T T T λ λ λ f f f () f vettor coteet e compoet d spostmeto e sstem d rfermeto oce. Per esprmere u vettore e sstem d rfermeto oce occorre premotpcre vettore defto e sstem d rfermeto goe per λ, qud e ogmete per λ rezoe () s può scrvere qud: T T λ λ λ λ f f Sosttuedo te espressoe ee equzo d equro scrtte form comptt s h: f T T λ λ λ λ f è comue tutte e ste

57 T T λ λ λ λ Essedo e s può scrvere: o f quest grupp d equzo ( per odo) se e scrvoo tt qut soo od cu soo ssocte e cogte. S procede ssemggo che cosete d pervere mtrce d rgdezz de sstem. Quest operzoe vee mostrt ttrverso u esempo o P q 5 6 SISTEI I RIERIETO OI Estrem st O P q 5 6 Equzo d equro odo : o f S scrvero 9 equzo ee 9 cogte,,,,,,,, EQUZIONI EQUIIRIO NOO EQUZIONI EQUIIRIO NOO I I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) f ( ) ( ) f f 5 EQUZIONI EQUIIRIO NOO I ( ) ( ) ( 4) I form uterormete comptt mtrce (99) è smmetrc quto ( ) ( ) T e ( ) ( ) T 4

58 st 4 trce d rgdezz e sstem d rfermeto oce ( ) 44 ( ) 4 ( ) Λ ( ) ( ) ( ) 4 λ ( ) λ ( ) trce d trsfermeto cos cos λ cos cos ( ) λ I geere s può dedurre mtrce per geerc st come segue: O -( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ trce d rgdezz de st e sstem d rfermeto goe T λ ( ) ( ) Λ Λ ( ) ( ) T λ ( ) T ( ) ( ) 44 ( ) 4 ( ) 4 ( ) λ ( ) λ ( ) T ( ) ( ) 44 ( ) T λ λ λ( ) T ( ) ( ) 4 ( ) T λ λ λ( ) ( ) 4 λ( ) ( ) λ( ) ( ) 4 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 5 st co ogh que retv st () per ettore dee soectzo d cstro perfetto P P ( ) e Λ ( ) P X P X P X P E E υ P ; υ P P P P ( ) ( ) ( ) f P ( ) T ( ) f f Λ f ( ) P ( ) f P P ( ) P P v v P P P P P P P S procede ogmete per e ste 4 e 5 6

59 Rsouzoe de sstem Souzoe: ettore deg spostmet e sstem d rfermeto goe S ccoo per esempo e soectzo su st d estrem e e su st d estrem 4 e Soectzo su st d estrem e Λ ( ) λ ( ) S S f f λ ( ) Soectzo su st ( ) S S 4 S osderzo su vco ester O Per st s può cosderre cerer come pprteete st e qud co EI e Oppure s può trodurre u odo dvdudo due ste: come st coc e come st spece co: E E Quest secod scet è opportu qudo è ecessr cooscez de rotzoe. I vettore vrà soo compoete rotzoe dvers d zero: Per st E s può operre modo ogo. S può trodurre u odo E per cu, cosderdo per st EE sse preo pedoo s h: E E e 8

60 I presez d u vcoo estco s può pesre d fre o stesso seguedo u dee due tertve: Prtcorzzzoe de metodo mtrce per cso d od cerer ) s go vcoo e st ccodo rgdezz e soectzo d cstro teedo coto de presez de mo; ) s cosder st coc e mo come st uterore. G O Og odo preset due cogte : P e mtrce d rgdezz de sgo st h dmeso (44). uc rgdezz covot è que sse - Impoedo per st - e odo, soectzoe che sce è o sforzo orme pr, E - Impoedo e odo, o sce cu soectzoe; 9 o stesso s può dre per odo e qud,,,, mtrce d rotzoe è: cos cos λ cos cos Λ λ λ e soectzo dovute crch ester soo sforz orm e tg. Per esempo per st P P f P P f P P

61 Estesoe de metodo mtrce ccoo de te spz z, z, z, z, N,, S defscoo e rgdezze fesso e due p d soectzoe e z e e corrspodet rgdezze tgo. S troduce cocetto d rgdezz torsoe t N,,, z, N, S, z z,,, z z Per st d estrem e : N z z S ( ) ( ) S S ( 6 6 ) ( ) ( 6 6 ) ( 6 6 ) ( 6 6 ) ( 6 6 ), v, S I. z v, t, z z z λ ( ) υ λ v, cos cos cos z o v λ o f o z, cos cos cos z f f o Λ λ f, cos z cos z cos z z ( ) ( ) λ,, z

62 INTERZIONE TEIO - ONZIONE Se s vuoe rsovere teo d fgur cu odo è coess u st rgd d fodzoe (pto) e s vuoe utzzre metodo de vco usr, occorre trodurre due crre. I sstem è od spost, d cu uo dovuto presez de fodzoe. Quest s cosder come u st ftmete rgd coess teo co u soo odo. Occorre rsovere schem. e cogte per og schem soo,, mtrce de coeffcet è sempre stess per tutt g schem, qud s f u so operzoe d versoe d mtrce. f è rgdezz fessoe de seme fodzoe-terreo f f f è mometo d cstro dovuto forz ppct fodzoe coo de rgdezz fessoe de seme fodzoe rgd-terreo. I terreo è schemtzzto come u etto d moe dpedet. Impoedo rotzoe utr s cco mometo ecessro per produr. f f d σ σ w d N costte d sottofodo mm d d ; d ; N d d mm f f f mm mm 4

63 Per rsouzoe de fse od fss s ccoo momet d cstro perfetto su st e fodzoe P f P c o o s f o r z o r m P R s o u z o e N R * N N N cos N s N, N s N cos R * N N R N * N N * R * R P N cos d d ; R P * s 5 Spostmeto mpresso h h EI h 6EI 6EI h cos Rsouzoe N R R, t cos 6

64 Spostmeto mpresso o od occt rotzoe, otre momet d cstro perfetto su st sce u mometo d cstro fodzoe cus de ssmeto d, quto e due prt d fodzoe sstr e destr d ho ughezze dverse 6EI d d f Effettut rsouzoe, ccoo de rezoe vee codotto o stesso modo d prm, m co rfermeto e soectzo d questo schem. etre vece s deve ggugere u quot dovut rezoe che sce per effetto de ssmeto : v R R R R R R R d ( ) d ( ) d ( ) 7 Se s vuoe rsovere teo d fgur, cu è presete u fodzoe rgd E, co metodo mtrce s procede come segue. H 6 q q SISTEI I RIERIETO OI st Estremo Estremo E G H 4 G f 9 E f // e // st E E EI 6EI EI 6EI ( ) 4EI 6EI EI EE E E E EI 6EI 4EI S I. ( ) ( E ) ( ) ( ) λ E ( ) ( ) co E E 8

65 st cerer pprtee st e pertto E E EI EI EI ( ) E EI EI EI st S I. E E EI EI EI EI ( ) ( ) ( ) ( ) EI EI EI ( ) ( ) ( ) ( ) E EI EI ( ) ( ) EI ( ) S I. λ s costrusce ogmete quto ftto per st q q ( 8) ( ) f q q ( 8) q 8 λ q 9 st 4 ( 4) E E EI EI E EI S I. λ 4 Per e ste 5, 6, 7, e 8 s procede ogmete quto ftto per etre ste per costruzoe de mtrce d rgdezz oce e de mtrce d rotzoe. Per st 7 occorre otre costrure vettore dee soectzo d cstro perfetto st 9 È u pedoo per cu mtrce d rgdezz h term corrspodet rgdezz sse dvers d zero e tutt g tr term u ( 9) E E E S I. mtrce λ 9 s costrusce modo ogo quto ftto per e tre ste

66 st f fodzoe che tergsce co terreo costtusce u st co u soo odo per cu mtrce d rgdezz è d dmesoe () R E E R d Per costrure ª coo occorre mprmere e odo E. vedo potzzto che moto drezoe è mpedto rsut: ; e. Per costrure ª coo occorre mprmere e odo E. Rsut pertto: ( ) ; R R d ed d R R ( ). d R E d Per costrure ª coo occorre mporre e odo E. Rsut pertto: d ; R R d d ( ) d R R d d ( ). R f rgdezz fessoe de sstem fodzoe - terreo Per st f rsut qud ( f ) d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) mtrce d rotzoe è u mtrce dettà: λ f ompett prte premre s procede rsouzoe de sstem d 5 equzo ee 5 cogte ( per od,,,, E) : ( ) ( 5) EQUIIRIO NOO ( 6) ( 9) EQUIIRIO NOO EQUIIRIO NOO EQUIIRIO NOO EQUIIRIO NOO E ( 6) ( 9) ( 5) ( ) E ( ) ( 6) ( 7) ( 7) ( 4) ( 7) ( 8) ( 8) ( 9) ( ) ( 5) ( 8) ( ) ( f ) EE E ( 7) f _ ( 7) f ( ) f

67 co e occh dee mtrc coteut e mtrce d rgdezz compessv soo otteut come T λ λ e che vettor f λ Rsoto sstem s ottee vettore d cu s preevo d vot vot e compoet ecessre per ccoo dee soectzo ee ste. totoo d esempo s ccoo e soectzo de st () S S cu s è trodotto λ S otterrà per esempo ( ) f f ( ) preevto d vettore souzoe T f ot quto ccot e fse che precede rsouzoe (s f u potes su seg dee crtterstche d soectzoe) N q N e egtv e t che postv N postvo perché orro e te che q q N