Formulario. per il corso di Statistica. (materiale consultabile durante l esame scritto)

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1 Formularo er l coro d Stattca (materale coultable durate l eame crtto

2 Catolo. Carattertche del domo delle varabl: a Icomatbltà : X X j er og j ex, X j S b Eautvtà : er og u P X( u S c Rroducbltà: X X e e olo e X( u X Codzo er ua cala (quattatva X < X j oure X > X j er og j X < Xj X Xj 3 X < X e X < X X < X er og < j < j j Codzo er ua cala arzalmete ordata. d < d er < j, r <, j r, j r Codzo er ua cala metrca: d X, X j e e olo e X X j Idettà d( X, X j > e X X j Potvtà d( X, X j d( X j, X Smmetra d( X, X + d( X, X j d( X, X j Duguaglaza tragolare Catolo. Frequeze relatve: f,,, f,,, f Regole er l umero d ram el dagramma ramo-fogla: Ram [ Log( 5 ] [. 76] Ram [ Log( 3 ] [ ] 34 Ram : [. 5 ] Trocameto de valor alla r-ema cfra decmale: r X * [ * +. 5] X,,, r Carattertche delle cla: Modulo U L Valore cetrale U + L f : : detà : U L Numero delle cla: Regola d turge : + [ 3.3Log( ] X X( Amezza cotate : d X X.5 * 3 d Amezza cotate oto lo carto quadratco medo: 349. X X d * 3 d Cla etreme determate: 3 Ma X m + U h f U * L * cu h c M X ma + L h f L + * U * c L h U L Ma U L * L U* M < L < U Frequeze relatve cumumate e retrocumulate: N j F fj G fj j j j Fuzoe d dtrbuzoe delle frequeze relatve: f e X X,,,, X S f( X altrmet co f( X f( X X X Area dell togramma tra [X (r,x ( ]: AX ( r, X ( Ur Xr hr + A( X, X+ + ( X L h r+ Fuzoe d rartzoe delle frequeze relatve: e X < Xm FX f F e X( X < X( + er,,, X X e X Xma Ogva delle frequeze: e X < L FX F + h[ X L] e L X < U er,,, e X U f h U L Fuzoe d graduazoe delle frequeze relatve: X F M{ F( } < < Catolo 3. Paragrafo 3. Moda. Formula d attrazoe: ho ho Mo Lo + Uo Lo ( ho ho + ( ho ho+ Medaa. Dat ere: X e " " è dar + Me X / + X ( / + e " " è ar Medaa. Dat cla: ( 5. Fe Me Le + he er "" e tale che Fe M { FFj 5.} j Valore cetrale della dtrbuzoe: VC X ( + X Quatl. Modaltà dcrete: X ( γ X( + γx( +, < < + 5. e [ ] γ e [ ]< Formula alteratva er quatl d modaltà dcrete: X ( γ X( + γx( + 5. < + 5. e [ + 5. ] + 5., + 5. ar γ altrmet Quatl. Varable cotua o cla: X ( γ X( + γx( + [ + 5. ] γ + 5. Quatl. Modaltà cla: ( F X L + er " " tale che F M Fj Fj h { } Mede d quatl: j ' ' X + + τ, ' dar '

3 3 N N! dove co m m m m! N!! ( 3 ( * * X + X Semomma d quatl mmetrc: µ Q + Q Semomma terquartlca: SI 3 (µ er.5 X + X + + X Meda artmetca: µ Xf Meda d Gatwrth: τ 3. * Q + 4. * Q + 3. * Q3 Meda artmetca oderata: M( w, w,, w w X co w w Meda d oteze: α MX (,,X f,,f α X f Meda geometrca: G X X * X * * X e α flx f f f f er dat cla: X U * L Meda armoca: H f X X er dat cla: + L U Meda quadratca: Mq X f Meda atarmoca: X f A h X f er X Meda dvora: M d : X ( X ( X( Md X( > Md { } Valore ozore: VP Ma Xf,,, Meda artmetca trocata: Meda artmetca worzzata: [ γ ] X ( [ γ ]+ Mγ, γ [ γ] γ ' X f X X er ( < (,, ' Mw X X er ( (, f ( X,, X er > Paragrafo 3. Varablltà come cart tra quatl mmetrc: D X X <. 5 Camo d varazoe: { } R X X R Ma X X j, j,,, 3 R [ X X ] ( Camo d varazoe medo: R [ X X ] R * ( Dffereza terquartlca: DI Q3 Q Dff. terq. corretta er l amezza: DI Q3 Q Log Q Q Semdffereza terquartlca: SDI 3 Bolot: X( Q Me Q3 X Sogle d allarme : Q 5. DI, Q DI Sogle d aomala : Q 3DI, Q3 + 3DI Idce d evoluzoe d ua ere torca: Idc d ocllazoe: X X * X X E E µ ( Y+ Y ( Y+ Y S S Idce d ocllazoe meda (Vc: V t y t + y t y t y t > Idce d aomala dell -emo valore (Barett-Lew: X X * X X Idce d aomala baato er l olgoo ad L. X >. 47 X( Varabltà come cart d valor tra due ere: α α S( A, α X A f { f} frequeze relatve Scarto aoluto medao: SMe X Me f { } Medaa degl cart dalla medaa: MSA Medaa X Me Scarto quadratco medo: ( X µ f Formula abbrevata er la varaza: ( X µ f X f µ µ X f ( X µ Varaza camoara: Aggorameto meda e varaza er agguta d u dato: µ µ + ( + µ X+ X Numero d cfre ella rareetazoe decmale: r M 3!,,,

4 4 Correzoe d Sheard er lo carto quadratco medo: d ( X µ f Duguaglaza d Tchebycheff er ua dtrbuzoe d frequeza: fr. rel. ( X µ < b b oure fr. rel. ( X µ > c c Correzoe d Sheard er l 4 mometo: µ 4 ' µ 4 ' h µ ' + 7h 4 4 Dffereza emlce meda: X( X( j j R wx w ( D.S.M. er modaltà retute: R X( f ( F + F Coeffcete d varazoe: Devazoe meda relatva: X µ f µ µ X S µ µ f µ µ Coeffcete d deroe: CD X M e f Me Coeffcet d Kelley: D+ D Q3 Q Me D D Raorto mmo comlemetare: Coeffcete d dmlartà: X RMQ ( X( E3 f E3 Varace rato: f Ma{ f, f,, f} fmo Bachma-Pateroter: E f f E 4 j 4 j+ Cba-Fro: E5 f E5 f Idce d eterogeetà quadratco: E 6 Idce d dvertà d Kemto: Da f a a < a< Idce d Bolartà d G: D F( F Coeffcete d Le: F e F 5. D d dove d D F e F 5 >. Altr dc d bolartà: ' ( ' D3 F D3 ' D4 F D4 3+ Paragrafo 3.3 Codzoe d mmetra. Polgoo d frequeza: fr. rel. ( Me fr. rel. ( Me + fr. rel. ( fr. rel. ( Me er og > Codzoe d mmetra. Fuzoe d rartzoe: F( Me ε F( Me + ε er og ε > Codzoe d mmetra. Fuzoe d graduazoe: ( X Me ( X Me er < <. 5 Codzoe d ammetra. Sere d modaltà: X( + X( + er,,, [ ] Codzoe d ammetra. Modaltà cla: ( c+ Me Me c f f er +,,, [ ] ( U+ L+ ( U L Codzoe d mmetra d Naddeo: r ( X M e f + ( X + M e f + r + Idce emlce d ammetra: α µ Me α SMe Q Raorto tra raort d quartl T Q Q Q Q Me 3 3 Me Q Idce d ammetra d K. Pearo: α µ M o 3 α 3 ( oretatvo X µ Idce d ammetra d Fher: γ Idce d ammetra d Edgett: A Me Mo e µm o 3 f Idce d ammetra d Yule-Bowley: ( Q3 Me( Me Q Q Q M YB e ( Q Me+ ( Me Q Q3 Q Mura della ammetra ecodo Let: Var Var Idce d ammetra de Varde + Var Q Raorto quartlco: RQ 3 Q Idce d blacameto vero le [ ] X Q Q X code: c 3 X X YB

5 5 Fuzoe d ammetra: ( X Me Me X A ( X Me+ Me X + X X Me < <. 5 X X Idce d ammetra d G er varabl omal: [ ] g ( f f+ g Idce d ammetra d Vc er varabl quattatve ordal: v Catolo 4. Detà de dat: [ ] ( F + F utà * varabl DD uerfce del grafco Detà del toer: v Toer uato er gl elemet eezal DT Totale toer Percetuale d dtoroe: Aumeto relatvo el dego Le factor : Aumeto relatvo e dat Ortogramm a fgure retute: y fgure tere : c utà d coto c ercetuale d y y fgura redua c c Dagramm areal: Dagramm a torta : g 36 f a vetaglo : g 8 f Cambo d bae e logartm: Log Log b a Logb( a Dagramma d Nceforo: X X G m Xma Xm 8 Catolo 5. Paragrafo 5. Raort d comozoe: X Y,, co T X T Grafco teraro: y Vertc :,,, Puto :, y Idce d ebulotà d ua frae: N C L+D4. D d N f Le fra emlc cotao er uo N f Numero d fra Le fra comlee cotao er due N N Numero d arole L lughezza meda frae N f Coordate del grafco d comlemetaretà: Dato al umeratore Dato al deomatore X X Totale Totale Raort d durata: A + Z Co A Z D +, Nu E U E U,,, + + Stma de rov: Nu α E U + α, α α,,, α+ α Raort d rotazoe: R Nu E + U,,,, Co A + Z y Elatctà d ua fuzoe: Ey (, * y Dederata er le mure d varazoe relatva: H( Y, X e e olo e Y X H( Y, X< e e olo e Y < X HY (, X è mootoa retto al raorto Y X HaY (, ax HY (, X Varazo relatve emlc: Y r X X r Y ( Y X 3 r X Y Y + X Attualzzazoe co tao emlce: Ya r Y z ( + Varazoe relatva meda: Y Y r z a a erodo zale dove ( z a Ya z erodo fale Varazoe relatva meda (baata ul valore termedo: Meda delle varazo relatve: Y Y Vza * z j j, z a j a+ Yj + Yj z Yj Yj Vza, z a j a+ Yj L Y z Ya Varazoe relatva comota: Y r * z za za e Y a Proezoe d ua ere torca: + z Y Y z Ya r dove r z za + ( +, Y a Varazoe relatva comota er ere torca co tetto: z+ Y+ z B B Yz r dove r Varazoe relatva cotua: r z a L Y z ( Y a Relazoe tra ta comot e cotu: Yz Ya z B Yj z j B Yj L Y z Y Valore attuale ecodo la catalzzazoe comota: Ya Yz ( + r dove z a a

6 6 Paragrafo 5. N.I. elem. a bae fa: Yt It * t,,,, Y Y Yt N.I. elem. a bae moble: t-it * t,,, Y t- Yt Y Icremeto d u umero dce: It I Y * Varazoe % dell dce: Reverbltà: It ti It I Yt Y I * t Y * t t j I j+ Crcolartà: j t I t Cambameto d bae umer e dc elemetar: I t * Y Y w I t w Raccordo tra veccha bae e uova bae w : Y wit c( w, It dove c( w, Yw Numero dce tetco co la formula del valore: P Q Bae fa It V t * t : * P * Q P Q Bae moble t It V t * t : * Pt* Qt Numero dce della meda artmetca: I t t P * P Meda artmetca degl dc elemetar: t U I Meda geometrca degl dc elemetar: t I Formula d Laeyre: Pt PQ t L t * PQ P I * * w It P Q PQ P dove w Q : PQ Altra ereoe er l dce d Laeyre. t L I V * Jt L I It L Cambo d bae er la Laeyre: w w It y * c (, y * w y It L It Formula d Paache: Pt PQ t P t t * PQt P I * * w It P Qt PQ t P dove w Q : t PQt Relazoe d vo Bortewcz: t P It um. d. valut. I t L + ρ ( It, Jt K dove : Jt um. d. quat. I K > Relazoe co la formula del valore: I P V t I t I L t oure I L V P t I t I t Formula d Fher: F I t It L * It P Formula d Sdgwc: I tl + It P Formula d Marhall-Edgeworth-Bowley: Pt Qt + Q P Qt + Q It L * V + It P * V t V + Vt t PQ Formula d Lowe: t S t Qj j I * Q,,, t + PQ Formula d Walh: W t P P t Formula della quattà d Laeyre: w w > w P t L Qt t L PQ J * J w w P Q PQ Formula delle quattà d Paache: PQ t P t t t P PQ J * t J w w PQ t PQ t Idce della roduzoe dutrale: t t L V PI J w w V valore agguto ao ettore V V Deflazoe d ere moetare: Dt t * It Deflattore: It Valore atrmoale acqutato all ao w valore comarable co rezz dell ao y : Valore aggorato Valore orgale* I y I w

7 7 Ctm, Varazoe retto al mee recedete: VPt C * tm, Tao tedezale d flazoe: TTE Ctm, t C * t, m Ctm, Tao medo d flazoe: TMEt µ * tm, Tao d flazoe eredtata: t Crm C C rm tm, +,, ε r r t t * µ tm +, µ tm, Tao d flazoe lacata eredtà: η Ctm, t * µ tm, Paragrafo 5.3 Ammotar d varable: aoluto : a X,,, a µ a X relatvo : g f,,, µ µ Ammotar cumulat d varabl: aoluto cumulato : A X j j A µ j relatvo cumulato : q g j,,, q j U L µ ˆ c+ 6 f µ ˆ c + + f U L * Formule d Ager: f 4 ( U L µ ˆ c 6 Formule d Needlema er le mede d clae: d L + d + 3 er 4 48 d d + d L er,,, 4 48 d+ d µ d L + d er e U deter d α L[ ( + ] L α er α L( L L d U L Codzo ulla curva d Lorez: L gt adt gt adt µ [ ] µ [ ] M F( e F ( X g( { } < a e Lm Ld Lm Ld + g L ( d L ( d µ + ( L+ ε d L ε d g Ld ( L' d µ > L" d Eem d curve d Lorez: b a. L ( b ab, + a Petra (94 a b. L e ( a, a+ b> a Kawa e Podder (973 c b 3. L( ab + ( a + ab + a[ ( ] a, b, c > Maddala e Sgh ( 977 a 4. L Raache, Gaffey, Koo, Obt (98 ( [ ] ( a 5. L < a < Aggarwal, Sgh (984 ( + a 4a 6. L( A A > Guta (984 + ( [ a ] 7.L > + > + ( a + b( ab, b a Arold ( 986. b L [ a] ( 8. ab, Altre curve d Lorez: β L ( β + β > co π.5 L π L a( b a, b L e e β L β, α α ( + a( L( e a > d d Doo eoezale : L d, d 5. d, d d Quadratca e.: L( d, d [ d + ( d ] d d Curve d Lorez el tema d G: z a π e π w w z ( w z a π e π w w z w + 4 w + 4 z a[ ( w α β ] z aw ( w a, αβ, z a w a < a< a b w z w Aw ( w Z [ α ( w ρ + ( α w ρ ] A,α,ρ ρ Sezzata d Lorez: L X( a ( (, ],,, µ + Curva d Lorez terolate quadratca (Catellao: q q + µ ( + µ ( µ fµ C (,,, Idce d Emle: g e g Effetto dederato d u trafermeto eutrale:

8 8 Ly( L( er og [, ] C( y C( Idce d Smo: C (,,, T T T µ T Idce d dvertà d McItoh: MI µµ µ µ Stattca d Eberhardt: S Raorto comlemetare de decl etrem: Rd g g X ( X ( j j X ( + X ( j Idce d Gatwrth: G ( q Idce d cocetrazoe d Zega: Z q G Idce d Chamerowe: Ch G meda geometrca µ HT Idce Hall-Tdema: q Idce d cocetrazoe dutrale d Herfdahl: µ H g f µ f Varaza de logartm (G è la meda geometrca: V [ L( X L( G ] f L X G f g. Idce d Kuzet: K.8 Delta del G: δ L L q y( m f Scart tra quote: m qm m Quota dvora: D D qd D + qd h+ qh m( + q h h qh h d qh h + h µ ( + µ + µ Idce d Gorg: g D * qµ Idce d Lee: D + µ qµ D µ µ Veroe d D ecodo Shutz: [ L ' ( ]d Idce Petra-Rcc: Ma q Maggoraza mma e quota medaa D3 ( 5+ µ. ( 5. q q 5. q ( h D4 ( 5. qh+ 5 h h 5 h µ (.. Formula Newto-Raho le equazo o lear: ( f X ( + X X,, X ( dato ( f' X ( + da terromere e: X X <. Raorto d cocetrazoe. Dat ere: ( X R µ ( µ Raorto d cocetrazoe. Coordate d Lorez: R ( ( q + q f( q + q (traez q R (regola de rettagol Effetto d u trafermeto eutrale: R d d j w w j µ µ Lmte ferore e uerore er l raorto d cocetrazoe: Ru Rl + γ Rl ( ( q + q ( µ L ( U µ γ µ ( U L ( U L Raorto d cocetrazoe er modaltà gole: (. R +. ( + ( R µ µ 3. ( R w co w + µ Raorto d cocetrazoe. Varable cotua: R L( d Idc lear d cocetrazoe: J X C + ( J µ + C L' ( w( d w( Idce Formula q Boferro q De Vergott 3 Pech q q ( Mehra ( q q 3 ( ( q G

9 9 Effetto d u trafermeto eutrale: d j d j B V * ( µ r r ( µ r r 3d 3d P ( j ( j+ M ( j j+ 3 3 µ µ Idce d cocetrazoe d Amato: Lughezza della curva d Lorez: q ( A λ ( + + µ q q ( f µ Lughezza curve d Lorez cotue: λ + ' Come formula G-K: r + µ Effetto d u trafermeto eutrale: [ ] µ t' ( +µ 3 ( d +µ 3 Idce quadratco d Boferro: L d ( µ B µ µ µ µ R ( R B µ Come formula G-K:r([(-µ/µ ] Effetto d u trafermeto eutrale: t(r (-r (-dd/(µ Idce etroco d Thel: µ µ H f L g L g g L g L f µ µ f Lm L( Come formula G-K: r((/µl(/µ. Effetto d u trafermeto eutrale: t(µ - L[/(-d]. Secodo dce d Thel: µ H f L f L f f L f L g µ g Codzoe d Fellma ul cofroto delle curve d Lorez: Ly( L( er e t cotate Ly( L( er e t mootoa crecete Eltetö e Frgye (968: u µ q µ w q ( µ ( µ [ ] v u * w Polo d mmetra della Lorez: L(- Aree della Lorez: A T S L +T L, A U S U +T U S L S U ( D -q D /4. Codzoe formale d mmetra: L( D + L( D + er m D, D { } Codzoe d mmetra tattca della Lorez ecodo Zaard: A L A U ovvero T L T U. Codzoe d trotà della Lorez: L( µ + µ > Codzoe d detrotà della Lorez: L( µ + µ <. Codzoe d culmaza: L( µ + µ Idce d Pazzo: ' ' AR Log3( AR. 94L( AR co AR Idc d Gurovch: TU TL Detrore : Strore : TL TU Idce d Patmo: A ' D TU TL, AD Q D D Idce d ammetra d Zaard: ( Z T U T L RL RU R Z DqD 4 R Aree covolte ella mura della ammetra. Curva cotua: TL TU q D q δ + D D D D δ Ld D ( D δ δ Dq D Dq δ + D δ qd L d qd ( D qd + δ δ D Put ed Aree covolte ella mura della ammetra. Formule baate ulla ezzata d Lorez DqD m TL ( ( q + q + ( D m ( qd + qm q q q D D ( ( + TU m+ + ( m D ( qd qm L L er e t y mootoa decrecete Idce d Hagerbaumer: b R( R b L d q R ( R H a b

10 Calcolo delle robabltà e Ej e e è u eto cluo Ej e E e e o è u eto cluo E j j Uguaglaza : E F e E F e F E Uoe :( E U F { E oure F} Iterezoe : ( E I F { E e F} c Icomatbltà : E F c oure F E E I F Dffereza : E F c E I F Necear : E U F S Relazo co l eveto certo ed moble E S S E S E E E E Coertura : U E S (uoe er che va da a d E co Partzoe : U E S e E I Ej er og j Legge commutatva : E F F E E F F E Legge aocatva : E ( F G ( E F G E ( F G ( E F G Legge dtrbutva : E ( F G ( E F ( E G E ( F G ( E F ( E G Idemoteza : E E E E E E Mootoa : E F E F F, E F E Covoluzoe : c E E Legg d De Morga : E UF E IF E IF E UF Crecete e E E E Succeo : Decrecete e E E E Decrecete : Lm E IE Crecete : Lm E UE Fuzoe d eme Fuzoe d eme addtva: f(e UE f(e +F(E Algebra :. S W c c. Se E, F W ( E F W, ( E F W, E, F W. Aom :. S è l' uvero degl evet. Gl evet geerat da S formao u' algebra W. Se E W P( E 3. P(S 4. P(E F P( E+ PF e E F Teorem Eveto comlemetare : c c PE PE PE PE + Probabltà totale : PEUF PE PF PEIF + Mootoa : Se F E PF PE Dug. Boole : PE ( I F MPE {, PF } MaPE {, PF } PE ( U F PE + PF Uoe d tre evet : PE ( UFUG PE + PF + PG PF ( IG PE ( IF PE ( IG + PE ( IFIG Dug. Boferro : P E P I E ovvero PE ( P E c I Prob. eveto m. P( ( c Modello d robabltà uforme :,,, Probabltà oggettva cometervallo : Pj E F Pj E F Pj E F Calcolo combatoro S { C C C} eveto elemetare : - tula ordata : ( C, C,, C - tula o ordata : { C, C,, C} Cardaltà : Card( S Dozoe eza retzoe DSR( N, N* ( N *( N * *N ( + DSR( N, N er DSR( N, ( N * DSR( N, er > N! DSR ( N, ( N! Dozoe co retzoe volte DCR( N, N*N* *N N Permutazo eza retzoe PSR(, * ( *( * **! Permutazoe co retzoe N N N 3 N! ( N! ( N!! ( N!! ( N! 3! N 3! N! N P,, (,m!! 3! m!,,, m

11 Strlg :.!! π π. + e e Combazo eza retzoe DSR( N, N! CN,! ( N!*! N* ( N *( N * *( N + CN,! Combazo co retzoe N + ( N +! N +! ( N! N + N* ( N+ *( N+ * *( N+! Partzo eza remmoe m m r r r rm! m! r! r rm! ( r!( r! ( m rm! Partzo co remmoe m + r + r + r m rm + r r r rm Coeffcete bomale N! N da leggere : " N u " ( N!*! a N e N b N N > c N N N N N + N N N ( N * N + ( + a b ab b ab ab ( a + b + a α + α αα ( + ( α+ ( α+! + α r N r N N N + r + + r r N r Probabltà codzoata e dedeza PE C PE ( ( I WC co P( C> PC oure P E I C P C P E C. PCC PE. PEC PCE 3. PE ( I C PCPEC PC 4. PEC PEC 5. PE PCPEC PCPEC PEUFC PEC PFC PEIFC 7. PE ( FC PEC ( F * PFC PEC ( E * PEC PCE * PE PCF * PF 8. PCE ( F + PE ( F PC ( EF 9. PCE ( F PEF ( I I ( I * ( I * * ( I PE F G PF G PEF G PG PFG PEF G Teorema d Baye : PE PH ( I E PH * PEH PH ( j E PHj PEHj PHj PEHj PH ( j E PE PE PH PEH Idedeza : PE PEF PE ( I F PE PE ( I F PE * PF PF PF ( I E PE * PF dedeza d evet m PE ( IE I IE PE m Uoe d evet P U E PE PE ( I Ej + j + PE ( IEj IE + P I E j+ j+ Selezoe delle utà Uvero de camo Cardaltà ν Ordat No ordat Partz. " m" gr. Co remm. Seza remm. N + m + r N r N m N! ( N! r Tavola de umer caual Etratto uerore ad N r Reto( r, N r N *N Probabltà egual utà atttude A Scelta a A a ], A] a A a + a ] A,A] 3 a3 A3 a + a + a3 ] A,A3] : : : : N N a AN a A N,AN Numer eudo caual ] ] ( + X ax + c mod m Reto ax c, m,,,

12 P.P.S. Metodo cumulatvo Teorema della cotutà utà atttude A Scelta a A a, A a A a a A,A 3 a A a a a A,A : : : : N a A a A,A ] ] + ] ] + + ] ] N N ] N N ] Percetuale d rota a domade ebl: λ ( π π Selezoe tematca: uj etra el camoe ozoe ema e j r + ( * h Varabl caual Varable cauale dcreta fta X( e : S T R, T X( e er og e S Fuzoe d rartzoe F PX ( PE { (, ] } P E(, ] U ( j, j] j < < P X j j { } F er F F ( F F er < Traformazo [ ] ( j y PY y PX g y Fy PX g y PY ( y PX g ( y Valore atteo j EX Guadago atteo E( G y( y + y + y y y EG ( + y y, + y + y Se Y g( E( Y y jp X g ( yr g j P X j r r Momet all orge r r ' r ' : µ cetrat : µ r ( µ Traformata leare µ y y ( a + b aµ + b y ( a + b aµ b a P Lm E Lm P( E Addtvtà comleta ( addtvtà PE Scelta del modello dcreto u Pe e E Tchebycheff ( X P[ X E( X b( X ] P X E( X a b a ( X co a b( X. Ovvero : P[ X E( X < a] a algebra c S W Se E W E W 3 Se E W,,,, E W U Crtero d Raabe : a Sa + + o e allora + e a < dverge e a > coverge e a l tet o è cocluvo Iftemo : f o g Lm f ( g Ifto : f ( O[ g( ] f ( Mg( co M > er og Momet er le v.c. eumerabl : r µ r EX r, r,,, Coegueza d Fz : r Lm ap ( > a a Codzoe d covergeza aoluta : g g + + < µ a,! g g a> er 3,, Idefcazoe del modello attravero momet :

13 Modello F µ Drac e X X e X < X altrmet altrmet X e < Beroull (, er, e < ( Uforme er,,,,,, µ,,,,,,,,, ( Bomale ( ( ( Frequeza ( H ( B. Iergeometrca N N N N N N,,,, N N N N N N N N N N N Ierg. egatva N N r r r r r N + r r N + r r N + r N + r N + r N ( + N r N ( + + ( + ( + 3 Modello ( F( µ λ e j λ λ λ e Poo,,,,, < λ λ! j j! r r r r r( r Pacal (, r, r+,, ( e < r j r r ( Geometrca (,, ( e < La clae d Borel : ( ] { < } Ea, b Ra b a < a < < a b < b < < b a b < ( ] ( ] Se E a, b, E aj, bj W ( ] ( ] co E a, b E aj, bj er j E U E( a, b] W Fuzoe d rartzoe er le cotue :. F, R. F( F( 3. F F ( + < 4. F F e Pa { < b, } PEab { (, ]} P U Ea (, b] a a < b a < b < < b b [ Fb Fa ] Fb Fa er E( a, b] B Varabl caual aolutamete cotue + F( h( t dt co h( h( d df( h Lm F F ( co < d P ( < htdt ( P ( ht dt P { ( ab, ]} P { ( ab, [ bb, ]} P ( ab, P bb, { }+ { } h( d + h( d F( b F( a+ F( b F( a a b Fuzoe d rartzoe comlemetare : G htdt ( htdt ( Fuzoe d graduazoe : X F ( M F( b b { } Fuzoe d rcho : d [ ] ( + r d Log F h F Lm Pt t t t t r( t dt L[ F( ] F e, h re rtdt ( rtdt (

14 4 Moda cotue h ( F + FX FX * + F FX FX Medaa : X h( d Valore atteo : µ h( d Eteza del valore atteo b Lm ghd Lm g( h( d E[ g( ]< a a b + X Ma{ X, } X Ma{ X, } Momet : + a a b Detetermazoe del valore atteo : + EX EX EX M e e S M hd ( M hd + ( M hd Me e e b α ' α µ α h( d da µ : µ α ( µ h( d Momet aolut : νr h( d Momet arzal : X f ( X( M Dcrete : + FM µ ( M M h( d Cotue : FM X ( f X( > M Dcrete : FM µ ( M h( d Cotue : M FM Duguaglaza d Marov : [ ] [ a P a E ] Eteza de momet elle cotue Lm h( d Lm a P( > a a > a a Lm a [ Fa ] a Duguagaza d Lauov : t t t υ υ υ υ υ + υ Devazoe tadard : EX [ EX ] ( µ hd hd µ Scarto a. medao : M e Devazoe meda : + µ Sµ µ h( d µ F( µ h( d Dffereza meda : y h( h( y ddy F( F( d F [ 5. ] hd F( µ [ µµ ( µ ] Curva d Lorez v.. c cotue : Deomazoe Detà Domo Uforme h( a< < b b a b + c bc Burr Mele h abc a b c b >,, > + Pareto b+ b a h a > a a, b> Webull a a h a e b b b > a, b > ( µ e Normale h( > π [ L( µ ] e Logormale h( > π < < a, b> Γ( a+ b Beta h a a a b ( α t Γ Γ Γ( α t e dt a e b b Gamma h( > a, b > Γ( a Cauchy h( π + ( a > g F( L( ( a h( d µ h( d( g( µ F, a > a Idc ammetra : µ M µ M α e o α α 3 α 3 SMe 3 µ + γ h( d YB Q 3 Q M e YB Q3 Q a a e + e Gumbel h( > a e Lalace h( > π µ 5. h Normale Iv., µ, > µ µ e a

15 5 La Normale : µ e X ~ N( µ, h( <µ< > π Meda artmetca µ hd Devazoe tadard ( µ h( d Aree ottee : µ t e w e F ( µ d φ( z dt π π µ z φ( z φ( z Pr( Z z φ( z Formula d Page : y ϕ( z [ + e ], y / π ( z z Quatle : P( µ > r r α α φ PX ( > Xα α Xα µ+ φ ( α PX ( < Xα α Xα µ+ φ ( α Curto : 4 meocurtca γ µ h( d 3 co γ latcurtca < > letocurtca.. Idce d Hogg : KH µ µ + + µ ( Meµ ( Me Groevald Meede : X Q 3 Q 3 X+ X + X+ Q3 GM X + + X+ X Q Q X < <. 5 Aromazoe dcrete : f( a φ( a+ 5. φ( a5. FX ( < a φ( a5. FX ( a φ( a+ 5. F( X > a φ( a+ 5. F( X a φ( a5. Coordate grafco d ormaltà : X µ Z ( ˆ Z dove. 5,,,, Traformazoe Bo Co : α X Y er ( α α α L( X er α Bvarate: Dtrbuzoe coguta dcreta j P X Y y co h (, j j j j ( XY, y y L yh L h. L h. j j. h M M L L M M. j L h. j.. L. h Margale della X h h P ( X ( Y yj P X Y yj j ( ( PX U U j h j. j Margale della Y PYy ( j P ( Y yj U( X X P U ( X ( Y yj j. j Dtrbuzo arzal o codzoate : PX, Y yj PX ( Y yj PYy j PX, Y yj PY ( yj X PX ( Idedeza dtrbuzoe PX (, Y yj.. j,, j,,, h PX Y yj PX j,, h PY yj X PYyj,, ( Uforme dcreta bvarata PX (, Y yj * h,, j,, h Momet della v.c. dcreta bvarata h E g( X,Y g, yj j j Se g(, y j r r Momet della margale X :. Se g(, y j y j h Momet della margale Y : y j. j j Se g(, y j r y j h Momet mt all' orge : r y j j j r Se g(, y j ( µ y j µ y h r Momet mt carto : ( µ yj µ y j j

16 6 Proretà del valore atteo : EX ( + X EX + E( X EX ( X EX E( X e ( X, X X ( X Valore atteo codzoale : EXY ( y j h EYX ( y j j j. j j. Idedeza meda : E( X Y y j E( X er og j E( Y X E( Y er og h Covaraza : Cov( X,Y ( µ ( yj µ y j j h j y jj EXEY j j Varaza della omma : ( ± h [ ( + ( µ +µ ] Var X Y y j y j j Var( X+ Var( Y± Cov( X, Y Proretà della covaraza : Cov( a + bx,c + dy bdcov( X, Y [ Cov( X, Y ] ( X ( Y Cov( X, Y Coeffcete d correlazoe : r( X, Y ( X ( Y Proretà del coeffcete d correlazoe rxy (, ryx (, ra ( + bxc, + dy rxy (, e X a + by b > rxy (, rxy (, e X a + by b < Coe d valor : rxy (, y µ µ y µ µ y y Fuzoe d detà doa: P[ ( X, Y A] f (, ddy A Proretà della fuzoe d detà doa: f, y, y A f, y, y A f (, y ddy Fuzoe d rartzoe: y F(, y P( X, Y y f (, t ddt Proretà della fuzoe d dtrbuzoe doa: Fy, o decrecete er og argometo F(, y c otua a detra er og argometo F(, y F(, F(, Per og < e y < y F (, y+ F (, y F (, y+ F (, y Calcolo della fuzoe d rartzoe: y F( X, Y y f (, y ddy a b c y d a c y g ( f, y ddy F, y c g ( y f(, y d FX ( Y y a dy a b, c g( y g( FXY (, F * Fy Fuzo d detà margal: f f, y dy f y f, y d A A Fuzo d detà codzoate: f X Y f X Y f( XY (, (, fy f(, y d A f X Y f X Y fyx (, (, f( X f(, y dy A Idedeza elle doe cotue: b d b d b d f (, y ddy g( h( y ddy g( d h( y dy a c a c a c Se f(, y g( g( y f[ t(, t( y ] h t( h t y Se f [ t(, t( y ] h[ t( ] h[ t( y ] o ece. f (, y g( g( y Momet delle bvarate cotue E[ g(, y ] g(, y f (, y ddy E( Xy f( Xyd EY yf( Ydy Cov( X, Y yf (, y ddy E( X E( Y yf (, y ddy E( X E( Y rxy (, f( d [ E( ] y f( y dy [ E( y ] Detà uforme bvarata f( X, Y er (, y A Detà ormale bvarata ρ e f( X, Y er <, y < µ y y µ µ y y y + µ ρ y πy ρ

17 7 Xy N µ + ρ ( yµ y, ρ y y Y N µ y + ρ ( µ, y( ρ Dtrbuzoe multomale PX (, X,, X! X X X * *!*!* *! + + +,,, PX ( EX ( X ( Cov( X, X jj j Idedeza elle v.c. -dmeoal f( X, X,, X f( X PX, X,, X F Varabl caual detcamete dtrbute f( X f( X f( X Fuzoe d dtrbuzoe del camoe f( X, X,, X f( X Combazoe leare d varabl caual C wx EC E wx EwX wex [ C] w ( X wwjcov X, Xj j + Camoameto eza remmoe: ( C w ( X + d wwj j< Varabl caual gauae: C N wµ, w + Meda camoara: µ ˆ Nµ, Meda camoara da oolazo fte: N E µ ( N Totale camoaro: Q X N µ, µ N(, Teorema del lmte cetrale Stma utuale Metodo de momet: X X µ ˆ µ ˆ EX EX X µ ˆ EX Fuzoe d veromglaza: L( θ L f( X θ Sma d mama veromglaza: θˆ tale che L( θˆ L( θ er og θ Θ dl( θ L' ( θ dove L' ( θ L" ( θ< dθ Suffceza dello tmatore (fattorzzazoe: L( θ g[ T( X, X,, X θ] Cetrameto dello tmatore: ET ( θ Errore quadratco medo: ET ( θ ( T+ ET θ Coteza robabltà dello tmatore: Lm PT ( θ < ε θ Θ e ε > Coteza meda quadratca dello tmatore: > Lm E T θ θ Θ e ε Itervall d tma Stmator tervallar: L( X, X,, X U( X, X,, X PL ( θ U α Iervall o arametrc (, X ], X,, X, X [ ma m m ma Stattche votal: T θ TX ( θ ( T Itervall d Tchebycheff T T T θ T + cofdeza ( α α α

18 8 Oggetto Codzo µ oto Itervallo blaterale Z α µ + Z α µ cogto µ cogto µ oto o.fta Normale grade Z α t α µ + t, α, Z α N N µ + Z α µ + Z α ( χ α, ( χ α, N N H Z α H( H π H + Z α H( H π Beroull H Z α H( H * N ( N π H + Z α H( H * N ( N π -π Beroull ( H H Z α ( H H +Z α H ( H + H H H ( H + H H π π

19 9 Itervall ulateral Amezza µ + Z α µ + t α, µ Z α µ t α, ˆ E Z α ˆ X ma X m 4 ˆ X ma X m come ora µ + Z α µ t α, o alcable µ + Z α N N µ Z α N N * N + N E Z a / ˆ ( χ α, π H + Z α π H + Z α H( H H( H * N ( N π H Z α π H Z α H( H χ α, H( H * N ( N + Z α E Z α ˆ E * N + N * Ĥ( Ĥ Ĥ.5 Z a / E H π π ( H H + Z H α + H H H π π ( H H Z H α + H H c + * c Z α E c

20 Oggetto Codzo µ oto Itervallo blaterale Z α µ + Z α µ cogto µ cogto µ oto o.fta Normale grade Z α t α µ + t, α, Z α N N µ + Z α µ + Z α ( χ α, ( χ α, N N H Z α H( H π H + Z α H( H π Beroull H Z α H( H * N ( N π H + Z α H( H * N ( N π -π Beroull ( H H Z α ( H H +Z α H ( H + H H H ( H + H H π π

21 Itervall ulateral Amezza µ + Z α µ + t α, µ Z α µ t α, ˆ E Z α ˆ X ma X m 4 ˆ X ma X m come ora µ + Z α µ t α, o alcable µ + Z α N N µ Z α N N * N + N E Z a / ˆ ( χ α, π H + Z α π H + Z α H( H H( H * N ( N π H Z α π H Z α H( H χ α, H( H * N ( N + Z α E Z α ˆ E * N + N * Ĥ( Ĥ Ĥ.5 Z a / E H π π ( H H + Z H α + H H H π π ( H H Z H α + H H c + * c Z α E c

22 Iote ulla Codzo Stattca tet Valore d robabltà H : µ µ H : µ µ H : µ µ H : H : π π Varaza ota Normale, Idedeza Varaza cogta Normale, Idedeza Varaza cogta grade Idedeza Meda cogta Normale Idedeza H : Meda ota Normale Idedeza H : π π π H : π π Prove beroullae grade Prove beroullae grade Prove beroullae grade H : µ µ D Cam. Id. Normal Varaze ote H : µ µ D H : µ µ D Cam. Id. Normal Varaze ugual e o ote Cam. D. Normal Varaze o ote tc Zc µµ ˆ ˆ µµ ˆ µ ˆ ˆ ( µ ˆ Zc µµ ˆ ˆ µ ˆ ˆ ( µ ˆ ( c ( ( µ c Zc H π π( π Se H: µ>µ value φ Z Zc Se H: µ<µ value φ( Z Zc Se H: µ µ value φ( Zc Se H: µ>µ value P t tc Se H: µ<µ value P( t tc Se H: µ µ value P tc t tc Se H: µ>µ value φ Z Zc Se H: µ<µ value φ( Z Zc Se H: µ µ value φ( Zc ( ( [ ( ] ( ( ( Se H : > value P χ c Se H : < value P χ c Se H : value P χ c Se H : > value P χ c Se H : < value P χ c Se H : value P χ c Se H: µ>µ value φ Z Zc Se H: µ<µ value φ( Z Zc Se H: µ µ value φ( Zc ( Zc πˆ πˆπ Se H: µ>µ value φ Z Zc πˆ( πˆ πˆ π + ( ˆ Se H: µ<µ value φ( Z Zc Se H: µ µ value [ φ( Zc ] ( πˆ πˆπ Se H: µ>µ value φ( Z Zc Zc Se H πˆ( πˆ + : µ<µ value φ( Z Zc Se H: µ µ value [ φ( Zc ] + π ˆ π ˆ + πˆ ( D Zc µ ˆ µ ˆ Se H : µ>µ value φ( Z Zc Se H value Z Z + : µ<µ φ( c Se H: µ µ value [ φ( Zc ] ( D tc µ ˆ µ ˆ Se H: µ µ D value P t + tc SA + Se H: µ µ D value P t t + c ( + ( Se H: µ µ D α [ P( tc t t + c ] SA + ( D tc µ ˆ µ ˆ Se H: d > d value P( t tc ˆ d Se H: d < d value P( t tc ( d dˆ d Se H: d d value [ P( tc t tc ] ˆ d dˆ d X X ( (

23 3 H : F F grade Idedeza ( f π χ c π ( π π H : π π er og " " π H : π j π.. j π χ π c π π [ ] h j.. j χ c j.. j value P χ χ c value P χ χ c value P χ( ( h χc to : a P C C H to : β P C C H Poteza del tet : β PC CH

24 4 Regreoe Modello logtco Y β + β X e Modello d regreoe leare emlce: Y β + βx + e,,, Crter d calcolo er arametr Qr ( β, β Devaze: r Y Yˆ r Y r Y Yˆ r Y S ( Syy ( y y Sy ( ( y y Stme co mm quadrat ˆ Sy β ˆ β ˆ y β S y y ˆ β y y ˆ β Stma della varaza degl error S e Syy r y Syy Covaraza tra oervate e teorche Cov y, yˆ y yˆ ˆ β r ˆ y β Coeffcete d determazoe ( yˆ y ( y yˆ eˆ R ( y y y y y y ( Scambo d ruolo tra varabl ˆ β y ˆ β y e y dove S β + β + ˆ ˆ β + ˆ β ˆ y β S ˆ γ ˆ γy ' y e y dove S γ + γ + ˆ ˆ γ + ˆ γ y ˆ γ Syy ˆ γ* ˆ β r Tet ul coeffcete agolare H : β θ ˆ β e t ˆ c β SS ˆ β θ ˆ β Se H: β > θ value P t tc Se H: β < θ value P t tc Se H: β θ value P tc t tc Relazoe tra tet ed R R t ˆ β t ˆ β Tet ull tercetta H : β ˆ β ( + S ˆ t ˆ β ( β βˆ + Se H: β > θ value P t tc Se H: β < θ value P t tc Se H: β θ value P tc t t c Itervallo d revoe come arametro: ˆ ˆ * * ˆ ˆ * ( β + β tα ( y y ( β + β + tα ( y * ( y e + SS Itervallo d revoe come varable: ˆ ˆ * * ˆ ˆ * ( β + β tα ( y y ( β + β + tα ( y * ( + y e + SS Modello d autoregreoe y β + β y + e Aal del tred y β + β t + e t t t t t

25 5 Area ottea alla curva ormale tadardzzata ª cfr a ª cfra α Z α Percetl della Normale er tet ed tervall ulateral α Pr(Z Zα Z α α Pr(Z Zα Z α N.B. er tervall ammetrc deve cercare all tero della tavola l valore ù romo a -γ. Ad eemo: γ/7.86 cerca che è ù vco a.57 Percetl della Normale er tet ed tervall blateral Z α αpr( Z Z α

26 Eemo d tabella d umer caual S

27 7 Sogle della tattca F al lvello dell % Numeratore De

28 8 Percetl della dtrbuzoe t-studet Grad d lbertà N.B. Per tervall ed ote alteratve adoerare α/.

29 9 Percetl della dtrbuzoe χ (coda a detra Grad d lbertà

30 3 Percetl della dtrbuzoe χ (coda a tra Grad d lbertà