Propagazione degli errori

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1 Propagazoe degl error Argomet: combazo degl error; RSS: svluppo tutvo; RSS: svluppo razoale; coeffcet admesoal. Combazoe degl error All tero d u sgolo strumeto, o d u sstema d msura, og elemeto costtutvo può essere fote d mprecsoe. al mprecso s sommao maera statstca dado orge all certezza della msura, coè l campo d varabltà atteso, ad u assegato lvello d cofdeza, del valore umerco otteuto tramte l rlevameto spermetale. Il problema può essere alteratvamete posto forma matematca come lo stablre che modo le certezze dvdual d sgole gradezze fluezo l certezza d ua gradezza dervata da queste. Il problema prede l ome d propagazoe degl error. Idpedetemete dall orge delle certezze, dalla loro ettà o da come esse possao essere determate, l puto focale della propagazoe degl error rsede el trovare l modo pù ragoevole per combarle. L obettvo è otteere u metodo che sa razoale e suffcetemete cautelatvo per o correre problem d qualtà della msura, seza però sovrastmare debtamete l errore commesso.

2 Problem caratterstc Dspoedo delle msure d forza, spostameto e dmesoe della sezoe, oltre alle relatve certezze, da quale certezza è affetta la stma del modulo elastco del materale? F F ± w s s ± w ms F ms s L L ± w a a ± w ms L ms a b b ± w ms b L F E a b s? w E dove F è la forza, L la lughezza d u provo, a e b le dmeso della sezoe, s lo spostameto msurato. Oppure: ual possoo essere le certezze ammssbl sulle dmeso se s desdera otteere ua assegata certezza sul volume d u cldro? d dms ± wd V π d h / 4 w, w h h ± w ms h w h d V ε 3 Learzzazoe Dedotto che la combazoe delle certezze può essere applcata var ambt dell gegera s deve defre ua tecca geerale per la soluzoe d questo problema. Data la geerca fuzoe d pù varabl: ( x ) : La varazoe della fuzoe può essere defta medate la sua learzzazoe attoro alla cofgurazoe d rfermeto: ud: ( )... x x x + dx + dx + ( x ) + dx ( x ) + d x d dx x L equazoe fale è esatta el caso d varazo ftesme. 4

3 Learzzazoe el caso delle msure, possamo sostture alle varazo, dx, le rspettve certezze d msura, w, otteedo ua scostameto del rsultato come somma de cotrbut d cascua msura: d dx w x x L certezza w della varable -esma vee pesata dalla sesbltà della gradezza al parametro stesso: x Il rsultato otteuto potrebbe essere utlzzato per defre l certezza della msura come propagazoe delle certezze delle sgole msure, tpcamete espresse term d devazoe stadard. Dovremmo però rsolvere l problema d come effettuare la somma: la somma algebrca è da scartare quato è arbtrara la scelta del sego del sgolo w ; la somma valore assoluto tede al lmte superore d errore stmable. Sarebbe però ua stma troppo pessmstca: è mma la probabltà che cotemporaeamete tutt gl error s trovo all estremo superore della loro escursoe. 5 RSS: dmostrazoe eurstca La radce della somma de quadrat (RSS: the Root of the Sum of the Squares) defsce l rsultato come dmesoe caratterstca d u area otteuta sommado areole elemetar: w w w w x Rappreseta ua scelta ottmale, el seso che tee coto del fatto che dffclmete de segmet d lughezza w s troverao perfettamete alleat per produrre u segmeto d lughezza somma d tutte le rspettve lughezze: w w w D altra parte sgol, terpretat seso statstco, assumerebbero propro l sgfcato d segmet casualmete oretat. I altr term la RSS tee coto della probabltà che dvers error cocorrao alla msura co u cotrbuto ferore al valore massmo possble; abbamo però bsogo d u approcco meo «tutvo» 6 3

4 RSS: dmostrazoe razoale La learzzazoe costtusce u modello determstco della varazoe d a frote d u cambameto delle varabl dpedet x, : da cu dpede: f ( x ) : + dx dx 0 x x 0 0 Gl error d msura soo però gradezze stocastche, cooscbl solo secodo loro parametr statstc (meda e devazoe stadard) che e caratterzzao la dstrbuzoe. Il problema dveta qud: come è possble trasformare razoalmete la formula determstca modo che possa gestre gl error, che soo sa postv che egatv, tpcamete esprmbl term d devazoe stadard? Per defre stetcamete ua sere d msure abbamo utlzzato gl operator meda e devazoe stadard: applchamo lo stesso approcco alla varable 7 RSS Applchamo lo stesso approcco alla varable : effettuado acquszo delle varabl dpedet x, : saremmo grado d scrvere: S ( ) Per valutare volte è (, : ) è ecessaro acqusre og volta le msure x (x, :). Idchamo la msura -esma dell acquszoe -esma co: Abbamo vettor {x} cascuo composto da term x : {x, : }, : Al geerco vettore d msure {x, : } corrspode la valutazoe Rcavamo le valutazo come learzzazoe della varable ell toro del puto d msura omale (valor medo) utlzzado uo svluppo d aylor elle varabl x arrestato al prmo orde: + dx, dx, + / x dx, / x dx, x x 8 x, 4

5 RSS dx Per la sgola varable l l terme, ha l sgfcato d devazoe della msura dalla meda x della -esma acquszoe: x x, dx, x, x x La devazoe della -esma valutazoe d term matrcal dveta: / x dx dx dx... dx dx { } { } / x, / x,,, / x Avedo defto vettor: sesbltà, dpedete dal set d msura: devazo d og msura del set -esmo dal valore medo d tutt gl set d msure: / x { } / x { dx} 9 RSS: svluppo matrcale Avedo espresso lo scostameto della -esma msura come: { } { } { } { } dx x x / x / x { x x} x, x x, x Possamo determare la varaza delle valutazo : ( ) { } { } ( / ) ({ } { / }) S x x x x x x Essedo po coeffcet d sesbltà dfferet alla sommatora sulle acquszo: { } S / x { x x}{ x x} { / x} 0 5

6 RSS: svluppo matrcale / x / x L operatore matrcale ella paretes toda vee defto matrce d covaraza: Cov( { dx} ) { x, x}{ x j, x j} e due term paretes quadra soo stat esplctat gl dc e j per evdezare la preseza de prodott crocat tra le msure delle gradezze e j; fatt l sgolo terme della matrce è: Cov, j ( x, x )( x j, x j ) S ottee fe l espressoe della varaza della gradezza fuzoe de vettor d sesbltà{ / x } e della matrce d covaraza delle msure [ Cov( dx )]: { } { } { }{ } { } S x x x x { } ({ }) { } S Cov dx / x / x RSS I term della matrce d Covaraza vegoo deft come: varaza per term dagoal (o auto-covaraza) e d covaraza per quell extradagoal Ma quale sgfcato hao le covaraze? ( ), S x x, j, j, j ( )( ) S x x x x Rappresetao l terazoe delle devazo de dvers term dello svluppo ovvero ua msura d quato le due varabl cambo seme, sao coè dpedet tra loro. uado soo auto-covaraze (j) l rsultato è la varaza, forma quadratca sempre postva. uado soo covaraze ( j) gl scostamet delle due varabl da rspettv valor med s combao algebrcamete e la sommatora sulle msure può comportare cacellazoe. 6

7 RSS: applcabltà Le varaze, term dagoal, vedoo sommars modulo prodott degl scostamet d due varabl, qud l accumulo forsce sempre valor postv. Al cotraro cotrbut a term extra-dagoal s accumulao co sego e partcolar codzo possoo elders. La somma de prodott può dare luogo a cacellazoe se: le certezze o soo correlate tra loro, coè se motv che determao scostamet dal valor medo d cascua delle due varabl soo dpedet e le varazo mprevedblmete postve e egatve; se scostamet postv e egatv d ua data ettà hao eguale probabltà d presetars. I queste codzo le covaraze tedoo a zero all aumetare del umero d msure. el caso d certezze correlate gl scostamet hao la stessa tedeza ovvero crescoo e dmuscoo seme, mpededo la cacellazoe del coeffcete della covaraza e aumetado l certezza propagata. 3 RSS: applcabltà el caso d msure affette da certezze o correlate e a dstrbuzoe smmetrca, la matrce d covaraza rsulta essere dagoale, co cascu terme dato dalla varaza della varable corrspodete. I questo caso la varaza della varable s rduce dalla somma delle varaze delle sgole msure: qud la RSS. Le potes d dpedeza e d smmetra degl scostamet delle certezze d varabl casual soo ORMALMEE ragoevol MA DEVOO ESSERE VERIFICAE Es. se le certezze d msura soo dovute tutte allo stesso strumeto è acora lecto rteere che esse sao dpedet? Per poter utlzzare la RSS è qud ecessaro che le varabl msurate sao dpedet e che sao dpedet le rspettve certezze, coè l certezza su ua msura o deve fluezare l certezza d u altra. Come vedremo meglo el proseguo le certezze che s troducoo ella formula devoo essere defte maera coerete dal puto d vsta probablstco. 4 7

8 Esempo el caso del cldro: V π d h / 4 d dms ± wd h hms ± wh Assumedo seguet valor: d 3 ± mm ( ± 3.3%) h 0 ± mm ( ± 0.98%) V8033 mm 3 w V? V V wv wd + wh d h ( π dh / 4 w ) + ( π d / 4 w ) d h w V mm ( ±6.33%) 5 RSS: cotrbut Come deducble dal cofroto de term sotto radce, se s vuole mglorare l rsultato, occorre rdurre l certezza del dametro quato l suo cotrbuto è domate rspetto a quello dell altezza. Poché sgol term soo moltplcat per l fattore d sesbltà l cotrbuto maggore, o ecessaramete l certezza maggore, tede a domare l rsultato. La RSS è ua relazoe che maera geerale, permette d mettere evdeza sa l errore dovuto alla sgola msura, sa l peso d questa sul rsultato. Per la spermetazoe l aals del peso de sgol term che cocorroo a determare l certezza è fodametale per rdurre ella maera pù effcete l marge d errore assocato ad ua msura: se u certezza ha u peso elevato sarà opportuo teerla sotto cotrollo; agre sul terme co peso maggore darà l mglorameto pù sgfcatvo. Covee agre sulla qualtà dello strumeto peggore puttosto che pesare d mglorare tutt gl strumet della catea d msura. 6 8

9 Esempo Cosderamo la stma della poteza dsspata da ua ressteza u crcuto elettrco utlzzado ua msura della tesoe applcata. La ressteza ha u valore omale d 00±5 Ohm, metre l voltmetro forsce ua lettura d 8.0±0.05V La poteza omale è: P V / R 8 / W ell potes d certezze dpedet applcheremo la RSS: Le sestvtà soo qud: ( ) P P δ P wv + wr V R P V R R P V V R Esempo Rportamo l espressoe d calcolo ed valor umerc: ( ) P wv 0.05 V wr 5 Ω P δ P wv + wr P P V R R V ( P) ( ) ( ) δ + + P% 0.39 / % W L certezza è data per la maggor parte dalla ressteza be pù d quato dca l rapporto delle certezze percetual: esoe.8%, Ressteza 5% cotro e 0.5. Sarebbe qud utle cercare d mglorare la stuazoe utlzzado u voltmetro pù precso. 8 9

10 Icertezza relatva 9 Icertezza relatva I fase d progetto può rsultare coveete rorgazzare la RSS el modo seguete: w c w % w x x w x x x x avedo così defto l coeffcete d amplfcazoe dell certezza relatva: c V x c x uest coeffcet permettoo d valutare drettamete l peso relatvo delle sgole certezze ovvero d capre a qual elemet occorre prestare pù attezoe fase d progetto, ragoado a certezze relatve equvalet. el caso della msura d poteza c dce che la tesoe potrebbe essere la msura pù crtca poché, teedo coto del quadrato, l rapporto è 4: V P V V R P R V c R P V V / R R P R V / R R 0 0

11 Icertezza percetuale Iteressate u altra forma d ormalzzazoe, utle fase d aals: w x w x x w % ( c ) w w w c% % x w % Avedo trodotto l cotrbuto percetuale: c% x w % V P w V % cv % c R% P V w P% uesto coeffcete è complessvo: cosdera sa la sesbltà ad ua varable che la sua varazoe. La ormalzzazoe rspetto alla varazoe relatva del parametro permette d valutare co semplctà l peso relatvo de var cotrbut. C dce quato gà cocluso ella prma aals: l certezza sulla msura d ressteza è determate; per mglorare l rsultato occorre blacare la qualtà delle msure rducedo l certezza sulla ressteza. Icertezza percetuale Esamamo l caso cu la relazoe sa costtuta da ua produttora d poteze: a a a C x Cax x x L errore relatvo sulla gradezza msurata rsulta essere legato alle certezze dvdual secodo la relazoe seguete: w w a a w x, ( % ) La relazoe è partcolarmete semplce e facle da rcordare: s sommao quadrat delle certezze percetual pesate per l espoete del corrspodete parametro. el caso d u semplce prodotto, qud espoet utar: w w % ( w % )

12 Da rcordare Come combare error o certezze. Come valutare l cocatears d certezze u sstema d msura tramte la RSS. Come valutare se lmt d applcabltà dello schema RSS soo rspettat. Come stmare term relatv l mportaza de dvers cotrbut. Come detfcare parametr su cu operare per rdurre le certezze. 3 Domade? 4

13 Approfodmeto: dmostrazoe della RSS co svluppo aaltco delle sommatore 5 RSS: passagg dello svluppo esteso Il prmo passaggo cosste ello svluppo del quadrato: q q S ( ) + ( x x) ( x x) x x q ( x x ) +... x q q + ( x x )( x x ) +... x x Il prmo dce è relatvo alla varable, l secodo alla msura S rcoosce la preseza d term quadratc e mst 6 3

14 RSS: passagg dello svluppo esteso Isolado le sgole sommatore e rcooscedo che le dervate soo dpedet dalla sommatora, otteamo: q ( x x ) +... x q q ( x x )( x x ) +... x x q ( x x ) +... x q q ( x x )( x x ) +... x x 7 RSS: passagg dello svluppo esteso Se troducamo le defzo d: varaza della msura -esma covaraza della msure j- e -esma σ σ ( x x ), j j j ( x x )( x x ) otteamo fe q q q σ q σ σ, +... x x x q q q σ x j x x j + σ, j 8 4

15 RSS: passagg dello svluppo esteso I forma pù compatta possamo scrvere: el caso d certezze scorrelate, qud dpedet, s ha che: ud Coè la RSS. q q q q +, j x j x x j σ σ σ σ 0 ( x x )( x x ), j j j q σ q σ x L potes d dpedeza delle certezze d varabl casual è ragoevole ma deve essere verfcata. 9 5