CAPITOLO 1. Equazione del telegrafo, equazione delle onde

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1 CAPITOLO 1 Equazione del telegrafo, equazione delle onde 1.1. Un modello matematico per un filo elettrico Un filo telegrafico può essere considerato come una sequenza di elementi analoghi a quello raffigurato in figura Ricordiamo che i componenti elettronici idealizzati resistenza, induttanza e condensatore legano la corrente I che li attraversa alla differenza di potenziale elettrico V presente ai loro estremi secondo le seguenti regole (1.1.1 (1.1. (1.1.3 V = RI V = L di dt V = q C dove q = t 0 I( td t è la carica immagazzinata nel condensatore. La legge di Kirchoff stabilisce che la somma algebrica delle correnti che entrano o escono da un qualunque punto di un circuito elettrico deve essere uguale a zero. Poiché la corrente elettrica non è altro che il flusso di carica, la legge di Kirchoff non è altro che una forma particolare della legge di conservazione della carica elettrica. Applicata al nodo A, essa garantisce che la corrente I che attraversa la resistenza è uguale alla corrente che attraversa l induttanza. Pertanto, la differenza di potenziale fra i punti B ed A è data da (1.1.4 V B V A = RI + L di dt. Applicando la legge di Kirchoff al nodo A, si ottiene (1.1.5 I 1 = I + I 3. R I 1 A I A B L I 3 T C FIGURA Un elemento di filo elettrico offre alla corrente che lo percorre una resistenza R, una induttanza L e genera una capacità C rispetto a terra. 1

2 1. EQUAZIONE DEL TELEGRAFO, EQUAZIONE DELLE ONDE Derivando rispetto al tempo l equazione (1.1.3 ed inserendo la risultante espressione per I 3 nell equazione (1.1.5 si ottiene (1.1.6 I I 1 = C d dt (V T V A. Dividendo (1.1.4 e (1.1.6 per la distanza tra i punti A e B e passando al limite 0, si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali accoppiate, nelle incognite I e V (1.1.7 (1.1.8 V I = RI + L I = C V dove si è posto R = lim 0 R/, L = lim 0 L/, C = lim 0 C/, e si è sfruttato il fatto che la tensione di terra V T è costante sia nello spazio che nel tempo. Queste equazioni possono essere combinate in un unica equazione che ha come sola incognita la corrente. Derivando (1.1.7 parzialmente rispetto al tempo, derivando (1.1.8 parzialmente rispetto allo spazio ed eliminando il termine in V, si ottiene (1.1.9 CL I + CR I = I che è l equazione del telegrafo in forma dimensionale. Osserviamo che [ ] t [CR] = l e che [ ] t [CL] = In altre parole, (CR 1 ha le stesse dimensioni di un coefficiente di diffusione, mentre (CL 1/ ha le stesse dimensioni di una velocità. In un filo che abbia L = 0 la corrente sarebbe soggetta all equazione del calore. In un filo che abbia R = 0, posto c = (CL 1/ la corrente sarebbe soggetta all equazione ( che è l equazione lineare delle onde. l I = c I 1.. La soluzione di D Alembert dell equazione delle onde Per analogia con l identità algebrica a b = (a + b(a b scriviamo l equazione lineare delle onde ( ( + c ( c u = 0 È facile verificare che questa espressione coincide con (1.1.10, come pure l espressione ( c ( + c u = 0. Pertanto, qualunque soluzione dell equazione ( + c u = 0 o dell equazione ( c u = 0 è anche una soluzione dell equazione lineare delle onde. Per quanto visto nei capitoli precedenti, se il dominio è l intera retta reale R, le soluzioni sono u = R(x ct, u = L(x + ct, dove R e L sono arbitrarie funzioni reali di variabile reale, alle quali imponiamo il solo vincolo di essere di classe C (in modo da assicurare l esistenza delle derivate seconde che appaioni in (

3 1.3. RIFLESSIONE DELLE ONDE SU DI UNA BARRIERA 3 Cerchiamo di soddisfare le seguenti condizioni iniziali: u(x, 0 = f(x (x, 0 = g(x Congetturiamo che qualunque soluzione sia la somma di una soluzione che si propaga verso destra ed una che si propaga verso sinistra, ovvero (1..1 u(x, t = R(x ct + L(x + ct. Derivando rispetto al tempo abbiamo (1.. (x, t = c (L (x + ct + R(x ct. Al tempo t = 0 vogliamo che sia L(x + R(x = f(x c (L (x R (x = g(x Integrando la seconda di queste equazioni otteniamo L(x + R(x = f(x L(x R(x = 1 c x 0 g( xd x + k dove k è una costante di integrazione. Sommando e sottraendo abbiamo R(x = 1 ( f(x 1 x g( xd x k c 0 L(x = 1 ( f(x + 1 x g( xd x + k c Estendendo queste espressioni per R e L al generico tempo t e sommando si ottiene la soluzione di D Alembert: u(x, t = 1 ( x+ct f(x ct + f(x ct + g( x d x. Questa soluzione è unica perché, se esistesse una soluzione ū che soddisfa l equazione delle onde ( con le medesime condizioni iniziali, allora la funzione v = u ū soddisferebbe l equazione delle onde con condizioni iniziali v(x, 0 = 0 e t v(x, 0 = 0, il che è impossibile perché implicherebbe l esistenza di una soluzione non nulla dell equazione di avvezione lineare partendo da condizioni iniziali pari a zero. 0 x ct 1.3. Riflessione delle onde su di una barriera Consideriamo il dominio semi-infinito x > 0 ed imponiamo una condizione al contorno in x = 0. In particolare scegliamo (1.3.1 u(0, t = 0 oppure (1.3. Se le condizioni iniziali sono (0, t = 0. u(x, 0 = f(x (x, 0 = cf (x su di una retta infinita otterremmo la soluzione (1.3.3 u(x, t = f(x + ct

4 4 1. EQUAZIONE DEL TELEGRAFO, EQUAZIONE DELLE ONDE che si propaga verso sinistra. Poiché esiste una barriera in x = 0 utilizziamo il metodo delle immagini, e postuliamo che la soluzione del problema sul dominio semi-infinito sia pari alla somma della soluzione sulla retta infinita e di una sua opportuna immagine speculare (cioè una funzione ottenuta dalla soluzione (1.3.3 tramite opportune operazioni di simmetria discreta. Con qualche prova si ottiene che la soluzione soggetta alla condizione al contorno (1.3.1 è u(x, t = f(x + ct f( (x ct e la soluzione soggetta alla condizione al contorno (1.3. è u(x, t = f(x + ct + f( (x ct Soluzione dell equazione del telegrafo In questo paragrafo troveremo la soluzione dell equazione del telegrafo in un dominio di lunghezza finita l. Prima di procedere, scriveremo l equazione in forma adimensionale, utilizzando le seguenti trasformazioni x = l π x l (1.4.1 t = π CL t. Poiché la scala dei tempi è basata sull induttanza, diremo che abbiamo effettuato una adimensionalizzazione induttiva. Una possibilità alternativa è quella della adimensionalizzazione resistiva, che utilizza le trasformazioni x = l π x (1.4. t = l π CR t. Essendo noi interessati maggiormente al caso di piccole resistività (in particolare desideriamo poter eseguire il limite R 0 la trasformazioni appropriata è la (1.4.1, in quanto la (1.4. perde la scala dei tempi se R = 0. Sostituendo la (1.4.1 nell equazione (1.1.9, ed omettendo le otteniamo la seguente forma adimensionale dell equazione del telegrafo I I ( γ = I dove 1 la costante adimensionale γ è definita da γ = lr L π C. Con questa adimensionalizzazione il dominio spaziale in cui lavoriamo è l intervallo [0, π]. Ai bordi di questo dominio dovremo imporre delle condizioni al contorno. Fra le infinite scelte possibili, noi studieremo due casi (quelli esaminati nel paragrafo 1.3 ovvero (1.4.4 I(0, t = I(π, t = 0 oppure, in alternativa I I (1.4.5 (0, t = (π, t = 0. Oltre alle condizioni al contorno, le soluzioni dovranno soddisfare le seguenti condizioni iniziali (1.4.6 I(x, 0 = f(x (x, 0 = g(x I 1 Il fattore numerico ha il solo scopo di rendere un po più compatte le formula successive, ed è una di quelle cose che si introducono col senno del poi.

5 1.4. SOLUZIONE DELL EQUAZIONE DEL TELEGRAFO 5 con f, g funzioni reali arbitrarie. Il metodo di soluzione che utilizziamo è quello, già ampiamente sfruttato in precedenza, della separazione delle variabili. Cerchiamo, infatti, una soluzione del tipo (1.4.7 I(x, t = A(tB(x. Inserendo (1.4.7 in (1.4.3 otteniamo Ä + γȧ (1.4.8 = B A B dove i punti denotano derivazione rispetto al tempo e gli apici rispetto allo spazio. Poiché il lato sinistro dell equazione (1.4.8 dipende solo da t e quello destro dipende solo da x, se ne deduce che l uguaglianza può essere soddisfatta solo se queste dipendenze si cancellano ed entrambi i termini risultano essere, in effetti, pari ad una costante µ. Quindi l equazione (1.4.8 si scinde nelle seguenti due equazioni alle derivate ordinarie (1.4.9 Ä + γȧ µa = 0 e ( B µb = 0. Risolviamo per prima la ( È un semplice esercizio mostrare che le soluzioni non nulle che si ottengono se µ > 0 non soddisfano né le condizioni al contorno (1.4.4 né le condizioni al contorno ( Per µ = 0 la soluzione generale di ( è B(x = β 1 x + β. Se dobbiamo imporre le condizioni al contorno (1.4.4, anche in questo caso non abbiamo soluzioni non nulle. Se dobbiamo imporre le condizioni al contorno (1.4.5 dobbiamo scegliere β 1 = 0. Le soluzioni interessanti (non nulle, né costanti si ottengono per µ < 0. Posto µ = k, la soluzione generale di ( è B(x = b 1 sin(kx + b cos(kx. Qui esaminiamo esplicitamente solo il caso in cui si debbano imporre le condizioni al contorno ( L altro caso è lasciato come esercizio. In x = 0 abbiamo In x = π abbiamo B(0 = b = 0. B(π = b 1 sin(kx = 0. Quest ultima equazione è soddisfatta per qualunque scelta della costante di integrazione b se è soddisfatta la condizione di quantizzazione ( k = 1,,.... Pertanto, facendo variare k fra 1 e n, le soluzioni dell equazione ( soggette alle condizioni (1.4.4 sono una base ortogonale dello spazio S n. Passiamo, ora, all equazione (1.4.9, che non è altro che l equazione di un oscillatore armonico smorzato. In dipendenza dai valori di k e di γ, la sua soluzione generale è una delle seguenti tre ( ( (1.4.1 A(t = e γt a 1 sin k γ t + a cos( k γ t k > γ ( ( A(t = a 1 e γ k γ A(t = e γt (a 1 t + a k = γ t + a e γ k +γ t k < γ. In questa sede può essere utile pensare a f e a g come a funzioni di classe C, ma in termini più generali, è sufficiente richiedere che siano a quadrato integrabili nell intervallo [0, π].

6 6 1. EQUAZIONE DEL TELEGRAFO, EQUAZIONE DELLE ONDE Se la soluzione appropriata per A è la (1.4.1 allora una soluzione dell equazione del telegrafo è ( ( ( I(x, t = e γt p sin(kxsin k γ t ( + q sin(kxcos k γ t = = e γt (p cos(k(x ct p cos(k(x ct + q sin(k(x ct + q sin (k(x + ct dove sono state utilizzate le identità di prostaferesi 3 e sono state definite le costanti p = a 1 b 1, q = a b 1 e ( c = 1 γ k. Pertanto, abbiamo trovato una classe di soluzioni dell equazione del telegrafo che si comporta in modo simile alle soluzioni dell equazione delle onde: le soluzioni ( sono la somma di coppie di funzioni trigonometriche che traslano con velocità c e con velocità c. In effetti, se poniamo γ = 0 otteniamo delle soluzioni dell equazione delle onde nell intervallo [0, π], soggetta alle condizioni al contorno ( Più in generale, le soluzioni separabili dell equazione del telegrafo possono essere scritte come ( I k (x, t = (p k φ k (t + q k ψ k (tsin(kx dove p k, q k sono costanti da determinarsi, e ( e γt sin k γ t k > γ φ k = te γt k = γ γ e k γ t k < γ e cos( γt k γ t k > γ ψ k = e γt k = γ. e γ k +γ t k < γ Finora non abbiamo discusso come imporre le condizioni iniziali generiche ( Se f, g S n allora n f(x = f k sin(kx e g(x = k=1 n g k sin(kx. k=1 Poiché l equazione del telegrafo è lineare, la somma di soluzioni del tipo ( è ancora una soluzione. Poniamo n ( I(x, t = I k (x, t. k=1 Questa soluzione soddisfa le condizioni iniziali (1.4.6 a patto di scegliere le costanti p k e q k come soluzioni del seguente sistema di equazioni algebriche { pk φ k (0 + q k ψ k (0 = f k p k φk (0 + q k ψ k (0 = g k k = 1,..., n. Infine notiamo che nella somma ( solo le componenti che soddisfano la relazione k > γ possono essere interpretate fisicamente come onde. Le altre componenti non si 3 Le identità di prostaferesi sono: sin(α cos(β = sin(α β + sin(α + β; sin(α sin(β = cos(α β cos(α + β; cos(α cos(β = cos(α β + cos(α + β.

7 1.5. ESERCIZI 7 propagano, ed hanno un comportamento che ricorda quello delle soluzioni dell equazione del calore. Inoltre, le componenti che si propagano, non lo fanno tutte alla medesima velocità. Infatti, la velocità di propagazione ( è una funzione del numero d onda k. Per questo motivo le soluzioni dell equazione del telegrafo sono dette dispersive: al passare del tempo la forma d onda cambia, mano a mano che ciascuna componente si sposta con la sua propria velocità. Se poniamo γ = 0, stiamo allora risolvendo l equazione delle onde, le cui soluzioni, invece, sono non dispersive. Infatti, per γ = 0, c perde ogni dipendenza dal numero d onda k, quindi ogni componente della soluzione viaggia (o verso destra o verso sinistra alla stessa velocità di tutte le altre Esercizi EXERCISE 1.6. Trovate una adimensionalizzazione dell equazione del telegrafo (1.1.9 tale da eliminare ogni parametro numerico nell equazione. EXERCISE 1.7. Considerate una catena di molle di lunghezza a riposo e costante elastica k, e di punti materiali di massa m in posizione x 1, x,...,x n,... k k k k k m m m m m m x1 x x3 x4 x5 x6 Dimostrate che, nel limite di 0, si ottiene l equazione delle onde. Dimostrate inoltre che, se ciascuna massa è soggetta anche alla forza viscosa Fi visc = νẋ i, nel limite precedente si ottiene l equazione del telegrafo. SUGGERIMENTO: i valori di k e di m non possono rimanere costanti mentre 0 (perché?. Che cosa, fisicamente, deve rimanere costante in questo processo al limite? EXERCISE 1.8. Trovate la soluzione dell equazione delle onde nel dominio x > 0 con le condizioni al contorno (1.3.1 e (1.3., soggetta ad arbitrarie condizioni iniziali u(x, 0 = f(x (x, 0 = g(x.