Errata Corrige Teoria della probabilità e variabili aleatorie con applicazioni McGraw-Hill-Italia: marzo ISBN:

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1 Errata Teoria della probabilità e variabili aleatorie con applicazioni McGraw-Hill-Italia: marzo 005. ISBN: Alberto Bononi e Gianluigi Ferrari

2 5 Estrazione di carta da mazzo da 54 Estrazione di carta da mazzo da 5 8 A i A j i k A i A j Ø i j 9 F N (S f N (S 9 F N (E 0 f N (E 0 (, (,... (, 5 (, 6 (, (,... (, 5 (, 6 (, (,... (, 5 (, 6 (, (,... (, 5 (, 6 6 : : : : : : : : : : (6, (6,... (6, 5 (6, 6 (6, (6,... (6, 5 (6, 6 8 D n,k n(n (n...(n (n (k n! (n k! D n,k n(n (n...(n (k n! (n k! 6 P {scala reale} P {scala reale} Ottavo gruppo (8, 9, 0, J, Q, K Ottavo gruppo (9, 0, J, Q, K 7 P {poker}. 0 4 P {poker} P {full} P {full} P {flush} P {flush} P {scalasemplice} P {scalasemplice} P {tris} P {tris}. 0 9 ci sono ( 4 possibili combinazioni per T3 ci sono ( 4 possibili combinazioni per T3 9 possiamo concludere che ci sono possiamo concludere che ci sono casi favorevoli casi favorevoli 9 P {doppiacoppia} P {doppiacoppia} P {coppia} 0. P {coppia} 0.4 (, (,... (, 5 (, 6 (, (,... (, 5 (, 6 (, (,... (, 5 (, 6 (, (,... (, 5 (, 6 33 : : : : : : : : : : (6, (6,... (6, 5 (6, 6 (6, (6,... (6, 5 (6, 6 October 4, 005

3 3 34 l evento B {(E, O (3, } {(O, E (, 3} l evento B {(E, O (3, } {(E, O (, 3} 40 P {(A B} P(B A 3P(A 3 P {(A P(B 3 B} P(B A 3P(A 3 P(B 69 Due treni X ed Y arrivano ä casoïn stazione tra le 8:00 e le 8:0. Il treno X si ferma 4 minuti, mentre Y si ferma 5 minuti. Assumendo che X e Y... 6 Per la formula di Bayes si ha Per la definizione di probabilitá condizionata si ha Due treni X ed Y arrivano ä casoïn stazione tra le 8:00 e le 8:0. Assumendo che X e Y P (B (t 4 t/0 P (B (t 4 t3 /0 77 il grafico di una PDF f X ( che contiene il grafico di una PDF f ( che contiene 80 P (E 0.3 P (E { n i n P i < X i + } f ( { n i n P i < X i + } f ( i 99 e ( η σ du πσ du e ( η σ π σ e (u η σ du πσ du e (u η σ π σ 00 f ( λe λ U( f X ( λe λ U( 0 0 du b a b a se a b a a du b a b a 04 p i e λ λ i λ λi p i! i e i! se a b October 4, 005

4 4 04 i0 p i e λ i0 λ i i! e λ e λ i0 p i e λ i0 λ i i! e λ e λ 05 supponiamo di voler calcolare P { 0} supponiamo di voler calcolare e P { } P {X 0} e P {X } 0 l incognita F Y l incognita F Y (y g ( G g ( G 3 P {Y G} P {X > } F X ( P {Y G} ( P {X } F X 5 se per un vettore ŷ si ha se per un vettore ŷ si ha g(x ŷ... allora P {Y ŷ} g( ŷ... allora P {Y ŷ} P { 0 < < } P { 0 < X < } 5 mostrato in Figura 6.4. mostrato in Figura 6. 7 P {Y G} P {X } F X ( P {Y G} P {X } F X ( 7 in Figura 6.4. in Figura sugli intervalli (, G e G, sugli intervalli (, e, 8 Y g (X a + b Y g (X ax + b 0 g ( a cos ( i + θ g ( a cos ( i + θ 33 dq ( /d / πe / dq ( /d X / πe / 47 E [cy + yz E [cg (X + dh (X E [cy + dz E [cg (X + dh (X October 4, 005

5 5 56 Nelle note:... nei corsi di ingegneria usa e jωx al posto di e jωx Nelle note:... nei corsi di ingegneria usa e jωt al posto di e jωt 58 E [X φ ( X (0 n ( p p + np E [X φ ( X (0 n (n p + np ( 59 λ y p e y dy ( ( λ α y p e y dy ( α λ s Γ(p 0 λ s α s Γ(p 0 α s 73 f X ( X t f X( F X U ( t f (c la condizione di normalizzazione + f X ( Md si rispettata per ordinate y comprese fra y 0 e 0 y d. X ( X t f X( F X U ( t (t... la condizione di normalizzazione + f X ( Md sia rispettata... per ordinate y comprese fra y c e y d. P {(, y D} f XY (, y ddy (,y D P {(X, Y D} f XY (, y ddy (,y D 06 f XY (, y πσ X σ Y ρ " ( η X e ρ σ X ρ ( η X(y η Y σ X σ Y ( y η + σ Y # Y f XY (, y πσ X σ Y ρ» e ( ηx ρ σ X ρ ( η X(y η Y + (y η Y σ X σ Y σ Y f XY f X ( f Y (y dove f X é la PDF... e f Y é la PDF... f XY f X ( f Y (y dove f X ( é la PDF... e f Y (y é la PDF... 7 Calcolo della CDF di Y g (X, Y Calcolo della CDF di Z g (X, Y 3... non si sovrappone al rettangolo f G (u,... 8 Θ arctan ( Y X π + arctan ( Y X, π Θ π, π Θ 3π... non si sovrappone al rettangolo f X (u,... arctan ( Y Θ X, X > 0 π + sgn (Y arctan ( Y X, X < 0 October 4, 005

6 6 8 θ h (, y arctan ( y > 0 π + arctan ( y < 0 θ h (, y arctan ( y > 0 πsgn (y + arctan ( y < 0 60 f X (w f Y (w e w U ( f X (w f Y (w e w U (w 6 f ( 3 f (,, 3 63 f ( 3 f (, 3 E [g (X, Y g (, yf XY (, y ddy E [g (X, Y g (, yf XY (, yddy 63 E [g (X, Y g ( i, k p XY ( i, y k i j E [g (X, Y g ( i, y k p XY ( i, y k i j 83 E X i i E N [E X i N n i [ n E N [E X i N n i [ n E N [E X i i ϕ (np {N n} n E X i i E N [E X i N i [ n E X i N n P {N n} n i ϕ (np {N n} n October 4, 005

7 7 86 [ n n Cov a i X i, b j Y j n i i j j n a i b j Cov [X i, Y j [ n m Cov a i X i, b j Y j n i i j j m a i b j Cov [X i, Y j [ n 86 E [Z E j b jy j [ n j b m jν j E [Z E j b jy j m j b jν j 87 [ n Cov a i X i, i Cov [Z, Z n b j Y j j [ n Cov a i X i, i Cov [Z, Z m b j Y j j E [(Z E [Z (Z E [Z [( n n E a i X i a i µ i i ( n b j Y j j i n b j ν j j [ n E a i (X i µ i E n i i [ n n i n b j (Y j ν j j n a i b j (X i µi (Y j ν j j n a i b j E [(X i µ i (Y j ν j j i j n a i b j Cov [X i, Y j E [(Z E [Z (Z E [Z [( n n E a i X i a i µ i i ( m b j Y j j i m b j ν j j [ n E a i (X i µ i E n i i [ n n i m b j (Y j ν j j m a i b j (X i µi(y j ν j j m a i b j E [(X i µ i (Y j ν j j i j m a i b j Cov [X i, Y j 90 P { X n η X < ǫ } > σ Xn ǫ P { Xn η X < ǫ } σ Xn ǫ October 4, 005

8 Var X i i Var X i i... [ N E i Var[X i N E i Var [X i +Var i E [X i N +Var i E [X i 300 dove η [E [X...[X n T η X [E [X...[X n T 308 E [XY + + f XY (, y ddy E [XY + + yf XY (, y ddy 30 f Y (y y 0 f XY (, y e y d ye y f Y (y y 0 e y d ye y f XY (, y d 34 φ Z (s E [ e sz n i φ Z (s φ Z (s E [ e sz n i φ X i (s 30 φ Y (s + s σ + O (s 3 φ Y (s + s σ + O (s 30 dove O (s é un infinitesimo di ordine s, cio una funzione di s tale che lim s 0 O(s s 0 30 lim n φ Zn (s ( n lim n [ + s σ s + O 3 nσ σ 3 n 3/ dove o (s é un infinitesimo di ordine s, cio una funzione di s tale che lim s 0 o(s s 0 lim n φ Zn (s ( n lim n [ + s σ s + O nσ σ n October 4, 005