TEORIA DELLA STIMA SET MEMBERSHIP

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1 TEORIA DELLA STIA SET EBERSHIP ichele TARAGNA Dipartiento di Autoatica e Inforatica Politecnico di Torino Corso di III Livello Experiental odeling: costruzione di odelli da dati sperientali Teoria della stia Set ebership

2 Esepio #: stia del valore di resistenza di un resistore reale Si effettuano N isure di tensione-corrente, supponendo che: la caratteristica statica del resistore sia lineare e quindi il odello del dispositivo sia dato dalla legge di Oh v R = R i R le isure siano corrotte da un ruore non noto e =[e,...,e N ] T Si ottiene così il sistea lineare di equazioni: v R, = R i R, + e v R, = R i R, + e. v R,N = R i R,N + e N Teoria della stia Set ebership

3 In fora atriciale: v R, v R,. v R,N y è nella fora standard: con: y dati noti = i R, i R,. i R,N } {{ } L [R ] } {{ } ν = F (ν ) + e funzione nota + ruore non noto e e. e N e F (ν )=L ν = funzione lineare del paraetro non noto ν Obiettivo: trovare una stia ˆR di R ediante un algorito di stia (stiatore) φ applicato al vettore dei dati y: ˆR = φ (y) = R Teoria della stia Set ebership

4 Esepio #: stia dei paraetri di un odello ARX (n a, n b ) y j a y j a y j... a na y j na parte autoregressiva (AR) = b u j + b u j b nb u j nb variabile esogena (X) +e j, j =,...,N y j = n a a iy j i + n b b iu j i + e j, j =,...,N i= i= ν = [ a a a na b b b nb ] T R r, r = n a + n b y = [ y na + y na + y N ] T R N, N = N n a y = L ν + e L = y na y u na u na + n b y N y N n a u N u N n b R N r Teoria della stia Set ebership 3

5 Errori di stia dei inii quadrati ν : paraetri veri che hanno generato il vettore dei dati y Per effetto del ruore di isura, y Lν y = Lν + e incertezza usando coe stiatore l algorito dei inii quadrati: ˆν = ( L T L ) L T y = ( L T L ) L T (Lν + e) = = ( L T L ) L T L ν + ( L T L ) L T e = } {{ } I = ν + ( L T L ) L T e ˆν ν = ( L T L ) L T e = errore di stia e non è noto esattaente, a si possono fare ipotesi su e : - aleatorio stia statistica - coponenti liitate - energia liitata stia Set ebership Teoria della stia Set ebership 4

6 B e Errori a incertezza liitata (Unknown But Bounded, UBB) e B e = insiee di incertezza = ẽ R N : ẽ i ε, i =,...,N = B e = = = ẽ R N : ẽ = ax i=,...,n ẽ i ε ẽ RN :ẽ T ẽ = N i= ẽ i ε ẽ R N : ẽ = N i= ẽ i ε = e ε % e e % e ε ε e e ε e 3 Ipotesi: B e è sietrico rispetto all origine di R N e 3 Teoria della stia Set ebership 5

7 Problea: l insiee di incertezza B e induce incertezza sulla stia ˆν, che perciò deve essere valutata A = ( L T L ) L T = operatore dei inii quadrati : } R N {{ } spazio delle isure R r spazio dei paraetri ˆν ν = ( L T L ) L T e = Ae ν =ˆν Ae ν EUS = ˆν A [B e ]=Ay A [B e ]=A [y B e ]= = insiee delle stie possibili (Estiate Uncertainty Set) y ε A = (L T L) - L T ν y e Lν * y % e ε ε A = (L T L) - L T ν ν * EUS y ν y Spazio dei paraetri R 3 Spazio delle isure R N r Si noti che ν EUS e che la distanza di Lν da y è in nora non superiore ad ε Teoria della stia Set ebership 6

8 L apiezza di EUS è una isura della bontà della stia In particolare, gli intervalli di incertezza delle stie (Estiate Uncertainty Intervals) EUI j, j =,..., r, forniscono una tale isura: EUI j = in ν EUS ν j ˆν j, ax ν EUS ν j ˆν j = [ˆν j, ˆν j ] R l intervallo di variazione della coponente j-esia della stia è tale che: ˆν j νj ˆν j un liite superiore dell errore di stia della coponente j-esia è: EUI ν ν ν ν ˆν j νj ˆν j ν ˆν j EUS ν * ν ν EUI ν ν EUS ha ˆν coe centro di sietria, essendo l iagine di un insiee sietrico secondo un operatore lineare Teoria della stia Set ebership 7

9 Deterinazione di EUS L insiee di incertezza èuncuboinr N centrato nell origine: B e = { ẽ R N : ẽ i ε, i =,...,N } y = Lν + e l insiee delle isure aissibili (easureent Uncertainty Set) èuncuboinr N avente coe centro di sietria il vettore dei dati y: US = y Be = = { ỹ R N : ỹ i y i ε, i =,...,N } R N i vertici di US sono ȳ k, k =,..., N Teorea: EUS = A [y Be ] = conv { Aȳ k, k =,..., N } R r conv {ν,...ν p } : convex hull dell insiee di eleenti {ν,...ν p }, èilpiù piccolo poliedro convesso (politopo) contenente ν,...ν p y y 6 y 7 y3 y y 5 y 8 y 4 A = (L T L) - L T ν ν EUS Ay 6 Ay Ay 3 Ay 7 Ay 8 Ay 5 Ay 4 y 3 y y % e y y Spazio delle isure R N Ay ν Spazio dei paraetri R r Teoria della stia Set ebership 8

10 Teorea: essendo Deterinazione di EUI j EUI j = [ˆν j, ˆν j ] R ˆν j = N a jk [y k ε sign (a jk )] k= ˆν j =ˆν j ˆν j A =[a jk ]= ( L T L ) L T ˆν =[ˆν j ]=Ay ν EUI ν ν ν ν EUS ν * ν ν EUI ν ν Diostrazione ˆν j = in ν EUS ν j = in (Aỹ) ỹ US j = in ỹ : ỹ i y i ε, i=,...,n N a jk ỹ k = k= in ỹ : ε ỹ i y i ε, i=,...,n N a jk ỹ k = k= in ỹ : y i ε ỹ i y i+ε, i=,...,n N a jk ỹ k Tale inio è allora raggiunto ponendo ỹ k = y k ε nel caso a jk > 0, oppure ỹ k = y k + ε nel caso a jk < 0. D altra parte, poiché US = y Be è sietrico rispetto al vettore dei dati y, EUS = A [y Be ] risulta sietrico rispetto alla stia ˆν = Ay e quindi: ˆν j = ˆν j da cui segue l enunciato del teorea +ˆν j, j =,..., r k= Teoria della stia Set ebership 9

11 Descrizione di ellissoidi Sia Ω x un ellissoide centrato in x o : Ω x = { x R n :(x x o ) T Σ x (x x o ) } La atrice di fora Σ x R n n è sietrica e definita positiva, e quindi è invertibile La direzione degli assi principali di Ω x è data dagli autovettori u i di Σ x, ortogonali fra loro essendo Σ x definita positiva La lunghezza dei seiassi di Ω x è data da λ i (Σ x ), essendo λ i (Σ x )l i-esio autovalore di Σ x x λ u u λ u u x o Ω x x Teoria della stia Set ebership 0

12 Trasforazione lineare di ellissoidi Sia Ω x un ellissoide in R n centrato in x o : Ω x = { x R n :(x x o ) T Σ x (x x o ) ε } e sia data la trasforazione lineare z = Px R, con P R n, <n Teorea: se rango (P )=, Ω z = P [Ω x ]= { z R :(z z o ) T Σ z (z z o ) ε } z o Σ z = Px o R = P Σ x P T R x Ω x P z x o Ω z P x o x 3 Spazio R n x Spazio R, < n z Teoria della stia Set ebership

13 Deterinazione di EUS L insiee di incertezza è una sfera in R N centrata nell origine: B e = { ẽ R N :ẽ T ẽ ε } y = Lν + e l insiee delle isure aissibili è una sfera in R N avente coe centro di sietria il vettore dei dati y: US = y Be = { ỹ R N :(ỹ y) T (ỹ y) ε } R N Teorea: EUS =A [ y Be ] = { ν R r :( ν ˆν) T L T L( ν ˆν) ε } R r è un ellissoide in R r avente coe centro di sietria la stia ˆν = Ay e coe atrice di fora ( L T L ) y ε y Lν * y % e y A = (L T L) - L T A = (L T L) - L T EUI ν y 3 EUI Spazio delle isure R N Spazio dei paraetri R r ν ν ν ν ν EUS Diostrazione Per definizione, EUS è la trasforazione lineare del US = y Be applicando la atrice di trasforazione A: EUS = A [ y Be ] = { ν R r :( ν Ay) T [ AA T ] } ( ν Ay) ε a Ay =ˆν, A = ( L T L ) L T e quindi: AA T = ( L T L ) [ ( L T L T L ) ] T ( L T = L T L ) { [ L T (L L T L ) ] } T = ( L T L ) [ (L L T L T L ) ] T ( = L T L ) I ν ν ν * ν Teoria della stia Set ebership

14 Deterinazione di EUI j Teorea: EUI j = ˆνj ε σ j ˆν j σ j =, ˆν j + ε σ j ˆν j [ (LT L) ] = [ˆν j, ˆν j ] R jj ν ν EUS EUI ν ν ν * ν ν ν EUI ν ν Teoria della stia Set ebership 3

15 Stie ottie (a inia incertezza) EUS èilpiù piccolo insiee contenente il paraetro vero ν? Gli EUI j sono i più piccoli intervalli di incertezza possibili? Lo stiatore ai inii quadrati è proprio quello che fornisce gli intervalli di incertezza inii? La risposta può essere ottenuta andando a studiare l insiee dei paraetri copatibili con i dati e con le inforazioni sul ruore Definizione: il paraetro ν si dice copatibile se (y L ν) B e FPS = { ν R r :(y L ν) B e } = = insiee dei paraetri copatibili (Feasible Paraeter Set) con i dati e con le inforazioni sul ruore e sul sistea FPS è indipendente dall algorito di stia utilizzato Se i dati sono stati generati dal paraetro vero ν, allora ν è copatibile; infatti: y = Lν + e, e B e y Lν = e B e ν FPS Teoria della stia Set ebership 4

16 Relazione fra FPS ed EUS Teorea Diostrazione Se ν FPS, allora FPS EUS (y L ν) B e L ν y B e A [L ν] A [y B e ]=EUS a A [L ν] = ( L T L ) L T [L ν] = ν e quindi ν EUS Siilente agli EUI j, si possone definire gli intervalli di incertezza dei paraetri copatibili PUI j, j =,...,r (Paraeter Uncertainty Intervals): PUI j = in ν j ν FPS ν j dal teorea precedente:, ax ν j ν FPS } {{ } νj = [ ν j,νj PUI j EUI j, j =,...,r ˆν j ν j ν j ν j ˆν j ] R Teoria della stia Set ebership 5

17 Deterinazione di FPS edipui j Se ν FPS, allora (y L ν) B e = { ẽ R N : ẽ i ε, i =,...,N } l i : i-esia riga di L (y L ν) i = y i l i ν ε, i =,...,N FPS = { ν R r : y i l i ν ε, i =,...,N} cioè l insiee dei paraetri copatibili è un politopo (ossia un poliedro convesso) generato da disuguaglianze lineari: Inoltre: y i l i ν ε ε y i l i ν ε y i ε l i ν y i + ε PUI j = in ν FPS ν j ν j, ax ν FPS ν j ν j = [ ν j,νj ] R dove νj e νj sono le soluzioni di problei di prograazione lineare del tipo standard: in x c T x con il vincolo: Ax <= b Teoria della stia Set ebership 6

18 Deterinazione di FPS edi PUI j Teorea FPS = { ν R r :( ν ˆν) T [ L T L ] ( ν ˆν) ε α } α =(y Lˆν) T (y Lˆν) = y Lˆν ε = errore tra le uscite isurate e quelle stiate, detto anche errore di fitting tanto aggiore è l errore di fitting, tanto più piccolo è FPS, tanto inore è l incertezza sui paraetri!! Inoltre: PUI j = ˆνj σ j ε α νj σ j =, ˆν j + σ j ε α [ (LT L) ] jj ν j R ν EUS EUI PUI ν ν ν ν FPS ν * ν ν ν PUI EUI ν Teoria della stia Set ebership 7

19 Stie ottie Definizione: l errore di una stia ˆν è: E (ˆν) = sup ν ˆν ν FPS Definizione: una stia ˆν o è ottia se: E (ˆν o ) E (ˆν), Stia ai inii quadrati: Stia centrale: ˆν C ˆν C j ˆν R r ˆν LS = ( L T L ) L T y = [ˆν j C = ν j ] + νj, j =,...,r la stia centrale è ottia sia nel caso B e = B e sia nel caso B e = B e; infatti: ν j ˆν C j ν j νj, j =,...,r nel caso B e = B e, la stia ai inii quadrati è centrale e quindi ottia Teoria della stia Set ebership 8

20 8 Esepio: identificazione del odello di un trasduttore di posizione Trasduttore di posizione 6 4 Tensione V z in V Posizione z in la caratteristica statica posizione-tensione del trasduttore è circa lineare nell intervallo fra.3 e 3.5 c approssiazione lineare della caratteristica posizione-tensione: V z = K t z + V o Teoria della stia Set ebership 9

21 Nell intervallo di linearità: V z = K }{{ t } incognita z + V o incognita l errore più rilevante è copiuto nella lettura della posizione z (pari al assio a circa 0.5 ) per tener conto anche dell errore di isura e, l equazione del odello è riscritta coe: z = V z V o + e K t K t in cui i paraetri incogniti sono ν = K t, ν = V o K t le N isure effettuate in regie di linearità sono: z = V z, ν + ν + e z = V z, ν + ν + e. z N = V z,n ν + ν + e N V z,i : tensione fornita dal trasduttore in corrispondenza della posizione z i Teoria della stia Set ebership 0

22 In fora atriciale: cioè nella fora: z z. z N = V z, V z,.. V z,n ν ν z N = L ν + e N + e e. e N dove z N R N, L R N, e N R N e l incognita è ν R Stiando ν con l algorito dei inii quadrati: ˆν = A z N, ˆν = ˆν ˆν = con A = ( L T L ) L T ˆK t = ˆν = V/, ˆVo = ˆν ˆν =.56 V Teoria della stia Set ebership

23 Deterinazione degli intervalli di incertezza delle stie EUI j e N B e = { ẽ N R N : ẽ k ε, k =,...,N }, ε =5 0 4 EUIj = ˆν j = in ν j, ˆν ν EUS j = ax ν EUS ν j, j =, ˆν j = in ν EUS j = N a jk [z k ε sign (a jk )] k= ˆν j = ax ν EUS j = N a jk [z k + ε sign (a jk )] = ˆν j ˆν j k= [ˆν, ˆν [ˆν, ˆν ] =[ , ] ] =[.9 0,.39 0 ] [ [ ˆK t, ˆK t ˆV o, ˆV o ] = ] = ˆν, ˆν ˆν ˆν = [55.67, ] V/, ˆν ˆν =[ 3.703,.495] V Teoria della stia Set ebership

24 Inviluppo dell insiee di odelli i cui paraetri ˆν appartengono agli estrei degli intervalli di incertezza EUI j, j =, Dati sperientali (z, V z ) z in(ν * Vz, ν * Vz ) + ν z = ν * V z + ν z ax(ν * Vz, ν * Vz ) + ν Trasduttore di posizione 4 Tensione V z in V intervallo di linearita Posizione z in Teoria della stia Set ebership 3

25 Deterinazione degli intervalli di incertezza dei paraetri copatibili PUI j FPS = { ν R di( ν) : z k [L ν] k ε, k =,...,N } PUIj = in ν j, ax ν ν FPS ν FPS j EUI j, j =, Gli estrei degli intervalli PUIj si ricavano coe soluzione di problei di prograazione lineare: = L L in ν FPS j = in ν b ct ν ax ν FPS j = in ν b ( c)t ν, b = in ν, ν FPS in ν, ν FPS [ [ ax z N z N ν FPS ν ax ν FPS ν + ε, c = j-esia colonna di I =[ , ] =[.596 0, ] ˆK t, ˆK t ] = [54.0, ] V/ ˆV o, ˆV o ] =[.735,.5] V Teoria della stia Set ebership 4

26 Inviluppo dell insiee di odelli i cui paraetri ˆν appartengono all insiee dei paraetri copatibili FPS 0 8 Dati sperientali (z, V z ) z = ν * V z + ν Trasduttore di posizione 6 4 Tensione V z in V intervallo di linearita Posizione z in Teoria della stia Set ebership 5

27 Insiee dei paraetri copatibili FPS (linea continua) e regione individuata dagli estrei degli intervalli di incertezza dei paraetri copatibili PUI j, j =, 0.09 Insiee dei paraetri copatibili FPS φ LS (y) 0.07 ν ν x 0 3 Teoria della stia Set ebership 6

28 Bibliografia essenziale F. C. Schweppe, Uncertain Dynaics Systes. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, ilanese, R. Tepo, A. Vicino (editors), Robustness in Identification and Control. New York: Plenu Press, ilanese, A. Vicino, Optial estiation theory for dynaic systes with set ebership uncertainty: an overview, Autoatica, vol. 7, no. 6, pp , 99. Special Issue on Syste Identification for Robust Control Design, IEEE Transactions on Autoatic Control, vol. AC-37, no. 7, pp , 99. R. S. Sith,. Dahleh (editors), The odeling of Uncertainty in Control Systes, vol. 9 of Lecture Notes in Control and Inforation Sciences. London, UK: Springer-Verlag, ilanese, J. Norton, H. Piet-Lahanier, É. Walter (editors), Bounding Approaches to Syste Identification. New York: Plenu Press, 996. J. R. Partington, Interpolation, Identification, and Sapling, vol.7oflondon atheatical Society onographs New Series. New York: Clarendon Press - Oxford, 997. A. Garulli, A. Tesi, A. Vicino (editors), Robustness in Identification and Control, vol. 45 of Lecture Notes in Control and Inforation Sciences. Godaling, UK: Springer-Verlag, 999. J. Chen, G. Gu, Control-Oriented Syste Identification: An H Approach. New York: John Wiley & Sons, Inc., 000. Teoria della stia Set ebership 7