Def. 1.1 Se A è un insieme non vuoto, dicesi legge di composizione interna o operazione interna su A ogni funzione. ω : A x A A

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1 CAP. SPAZI VETTOIALI SPAZI EUCLIDEI &. Strttre lgerice: grppo ello corpo cmpo Comicimo col porre l segete defiiioe. Def.. Se A è isieme o oto dicesi legge di composiioe iter o operioe iter s A ogi fioe ω : A A A tle ce UNICO A A c A. L ico elemeto di A corrispodete di i ω si idic co ω. Poicé le sli operioi di ddiioe e di moltiplicioe defiite i N Z Q soo ttte esempi di operioi itere co so di otioe si potrà cotire idicre co + o co l geeric operioe iter defiit s isieme qlsisi il sigificto oero l defiiioe di + e dipederà eidetemete dl prticolre cso cosiderto. Ciò premesso poimo le segeti lteriori defiiioi. Def.. - Dicesi strttr lgeric ogi isieme o oto A dotto di operioe iter ω. L strttr lgeric si deot co A ω doe A è isieme o oto e ω è l operioe iter defiit s A. Def.. Se A ω è strttr lgeric e se etro di A rispetto ω se e A si dice ce e è elemeto e A : e

2 No ttte le strttre lgerice soo dotte di elemeto etro rispetto ll operioe iter. Sssiste però l segete proposiioe. Prop.. Se i A ω esiste elemeto etro esso è ico. Dim. Si e elemeto etro di A rispetto d ω e A :. e e Se e è lteriore elemeto etro di A per ω A : e e qidi: e = per l cosiderdo e come elemeto etro e ωe = per l cosiderdo e come elemeto etro = e e e. Dqe qdo esiste l elemeto etro è ico. Def.. Se A ω è strttr lgeric dott di elemeto etro e e se A si dice ce è simmetriile per ω se A ω = ω = e. U tle dicesi simmetrico di rispetto ω. È ee osserre ce o ttti gli elemeti di strttr lgeric soo dotti di elemeto simmetrico e o è detto ce qdo esso esiste si ico. Esistoo ttti strttre lgerice dotte o solo di elemeto etro m ce tli ce ogi loro elemeto si dotto di elemeto simmetrico. Sssiste l segete defiiioe. Def..5 Se A ω è strttr lgeric si dice ce A ω è grppo se esso erific le segeti proprietà: c A: c c ω è ssociti e A A: e e esiste l elemeto etro per ω A A e esiste l elemeto simmetrico

3 Per i grppi le l segete fodmetle proprietà. Prop.. Se A ω è grppo ogi elemeto di A ico simmetrico. Dim. Per l proprietà di grppo ogi elemeto di A è dotto di simmetrico. Dimostrimo ce esso è ico. Se e soo de simmetrici di per defiiioe di simmetrico si : e e qidi: e e. Osserioi: Se l operioe iter è idict co + l elemeto etro si sole idicre co metre l elemeto simmetrico di si sole idicre co e dicesi opposto di. Se l operioe iter è idict co l elemeto etro si sole idicre co metre l elemeto simmetrico di si idic co - e dicesi ierso o reciproco di. Di più: Def..6 Se A ω è grppo si dice ce A ω è grppo elio o grppo commttio se l operioe iter ω è commtti cioè tle ce A: ω = ω. Esempi di grppo elio soo:. Z + doe + è l sle ddiioe fr iteri reltii;. Q + doe + è l sle ddiioe fr i meri rioli reltii;. + doe + è l sle ddiioe fr i meri reli;. + doe + è l sle ddiioe fr -ple; 5. M m + doe M m è l isieme delle mtrici di ordie m e + l sle ddiioe fr mtrici;

4 . "c Î A: +c = + c proprietà distriti siistr di 6. M + doe M è l isieme delle mtrici qdrte di ordie e + è l sle ddiioe fr mtrici qdrte. Si osseri esplicitmete ce N + o è grppo poicé o le l ter proprietà di grppo: N N. Def..7 Se Aω è grppo e se A è sottoisieme proprio di A si dice ce A è sottogrppo di A se A mito dell legge di composiioe iter di A è grppo oero se w : A A A A: A tle ce. c A: c c. A : e e e. A A e. Esempio: Z+ è sottogrppo elio di +. Poicé s isieme è possiile defiire più operioi itere per tli isiemi si pogoo le segeti lteriori defiiioi. Def..8 Se A è isieme s ci soo defiite de operioi itere idicte co + e co si dice ce A+ è ello se: A+ è grppo elio :.... c A: c c; prop. ssociti A A: esiste elemeto etro A A ; esiste simmetrico A: ; prop. commtti di +. "c Î A: c = c proprietà ssociti di

5 . "c Î A:+c = +c. A A: = = proprietà distriti destr di esiste dell elemeto etro per Def..9 Si dice ce A + è corpo se:. A+ è ello. Ogi elemeto di A dierso dll elemeto etro per + è simmetriile per l cioè se A A. Ifie si poe l segete defiiioe. Def.. Si dice ce A + è cmpo se:. A + è corpo. "Î A: = è commtti Sssiste l segete proprietà. Prop.. Se A + è cmpo si dimostr ce: " Î A: = = "Î A: = Û = Ú= legge di llmeto di Dim. = - = - = - =. Alogmete: = - = - = - =. Dim. Dimostrimo l codiioe ecessri: se = Þ = Ú=. Si =. I csi ce si possoo presetre soo de:. Se = l tesi è erifict.. Se iece Þ $ - Î A - = - =Þ = = - = - = = - = Þ =. 5

6 Dimostrimo l codiioe sfficiete: se = Ú= Þ = Se = Þ = = - = - = -= Þ =. Alogmete si rgio se =. Esempi e cotro esempi oteoli di cmpo soo: Q+ è cmpo. + è cmpo. M + delle sole mtrici o sigolri è corpo m o cmpo. Z + o è cmpo percé o è corpo: gli elemeti di Z o o elemeti simmetrici per l moltiplicioe pprteeti Z. &. Spi ettorili Poimo le segeti defiiioi. Def.. Se K e V soo de isiemi o oti si dice operioe ester s V ete K come domiio degli opertori ogi fioe ω : IN K V V "k Î K V :wk Î V cioè tle ce d ogi coppi ordit k di KV ssoci ico elemeto dell isieme V. L immgie di k i ω ωk si idic co kω o ce co k. Def.. Se K è cmpo e se V è isieme o oto dotto di operioe iter + e di operioe ester ete K come domiio degli opertori si dice ce V è o spio ettorile s K se e solo se soo erificte le segeti proprietà: A V + è grppo elio oero l legge di composiioe iter + erific le segeti proprietà: V : wv : w w V V : V V 6

7 L legge di composiioe ester erific le segeti lteriori proprietà: 5 k K V : k k 6 K V : 7 k K V : k k 8 V : K essedo K l elemeto etro di K per l moltiplicioe. Lo spio ettorile V ete K come isieme degli opertori si idic co VK e si legge V spio ettorile s K : gli elemeti di V si dicoo ettori metre gli elemeti di K si dicoo sclri. Per gli spi ettorili sssistoo le segeti proprietà. Prop.. Se VK è o spio ettorile s K si dimostr ce: V : K V K : V V V K V legge di llmeto del prodotto estero V : K. Dim. K K V : K K V K K K Dim. V V K V : V V V V Dim. C.N. V K V V I csi ce si possoo presetre soo de: oppre: = e l sserto è ero; 7

8 K V V V V. C. S. K V V È oi cosege dell e dell. Dim. V : K +- = +- = +- V V. Esempi oteoli di spio ettorile [] Si V l isieme dei ettori geometrici del pio/spio: i tle isieme soo defiite de operioi iter e ester ete l isieme come domiio degli opertori. L operioe iter idict co + è così defiit ASSOCIA : V V V doe + è l sle operioe di somm di ettori metre l operioe ester idict co è così defiit ASSOCIA : V V k k V V doe è l sle prodotto di o sclre per ettore. Come sppimo l operioe iter + fr ettori gode delle proprietà:. ssociti. di esiste dell elemeto etro il ettore llo. di esiste dell elemeto simmetrico per + il ettore. commtti così ce A + è grppo elio. L operioe ester gode dell proprietà: 5. distriti degli sclri rispetto ll somm di ettori; 6. distriti dei ettori rispetto ll somm di sclri; 7. ssociti degli sclri; 8

9 9 8. " Î V : = Dqe V è o spio ettorile sl cmpo cioè V. [] L isieme dotto delle sli operioi di ddiioe e moltiplicioe è o spio ettorile s sé stesso ete l sle + come operioe iter e l sle come operioe ester ete medesimo come domiio degli opertori. [] L isieme mito delle segeti de operioi: + : : e: : :... è o spio ettorile s. I qto tle dee risltre: I + grppo elio : : : II erific le lteriori proprietà k k k k k k : 8 : 7 : 6 : 5 [5] L isieme delle mtrici di ordie m M m mito delle sli operioi di somm fr mtrici e di prodotto per mero rele è o spio ettorile s : M m []. [6] L isieme delle mtrici qdrte di ordie M mito delle sli operioi di somm fr mtrici e di prodotto per mero rele è o spio ettorile s : M []. [7] L isieme V = formto d solo elemeto dotto delle leggi di composiioe così defiite:

10 + = k : k è o spio ettorile s cioè. & Sottospi ettorili dipede e idipede liere si Def.. Se V + * è o spio ettorile s K e se V V o oto si dice ce V è sottospio ettorile di V se V dotto delle leggi + e di V è o spio ettorile s K erific cioè le proprietà - 8 di spio ettorile. Per idicre ce V è sottospio di VK si scrie V V. Sssiste l segete proprietà ce crtteri i sottospi ettorili. Prop.. C.N.S. fficé V si sottospio di VK V V è ce: V: V V è ciso per + "k Î K Ù" ÎV : k ÎV V è ciso per Esempi di sottospi Se VK è o spio ettorile s K e se è l elemeto etro di VK per + llor V = è sottospio di V detto sottospio le di V. Se VK è o spio ettorile s K llor V = V è sottospio di V: tle sottospio è detto sottospio improprio di VK. Osserioe: D e si dedce ce ogi spio ettorile lmeo de sottospi: il sottospio le e il sottospio improprio V. L isieme delle mtrici trigolri T è sottospio di M. L isieme delle mtrici digoli D è sottospio di M. Vettori liermete dipedeti idipedeti Def.. Se VK o spio ettorile s K se soo ettori di VK e se.. soo sclri di K llor...

11 dicesi comiioe liere degli ettori. Gli sclri.. ce compioo ell comiioe si dicoo coefficieti dell comiioe liere. Def.. Si dice ce sistem di ettori S = { } è liermete dipedete se: =. I tl cso si dice ce l isieme S = è sistem di ettori legto. Def.. Si dice iece ce sistem di ettori S = { } idipedete se: è liermete o esiste = oero qdo = solo se = = = =. I tl cso si dice ce l isieme S = { } è sistem di ettori liero. Per i sistemi di ettori L.D. sssistoo le segeti proprietà. Prop.. Se S = { } è sistem di ettori di V[K] si dimostr ce: se S S è sistem di ettori liermete dipedete; se S è sistem di ettori liermete dipedeti llor ogi ltro sistem di ettori S coteete S è sistem di ettori liermete dipedeti cioè: S liermete di ettori liermete dipedeti S S : S è sistem di ettori liermete dipedeti S è sistem di ettori liermete dipedeti se e solo se esiste lmeo ettore di S ce è comiioe liere dei rimeti. Per i sistemi di ettori L.I. sssistoo le segeti proprietà. Prop.. Se S = { } è sistem di ettori di VK si dimostr ce:

12 S co S è liermete idipedete; Se V Se S è sistem L.I. llor ogi ltro sistem di ettori coteto i S è sistem di ettori L.I. cioè: S S : S sistem di ettori L.I.; Se S... è sistem di ettori liermete idipedeti esso dei ettori di S è esprimiile come comiioe liere dei rimeti ettori. Prop.. Se S... Sottospi geerti Sistemi di geertori è sistem di ettori di VK e se U è l isieme di ttti i ettori di VK ce soo comiioe liere dei ettori di S si dimostr ce U è sottospio ettorile di V U V[K]. Dim. Doimo dimostrre ce: U percé esso cotiee lmeo i ettori di S. Iftti d esempio... è comiioe liere dei rimeti ettori di S medite gli sclri. U : U Iftti: U... K K... Dqe U i qto rislt comiioe degli elemeti di S. K U : U Iftti: U Þ Þ $k = k =...k = Î = k +k k Þ comiioe degli elemeti di S. U i qto rislt Def..5 Se U è il sottospio di VK formto d ttte le possiili comiioi lieri di sistem di ettori S... di VK

13 U = { Î V $... Î K = } llor:. U dicesi sottospio di V geerto d S =.... l isieme S... dicesi sistem di geertori del sottospio U. Per idicre ce U è il sottospio geerto d... si scrie: U = L. Il sottospio U dicesi fiitmete geerto se il mero di ettori ce geer U è fiito. Esempio di sottospio fiitmete geerto Nello spio poicé ogi ettore = si pò esprimere come sege = = si dedce ce ogi ettore di è comiioe liere degli ettori e = e =. e =. Dqe è sottospio di sé stesso fiitmete geerto ete e e e come sistem di geertori cioè = Le e e. Bse di o spio ettorile Def..6 Si VK o spio ettorile e si S =... V sistem di ettori di V[K]. Si dice ce S =... è se dello spio V[K] se e solo se soo ere le segeti de codiioi:. S è sistem di geertori per V[K];. S è sistem di ettori liermete idipedeti. Ogi se di V[K] si idic co B; ioltre se l se B è ordit llor B dicesi riferimeto di V.

14 Prop..5 Se B =... è se di V[K] ogi ettore di V[K] è esprimiile i o e solo modo come comiioe liere degli elemeti di B cioè: V K. Dim. Tle proprietà cosege immeditmete dl ftto ce B è sistem di geertori di V liermete idipedeti. Iftti poicé B =... Û " Î V$... Î K = Dimostrimo or ce l comiioe liere di è ic. è se di V[K] B è sistem di geertori di V Iftti se: ì = í Þ = k + k k Þ î = k + k k -k + -k k = Þpoicè I ettori dell se soo L.I. Þ -k = -k =... -k = Þ = k = k... = k. Def..7 Se B =... è se ordit di V e se... llor i coefficieti dell comiioe liere si dicoo coordite di ell se B e si scrie =. Prop..6 - Sssistoo le segeti lteriori proprietà: Ogi spio ettorile V[K] lmeo se. Ogi se di o spio ettorile V[K] è sistem mssimle di ettori liermete idipedeti di V[K]. Dim. Si B =... B se di V[K]. Poicé è sistem di geertori di V[K] " Î V$... ¹... Î K = Þ S= {... } è sistem di ettori L.D. e ciò mostr ce è il mssimo mero di ettori L.I. di V[K]. Se VK è o spio fiitmete geerto ttte le si o lo stesso mero di ettori. Dim. Se B =... e B = { w w... w m }soo de si di V[K] per l prop. dee essere m Ù mþ = m.

15 Dqe le si di o spio ettorile o lo stesso mero di elemeti. Tle ltim proprietà gistific l segete defiiioe. Def..8 Se VK è o spio ettorile fiitmete geerto dicesi dimesioe di VK il mero di ettori di qlqe s se. I tl cso per idicre ce V[K] dimesioe si scrie dim V =. Esempi. Lo spio ettorile V = dimesioe fiit ero dim =.. Lo spio ettorile [] dimesioe fiit dim =. Nel segito fremo sempre riferimeto spi ettorili di dimesioe fiit. Osserioe E ee osserre ce metre ogi se è sistem di geertori di o spio ettorile i geerle o è detto ce sistem di geertori si se dello spio ettorile: srà se solo se i ettori soo L.I. Prop..7 Teorem del completmeto dell se Se VK è o spio ettorile di dimesioe dim V = e se r soo r ettori liermete idipedeti di V llor è possiile determire r ettori r+ r+ i modo ce B =.... si se di V[K]. r r r Prop..8 Se VK è o spio ettorile di dimesioe fiit e se V è sottospio di VK llor: V dimesioe fiit ed è dim V dim V dimv = dimv ÛV = V. Operioi co i sottospi Prop.. Si V o spio ettorile e sio W e W de sottospi di V. Si dimostr ce: 5

16 . il sottoisieme iterseioe W W V W W mito delle leggi di composiioe di V[K] è sottospio di V[K] ce dicesi sottospio iterseioe di W e W.. il sottoisieme di V così defiito W W V W W è sottospio ettorile di V[K] ce dicesi sottospio somm di W e W. Le dimostrioi soo oie. Prop.. Teorem di Grssm o dell dimesioe del sottospio somm Se V è o spio ettorile di dimesioe e se W e W soo de sottospi di V llor W + W è sottospio ettorile di V tle ce I prticolre se W W = si dim W W dim W dim W dim W W dim W W dim W dim W. I tl cso l somm dei de sottospi di V[K] si dice somm dirett e si idic co W W. Si poe l segete defiiioe. Def..9 Se V è o spio ettorile e se W e W soo de sottospi di V si dice ce V è somm dirett di W e W e si scrie se. V = W + W. W W = V = W W I tl cso si dice ce W è il sottospio spplemetre di W i V. 6

17 Prop.. Se V è o spio ettorile e se W e W soo de sottospi spplemetri di V V = W W llor si dimostr ce:. dim V = dim W + dim W ;. V w W w W w w cioè ogi ettore di V è esprimiile i o e solo modo come somm di ettori di W e W. Dim. Poicé V = W W V W +W dimv dim W W dimw dimw dimw W dim W +dim W. Dim. Sppoimo ce $ V c d co c W d W Þ += c+ d Þ -c= d-. w c W Detto w = - c = - d w d W ww W c w d Dqe è ic l decomposiioe di ogi ettore di V ell somm di de ettori di W e W. Prop..5 Sio W e W soo de sottospi ettorili di VK e sio B ={ p } se di W e B ={w w w r } se di W. Si dimostr ce:. B={ p w w w r } è sistem di geertori di U = W + W ;. B={ p w w w r } è se di U solo se U = W ÅW. &. Cmimeto di se i o spio ettorile Si VK o spio ettorile di dimesioe e sio B = e e... de si di VK. e e B =e e... e Poicé B = e e... e è se di V llor V... K e e... e doe soo le compoeti di ell se B. Alogmete poicé B =e e... e è se di V llor V... K e e... e 7

18 doe soo le compoeti di ell se B. D ltr prte poicé i ettori e e... e dell se B soo elemeti di V ogi elemeto di B si pò esprimere come comiioe degli elemeti dell se B cioè e e e e e e... e e e e e e doe ij soo le compoeti dei ettori dell se B rispetto ll se B. Sostitedo le eqioi dell ell si ce ogi ettore di V pò così esprimersi: = e + e + + e + e + e + + e + + e + e + + e = e e e = e e e. E qest o espressioe del ettore ell se B. Poicé è ce e e... e ell se B per l icità delle compoeti si : Qeste relioi si dicoo eqioi di trsformioe delle compoeti di ettore dll se B ll se B. Se idicimo co: 8

19 X il ettore colo delle compoeti ell se B X =... X il ettore colo delle compoeti ell se B X = P l mtrice ete per coloe le compoeti dell se di B rispetto.. ll se B P le precedeti eqioi dell trsformioe delle compoeti di si possoo scriere ell form mtricile comptt 5 X = P X L mtrice P ete per coloe le compoeti dei ettori e i ell se B dicesi mtrice di pssggio d B B. Ioltre poicé l mtrice P è o sigolre essedo formt di ettori e i liermete idipedeti ess è iertiile. Dett P - l iers di P si : X = P X P - X = P - P X P - X = X... Dqe si ce: 6 X = P - X. L mtrice P - dicesi mtrice di pssggio d B B: ess è l iers di P ed per coloe le compoeti dei ettori e i dell se B rispetto ll se B. &.5 Atolori toettori tospi di mtrici reli Poimo le segeti defiiioi. Def. 5. Se A è mtrice qdrt di ordie A e se λ si dice ce λ è M tolore di A se 9

20 X M X A X X Il ettore colo X dicesi toettore di A reltio ll tolore λ. Def Se A è mtrice qdrt di ordie A M e se X M co X si dice ce X è toettore di A se A X X. I tl cso il mero rele λ dicesi tolore reltio ll toettore X. Sssistoo le segeti proprietà. Prop. 5. Se A è mtrice qdrt di ordie e se X M è toettore di A si dimostr ce è ico l tolore di A reltio d X. Dim. Iftti se λ e λ soo de tolori di A reltii d X si : AX AX X X X X X essedo X. Prop Se A è mtrice qdrt di ordie e se λ è tolore di A si dimostr ce esistoo ifiiti toettori di A reltii λ. Dim. Poicé λ è tolore di A per defiiioe esiste lmeo X M co X A X X A X X A I X Poicé tle sistem omogeeo dee mmettere solioe o le X = dee essere il rgo r dell mtrice dei coefficieti miore del mero di icogite così ce per il teorem di ocè-cpelii esso mmetterà -r solioi: dqe l mtrice A rà ifiiti to ettori reltii λ. Si poe qidi l segete defiiioe.

21 Def Se A è mtrice qdrt di ordie A dice tospio dell mtrice A reltio λ e si idicerà co V λ l isieme M e se λ è tolore di A si V X M X AX X oero V λ è l isieme formto d ttti gli toettori ssociti λ e dl ettore llo. Prop Se A mtrice qdrt di ordie e se λ è tolore di A si dimostr ce l tospio V λ di A è sottospio ettorile di M. Dim. icordimo ce V λ è sottospio di M se: V X X V : X X V X V : X V Dim. V percé lmeo X O V.. Dim. Sio AX X X X V AX AX X X AX X A X X X X X X V. Dim. X V AX X AX X AX X A X X X V. Proprietà degli tolori e degli toettori Prop. 5. Se A e se si dimostr ce: M è tolore di A det A I Dim. C.N. Si λ to lore di A X AX X AX X AX I X AX I X A I X.

22 Tle ltim eqioe rppreset i form mtricile sistem di eqioi i icogite del tipo ce mmette l solioe X = det A I. Dim. C.S. Osserto ce det A I è il determite del sistem omogeeo poicé det A I = esso mmette solioi o li cioè X A X X λ è tolore di A. Def. 5. Il poliomio P det A I dicesi poliomio crtteristico dell mtrice A metre l eqioe P det A I = dicesi eqioe crtteristic dell mtrice A: le solioi reli di tle eqioe se esistoo soo gli tolori dell mtrice A. Poicé il poliomio crtteristico di mtrice qdrt di ordie sempre il grdo gle d e sege ce l eqioe crtteristic ssocit l mssimo solioi reli e di cosege il mssimo mero di tolori distiti di mtrice A è.

23 Prop. 5.5 Se A M e se soo de tolori distiti di A llor detti V λ e V λ gli tospi reltii rislt: V V Dim. gioimo per ssrdo sppoedo ce V l ÇV l ¹ { } Þ AX X X V V X X X X X AX X e ciò è ssrdo i qto è X. Ifie ecimo l segete proprietà. Prop. 5.6 Se... M r soo r tolori distiti di A e se X X X r soo i rispettii toettori llor X X X r soo r ettori liermete idipedeti di M. Si omette l dimostrioe. Def. 5.5 Se A è mtrice qdrt e se λ è tolore di A si dice molteplicità lgeric di λ l molteplicità co l qle l eqioe crtteristic Pλ = mmette l solioe λ. Tle molteplicità lgeric di λ si idic co m λ. Def Se A è mtrice qdrt e se λ è tolore di A si dice molteplicità geometric di λ e si idic co m g λ l dimesioe dell tospio V λ reltio λ m g λ = dimvλ. Sssiste l segete proprietà. Prop. 5.7 Se A M llor per ogi tolore λ di A si sempre:. m m g. rg A I m g L dimostrioe è omess.

24 &.6 Mtrici simili ortogoli digoliili Si poe l segete defiiioe. Def. 6. Se A B M iertiile P tle ce B = P - A P. M si dice ce A è simile B se e solo se esiste mtrice L relioe di similitdie fr mtrici di M gode delle segeti proprietà. Prop A M : A simile d A prop. riflessi A B M A simile B: B simile d A prop. simmetric c A B C M A simile B e B simile C: A simile C prop. trsiti Dim. A M I A I AI Dim. Poicé A è simile B P M B P AP PBP PP APP P BP A. Dett Q = P - rislt ce Q M Q A BQ B è simile d A. Dim. c Sio A simile B e B simile C P Q M iertiili tli ce B P C Q AP C Q BQ P APQ PQ A PQ A è simile C. Dqe l similitdie è relioe di eqile i M. Prop. 6. Se A e B soo de mtrici simili si dimostr ce: rga = rgb deta = detb c A e B o lo stesso poliomio crtteristico cioè: det A I det B I.

25 Dim. Poicé P e P - soo mtrici iertiili e qidi o sigolri per proprietà si rgi A lo stesso rgo di B. A simile B B P A P detb = detp - AP = detp - deta detp = detp - detp deta = detp - P deta = deti deta = deta. c Dim. Poicé A e B soo de mtrici simili per defiiioe esiste mtrice P iertiile tle ce P - AP = B. Di cosege: detb λi = detp - AP λi = detp - AP λp - P = detp - AP P - λp = = detp - A λip = detp - deta λi detp = deta λi detp - detp = deta λi. Corollrio 6. Mtrici simili o gli stessi tolori e gli sottospi. Dim. È oi cosege dell proprietà precedete. Poimo l segete defiiioe. Def. 6. Se A M si dice ce A è digoliile se esiste mtrice digole D simile d A cioè tle ce D = P - A P doe P è mtrice iertiile di M : l mtrice P dicesi mtrice ce digoli A. Prop. 6. C.N.S. U mtrice segeti de codiioi: A M è digoliile se e solo se soo erificte le. l s eqioe crtteristic Pλ = det A I rdici ttte reli semplici o mltiple λ λ..λ p ;. ogi tolore λ i di A l molteplicità lgeric gle qell geometric cioè m m g Si omette l dimostrioe. 5

26 Prop. 6. C.S. Se l eqioe Pλ = oero deta - λ I = rdici reli ttte distite llor A è digoliile. Si omette l dimostrioe. No le il iceers el seso ce mtrice pò essere digoliile se ce le rdici del poliomio crtteristico gli tolori sio ttte distite. Prop. 6.5 C.N.S. U mtrice toettori di A liermete idipedeti. I tl cso: A M è digoliile se e solo se esistoo. l mtrice P ce digoli A per coloe toettori L.I di A;. l mtrice digole D simile ll mtrice A per digole gli tolori corrispodeti gli toettori. Ifie ecimo l segete lteriore proprietà. Prop. 6.6 Se A M se... p soo p tolori distiti di A e se V λ V λ V λp soo i reltii tospi llor A è digoliile se e solo se oero se dim V λ + dim V λ + dim V λp = m g i. Poimo le segeti lteriori defiiioi. Def. 6. Se P è mtrice qdrt o sigolre di ordie si dice ce P è mtrice ortogole se l mtrice iers di P coicide co l trspost di P: Def. 6. U mtrice P - = P T. mtrice ortogole P ce digoli A cioè se: A M si dice ortogolmete digoliile se esiste P M ortogole tle ce P - A P = D. 6

27 7 Prop. 6.7 Ogi mtrice simmetric è ortogolmete digoliile. L dimostrioe è omess. &.7 Spi eclidei Comicimo col porre l segete defiiioe. Def. 7. Se V è o spio ettorile s dicesi prodotto sclre eclideo s V ogi pplicioe : VV ce ssoci V V leggsi sclre e ce soddisf le segeti codiioi:. : V. : V distritiità destr. : V ssociti destr. : V prodotto sclre defiito positio 5. : V Per il prodotto sclre sssistoo le segeti lteriori proprietà. Prop. 7. Se V è o spio ettorile s e se è prodotto sclre eclideo s V si dimostr ce:. : V distritiità siistr. : V ssociti siistr. V V : Dim. : V Dim.. : V

28 Dim. C.N. Poicé V : preso = si = per l 5 = V. C.S. Se = V def 7. V V V Ciò premesso poimo l segete defiiioe. Def Dicesi spio ettorile eclideo o semplicemete spio eclideo ogi spio ettorile V sl qle è defiito prodotto sclre eclideo. Esempi oteoli di spio eclideo soo i segeti:. Lo spio ettorile dei ettori geometrici V mito delle sli operioi iter ed ester s e del prodotto sclre di ettori cos è o spio eclideo.. Nello spio ettorile si cosideri l pplicioe : tle ce.... :... Si dimostr ce tle pplicioe è prodotto sclre eclideo ce dicesi prodotto sclre coico di. Sssistoo le segeti lteriori defiiioi. Def. 7. Se V è o spio eclideo dicesi orm di ettore V il mero positio idicto co così defiito: Def. 7. Se V è o spio eclideo dicesi ersore di V ogi ettore di V ete. Prop. 7. Ogi ettore di o spio eclideo V idiid ersore di V idicto co ers dto d 8

29 ers = Dim. ers ers ers. Tle ersore dicesi ersore ssocito l ettore. Def. 7.5 Se V è o spio eclideo e se e soo de ettori di V si dice ce: e i tl cso si scrie: è ortogole Osserioe 7. - Il ettore V è ortogole ttti i ettori di V. Def. 7.6 U sistem S = { p } di ettori di o spio eclideo V si dice ortogole se i ettori del sistem soo de de ortogoli. Prop. 7. Se V è o spio eclideo e se S = { p } è sistem di p ettori di V o lli e ortogoli llor S = { p } è sistem di ettori L.I. di V. Dim. Si: p p =.. Moltiplicdo sclrmete mo i memri per si p p =... p p teedo coto ce è ortogole p essedo =. Dopo il primo psso l comiioe diet + + p p =. Alogmete moltiplicdo sclrmete mo i memri per e ripetedo i clcoli si ottiee =. 9

30 eiterdo il procedimeto si ottiee = = = p =. Dqe { p } è sistem di ettori L.I. di V. Def Se V è o spio eclideo e se e soo de ettori di V dicesi golo formto di de ettori l golo coesso defiito d rccos cos Def Se V è o spio eclideo e se e soo de ettori di V dicesi proieioe ortogole di s e si idic co pr il ettore mltiplo di secodo il coefficiete : pr. Ifie: Def. 7.9 Se U è sottospio ettorile di V ete se B = {e e e p } e se V dicesi proieioe di s U relti ll se B il ettore somm delle proieioi di s cisc compoete dell se B: pr U e e ep pr pr... pr. Complemeto ortogole di sottospio Bsi ortoormli di o spio eclideo Def. 7. Se V è o spio eclideo e se U è sottospio di V si dice complemeto ortogole di U il sottoisieme di V così defiito U = V U. Si osseri esplicitmete ce ettore pprtiee l complemeto ortogole di U solo se esso è ortogole ttti i ettori di U. Prop. 7.. Il complemeto ortogole di sottospio ettorile di V è sottospio ettorile di V.

31 L dimostrioe è immedit. Sssiste l segete proprietà. Prop. 7.. Se U è sottospio di V geerto di ettori p U = L p si dimostr ce le segeti de proposiioi soo eqileti: U cioè è ortogole d ogi di U è ortogole d ogi i { p }. Dim. Poicé è perpedicolre d ogi U è perpedicolre d ogi i U. Dim. Si U p p p U :... p... p p... p p Dqe è perpedicolre d ogi ettore di U cioè U. Corollrio 7. Se B è se di U llor il complemeto ortogole di U U è costitito d ttti e soli i ettori ortogoli cisc ettore dell se B. Def. 7. Se B = {e e e } è se dello spio eclideo V si dice ce B è se ortoormle se i ettori e i dell se soo de de ortogoli e o orm gle cioè se: i j : e i e i.. : e e e i j i i Esempi Prop L se coic dello spio ettorile è se ortoormle dello spio eclideo rispetto l prodotto sclre coico di.

32 Prop Se A è mtrice ortogole di ordie llor l se formt di ettori rig o colo di A è se ortoormle rispetto l prodotto sclre coico di. Metodo di ortoormliioe di Grm Scimdt Osserto ce ogi spio eclideo sempre lmeo se prtire d ess è sempre possiile costrire se ortoormle dello spio eclideo cosiderto. Qi di segito è descritto il metodo di ortoormliioe di Grm Scimdt ce cosete di clcolre prtire d se B = { } qlsisi se B = {e e e } ortoormle. I pssi d segire soo i segeti: psso porre = ed e ; psso si clcol = + λ e tle ce e. Si : e e e e e e. Sostitedo tle lore di λ si : = + λ e = e e. Qidi si poe e. psso si cerc poi del tipo tle ce = + λ e + λ e Impoedo tli codiioi si : e e e

33 e = e e = e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e. Sostitedo tli λ e λ i si : = e e - e e. Qidi si poe: e. Iterdo il procedimeto si clcolo e e 5 e otteedo i tl modo se ortoormle B ={e e e }. Esempio Si B = { = = =-} se di : ricre d B se ortoormle B o.. = {e e e } ortogoliioe di se. Solioe Prelimirmete clcolimo l orm di = = =-: 5 Applicimo il metodo di ormliioe di Grm Scimdt. e icimo = + λ e tle ce si ortogole d e. e e e e e e e

34 . Di cosege poicé: e 8 si. 6 6 e. icimo = + λ e + λ e tle ce si ortogole d e ed e 5 5 = + λ e + λ e Qidi: e = 9 9 9

35 Pertto l se ortoormle è: B o.. = È fcile costtre ce: i j : e i e e i : e i e. j i Ifie osserimo esplicitmete ce l so delle si ortoormli i o spio eclideo è importte i qto:. il prodotto sclre e l orm si esprimoo i mier molto semplice medite le compoeti dei ettori. il pssggio d se ortoormle se ortoormle si esprime medite mtrice ortogole. Prop Se B={e e e } è se ortoormle di o spio eclideo V si dimostr ce: :... I form mtricile: X T Y X Y T.... :... Se B è lteriore se ortoormle dello spio eclideo V l mtrice P di pssggio dll se B ll se B è mtrice ortogole P T = P -. Prop. 7.7 Se P è mtrice qdrt di ordie le segeti proposiioi soo eqileti: P è ortogole I ettori rig di P soo se ortoormle di rispetto l prodotto sclre stdrd c I ettori colo di A soo se ortoormle di rispetto l prodotto sclre stdrd. 5

36 6

37 CAP. - ESECIZI SPAZI VETTOIALI SPAZI EUCLIDEI A. Spi Sottospi ettorili di E Verificre ce + * doe + e * soo le ordirie operioi di ddiioe e moltiplicioe dei meri reli è o spio ettorile s. E Verificre ce + * è o spio ettorile s doe l legge di composiioe iter + e l legge di composiioe ester * soo così defiite: I : ;... ; II... : I prticolre + * e + * soo spi ettorili s rispetto lle operioi + e * prim defiite. E Stilire se l isieme è o spio ettorile s rispetto lle operioi: I + = + + II * =. Dim. L isieme co l operioe + è grppo commttio prop. P - P. Verificimo se l operioe ester * erific le lteriori proprietà di spio ettorile prop. P5 - P8. P5 Proprietà distriti rispetto ll somm di ettori: * + =. * + = *+ + = + = + Dqe: * + =. P6 Proprietà distriti rispetto ll somm di sclri: +k* = * + k*. 7

38 +k* = +k* = +k; * + k* = * +k* = +k = + k = + k. Dqe: +k* = * + k*. P7 Proprietà ssociti degli sclri: *k* = k*. *k* = *k* = *k = k k* = k* = k Dqe: *k* = k*. P8 Lo sclre è l elemeto etro per *: * = * = * = = Þ ¹. Dqe o le l proprietà P8: mito di de tli leggi o è o spio ettorile. E - Stilire se l isieme è o spio ettorile rispetto lle operioi: I + = + + II * = -. Solioe è grppo commttio rispetto ll operioe I m o è o spio ettorile percé o erific l proprietà P8 cioè lo sclre o è elemeto etro rispetto ll operioe II. Iftti:. E5 Stilire se il sottoisieme S dello spio ettorile così defiito: S è sottospio ettorile di. Solioe 8

39 9 icordimo ce S è sottospio di se e solo se: S S S S S : :. Dim. E oi percé =. Dim. Sio S. S Dim. Sio S S Þ l Î V. Qidi S è sottospio ettorile di. E6 Stilire se il sottoisieme S dello spio ettorile così defiito: S è sottospio ettorile di. E7 - Stilire se il sottoisieme S così defiito: S è sottospio ettorile di. Solioe S o è sottospio ettorile percé:. il ettore llo = o pprtiee d S;. S o è ciso rispetto ll operioe + : S S S ;. S o è ciso rispetto ll operioe : S S E8. - Stilire se il sottoisieme S così defiito: S è sottospio ettorile di. Solioe

40 = S S ; S o è ciso rispetto ll ddiioe percé esistoo d esempio = - S e = S + = S. Poicé S o erific l secod codiioe di sottospio S o è sottospio di. E8. Dimostrre ce il sottoisieme V di così defiito V = t è sottospio di V<<. Solioe Doimo dimostrre ce:. V. V V :. V V : Dim. - V percé lmeo = V. Dim. Sio t t V t t V. Dim. Sio t V V t. Dqe V <<. E8. Dimostrre ce il sottoisieme V di M così defiito

41 M t V è sottospio di M. Solioe Doimo dimostrre ce:. V. V V :. V V : Dim. - V percé lmeo = V. Dim. Sio t t V t t t t V. Dim. - Sio t V V t. Dqe V è sottospio di M. E8. Clcolre il sottospio V di geerto di ettori = - e =. Solioe

42 Il sottospio geerto d e è: V = { Î = -+ } = { Î = - + } Clcolimo le eqioi crtesie di V. ì = - + ï " Î V = : í = Þ elimido e = eqioe crtesi di ï î= V. Dqe: V = L =. B. Dipede e idipede liere di ettori E9 Dti i ettori di = = 6 = determire: + ; + ; c λ + λ + λ. Solioe + = 6 += 6 + = = -. + = =. c λ + λ + λ = λ λ + λ 6λ + λ λ = λ + λ + λ λ +6λ + λ E Stilire per cisco dei segeti csi se i ettori di idipedeti o dipedeti: soo liermete = - = - = ππ = c = = = -. Solioe Per defiiioe e soo liermete idipedeti se + =.

43 . Dqe = - e = - soo liermete idipedeti. = ππ e = soo liermete dipedeti percé le compoeti dei de ettori soo proporioli oero = π * : i tl cso esiste = = -π tle ce = π =. c Stdimo + + =. Qesto è sistem omogeeo di de eqioi i tre icogite; le mtrici icomplet e complet soo: A A co rga = rga essedo ttti lli gli elemeti dell qrt colo di A. Poicé il miore estrtto di A = 8 6 A rg il sistem è comptiile e mmette - = solioi oltre qell le. Dqe i ettori = = e = - soo liermete dipedeti. Osserioe fodmetle U metodo ltertio e più rpido per erificre l liere dipede/idipede di ettori è il segete:. si scrie l mtrice A ete per coloe le compoeti dei ettori;. si clcol il rgo r dell mtrice A;. se rga = i ettori soo liermete idipedeti;

44 . se rga = r < gli ettori soo liermete dipedeti e ioltre gli r ettori ce formo le coloe del miore estrtto dierso d ero soo liermete idipedeti mssimo mero di ettori l.i. Nell esempio precedete e soo de ettori liermete idipedeti. E Sio dti i segeti isiemi di ettori di : S = S = c S = Determire per cisco di essi il mssimo mero di ettori liermete idipedeti specificdo tle isieme. Solioe L mtrice ete i ettori disposti per colo è A = Clcolimo il rgo. U miore del ordie certmete dierso d è = I soi orlti del ordie e soo : = poicé de rige gli; = poicé de rige gli.

45 Qidi rga = e poicé il rgo r = è miore del mero di ettori = si pò dire ce:. i ettori soo liermete dipedeti. il mero mssimo di ettori liermete idipedeti è : essi soo i ettori ce occpo l II e l III colo cioè = e =. Osserioe: poicé è proporiole si pò scegliere ce l coppi come ettori L.I. del sistem di ettori ssegto. L mtrice ete i ettori disposti per coloe è æ ç A = ç ç è ö ø Ess è mtrice rga = r e poicé rig è formt d eri srà rga = r. Poicé rislt = = -¹ ÞrgA = r = < Þi qttro ettori soo L.D. I ettori L.I. soo = e = le ci coordite formo le coloe di : i ettori e soo L.D. d e. Iftti: = + e = c Lo stdio di S si effett llo stesso modo. C. Bse Dimesioe di sottospio E Verificre ce i ettori = e = di soo se di. Doimo dimostrre ce: Solioe. è sistem di geertori di cioè ce ogi ettore di è esprimiile come comiioe liere di = e = ; 5

46 . soo liermete idipedeti. Dim. Si = il geerico ettore di e risolimo = + = + = + =. Qidi = ed = = + oero: :. Dim. Dimostrimo or ce = e = soo liermete idipedeti. Poicé l mtrice A = liermete idipedeti. rgo e il mero dei ettori è = essi soo Dqe l isieme B= è se di e l dimesioe di è dim =. Tle se B formt di ettori e dicesi se coic di. Più i geerle i l se coic è B= e e.. e i... e doe: e = e = e =. Tli ettori e i o ttte le compoeti gli ero d ecceioe dell i-m compoete ce è gle o. Ioltre poicé tle se è ordit ess costitisce riferimeto per lo spio ettorile. E Stilire se i segeti sottoisiemi di soo se di : S = ; S =. Solioe Doimo dimostrre ce S è sistem di geertori di cioè:. 6

47 7 isolo = + c c Þ = = + = c ì í ï î ï Qidi S geer solo i ettori di l ci ter coordit c = + ÛS o è sistem di geertori di e di cosege S o è se di. Doimo dimostrre ce S è sistem di geertori di cioè:. isolo = + + c c c c c c Dqe: "= c Î $ Î = + + = -c +-c +c S è sistem di geertori di. Verificimo se S è sistem di ettori liermete idipedeti. + + =

48 Dqe S è sistem di ettori liermete idipedeti. D e sege ce S è se di. E Nello spio ettorile si cosiderio i ettori = e =. Clcolre le coordite rispetto ll se coic di dei ettori: + - c 5 d 5 - Solioe Þ le coordite del ettore + rispetto ll se coic soo. Þ le coordite del ettore - rispetto ll se coic soo -. c : le coordite del ettore 5 rispetto ll se coic soo 5 5. d 5 - = 5 = 55 9 = Þ le coordite del ettore 5 - rispetto ll se coic soo E5 Nello spio ettorile sio dti i ettori w = e e e w = e + e doe B = e e e è l se coic di. Determire se e l dimesioe del sottospio W = Lw w geerto d w e w. Solioe Clcolimo w e w : w = e e = = -; 8

49 w = e + e = + = ; Poicé i ettori w e w o soo proporioli essi soo sistem di geertori di W liermete idipedeti; pertto w w è se di W ed è dimw =. E6 Dti i ettori dello spio ettorile = - = = - = determire se e l dimesioe dei segeti sottospi: W = L ; W = L ; c W = L ; Solioe Stdimo l liere dipede/idipede del sistem di geertori. Clcolimo il rgo dell mtrice A = di tipo *. Il miore estrtto = rg A. Gli orlti del ordie di soo e : = poicé l II rig e l III rig soo proporioli; = poicé l ltim rig è formt d eri. Qidi rga = dim r W ; se di W è B = così ce 9

50 W =L = L. Clcolimo il sottospio W geerto d e. Per defiiioe: W = { Î = + } Þ "= t Î W $ Î = + Û Û t = -+ = - + = + - ì = + ï = Þ í ï= - îï t = ìt = ï ì Þ í = - Þ í = - Þ ï î î = -+ Þ = + = + Þ " Î W : = + = --++ = = = = - Þ W = { t Î = -t = }. Per e c procededo llo stesso modo si : dimw = e se è B =. dimw = e se è B =. Poicé B = B W W. E6. Dti i ettori dello spio ettorile = = = - erificre ce B =. è se di ; clcolre le coordite del ettore = rispetto tle se B. Solioe Cosiderimo l mtrice A =. Poicé deta = rg A r i tre ettori soo l.i e qidi è se di. B 5

51 5 Clcolimo le coordite di = rispetto ll se B. Se idicimo co le coordite di rispetto ll se B per defiiioe dee ersi:. Dqe le coordite di rispetto ll se B soo -. E6. Nello spio ettorile è dt l se B={ }.. Verificre ce i ettori = = + = - + = costitiscoo se B di ;. determire le coordite di = + + rispetto ll se B = { }. Solioe Dim. Per erificre ce i ettori soo se di è sfficiete dimostrre ce essi soo L.I. poicé l dim =. Dll relioe Dqe = = + = - + = soo L.I. eþ B = { } è se di.

52 5 Dim. Le coordite di = + + rispetto ll se B soo i coefficieti dell comiioe liere di medite i ettori di B. Clcolimo tli coefficieti: Dqe le coordite di = + + rispetto ll se B = { } soo -:. D. icerc di se di sottospio di E7 Determire se e l dimesioe del sottospio W di geerto di ettori = - = = - e =. Solioe L dimesioe del sottospio W = L è gle l rgo dell mtrice A dimw = rga doe A =. Poicé deta = A r. Si poi ce il miore del tero ordie = 8 6

53 r dimw = dim L = e se di W è B = A. E8 Stilire se il ettore = -5 pprtiee l sottospio U di geerto di ettori = - e =. Solioe icordimo ce U L dell mtrice A formt di tre ettori è miore di ra < =. soo L.D. oero se il rgo æ ç Clcolimo il rgo di A = ç ç ç è ö. ø Poicé il miore estrtto del ordie = = - ¹ e poicé com è fcile erificre ttti gli orlti del ordie e soo lli si dedce ce i tre ettori soo L.D. e qidi dipede liermete d e U. E9 Determire per qle lore del prmetro rele k i tre ettori = k = k e = costitiscoo se di. Solioe Afficé i tre ettori sio se di essi deoo essere L.I. det A. Poicé: deta = k k k 6k 8k 6k 8k det A per k k rga = k e k. Dqe i tre ettori = k = k e = soo se di k. E. Dti i segeti ettori dello spio ettorile 5 k 5

54 = = = erificre ce essi soo L.I. e determire se di 5 ce li coteg. Solioe Per erificre ce soo L.I. st erificre ce il rgo dell mtrice æ ç ç A = ç ç ç è ö ø è gle. Iftti poicé = = -¹ Þ rga = e i ettori soo L.I. Per determire se di 5 coteete i tre ettori ssegti ggigimo i tre ettori dti de ettori dell se coic i modo d otteere sistem di 5 ettori L.I.: se sceglimo i ettori e = ed e 5 = è fcile erificre ce e e 5 soo L.I. e qidi costitiscoo se di 5. E. Dti i ettori di = k = k = -k = co k. determire l dimesioe del sottospio V k geerto d l rire di k;. Per k = stilire se il ettore = pprtiee V. Solioe. L dimesioe del sottospio V k è gle l rgo dell mtrice A k ete per rige i ettori : 5

55 æ ç A = ç ç ç è k k -k ö. ø Clcolimo il rgo di A k. deta k = k k -k = k k -k = -k k -k = -k-k - k = -k. k : det A rga k = dimv k = k Per k = : A. Poicé rga = dimv = soo tre ettori L.I. di V dqe se di V.. Verificimo se = V è comiioe liere di soo L.D. Poicé = =¹ Þ rga = Þ soo L.I. V. E. Dti i ettori = - e = di clcolre:. Il sottospio U di geerto d e d U = L = - =. U se e l dimesioe del sottospio ettorile U 55

56 . Verificre se w = - U. Clcolre per qle lore di il ettore w = - U. Per defiiioe U = k Solioe k : U k k k k k Dqe: U = { } = {- }.. Clcolimo se e l dimesioe di U. Poicé l mtrice A = rgo i ettori = - e = soo sistem di geertori L.I. e qidi soo se di U B = { }. L dimesioe di U è dimu =.. Sostitedo le coordite di w ell eqioe di U si :. Impoedo ce w U - = - wu. si : = -. E. Stilire se i sottospi U = L = = e U = L = -- = di coicidoo. Solioe Per dimostrre ce U = U st ricooscere ce:. dimu = dimu ; 56

57 . i ettori di se di o dei de sottospi d esempio di U soo L.D. di ettori di se di U : i tl cso l se di U pprtiee d U e pò cosiderrsi se di U così ce U = U. Dim. Stdimo l L.D./L.I. di = = : Si A = : poicé =- = - rga = = soo L.I. { = = } è se di U e dimu =. Stdimo l L.D./L.I. di = -- = : Si A = : poicé =- = rga = = soo L.I. { = -- = } è se di U e dimu =. Dqe dimu = dimu. Dim. Cosiderimo l mtrice formt di ettori : æ ç A = ç ç è - - ö ø Se rga = i ettori soo L.I. soo solo tre e qesto ol dire ce o dei ettori dell se di U o pprtiee d U e qidi U è dierso d U se iece rga = i ettori L.I. soo solo de e ciò comporteree ce i ettori dell se di U pprtereero U e qidi sree U = U. Clcolimo il rgo di A. Poicé = - = - e l orlto = rga U U. E. Cmimeto di se E Nello spio ettorile soo dti i segeti ettori: 57

58 Verificre ce B = = - = - = è se di. Scriere le eqioi del cmimeto di coordite e l mtrice del cmimeto di se dll se coic ll se B ; c determire le coordite del ettore = rispetto ll se B ; d dire se le si soo eqierse o cotroerse. Solgimeto Per dimostrre ce B = è se di st erificre ce i tre ettori soo L.I. oero ce il determite dell mtrice formt dlle coordite dei tre ettori è o llo: det A 5. Le relioi ce lego le coordite del geerico ettore e B soo dte i form mtricile d doe X = A X rispetto lle si B X rppreset l mtrice colo delle coordite di rispetto B X rppreset l mtrice colo delle coordite di rispetto B A è l mtrice del cmimeto di se le ci coloe soo le coordite dei ettori dell se B rispetto ll se B. I qesto cso poicé l se B è qell coic le coordite dei ettori di B rispetto B soo qelle ssegte. Dqe:. L mtrice del cmimeto di se è 58

59 59 A =. L eqioe mtricile del cmimeto di se è: c Clcolimo le coordite di = rispetto ll se B. Utilido le formle del cmimeto di se. si :. d icordimo ce de si B e B si dicoo eqierse o oriette cocordemete se deta > metre si dicoo cotroerse o oriette discordemete se deta < doe A è l mtrice di pssggio dll se B ll B. Nel ostro cso poicé deta = 5 > le si B e B soo eqierse. E Nello spio ettorile soo dti i segeti ettori: = = = = 5 =. Verificre ce B={ } e B = { 5 } soo de si di. Scriere l mtrice del cmimeto di se d B B e d B B. c Determire le coordite del ettore = + + si rispetto ll se B si rispetto ll se B. Solioe

60 6 Per erificre ce B è se di è sfficiete erificre ce l mtrice A ete per rige o coloe i ettori e è o sigolre: deta =. Alogmete per erificre ce B è se di è sfficiete erificre ce l mtrice A ete per rige o coloe i ettori e 5 è o sigolre: deta =. Dqe B e B soo de si di. Poicé l mtrice del cmimeto di se d B B è per defiiioe l mtrice ce per coloe le coordite dei ettori e 5 rispetto B clcolimo dpprim tli coordite: = + + ; logmete: = + + ; ifie: 5 = + +

61 6 5. Qidi le coordite dei ettori dell se B rispetto ll se B soo: = = - 5 = e l mtrice del cmimeto di se d B B è: A. L mtrice del cmimeto di se d B B è l iers dell mtrice A : A = A -. Applicdo il metodo dell ggit si : A doe: - soo le coordite di ell se B ; - soo le coordite di ell se B ; soo le coordite di ell se B. c Poicé = + + ell se B essedo i coefficieti dell comiioe. Clcolimo or le coordite di ell se B tilido le formle del cmimeto di se dte d: X = A - X Esplicitdo tle relioe mtricile si ottiee:

62 6 ell se B. E Dto il sottoisieme U di così defiito t t U. Dimostrre ce U è sottospio ettorile di. Clcolre sistem di geertori di U. Clcolre se B e l dimesioe di U. Verificre ce = -- U 5. Clcolre le coordite di = -- rispetto ll se B. 6. Clcolre l mtrice di trsformioe e le eqioi dell trsformioe dll se coic B= {e e } ll se B = { }. Solioe. U è sottospio di se e solo se: U : oi percé lmeo = U; U U :. Iftti se U si : t t t t t t U t t t t. c U k U k :. t k kt k k k k kt k k k k t t U U k.

63 Dqe U è sottospio ettorile di. Ioltre osserimo ce U = {t t } ={ - - }.. Clcolimo sistem di geertori di U. U : t t. Detti = -- e = poicé ogi ettore di U è comiioe di = -- e = si ce U è il sottospio geerto d e U = L.. Stdimo l liere dipede/idipede di e. L mtrice ssocit i de ettori è A =. Poicé esiste il miore estrtto = rga = = qidi i de ettori e soo L.I. e B = { } è se di U. Poicé dimu = < dim = U è sottospio proprio di.. Verificimo ce = - - U. Iftti: U. t 5. Clcolimo le coordite di = - - rispetto ll se B = { } oero clcolimo k k. isolimo k k k k k 6

64 6 Qidi poicé = + le coordite di rispetto B soo e : =. 6. icordimo ce l mtrice P di pssggio dll se B = {e e } ll se B = { } per coloe le coordite di e rispetto B oero: = - e =. L mtrice di pssggio è: P = E le eqioi di pssggio i form mtricile soo dte d:. E. Dto il sottoisieme U = t t :. Dimostrre ce U è sottospio ettorile di. Clcolre sistem di geertori di U. Clcolre se B e l dimesioe di U. Clcolre le coordite del ettore = rispetto ll se B 5. Clcol l mtrice P di pssggio dll se B = {e e ll se B. Solioe Dim. U percé lmeo = U Dimostrimo ce U U : U U U c Dimostrimo ce U k U k : U k U k k k k k U Dqe U è sottospio di.

65 Dim Clcolimo sistem di geertori di U. Poicé U : Si ce = e = è sistem di geertori di U U = L. Dim. Verificimo se i ettori = e = soo L.I. Poicé l mtrice formt dlle compoeti di e æ ç A = ç ç ç è ö ø rgo gle = geertori è se di U B = { }. L dimesioe di U è dimu =. =¹ i ettori e soo L.I. e qidi il sistem di Dim. Clcolimo le coordite di = U rispetto ll se B. isolo: = +. Qidi le coordite di rispetto e soo =. Dim. 5 Si B={e e } e si B = { }. Poicé le coordite di e di rispetto {e e } soo: = e = si ce l mtrice P di pssggio d B B è: P = e l eqioe mtricile di pssggio è: 65

66 X P X. E. Dto l isieme U = :. Dimostrre ce U è sottospio ettorile di. Clcolre sistem di geertori di U. Clcolre se B e l dimesioe di U. Clcolre le coordite del ettore = rispetto ll se B. F Sio U = Determire: Operioi co i sottospi Sottospi iterseioe somm spplemetre e W = U se e l dimesioe di U e W; I sottospi U W e U + V. Solioe Clcolimo se e l dimesioe di U. de sottospi di. U : U : Detti =- e = essi soo de geertori di U ce si dimostro essere L.I. Dqe: se di U è B U ={ =- = } e dimu =. Clcolimo se e l dimesioe di W. w W : w W : w. 66

67 Detti w = e w = essi soo de geertori di W ce si dimostro essere L.I. Dqe: se di W è B W = {w = w = } e dimw =. Clcolimo il sottospio iterseioe U W. U W : U W :. Detto = si ce U W sistem di geertori formto dl solo ettore U W = L = e di cosege dim U W = e se è BU W = { = }. Clcolimo il sottospio somm U + W. Poicé se di U è B U = { =- = } il geerico ettore di U è del tipo =. e poicé se di W è B W = {w = w = } il geerico ettore di W è del tipo w =. Di cosege il geerico ettore di U + W è del tipo: = + w = -+ + = = = Ne sege ce sistem di geertori di U + W è dto d: = - = = =. Qidi: U + W = L = - = = =. Stdimo l L.D. - L.I. di tle sistem di geertori del sottospio U + W. 67

68 Cosiderimo l mtrice A = e clcolimo il rgo. Poicé: = ; = rga = < = = - = = = soo L.D e poicé si ce e soo L.I. così ce: dimu + W = se di U + W è B = { = - = = }. Il geerico ettore di U + W è: = + + = = Ioltre poicé dimu + W = U W. F Nello spio ettorile si cosiderio i sottospi: U t t e W = Lw w w doe w = w = w = -. Determire: se di U e se di W; i sottospi U + W e U W; c per qle lore dei prmetri e k il ettore = k+k+k pprtiee U W. Solioe Determiimo se di U. Dll eqioe = + + t: 68

69 - per = = t= si = U - per = = t= si = U - per = = t= si = U Qidi se di U è B U = { } e dimu =. Per determire se di W stdimo l L.D./L.I. del sistem di geertori di W e per qesto stdimo il rgo dell mtrice A =. = ; = rg A i tre ettori w = w = w = - soo L.I. e dqe formo se di W: B W = {w w w } e dimw =. Clcolimo i sottospi U + W e U W. U sistem di geertori di U + W è dto dll isieme dei ettori di B U e B W cioè U + W = L w w w. Tli ettori soo sicrmete L.D. e tr essi l mssimo soo L.I. Determiimo qidi qti e qli soo fr essi i ettori L.I. Cosidert l mtrice A = si : 69

70 7 = rga = e qidi soo i ettori L.I. Essi soo: w B U+W = { w }. Ifie poicé dimu + W = U + W =. Clcolimo or il sottospio U W e per qesto troimo prim le eqioi di W. Si w = t w w w w W soo L.D. t t t t t t t t t t. Qidi: W = t t w e t t t t t W U. Per l relioe di Grssm si : dimu W = dimu + dimw dimu + W = + =. c Impoimo ce = k+k+k U W; dee essere:

71 7 k k k k k t. F Nello spio ettorile determire sottospio spplemetre del sottospio U L-. Solioe Iittto erificimo ce = - e = geertori di U soo L.I. e qidi se di U. Iftti cosidert l mtrice poicé = rg e i de ettori soo L.I. e costitiscoo se di U. Per determire sottospio spplemetre di U completimo l se di U i modo d otteere se di : se e soo i ettori ce completo l se di U llor il sottospio U = L è spplemetre di U. icord ce U e U soo sottospi spplemetri di se U U U U o eqiletemete se dim dim dim U U U U. A tl fie sceglimo come ettori ce completo l se di U i ettori = e = e = e =. Poicé:

72 7 i ettori e costitiscoo se di e di cosege sottospio spplemetre di U è U = L = L. F Nello spio ettorile M determire sottospio spplemetre del sottospio U = L. G. Atolori toettori tospi G Determire tolori e tospi dell mtrice A = e stilire se A è digoliile. I cso ffermtio si determii mtrice ce digoli l mtrice A. Solioe Sio e M X co X. Impoimo ce si tolore ed X toettore di A X AX Poicé dee essere X il sistem omogeeo dee mmettere solioi o li e ciò impoe ce il determite dei coefficieti si gle ero: det ; ;

73 7 Dqe l mtrice A tre tolori distiti di molteplicità lgeric gle o : m = m - = m =. Clcolimo gli tospi ssociti cisc tolore.. Clcolimo V λ doe λ =. Sostitedo el sistem si : Qidi l tospio V λ reltio ll tolore è L V V co dimv λ =. Pertto:. g m m. Clcolimo V λ doe λ = - Sostitedo el sistem si :. isolimo il sistem. Poicé rg e il sistem mmette solioi ce si ottegoo cosiderdo le prime de eqioi elle de icogite e ; si : Qidi l tospio V λ reltio ll tolore è:

74 7 L V V co dimv λ =. Pertto:. g m m. Clcolimo V λ doe λ =. Sostitedo el sistem si :. isolimo il sistem. Poicé rg e il sistem mmette solioi ce si ottegoo cosiderdo le prime de eqioi elle de icogite e ; si : Qidi l tospio V λ reltio ll tolore è: L V V co dimv λ =. Pertto:. g m m Poicé l mtrice A mmette tolori distiti ce o molteplicità lgeric gle ll molteplicità geometric l mtrice A è digoliile. U mtrice ce digoli A è l mtrice P ce per coloe gli toettori ssociti gli tolori:

75 75 P. L mtrice digole D simile d A è D. ete per digole gli tolori di A. G Determire tolori e tospi dell mtrice A = e stilire se A è digoliile. I cso ffermtio si determii mtrice ce digoli l mtrice A. Solioe Sio e M X co X. Impoimo ce si tolore ed X toettore di A: X AX Afficé tle sistem omogeeo mmett solioe o le X dee essere il determite dell mtrice dei coefficieti gle ero: Qidi l mtrice A de tolori distiti: λ = co molteplicità lgeric m = λ = co molteplicità lgeric m =