La Trasformata Z. M. Usai Circuiti digitali 3 1

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1 L Trsformt Z M. Usi Circuiti digitli 3

2 3 LA TRASFORMATA Z Per i sistemi tempo discreto l trsformt è come l trsformt di Lplce per i sistemi tempo cotiuo. Rppreset u geerliioe dell trsformt di Fourier per i segli e i sistemi tempo discreto TD). L relioe tr iput e output di u sistem tempo discreto richiede l moltiplicioe di pproprite trsformte. Per l trsformt Z possoo essere defiiti poli e eri vlori di Z che ullo rispettivmete il deomitore e il umertore dell trsformt) e le stesse utili regole e ituitivi sigificti vlidi per i sistemi tempo cotiuo. Dll trsformioe Z è fcilmete otteibile l rispost i freque del sistem e può essere mess i relioe co u pproprit trsformt di Fourier. M. Usi Circuiti digitli 3

3 L rppresetioe dei segli cmpioti i termii di L-Trsformt è dt dll relioe: ) s x T) e Ts ess cotiee i termii espoeili, ciscuo dei quli rppreset il ritrdo fiito del geerico impulso eesimo. Per otteere u form lgebric dell equioe crtteristic dei sistemi cmpioti si esegue u trsformioe dll vribile compless s u vribile : st e s l d cui: T -Ts s l T s l T ) s) xt) e xt) che prede il ome di trsformt dell fuioe xt) di cui l s) è l L-Trsformt. M. Usi Circuiti digitli 3 3

4 Cofrotdo l L-Trsformt e l Z-Trsformt: e si vede come: s) ) L { xt) } Z { xt) } xt) e -ts dt x T ) l vribile cotiu e idipedete t si sostituit dll vribile discret ; l itegrioe si sostituit d u sommtori. M. Usi Circuiti digitli 3 4

5 3. Defiiioe dell trsformt Z L trsformt dell seque x) è defiit dll relioe: ) x 3..) co vribile compless. ) L trsformt Z è defiit come trsformt Z bilter two-sided trsform), per che vri d - trsformt Z moolteroe-sided trsform), che è l stess espressioe per che vri d. x ) Quidi l trsformt Z moolter oe-sided trsform) è ust soprttutto per le sequee cusli, dove le due trsformioi soo sempre idetiche. Per l prese del fttore - è possibile che l trsformt Z coverg, che qudo l DTFT o coverge. L trsformt moolter si utili per l soluioe di equioi lle differe fiite co codiioi iiili o ulle logmete lle L-trsformte mooltere). M. Usi Circuiti digitli 3 5

6 Di seguito o srà ftt quest distiioe e semplicemete ci si riferirà ll trsformt bilter come ll trsformt Z dell x). Per l trsformt Z vlgoo le segueti proprietà: Le due versioi coicidoo se x) per <; per e jω l trsformt bilter coicide co l trsformt discret di Fourier DTFT Discrete-Time Fourier Trsform) di u seque x[], se quest esiste; etrmbe le trsformte Lplce e Fourier) soo opertori lieri: Z{ x )b x )} Z{x )}b Z{x )}. Si oti che l fuioe ) è, di ftto, u serie di Luret ell vribile compless e così tutte le proprietà e i teoremi vlidi per queste serie ell teori delle vribili complesse si pplico ll trsformt. M. Usi Circuiti digitli 3 6

7 Es: Poiché i termii dell sommtori soo moltiplicti per, è possibile che l trsformt Z coverg qudo l DTFT o coverge M. Usi Circuiti digitli [] [ ] [ 6], [ 5],, [ ] K per cui: [] [] e jω [] che coverge tre che per

8 [] [ ] [ 3], [ ], [ ] 3, [ ] [] 3, [ ], [ ] 5, 3 3 [] coverge tre che per ) e per ) M. Usi Circuiti digitli 3 8

9 M. Usi Circuiti digitli [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [] [] 6, 5 3, 4 5, 3 3,,, 3 [ ] coverge tre che per, iftti

10 [] grdio uitrio x[] u[] o è ssolutmete sommbile, iftti: u [] metre l seque - u[] è ssolutmete sommbile se > Iftti: 3 [] L Per il grdio uitrio l trsformt esiste co u ROC > M. Usi Circuiti digitli 3

11 M. Usi Circuiti digitli 3 ALTRI ESEMPI L serie può essere espress: per > e l serie Esempio [] [] [] [] u u x Coverge per < per cui deve essere > Im Re ROC

12 Esempio Im [ ] [ ] x u [ ] [ ] u ) Re ROC / coverge se / < < M. Usi Circuiti digitli 3

13 M. Usi Circuiti digitli 3 3 Esempio 3 [] [] [] [] u u x L ROC è defiit per / - < e /3 - < ossi per > / e > /3. L prim codiioe le verific etrmbe.

14 M. Usi Circuiti digitli 3 4 Esempio 4 [] [] > x L K L ROC è defiit per > mx,, )

15 Regioe di coverge Per defiire l regioe di coverge occorre teer presete che ess: o può coteere lcu polo, iftti per defiiioe l trsformt o coverge i corrispode di u polo ed è limitt d poli o d eri o d ifiito. Per dimostrre ciò si possoo fre le cosiderioi riportte di seguito. M. Usi Circuiti digitli 3 5

16 Per verificre che l regioe di coverge è limitt d poli si cosideri d prim il cso u seque moolter destr e ssumimo che i poli sio,,., N, essedo N il polo cui corrispode l mpie mggiore. Per semplicità si ipoti che i poli sio tutti semplici, poiché l dimostrioe é fcilmete geerlibile. Quidi per > defiito, l seque cosiste i u sommtori di espoeili dell form: N x A, > ) L regioe di coverge è determit dll isieme dei vlori di per i quli l seque x) - è ssolutmete sommbile. M. Usi Circuiti digitli 3 6

17 Poiché u seque moolter destr dell form ) é ssolutmete sommbile per > N, m o per < N. Ciò implic che l seque x) h u regioe di coverge defiit per > N, cioè è limitt ll itero dl polo co mpie mggiore e ll estero dll ifito. Im) R ple r - Re) b c ) Right-sided x) M. Usi Circuiti digitli 3 7

18 Im) Z ple R r Re) b c b) Left-sided x) Co procedimeto logo si dimostr che per l seque moolter siistr l regioe di coverge è limitt ll estero dl polo co mpie miore e ll itero d, se o >, metre coverge che i qudo o, essedo l seque ticusle. M. Usi Circuiti digitli 3 8

19 Per u seque bilter lcui dei poli soo reltivi idici e l restte prte idici. L regioe di coverge srà limitt: ll itero dl polo co mpie mggiore reltivo idici co e ll estero dl polo co mpie miore reltivo idici co. r Im) ple r - Re) R b c c) Two-sided x) M. Usi Circuiti digitli 3 9

20 Regioe di coverge I geerle l serie ) coverge solo per certi vlori di, ossi: e jω - ) coverge se: x) < - x) ossi se è verifict l codiioe di ssolut sommbilità. Osservioi:. L Z{} può essere pplict d u clsse di sequee più mpi rispetto ll Trsformt Discret di FourierDTFT);. Se c è coverge per e jω o, l serie coverge i tutti i puti dell circofere di rggio e cetro ell'origie; 3. Clcolre l Trsformt Discret di Fourier DTFT) equivle vlutre l Z{} sul cerchio uitrio. M. Usi Circuiti digitli 3 e -jωj

21 Sequee biltere geeriche Two-Sided Trsform): l regioe di coverge R per ), se esiste, è u ello ulre ulr rig) el pio dell form: r - < < r ; 3...) r - e r devoo essere icluse elle specificioi di ) ffiché l trsformt di si completmete defiit. Le quttro possibili forme dell R soo illustrte ell figur successiv. M. Usi Circuiti digitli 3

22 R Im) r - Re) ) Right-sided x) r Im) r - R c) Two-sided x) Re) Im) R r Re) b) Left-sided x) Im) R Re) d) Fiite-Durtio x) Si oti che ei csi riportti elle figure b) e d), il limite iferiore dell ROC é: r -, metre ei csi riportti elle figure ) e d), il limite superiore dell regioe di coverge è: r. L ROC può, o o può coteere o, rispettivmete. Per esempio el cso) si può vere: r - < < oppure r - < metre el cso b): < < r oppure < r. Tutti i quttro csi diveto gli stessi se r - e se r : i tl cso x) coverge ovuque, ftt ecceioe per e/o. M. Usi Circuiti digitli 3

23 Tutti e quttro i csi corrispodoo lle segueti codiioi el domiio del tempo: Sequee mooltere destre Rigth-sided sequeces): U seque x) che soddisf l codiioe: x) < co defiito, è chimt seque moolter destr rigth-sided sequece). x ) L su trsformt Z è quidi dell form: e, se coverge per r, ess coverge per tutti gli > r co possibile ecceioe per, come illustrto i figur 3.). I prticolre se <, l trsformt cotiee il termie o e quidi o coverge per. Comuque, se, l seque è cusle e ) coverge per. L'ultimo cso è prticolrmete utile poiché, se l regioe di coverge R cotiee, si deduce immeditmete che l seque è cusle. M. Usi Circuiti digitli 3 3

24 Sequee mooltere siistreleft-sided sequece): U seque x) che soddisf l codiioe: x) >, per u certo vlore di, è chimt seque moolter siistr left-sided sequece). L su trsformt è quidi dell form: ) x ) e se coverge per r, coverge per tutti i < r co possibile ecceioe per, come illustrto per i fig. 3.b). I prticolre, se >, llor ) cotiee il termie - o e quidi o coverge per. Comuque, se, l seque è ticusle, e l su trsformt coverge per. M. Usi Circuiti digitli 3 4

25 Seque bilter two-sided sequece): Se u seque x) o è è moolter destr é moolter siistr, e o h lughe fiit, è chimt seque bilter, e l regioe di coverge R per ) è dell form mostrt i fig. 3.c), mmesso che esist. Seque di durt fiit Fiite-legth sequece): Se x), < e >, è evidete dll defiiioe dell trsformt, che ) è coverge ovuque tre che per e/o per, vedi fig.3. d). I prticolre, se, llor x) è ticusle, e ) coverge per. Se d'ltro cto, llor x) è u seque cusle, e ) coverge per. M. Usi Circuiti digitli 3 5

26 Fuioi rioli i U importte clsse delle trsformte Z è quell delle fuioi rioli ), cioè rpporto di poliomi i. Le rdici del poliomio umertore soo chimti eri di ) poiché per questi vlori di, ) è ugule ero. Le rdici del poliomio deomitore soo chimti poli di ), poiché ) è ifiit per questi vlori di. I poli giccioo ll'estero dell regioe di coverge L ROC iftti è delimitt di poli o d ifiito. Più precismete, l regioe di coverge ROC è delimitt dl più piccolo e/o dl più grde polo di ). Gli eri possoo turlmete trovrsi i u puto del pio quluque. M. Usi Circuiti digitli 3 6

27 U tipico digrmm poli/eri è mostrto ell figur seguete. Il cerchio uitrio h u sigificto specile, come mostrto di seguito. Im) uit circle Im) Re) - - Re) ) Cusl with < ) b) Aticusl with > ) Le precedeti defiiioi e cosiderioi soo riportte per i segueti segli: Impulso Impulse): per x) δ ), si h semplicemete; ) per 3..3) e quidi ) coverge ovuque, essedo: ) x) M. Usi Circuiti digitli 3 7

28 Impulso ritrdto Delyed Impulse): per x) δ - d ) co d >, ) d per < 3..4) metre per x) δ ) co >, ) per < 3..5) Grdio uitrio Uit Step): per x) u), si h:, per > e quidi ) h u sigolo polo per. Moltiplicdo umertore e deomitore per, possimo cor scrivere )come:, per > dove si vedere che ) h uo ero per. 3..6) M. Usi Circuiti digitli 3 8

29 M. Usi Circuiti digitli 3 9 Seque espoeile expoeil sequece) : per l espoeile cusle x) u), 3..7) coverge per, ) ) > ) h u polo per e uo ero per come mostrto i figur 3.). D ltro cto, se x) - u--), che è ticusle, < coverge per, / / ) ) Questo digrmm poli/eri è mostrto i figur 3.b). Si vede l ecessità di idicre l regioe di coverge i ), ltrimeti le trsformte di queste due diverse sequee i 3..7) e 3..8) dovrebbero essere esttmete le stesse. Nell tbell successiv soo riportte le trsformte di sequee comui. 3..8)

30 M. Usi Circuiti digitli 3 3 [ ] [ ] [ ] [ ] r r r r u r r r r r u r u u u u u u u m m m m m m > > > > > < > < > < > > > cos si si cos cos cos cos si si cos cos cos,, ll ROC Z - Trsformt Seque ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω δ δ δ

31 Osservioi Per vere corrispode biuivoc fr sequee e trsformte occorre specificre l regioe di coverge R oppure ROC); Le trsformte di iteresse soo i geere fuioi rioli reli dell vribile - ) o dell ). M. Usi Circuiti digitli 3 3

32 3.. Trsformt ivers o titrsformt Spesso si possoo lire segli o progettre sistemi tempo discreto usdo le loro trsformte, se dover ricovertire le trsformte lle sequee corrispodeti. M quest coversioe è tlvolt volut o ecessri e prede il ome di trsformioe ivers, o titrsformt. L defiiioe formle dell trsformt ivers è cocettulmete semplice, m tlvolt scomod d usre. I prticolre, per le trsformte di fuioi rioli si ho metodi più semplici per ivertire l trsformt. M. Usi Circuiti digitli 3 3

33 M. Usi Circuiti digitli 3 33 Per determire l'espressioe dell titrsformt si utili il teorem dell itegrle di Cuchy dell teori delle vribili complesse, che stbilisce che: 3..),, Γ d j π dove Γ è il cotoro di itegrioe i seso tiorrio, compredete l origie percorso che cotiee l origie). Quidi per ricvre x) d ), si moltiplico etrmbi i membri dell 3..) per - /πj e si itegr lugo u opportuo cotoro Γ i R per otteere: ). ) ) ) x d j x d x j d j Γ Γ Γ π π π

34 Quidi l trsformt ivers è dt d: x ) d, πj Γ 3..) dove Γ è u cotoro i seso tiorrio ell regioe di coverge di ), compredete l origie. Si s che u opportu Γ compredete l origie può sempre essere defiit, poiché R è u ello cetrto ell origie. M. Usi Circuiti digitli 3 34

35 M. Usi Circuiti digitli 3 35 Nel cso geerle, dove ) è u fuioe riole di, il teorem del residuo di Cuchy stbilisce che x) può essere vlutt ttrverso l formul: 3..3), ) i i x ρ dove i ρ i soo i residui di ) - dei poli ll itero di Γ. Per mettere i evide i poli per p i si scrive esplicitmete 3..4), ) ) ) i i p φ e il residuo per i p i è dto d 3..5) ) )! p i i i d d φ ρ e quidi [ ] ) ) ) essedo ) ) )! i i i i p d p d φ ρ Molto spesso, e i tl cso l 3..5) divet semplicemete 3..6) ). i i i p ρ φ

36 3.3. Trsformt ivers per le sequee cusli Se l regioe di coverge iclude, cioè se R è dell form > r, l seque è cusle. Se ioltre ) è u fuioe riole di, llor x) può essere otteut molto più semplicemete, co l uso diretto delle defiiioi formli dell trsformt ivers, 3..) oppure dell 3..3). I prticolre, ) può essere espress come il rpporto di due poliomi dell form N ) D ) M m N b m m, > r, 3.3.) Per ivertire l trsformt si possoo usre i metodi vlidi per le fuioi rioli riportti di seguito. M. Usi Circuiti digitli 3 36

37 METODI PER CALCOLARE LA TRASFORMATA INVERSA Esistoo diversi modi per clcolre l trsformt ivers; i più comui soo riportti di seguito: Metodo per ispeioe: Si utilio ll'iverso le tbelle seque-trsformt: Metodo dell divisioe lug Log Divisio) Prtedo dlle potee di vlore -, si divide N) per D) per esprimere ) ell serie di potee origile 3..) cioè:... N N x) x) b b x)... b... M Le x) soo quidi otteute direttmete come i coefficieti dell serie di potee risultte d ). M. Usi Circuiti digitli 3 37 M 3.3.) Qudo il umertore è u poliomio di grdo mggiore rispetto l deomitore, occorre porre l fuioe riole i form propri, i modo che il grdo del poliomio l umertore risulti miore del grdo del poliomio deomitore.

38 M. Usi Circuiti digitli Metodo per ispeioe: Come ell trsformt di Lplce, si f uso delle tbelle delle trsformte dirett e ivers. Es: [] u > Es: ROC > Poli: / / C C C C C C C C C 3 C [] [] u x u >

39 M. Usi Circuiti digitli 3 39 [] Es: Polo: [ ] [ ] x > ROC 3 3δ < > > > > co m ) co m ) -m -m m m u δ δ

40 Metodo dell scomposiioe o espsioe i fuioi rioli elemetri, o frioi prili Prtil Frctio Expsio) o frtti: Se M < N e l ) o h poli multipli, ess può essere sviluppt i frioi prili dell form: M m b m N N A m, > r N D p 3.3.3) dove p soo i poli di ). M ciscu termie dell 3.3.3) è proprio l trsformt di u seque espoeile, e quidi l trsformt ivers di per ) è dt d x ) N K A p u ) ) M. Usi Circuiti digitli 3 4

41 Se M N, si divide N) per D), prtedo dlle potee più lte di - per otteere C M N... C... b C M N N M N... bm b R ) D ) 3.3.5) Il poliomio resto R) è dell ordie di M N- o miore. Quidi R)/D) può essere sviluppto i u espsioe i frioi prili come prim e Z) risult: MN N N i A C, > r i D p i 3.3.6) M N x ) C δ i i i) N A ' p u ). M. Usi Circuiti digitli 3 4

42 M N N N R i A Q C, > r i D D p i Il poliomio resto R) è dell ordie di M N- o miore. Quidi R)/D) può essere sviluppto i u espsioe i frioi prili come prim e x) risult: x ) M N C δ i i i) N A ' p u ) ) L ROC regioe di coverge) di ) è l'iterseioe delle ROC i dei sigoli termii dell sommtori. u δ m) co m > -m > > δ m) co m > -m < M. Usi Circuiti digitli 3 4

43 Fuioi Rioli i U gr prte delle trsformte-z i uso, soo costituite d fuioi rioli del tipo: N Co N) e D) poliomi i D Spesso si defiisce l form equivlete i - ZERI : rdici di ) soo i vlori di tli che ) POLI : rdici di D) soo i vlori di tli che ) per i quli ) preset discotiuità L ROC è delimitt dl modulo del più piccolo e/o del più grde polo di ) Es: ) 3 3) ) Im) - 3 eri : Re) 3 poli : I bse ll ffermioe precedete si ho tre possibili regioi di coverge: < miore del polo più piccolo < < 3 compreso tr il più piccolo e il più grde > 3 mggiore del polo più grde M. Usi Circuiti digitli 3 43

44 M. Usi Circuiti digitli 3 44 Espsioe i frioi prili Esseilmete è l stess utilit per le trsformte di Lplce. Alcue differee si ho qudo si us - N M N N M M M N N N M M M N N M d c b b b b si h che: per qulsisi M, N o si ho poli per Se M < N si ho N M eri i Se M > N si ho M N poli i I geerle: [] D R Q D N Q ) quoiete dell divisioe fr N - ) e D - ) R ) resto dell divisioe fr N - ) e D - ) dove: Se M < N Q ) Se M > N Q ) esiste e può essere ti-trsformto per ispeioe somm di impulsi), metre R )/D - ) è l fuioe riole propri

45 Espsioe i frioi prili Se l fuioe riole è propri grdo del umertore < grdo del deomitore): N d Poli semplici A d ) A per fuioi coefficieti reli, poli e residui soo complessi coiugti Poli multipli r distiti co molteplicità m r A A m d d ) d ) L Poiché l ROC di ) deve essere l iterseioe dell ROC dei sigoli termii friori, llor usulmete risult < <, co e opportui A m d A d A d u se d < ) se d A d u > M. Usi Circuiti digitli 3 45

46 M. Usi Circuiti digitli 3 46 Espsioe i frtti semplici Solo per ) fuioi rioli [ ] [ ]! ; r m d d d A d A d A d A m L N M N N M M M N N M d c b b b Per poli semplici d r d A d A ; Formul per determire i residui Per poli multipli

47 Metodo per espsioe i serie di potee Se ) o è u fuioe riole di, l su trsformt Z ivers x) può che essere otteut dllo sviluppo i serie di potee di ). Per otteere lo sviluppo i serie di potee i - Es: Si f l divisioe secodo il procedimeto illustrto: / - ) Per cui: M. Usi Circuiti digitli 3 47

48 3.4. Proprietà dell trsformt Z Le segueti importti proprietà dell trsformt soo fcilmete deducibili dlle sue defiiioi. Lierità Lierity) L trsformt di u somm pest di sequee ugugli le corrispodeti somme peste delle trsformte cioè: w) x) by) implic che : W) ) by), R w R x R y ), 3.4.) dove le otioi riportte soo stte uste per idicre che l regioe di coverge di W), cotiee l iterseioe di quelle di ) e Y). R w è più grde di R x R y soltto se u polo sul cotoro di R x o R y è ullto d uo ero otteuto ell somm pest. M. Usi Circuiti digitli 3 48

49 Trslioe el tempo. Ritrdo e Aticipo Dely o Advce) Per w) x - d ), W) -d ) 3.4.) co R w coicidete co R x ftt ecceioe, possibilmete, per e. Poiché u ritrdo di d comport che ) si moltiplicto per - o vicevers, - è tlvolt cosiderto come l opertore di ritrdo uitrio uit dely opertor). Allo stesso modo u ticipo di - geer : W) ) 3.4.3) e è tlvolt chimto opertore di ticipo uitrio uit dvce opertor) M. Usi Circuiti digitli 3 49

50 Covoluioe di sequee Se llor w W) )Y), R w R x R y ) 3.4.4) L regioe di coverge di W) è più grde dell iterseioe di ) e Y) solo se u polo sul cotoro di uo è ccellto d uo ero dell ltro. Moltiplicioe di sequee Se si moltiplico due sequee x) e y): w) x) y), x y cioè l corrispodete trsformt è dt d: W π j Γ Y v) v v 3.4.5) M. Usi Circuiti digitli 3 5 dv w x ) y ) co u regioe di coverge che comprede lmeo: r x- r y- < < r x r y.

51 Moltiplicioe di sequee Se si moltiplico due sequee x ) e x *): l corrispodete trsformt è dt d: W πj Γ * ) v v dv 3.4.5) * v co Γ compreso ell ROC[ v)] ROC[ /v*)] M. Usi Circuiti digitli 3 5

52 Dll teori dei sistemi cotiui el tempo, si h che l moltiplicioe i u domiio implic l covoluioe ell ltro, e si è già visto che ciò è vero per l covoluioe di sequee. Si può iftti esprimere l 3.4.5) come u form di covoluioe ttrverso il cmbio di vribili v ρ e jφ e r e jθ co i rggi ρ e r giceti i R w. I prticolre se R w cotiee il cerchio uitrio, si può scegliere ρ r e l 3.4.5) divet jθ π j θ φ ) φ W e ) Y e ) e ) dφ 3.4.6) π π che è u covoluioe di e jθ ) e Ye jθ ) cosiderte come fuioi di θ. Poichè e jθ è periodico i θ co periodo π, e jθ ) e Ye jθ ) lo soo che loro, e l 3.4.6) è u form dell 3.4.5) sviluppt su u cerchio el pio e che chimt covoluioe circolre circulr covolutio). Coiugioe compless Se y) x*), si può dimostrre che: Y) **), R y R x 3.4.7) Quest proprietà è utile per derivre ltre importti proprietà, comprese le segueti. M. Usi Circuiti digitli 3 5

53 Moltiplicioe per u seque espoeile x ) l regioe di coverge R R) i scl costte Se p è u polo di ), llor p è u polo di ; Se èrele poli e eri si sposto rdilmete; Se e Jωo poli e eri ruoto di ω trslioe i freque ell DTFT ); Se jb complesso si verifico etrmbi gli effetti. Covoluioe di sequee x)*y) ) Y) R cotiee R) RY) Derivioe i d x) d RR) eccetto per o per. M. Usi Circuiti digitli 3 53

54 Rovescimeto del tempo x-) /) R/R) Vlore iiile iftti u seque destr divet siistr e vicevers. Se x) < llor x) lim Rissumedo:. b. c. d. e. Seque x*) x-) x) x) x) per x) cusle Trsformt **) /) /) d d lim M. Usi Circuiti digitli 3 54

55 M. Usi Circuiti digitli 3 55 Relioe di Prsevl L eergi totle i u seque x) è defiit come: 3.4.8) ) x E Poedo w) x) x*) x), si h immeditmete che se E è fiito, W) deve covergere per, poiché E W). M dll 3.4.6) e dll 3.4.7) si h 3.4.9) ) ) ) * ) φ π φ π π π φ φ π π φ d e d e e W E j j j Combido le due relioi 3.4.9) e 3.4.8), si ottiee l relioe di Prsevl: 3.4.) ) ) φ π π π φ d e x j