Teoria delle distribuzioni Parte prima Concetti di base

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1 Lezioi di Mtemtic Le distribuzioi prte Teori delle distribuzioi Prte prim Cocetti di bse L ecessità di u uov teori L teori delle distribuzioi trov l su origie dlle scieze fisiche. Iftti, già dgli lbori delle teorie sull elettromgetismo si è vvertit, d esempio, l ecessità di trovre modelli deguti per descrivere l desità di cric elettric i fuzioe delle coordite spzili. I certi problemi risult comodo pesre le sorgeti di cric come putiforme (ossi, tutte codeste i u puto dello spzio, che duque ssume vlore di cric fiit e o ull), m queste situzioi o ero correttmete formulbili i modo litico perché o vi ero strumeti mtemtici (ossi fuzioi) i grdo di rppresetre vlori di grdezze di tur putule sez essere discotiui. Tuttvi, l fisic h ivetto e utilizzto l otzioe d per idicre u grdezz defiit putulmete e ull ltrove, dott di certe proprietà che, però, o soo vlide dl puto di vist dell mtemtic clssic. Negli i qurt è stt strutturt u teori mtemtic che potesse crtterizzre, formlmete e opertivmete, l uso dell otzioe d e di ltri oggetti, che chimeremo distribuzioi. L teori delle distribuzioi deve il suo sviluppo Schwrtz e Sobolev, ed è oggi di grde utilità prtic i svriti cmpi del spere e dell igegeri, come ell elettromgetismo, ell fisic qutistic, ell sttistic, ell teori del filtrggio e dell elborzioe dei segli, elle comuiczioi elettriche,ecc I puti deboli dell teori clssic dei segli L teori clssic dei segli/fuzioi cde i corrispodez di lcui puti crdie: isult impossibile derivre le fuzioi discotiue sez perdere iformzioe sulle fuzioi stesse No è possibile defiire l trsformt di Fourier e di Lplce per tutti i segli, cus dell richiest di sommbilità sul segle d trsformre, che o è sempre soddisftt No ci soo legmi rigorosi tr serie e trsformt di Fourier, dl puto di vist teorico Le teorie sui segli tempo cotiuo e tempo discreto soo due cose differeti se viste i seso clssico Queste motivzioi o soo le uiche che porto ll ecessità di defiire u teori degut per le distribuzioi: E ecessrio defiire soluzioi deboli per certe equzioi differezili lle derivte przili

2 Lezioi di Mtemtic Le distribuzioi prte Fuzioi test e loro spzio Co segle si itede ogi grdezz che vri i fuzioe di u vribile idipedete, che ssumeremo (per fissre le idee) essere il tempo t. Duque vremo dei segli s(t) defiiti i seso clssico : ossi, esmiimo di questi segli il vlore putule, cioè il vlore che essi ssumoo puto per puto. Iizimo co il defiire u segle s(t): Ø oppure C per semplicità, pesimo il segle fuzioe di u vribile sclre t e vlori reli (ull viet di ripetere, però, l trttzioe per segli di vlori complessi o vettorili reli o complessi). k Ci mettimo ell ipotesi che il segle s(t) pprtiee llo spzio C (), ossi bbi derivte cotiue sio ll ordie k-esimo (l derivt di ordie 0 è il segle stesso). Ioltre, defiimo supporto del segle s(t) l isieme D defiito come H := { t e : s(t) 0 } Ossi il segle è ullo l di fuori dei puti di D. Quest proprietà è importte per defiire il cocetto di distribuzioe, come si vedrà più vti. Ftte queste debite ipotesi, itroducimo lo spzio vettorile delle fuzioi test j(t) D := { j(t) :ØC, j(t) e C () e supporto itto } Dove co supporto itto itedimo che l isieme H è chiuso e itto. I reltà, per defiire le distribuzioi è ecessrio, volt per volt, ridiscutere le proprietà delle fuzioi test (per i meotivi che si vedro), m i geerle bst ipotizzre che esse bbio supporto itto e sio idefiitmete derivbili i mier cotiu per vere u bse comue di lvoro, vlid i ogi cso. L distribuzioe delt L delt di Dirc, o più semplicemete delt, è improprimete defiibile come u oggetto mtemtico che modellizz u segle/grdezz di vlore ifiito e diverso d zero solo el puto t = 0, che gode dell proprietà + δ ( t) dt = δ ( t) = Quest defiizioe, i seso clssico, è evidetemete errt, perché: ) l delt o è u fuzioe, i quto è ull qusi ovuque (ossi meo di isiemi di puti t misur ull) e h vlore ifiito i t = 0: questo ci port cocludere che l iformzioe utile che ess rec è proprio ell su discotiuità ell origie, e duqe o l possimo trttre come l fuzioe ovuque ull, defiit meo del puto t = 0, perché questo ci porterebbe perdere proprio l uico puto iteresste dell delt;

3 Lezioi di Mtemtic Le distribuzioi prte ) l itegrle o vle si che lo itedimo el seso di iem che i quello di Lebesgue. Iftti, el primo cso è ecessrio escludere lo zero dll itervllo di itegrzioe, per poter itegrre: questo port d vere itegrle ullo su -{0}. Nel secodo cso, l itegrle è fttibile, perché l discotiuità è uic e duque l isieme dei puti di discotiuità h misur ull, m è ideticmete ullo. Duque, i reltà, l scrittur itegrle vist prim o h seso. Come si giustific, duque, l delt? E ecessrio itedere l delt, come ogi ltr distribuzioe, o come u fuzioe, di cui è possibile esmire il comportmeto putule, m come u oggetto d esmire i relzioe ll effetto che iduce su u ltr fuzioe. Quest fuzioe deve vere certi requisiti perché si possibile che l itegrle coverg: questo scopo, predimo le fuzioi test j viste prim. Questo effetto è defiito come dulità tr l delt e u fuzioe, e si idic co l scrittur legger (brket) < δ, ϕ >=< δ ϕ >= δ (t) ϕ(t)dt duque l effetto dell delt sull fuzioe test j è l itegrle dell delt cotro l stess fuzioe j, ossi u specie di medi itegrle : ciò cofort l precedete ide, secodo l qule è ecessrio strrre dl cocetto di vlore putule e pssre l cocetto di vlore itegrle medito per defiire le distribuzioi. Per l delt ccde che < δ, ϕ >= ϕ(0) e ciò è dimostrbile clcoldo l itegrle dell delt cotro j, il che i geerle o è immedito. Iftti, come riuscimo portre vti il clcolo esplicito dell dulità, se ess preset sotto il sego di itegrle l delt stess? Srà llor ecessrio ricorrere d u pprossimzioe dell delt ttrverso u successioe { δ } di fuzioi, di modo d costruire l delt come < δ, ϕ >=< δ, ϕ >=< δ, ϕ > + + se ovvimete si h covergez (rest d precisre il seso dell covergez) ll delt. L prim ugugliz è ver cus delle proprietà delle distribuzioi, che vedremo oltre. isult ovvio (lo si dimostr co u semplice cmbio di vribili) che ccd che < αδ ( t t0), ϕ >= α δ (t - t 0) ϕ(t)dt = αϕ(t 0), e C Ci soo vri modi di pprossimre l delt e di clcolre l itegrle di dulità: e esmiimo lcui. 3

4 Lezioi di Mtemtic Le distribuzioi prte Il modo più iteresste è forse cosiderre il ftto che, se + < f, ϕ >=< f, ϕ >=< f, ϕ > + llor ccde che che + < f ( ), ϕ >=< f, ϕ >=< f, ϕ > I + cioè: se è oto che u successioe { f } h ite f, llor l su successioe derivt { f } (I ) h ite f. Vedimo l delt come l derivt (che se o i seso clssico) dell fuzioe sclio H(t), così defiit H(t) := 0 t < 0 t > 0 che, si oti, o è cotiu perché o è defiit ell origie. Idelmete, pesimo lo sclio come u segle che h u vrizioe di pedez ifiit ell origie, e ull ltrove. Per questo motivo, l su derivt i seso clssico o esiste per t = 0, m solo per t 0, e vle 0. Se ipotizzimo di vere u successioe di fuzioi cotiue che l ite covergoo llo sclio, llor l successioe delle derivte di queste fuzioi covergerà ll derivt dello sclio, che sppimo essere u distribuzioe: duque dovremo esmire il ite delle dulità tr quest successioe e u opportu fuzioe test, e questo dovrà essere esttmete l effetto dell delt sull fuzioe di test, ossi il suo vlore ell origie. L scelt dell successioe pprossimte lo sclio è rbitrri: per esempio, sceglimo u { H }:= 0 t 0 t 0 < t < t 4

5 Lezioi di Mtemtic Le distribuzioi prte co derivt 0 t 0 I { H ( ) }:= 0 < t < 0 t d cui si desume u picevole proprieà: l re dei rettgoli che pprossimo l delt è sempre uitri. Questo comportmeto deve permere che l ite: è per questo che l itegrle dell delt deve essere. Or clcolimo l dulità, utilizzdo le crtteristiche delle fuzioi test, di cui l solito dimo supporto [-, ] tle per cui ϕ () = ϕ ( ) = 0, e l ozioe di itegrzioe per prti. Otteimo = r H H ϕ ϕ( t) dt = ( t) dt = H 0 ϕ ϕ( t) dt = relzioe che risult ver qulsisi successioe { ( t) dt = ( ϕ( ) ϕ(0)) = ϕ(0) H H ϕ ( t) dt + } pprossimte lo sclio. [ H ϕ( t) ] Altri modi di costruire l delt di Dirc: come ite di successioi di fuzioi trigolri, rettgolri, prboliche,ecc di re uitri e cetrte ell origie; oppure come = π + t ; si( t) π t ; x e π 5

6 Lezioi di Mtemtic Le distribuzioi prte oppure i form itegrle come iαt e solo se vist come trsformt di Fourier. dα, che se quest ultim risult dimostrbile L delt è il mttoe fodmetle su cui si costruisce tutt l teori delle distribuzioe, ll qule è or ecessrio dre u iqudrmeto formle. Nei pssggi fior icotrti si soo supposte, per semplicità d esposizioe, come tcitmete verificte certe operzioi, che i reltà drebbero dettglitmete verificte: si pesi d esempio l sigificto dell covergez delle successioi { δ } ll delt, oppure llo scmbio il pssggio dell operzioe di ite sotto il sego di itegrle. E utile seglre u pio di proprietà dell delt, che verro utili i seguito. Accde, iftti che δ ( αt) = δ ( t) α e quidi che t δ ( ) = αδ ( t) α il che è vero α, e discede dll cosiderzioe che, idelmete, l itegrle dell delt deve essere uitrio (lo si verific fcilmete clcoldo le rispettive dulità co u cmbio di vribile). 6