LA RIVELAZIONE NON COERENTE

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1 LA RIVELAZIOE O COEREE Il problea della rivelazione. Il segnale che si presenta all'ingresso del ricevitore è costituito da una replica del segnale inviato dal trasettitore eventualente distorta per eetto del canale di trasissione e corrotta da disturbi ed intererenze. ei sistei di odulazione M -ari, co è noto, l'inor- M azione trasessa è associata ad un insiee di M siboli { a } =. elle odulazioni prive di eoria, cui si a rieriento, il segnale trasesso, nel generico intervallo di sibolo di durata, dipende dal corrispondente sibolo a ; esso è pertanto costituito da una ora di segnalazione s (t, appartenente ad un insiee coposto da M eleenti, scelta in corrispondenza uno ad uno con il sibolo da trasettere. Inoltre, supponendo di poter trascurare ogni inluenza ra i siboli trasessi, la rivelazione può essere eettuata sibolo per sibolo. Si può ar allora rieriento all'intervallo [, corrispondente alla rivelazione del sibolo di posto nella sequenza trasessa. Ciò coporta che il segnale ricevuto può di conseguenza essere posto nella ora: (. rt ( = αs ( t t + nt ( ( t< aesso che il trasettitore abbia inviato la segnalazione s (t. ella (. si è supposto che il segnale in arrivo sia attenuato (si suppone α <, ritardato di una quantità t e corrotto da un ruore additivo n(t che, in quel che segue, si suppone gaussiano, a edia nulla e stazionario (in senso lato aleno ino al secondo ordine. enendo presente che il segnale trasesso è di tipo passa-banda il cui spettro si suppone centrato attorno alle requenze ±, essendo la requenza della portante, il segnale rt ( può essere riscritto introducendo la rappresentazione coplessa usando coe requenza di rieriento. In altri terini, denotando con rt ( s (t e nt ( gli inviluppi coplessi dei segnali rt (, s (t e del ruore nt ( si ha: (. j t j t j t rt ( = Re rte ( π s( t = Re s ( te nt ( = Re nte ( e quindi la (. si può scrivere coe segue: (.3 Re j π t j π t j π t j π t rte ( = Re αs ( t t e e + Re nte ( t < e cioè: (.4 rt ( =αs j ( t t e + nt ( t < dove si è posto ϕ = π t. Perché il segnale possa essere correttaente rivelato occorre conoscere e il ritardo t e la ase ϕ. In quel che segue si suppone che il ricevitore sia sincronizzato al trasettitore per cui il ritardo t si suppone noto. uttavia lo stesso non può dirsi per quanto concerne la ase perché, a causa degli elevati valori della requenza della portante, un errore nella stia del ritardo, anche se di odesta entità, produce un errore elevato nella ase ϕ. Inoltre la ase ϕ può variare anche per eetto di un instabilità dell oscillatore usato in tra-

2 - G. Maola: Lezioni di Copleenti di Counicazioni Elettriche sissione. Per questi otivi non è sepre possibile ritenere noto il valore della ase ϕ. Quando ciò si veriica, si parla di rivelazione (o deodulazione non coerente; in contrasto con la rivelazione (o deodulazione coerente che si veriica quando tali paraetri sono esattaente noti al ricevitore. Da un punto di vista concettuale è utile considerare il ricevi- rt ( {} r sˆ ( t = Deodulatore Rivelatore tore coe coposto da due Fig. Schea di principio di un ricevitore. eleenti in cascata (v. Fig. : a il deodulatore che ornisce in uscita un insiee nuerabile di variabili aleatorie { r } = a partire dalla conoscenza del segnale ( rt con t [, ; b il rivelatore che ornisce una stia del dato trasesso sulla base delle osservazioni { r } =. Stia del segnale trasesso. L inviluppo coplesso del segnale in arrivo al ricevitore si può scrivere coe segue ( : j (. rt ( = s ( te ϕ + nt ( t < in cui la ase ϕ si considera una variabile aleatoria, con densità di probabilità p ϕ ( ϕ, indipendente dalla segnalazione trasessa e dal ruore additivo supposto gaussiano. Sia S { (} = u i t i= (con M un insiee inito di unzioni coplesse linearente indipendenti, coninate in [,, che costituisce una base copleta per le segnalazioni { s ( } M t =. Le unzioni { u ( } i t i= inoltre si suppongono ortonorali e cioè tali che si abbia: r = s (. u r( t u s( t dt = r s Ogni unzione s ( t può allora essere espressa coe cobinazione lineare delle unzioni dell insiee S. La proiezione di rt ( ortogonale al sottospazio S allora vale: (.3 r ( t = r u ( t t < dove i coeicienti r sono dati dalle: jϕ r ( ( ( ( = ( ( (.4 r t u t dt= e s t u t dt n t u t dt + = jϕ = e s + n in cui si è posto: (.5, =, = s s ( t u ( t dt n = n ( t u ( t dt È da tener presente che i coeicienti { r } = Le coponenti dipendono dal valore della ase ϕ. n sono delle variabili aleatorie gaussiane a valori coplessi, in quanto ( Si è considerato il ricevitore sincronizzato al trasettitore per cui è t = e si è posto inoltre per seplicità α=.

3 La rivelazione non coerente ottenute con operazioni lineari da segnali gaussiani. Esse costituiscono un vettore aleatorio a valori coplessi n di diensioni la cui statistica dipende soltanto dal vettore dei valori edi e dalle correlazioni ra le variabili aleatorie n. A tal ine, se il ruore all ingresso si suppone a edia nulla e bianco con densità spettrale pari a, ricordando le proprietà dell inviluppo coplesso di un ruore bianco, si ha: E n = (.6 { } Inoltre è: (.7 e: { } { } r r s ( ( r( s( E n n = E n t n t u t u t dt dt = = δ( t t u ( t u ( t dt dt = s = r s r s = u ( t u ( t dt = r s r s r s (.8 { } { } E nn = E nt ( nt ( u ( t u ( t dtdt = per cui, ricordando la proprietà sui nueri coplessi già utilizzata al Cap., le correlazioni associate alle parti reali e alle parti iaginarie delle n sono: r = s E{ Re[ n r] Re[ n s] } = ( Re n [ ] rn s + Re n rn s = r s r = s E{ I[ n r] I[ n s] } = [ ] (.9 ( Re n rn s Re n rn s = r s E{ Re[ n r] I[ n s] } = ( I n I[ ] rn s + n rn s = E{ I[ n r] Re[ n s] } = ( I n I[ ] rn s + n rn s = Il vettore delle parti reali n e quello delle parti iaginarie n q costituiscono due vettori a valori reali ad diensioni congiuntaente incorrelati; inoltre le coponenti di n, coe pure quelle di n q, sono incorrelate ed hanno la stessa varianza. La statistica del vettore coplesso n = n + jn q è deinita dalla: (. pn ( n = pn, n ( n, n q q e cioè dalla statistica congiunta del vettore delle parti reali e dei coeicienti delle parti iaginarie di n. Ricordando i risultati sopra ottenuti, si ha: (. n pn ( n = exp ( n, i nq, i exp + = ( π i= ( π Sulla base del segnale ricevuto, il ricevitore deve prendere una decisione sulla segnalazione a inviata dal trasettitore. ella trasissione nuerica il ricevitore decide a avore di quella segnalazione che conduce ad una decisione con il inio della probabilità di errore. È acile rendersi conto che tale criterio equivale alla stia: aˆ = arg ax Pr a r ( t (. { { }} a Che questo criterio (noto coe criterio della assia probabilità a posteriori MAP corrisponda alla scelta del sibolo che conduce al inio della probabilità di errore, noto rt ( Pr a r ( t è la probabilità che si sia trasesso s ( t, è acile veriicare. Inatti poiché { }

4 - 4 G. Maola: Lezioni di Copleenti di Counicazioni Elettriche noto rt ( ; allora Pr { a r( t } denota la probabilità che non si sia trasesso s ( t noto rt (. Se il ricevitore stabilisce che il segnale trasesso è s ( t coette un errore con Pr a r ( t. La condizione (. corrisponde quindi alla scelta del sibolo probabilità { } in corrispondenza del quale la probabilità di errore è inia, o che è lo stesso, la probabilità della corretta decisione è assia. Poiché la coponente del segnale ricevuto rt ( ortogonale al sottospazio S non porta alcun contributo alla decisione, quest ultia può essere presa sulla base del vettore delle variabili di decisione r = [ r r r ], la unzione Pr { a r ( t } è equivalente alla { a } Pr r. Applicando la regola di Bayes, si può scrivere: p r a Pr a (.3 Pr { a r } p ( r ( { } a = r r in cui: Pr a è la probabilità associata al sibolo a o, che è lo stesso, alla segnalazione { } s ( t ; ( r è la densità di probabilità associata al vettore r ; p r 3 p ( r a è la densità di probabilità del vettore r noto che il sibolo trasesso è a. r a Se le ore di segnalazione sono equiprobabili, la (. si riduce alla: aˆ = arg ax pr ( r a (.4 { a } a poiché, essendo ( r positiva ed indipendente da a, non interviene nella deterinazione p r del assio. enendo conto delle (.4 è evidente che il vettore r, corrispondente al segnale ricevuto, dipende dalla ase ϕ, la stia del sibolo trasesso è ottenuta dalla: π (.5 aˆ = arg ax { p a ( s ( t dϕ } a π π r r dove si è supposto che la ase ϕ sia unioreente distribuita in [ π, π. Dalla statistica del vettore delle coponenti del ruore, si deduce acilente: jϕ e r s pr a r s ( exp t = ( π (.6 ( (.7 Poiché è H ( ( H H jϕ jϕ ( r s e ( r s e jϕ jϕ jϕ r s r s r s e = e e = = = H jϕ H jϕ H H e e = r r s r r s + s s = jϕ H r Re e s r s = + la (.6 si riduce alla: r + s (.8 ( ( exp exp j H p a s Re t ϕ e r r = ( s r π La stia della segnalazione trasessa può essere sepliicata considerando solo i terini dipendenti dal vettore s. Si ha così:

5 (.9 Essendo: (. e ponendo: (. La rivelazione non coerente s π ˆ jϕ H a = arg ax e exp Re e dϕ a π π s r = = ( s H E s t dt s r = rts ( ( tdt rts ( ( tdt=ρ e ϑ la (.9 si può scrivere coe segue: E π ρ (. aˆ = arg ax e exp cos( ϑ +ϕ dϕ a π π Risulta: (.3 ρ ρ ρ π cos( ϑ +ϕ cos cos θ +π α π α ρ e d e d e d I π θ π π ϕ = α= α= π π π dove si è tenuto conto che l integrando è una unzione periodica di periodo π e si è introdotta la unzione di Bessel odiicata di pria specie e di ordine zero deinita dalla: π xcosα (.4 I( x = e dα π π La stia ottia diviene allora: E ρ (.5 aˆ = arg ax e I a el caso di segnalazione binaria, dette s ( t e s ( t gli inviluppi coplessi delle ore di segnalazione corrispondenti ai siboli a e a rispettivaente, la stia del segnale trasesso avviene secondo la regola: (.6 E E ρ ρ > ˆ = e I e I a a E E ρ ρ < ˆ = e I e I a a j 3 Modulazione OOK. 3. Struttura del ricevitore. el caso di odulazione OOK gli inviluppi coplessi dei segnali trasessi sono: a = a s ( t = (3. t a = a s ( t = V rect Si ha E =, E ( = V per cui la (.6, tenendo conto che è I ( =, diventa:

6 - 6 G. Maola: Lezioni di Copleenti di Counicazioni Elettriche V ρ I > e aˆ = a (3. V ρ < ˆ = I e a a dove ρ è il odulo di: (3.3 ρ = r ( t s ( t dt = V r ( t dt = V r ( t dt + jv r ( t dt avendo posto rt ( = r ( t + jr ( t. Poiché la unzione I ( è onotona crescente del suo argoento, la (3., si trasora nella: w>λ aˆ = a (3.4 w< λ aˆ = a ρ dove w = e λ è un opportuna costante. V q La struttura del ricevitore si presenta allora coe è indicato in Fig.. in quanto le grandezze w e w presenti all uscita dei due integratori, supponendo >> : (3.5 q w = cos( π t r ( tcos( π t r ( tsin( π t dt = r ( t dt q q = π π q π = q w sin( t r ( tcos( t r ( tsin( t dt r ( t dt ρ coincidono con la parte reale e la parte iaginaria della variabile di decisione V q cos πt rt ( ( dt ( dt w w q w w + Decisione wq λ w>λ aˆ = a w<λ aˆ = a sinπt Fig. Struttura del ricevitore per rivelazione non coerente di segnalazione OOK. jϕ Poiché è rt ( = s ( te + nt (, la statistica delle variabili aleatorie w e w q, nota che sia la ase ϕ, dipende dalla statistica della parte reale e iaginaria di = n ( t dt. A tal proposito, posto = + jq, in presenza di ruore bianco con densità spettrale pari a, si ha: E{ q} = E{ n ( t nq( t } dtdt = (3.6 { } = { ( q( } = = { q} = { q( q( } = = essendo E{ n ( t n ( t } = E{ nq( t nq( t } = δ( t t e { q } E E n t n t dt dt dt E E n t n t dt dt dt E n ( t n ( t =. Le variabili aleatorie e q costituiscono pertanto un vettore di variabili aleatorie gaussiane, a edia nulla e statisticaente indipendenti e caratterizzate dalla stessa varianza.

7 La rivelazione non coerente Probabilità di errore. Se è trasesso il sibolo a = a, il segnale coplesso in arrivo al ricevitore è: (3.7 rt ( = nt ( per cui le uscite dai correlatori di Fig. sono: w = n ( t dt (3.8 w = n ( t dt q Esse sono variabili aleatorie gaussiane a valor edio nullo, indipendenti, e caratterizzate da una edesia varianza =. Facendo rieriento all Appendice A, la densità di q probabilità del prio ordine del odulo q w= w + w obbedisce alla distribuzione di Rayleigh e si ha: (3.9 p wa w w exp ( w a = w w < Se è trasesso il sibolo a = a, il segnale coplesso in arrivo al ricevitore è: t (3. ( per cui è per le (3.5: (3. Le variabili aleatorie jϕ rt V e nt ( = rect + ( = ϕ + = ϕ + q = ϕ + q = ϕ + q w V cos n ( t dt V cos n ( t dt w V sin n ( t dt V sin n ( t dt w e w q sono gaussiane, indipendenti con valori edi pari a V cos ϕ e Vsin ϕ rispettivaente ed aventi la stessa varianza =. Con rieriento all Appendice A, la densità di probabilità del prio ordine del odulo w= w + w ob- q bedisce alla distribuzione di Rice e si ha: w + V w V (3. e pwa ( w a = w w w < La probabilità di errore, sulla base del criterio di decisione espresso dalla (3.4, nell ipotesi che i dati siano equiprobabili vale: (3.3 e = { >λ } + { <λ } = wa + wa P Pr w a Pr w a p ( w a dw p ( w a dw che, ricordando le (3.9 e (3., diviene: (3.4 λ λ λ w w V V exp + Pe = e + I w dw Al ine di sepliicare l espressione della probabilità di errore basta osservare che, sotto l ipotesi a = a, la quantità w vale: (3.5 {( ( } cos sin q w= V ϕ + + V ϕ + = + q q = V + + cos ϕ sinϕ V V V λ

8 - 8 G. Maola: Lezioni di Copleenti di Counicazioni Elettriche Introducendo l ulteriore ipotesi che sia: (3.6 V γ= suicienteente elevato, è acile dedurre che la probabilità che si veriichino gli eventi q << << V V è olto elevata cosicché, con probabilità olto prossia all unità, la (3.5 si può sepliicare coe segue: q q w V cos sin V cos sin (3.7 + ϕ ϕ + ϕ ϕ = V V V V = V+ cos ϕ sin ϕ q La quantità w pertanto si riduce ad una variabile aleatoria gaussiana, in quanto ottenuta dalla cobinazione lineare di variabili aleatorie gaussiane. Il suo valor edio vale V e la sua varianza è: E cos ϕ sin ϕ = E cos ϕ + E sin ϕ = = (3.8 { q } { } { q} In tale ipotesi risulta quindi: (3.9 (3. È pertanto: p ( wv π wa ( w a = exp λ λ w exp ( V Pe = e + dw π Essa è una unzione del valore della soglia λ. Il valore ottio λ può allora essere deterinato iponendo la condizione e P =. È acile veriicare che tale valore è la solu- λ λ=λ zione dell equazione trascendente: λ λ log π log π λ (3. V V V che, per elevati valori del rapporto = + = + V, diventa: V (3. λ = In tali condizioni la probabilità di errore vale: (3.3 (3.4 si ha: D altra parte, avendosi: V ( wv V 4 Pe = e + e dw π V ( wv V x V x V V V V ( ( J = e dw = e dx e dx Q Q π = π = π (3.5 4 V V Pe = e + Q( Q ( V

9 La rivelazione non coerente enendo conto della quantità γ deinita dalla (3.6 è: (3.6 P 4 e = e + Q( γ Q( γ γ 4 Modulazione FSK. 4. Struttura del ricevitore. el caso di odulazione FSK gli inviluppi coplessi dei segnali trasessi sono: jaδ t t (4. s ( t Ve rect ( essendo = ( =,,, M (4. a = [ ( M + ] ( =,,, M e dove è Δ = (intero per garantire l ortogonalità delle ore di segnalazione. La (.5 ornisce: ρ (4.3 aˆ = arg ax I a essendo E = V indipendente da e dove ρ è il odulo della quantità coplessa: (4.4 jπaδ t ( ( ( ρ = r t s t dt = V r t e dt Ricordando che la I ( è una unzione onotona crescente dl suo argoento, la (4.3 può essere riorulata coe segue: (4.5 aˆ = arg ax{ w } essendo ρ w =. a La struttura del ricevitore si presenta coe ostrato in Fig. 3 in quanto le quantità w, e w q, all uscita del generico integratore, nell ipotesi che sia >> : (4.6 w = cos[ π ( + a Δ t] r ( tcos π tr ( tsin π t dt =, q = r (cos( t πatδ + (sin( rq t πatδ q, sin[ ( ] ( cos q( sin = r (sin( t πatδ + rq(cos( t πat Δ ρ w =. jϕ jϕ j a t j a t = ( π Δ + ( π Δ w = π + a Δ t r t π tr t π t dt = coincidono con le parti reali e iaginarie di Con rt ( = s ( te + nt ( è w s te e dt nte dt per cui, una volta assegnata la segnalazione s ( t, la statistica della parte reale e iaginaria di w dipende dalla statistica della parte reale e iaginaria di ( j π a Δ t = n t e dt. A tal proposito posto =, + jq, e ricordando la proprietà ra nueri coplessi già utilizzata nel Cap., si ha:

10 - G. Maola: Lezioni di Copleenti di Counicazioni Elettriche cos[ π ( + aδ t] ( dt w, sin[ π ( + aδ t] w +, wq, w ( dt w q, vt ( cos[ π ( + a Δ t] M Calcola il assio â ( dt w M, sin[ π ( + a Δ t] M w M, + wqm, w M ( dt w qm, (4.7 Fig. 3 Struttura del ricevitore per rivelazione non coerente di segnalazione FSK. { } = Re { ( ( } + Re { ( ( } j πa ( t t j π a ( t + t, E E n t n t e dt dt E n t n t e dt dt { } q = Re { ( ( } Re { ( ( } { q } = I { ( ( } + I { ( ( } j πa ( t t j π a ( t + t, E E n t n t e dt dt E n t n t e dt d j πa ( t t j π a ( t + t,, E E n t nt e dtdt E nt nt e dtdt da cui, si ottiene: (4.8 { } { q} { q } = E = dt =, E = dt = E,,, Le quantità, e q, sono pertanto due variabili aleatorie gaussiane, indipendenti a valor edio nullo e caratterizzate dalla stessa varianza =. 4. Probabilità di errore. Allo scopo di deterinare l espressione della probabilità di errore per sibolo basta supporre che il trasettitore invii la segnalazione s (. t Poiché per la sietria del sistea tale probabilità condizionata è la stessa qualsiasi sia la segnalazione inviata, la probabilità di errore, se le segnalazioni sono equiprobabili, si identiica con la probabilità di errore condizionata Pea (. t

11 La rivelazione non coerente - - jπa Δ t jϕ Essendo con a = a, rt ( = Ve e + nt ( si ha: ρ j( πat Δ ϕ jπat Δ jϕ jπat Δ w = = V e n( t e dt Ve n( t e dt + = + (4.9 ρ j( at j a π Δ ϕ π tδ jπat Δ w = = V Ve + n( t e dt = V n( t e dt ( le cui parti reali e i coeicienti delle pari iaginarie si possono porre nella ora: w, = V cos ϕ +, wq, =Vsin ϕ + q, (4. w, =, ( wq, = q, Dalle (4. si deduce acilente che le quantità w, e w q, sono delle variabili aleatorie gaussiane statisticaente indipendenti e hanno la stessa varianza data da =. È da osservare che per presentano valor edio nullo, entre per = si ha {, } = V cos ϕ e E{ w } E w q, =V sin ϕ. Quanto detto coporta che la densità di probabilità del odulo w obbedisce ad una distribuzione di Rice, entre quelle dei oduli w, con, obbediscono a distribuzioni di Rayleigh. È pertanto: w + V w Vw e I w p w ( x = w < (4. w w e w p w ( x = w < ( La probabilità di una corretta decisione è la probabilità che si veriicano gli eventi w > w > > w e quindi è M (4. Pc = Pr { w < w, w3 < w,, wm < w a} che si può riscrivere coe segue: P = Pr w < w, w < w,, w < w w, a p ( w a dw (4.3 c { M } wa 3 e cioè condizionandola al valore della quantità w. Dal oento che le quantità w (, essendo gaussiane e incorrelate, sono statisticaente indipendenti, la precedente si sepliica nella: M (4.4 Pc = { w < w w a} pwa w a dw Pr, ( enendo conto delle prie delle (4. si ha: Pr w w x x w < w w, a = p wa x a dx dx e ( = = exp (4.5 { } e quindi (4.6 M x x x V V Pc e + = exp I x dx w

12 - G. Maola: Lezioni di Copleenti di Counicazioni Elettriche M x Sviluppando l espressione e con la orula di ewton, si ottiene: M x x M (4.7 n M e = e ( = e quindi: M ( + x + V n M x V (4.8 Pc = ( e I x dx = È acile veriicare che dalla precedente, soando e sottraendo al terine la quantità (4.9 V + ( si ottiene: V M V x V M x + + Pc e ( + + = ( I x dx + exp = ( + x + V dove, coe si può riconoscere essendo la unzione integranda una distribuzione di Rice V con paraetri = e =, l integrale vale.si ha in deinitiva: ( M Pc = ( = e quindi la probabilità di errore per sibolo è (4. (4. M Pe = ( = Ricordando l espressione della varianza M Pe = ( = Introducendo l energia edia della segnalazione M V M + e + V M + e + V M + e + V E = E M + e si deduce inine: (4.3 Pe = ( + = el caso di odulazione FSK binaria ( M = (4.4 P = e che in terini del rapporto segnale/ruore e, la precedente diviene:, dalla precedente si ha: E V γ (4.5 P e = e γ= si scrive:

13 La rivelazione non coerente APPEDICE DISRIBUZIOI DI RAYLEIGH E DI RICE - Distribuzione di Rayleigh. Sia ( Z = X + jy una variabile aleatoria coplessa dove X e Y denotano due variabile aleatorie reali che si suppongono entrabe gaussiane, a edia nulla, aventi la stessa varianza e statisticaente indipendenti. Ciò coporta che la loro densità di probabilità incrociata è espressa dalla: x + y ( p XY, ( x, y = e π Posto (3 Z Re j ϕ = per dedurre la statistica della variabile aleatoria R, basta considerare la trasorazione da coordinate polari a coordinate cartesiane: x = rcos ϕ (4 ϕ [ ππ, y = rsin ϕ ed eguagliare la probabilità con cui si veriica un evento eleentare sia che esso sia rappresentato nel sistea di coordinate cartesiane ( X, Y che in quello polare ( R, Φ. dr dy r dϕ dx Fig. Coordinate rettangolari e polari. Cioè (5 pxy, ( x, y dxdy = pr, Φ ( r, ϕ drdϕ D altra parte, acendo rieriento alla Fig., è: (6 dxdy = dr( rdϕ per cui, tenendo conto delle (3 e della (4, si deduce la seguente densità di probabilità congiunta: (7 r r p R, (, r e Φ ϕ = π r [, [, ] ϕ ππ Integrando la (7 rispetto a ϕ si ottiene la densità di probabilità del prio ordine della variabile aleatoria R : π r (8 pr ( r = rexp d ϕ π π e risulta: r r exp (9 { p ( r } nota coe distribuzione di Rayleigh. R = r r

14 - 4 G. Maola: Lezioni di Copleenti di Counicazioni Elettriche In Fig. è riportato l andaento della distribuzione di Rayleigh. In odo analogo, integrando la (7 rispetto pr ( r a r si ottiene la densità di probabilità del prio ordine della variabile aleatoria Φ : r ( pφ ( ϕ = rexp dr π e risulta, coe è acile veriicare: π ϕ < π ( p Φ ( ϕ = π altrove e cioè la variabile aleatoria Φ è unioreente distribuita in [ π, π. Fig. Distribuzione di Rayleigh r Poiché, tenendo conto delle (7, (9 e ( risulta: ( p, (, r ϕ = p ( r p ( ϕ R Φ si conclude chele variabili aleatorie Φ e R sono statisticaente indipendenti. R Φ - Distribuzione di Rice. Si consideri la variabile aleatoria coplessa jφ (3 Z = Re = X + jy in cui X e Y denotano due variabile aleatorie reali che si suppongono entrabe gaussiane, aventi la stessa varianza, statisticaente indipendenti a aventi valori edi dati da e rispettivaente. La loro densità di probabilità incrociata è espressa dalla: x y x + yy ( x ( (4 pxy, ( x, y = e π Per dedurre la statistica della variabile aleatoria R, si può, anche in questo caso, ari rieriento alla trasorazione: x x = rcos ϕ (A. ϕ ππ [, y = rsin ϕ y ed eguagliare la probabilità con cui si veriica un evento eleentare sia che esso sia rappresentato nel sistea di coordinate cartesiane ( X, Y che in quello polare ( R, Φ. Con la stessa procedura sviluppata nel caso della distribuzione di Rayleigh, si può veriicare che la densità di probabilità incrociata delle variabili aleatorie R e Φ è data dalla (5 che, ponendo (6 diventa: r pr, Φ (, r ϕ = e π x + yy ( x ( cos x = ψ = x + y e = sin ψ y

15 La rivelazione non coerente (7 p + (cosψcosϕ+ sinψsin φ ϕ = = π r r + rcos( ϕψ = exp π r r r R, Φ (, r exp La densità di probabilità della variabile aleatoria R si ottiene allora per integrazione della (7 rispetto a ϕ ; si ha: pr ( r r + r π r cos( π ϕψ R, Φ π π (8 pr( r = p (, r ϕ dϕ= e e dϕ π Per calcolare l integrale che copare nella (A.6 basta porre ϕ ψ=θ. Risulta: (9 r r r π cos( ϕψ πψ cosθ π cosθ I e d e d e d = ϕ= θ= θ π πψ π dove si è tenuto conto del atto che, essendo l integrando una unzione di θ periodica di periodo π, l integrale può essere esteso ad un qualsiasi intervallo purché di lunghezza π. Ricordando inine che π xcosθ ( I( x = e dθ π π rappresenta la unzione di Bessel odiicata di pria specie e di ordine, la (8 diventa: = r + r r ( ( e p r I ( R r r < < 3< 4< 3 r Fig. 3 Distribuzione di Rice per diversi valori di. che costituisce la distribuzione di Rice. La distribuzione di Rice è riportata in Fig. 3 per diversi valori del paraetro dove è < <.