Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti del questionario

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1 Esame di stato di istruzione secondaria superiore Seconda Prova Scritta - Esempio Indirizzi: Scientifico, Scientifico opzione scienze applicate e Scientifico ad indirizzo sportivo Tema di Matematica Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti del questionario PROBLEMA 1 Fissati due parametri reali S > 0, k > 0, considera la funzione: S f k (x) = 1 + e kx il cui grafico viene indicato con Γ k. La funzione f k (x) può essere adoperata per studiare la possibile evoluzione nel tempo di una popolazione che abbia capacità di riprodursi, nell ipotesi in cui la limitatezza delle risorse disponibili causi l esistenza di una soglia di sostenibilità al di sotto della quale la popolazione è costretta a mantenersi. 1. Dimostra che i valori assunti dalla funzione f k (x) si mantengono all interno dell intervallo aperto delimitato inferiormente dal valore 0 e superiormente dal valore S, dove quest ultimo rappresenta tale soglia di sostenibilità.. Osservando Γ k, individua la trasformazione geometrica da applicare a Γ k per farlo diventare il grafico di una funzione dispari, e determina l espressione analitica di tale funzione. 3. Individua graficamente o analiticamente il valore della x corrispondente alla massima velocità di crescita di una popolazione secondo il modello rappresentato dalla funzione f k (x); determina quindi, in funzione dei parametri S e k, il valore di tale velocità massima. Dovendo effettuare lo studio di una coltura batterica in un ambiente a risorse limitate, puoi pensare, al fine di semplificare i calcoli, di approssimare la funzione f k (x) con una funzione come g k (x), il cui grafico è riportato nella figura seguente:

2 Il valore di g k (x) passa da 0 a S con una rampa lineare, di pendenza pari alla pendenza di Γ k nel punto di ascissa Determina, in funzione dei parametri S e k, l espressione analitica della funzione g k (x). 5. Illustra il procedimento che adotteresti per valutare la accettabilità dell approssimazione di f k (x) fornita da g k (x). 6. All aumentare di k, tale approssimazione diventa migliore? Motiva la tua risposta.

3 Punto 1 S SVOLGIMENTO La funzione f k (x) = 1+e kx è definita, continua e sempre positiva in tutto R, inoltre risulta essere strettamente crescente in tutto il dominio in quanto la derivata prima è pari a: kse kx f k (x) = (1 + e kx ) Agli estremi del dominio la funzione assume i seguenti valori: lim f k(x) = x lim f k(x) = x + lim x lim x + S 1 + e kx = 0 S = S 1 + e kx di conseguenza, data la stretta monotonia crescente, si deduce che il codominio della funzione è (0,S) dove S è il valore al disotto del quale la popolazione si mantiene. La derivata seconda è pari a: f k (x) = k Se kx (1 + e kx ) kse kx ( ke kx )(1 + e kx ) (1 + e kx ) 4 = k Se kx (1 + e kx )(1 e kx ) (1 + e kx ) 4 = k Se kx (1 e kx ) (1 + e kx ) 3 da cui si deduce che la funzione volge concavità verso l alto nell intervallo (, 0) e verso il basso in (0, + ) pertanto (0, S ks ) è un flesso a tangente obliqua con tangente inflessionale y = x + S. 4 Di seguito il grafico Γ k considerando ad esempio S = 5, k = 4. Punto Consideriamo la traslazione di vettore v (0, S ) ovvero la trasformazione:

4 Sostituendo nell equazione originaria si ricava: Y + S = X = x x = X { Y = y S { y = Y + S S 1 + e kx Y = S 1 + e kx S = S(1 e kx ) (1 + e kx ) = S 1 (ekx e kx + 1 ) Verifichiamo se tale funzione è dispari, si ha: Y( X) = S (e kx 1 e kx + 1 ) = S ekx (1 1 + ekx) = Y(X) da cui deduciamo che con la traslazione di vettore v (0, S ) abbiamo ottenuto una funzione dispari. Punto 3 La velocità di crescita è data dalla derivata prima della funzione f k (x); osserviamo che il punto di flesso (0, S ) di f k(x) è un punto in cui si annulla la derivata seconda di f k (x) ovvero è un punto stazionario per la funzione velocità di crescita; inoltre poichè la derivata seconda è positiva in (, 0) e negativa in (0, + ) deduciamo che il punto di flesso (0, S ) è un punto di massimo per la funzione velocità di crescita. Il valore massimo della funzione velocità di crescita è pertanto kse kx f k (0) = [ (1 + e kx ) ] x=0 = ks 4 Punto 4 La rampa lineare della funzione g k (x) coincide con la tangente inflessionale di f k (x) che ha equazione y = ks x + S. Tale rampa lineare interseca l asse delle ascisse in x = mentre interseca 4 k la retta di equazione y = S in x = pertanto l equazione di g k k(x) è: g k (x) = { ks 4 x + S 0 x < k S k x k x > k Punto 5 Rappresentiamo nello stesso riferimento cartesiano le funzioni f k (x) e g k (x) per S = 5, k = 4.

5 Un approccio per valutare l accettabilità dell approssimazione di f k (x) con g k (x) è di calcolare l area tra le due curve e maggiorarlo con una soglia di accettabilità. L area tra le due curve, sfruttando la simmetria dei grafici, è pari a: Punto 6 + = S(g k (x) ) S(f k (x) ) = [g k (x) f(x)]dx = k = [( ks 4 x + S ) ( S 1 + e 0 kx)] dx 0 + S + [S ( 1 + e k = [( ks 4 x + S ) S k ( kekx 1 + ekx)] dx + [ S k 0 = [ ks (ks 4 x + S ) k k + kx)] dx = ke kx ( 1 + e kx)] dx S k k ln 1 + ekx ] S k [ln 1 + e kx ] + = 0 k = [( S k S k ln(1 + e )) ( S k S S ln())] k k [ ln(1 + e )] = = [ 3S k S k + e S ln (1 )] + k ln(1 + e ) = = 3S k S + e ln (1 k ) + S k = 3S k + S k ln() 3S k = S k [ln() 1 ] + e ln (1 e ) = 3S k + S k ln ( e ) = Come si evince dalla differenza = S [ln() 1 ] calcolata nel Punto 5, l approssimazione di f k k(x) con g k (x) è tanto più valida quanto più è alto il valore di k, tendente a 0 nella condizione limite k +. =

6 PROBLEMA Il tuo liceo, nell'ambito dell'alternanza scuola lavoro, ha organizzato per gli studenti del quinto anno un attività presso lo stabilimento ICE EXPRESS sito nella tua regione. All'arrivo siete stati divisi in vari gruppi. Il tuo, dopo aver visitato lo stabilimento e i laboratori, partecipa ad una riunione legata ai processi di produzione. Un cliente ha richiesto una fornitura di blocchi di ghiaccio a forma di parallelepipedo a base quadrata di volume 10 dm 3, che abbiano il minimo scambio termico con l ambiente esterno, in modo da resistere più a lungo possibile prima di liquefarsi. Al tuo gruppo viene richiesto di determinare le caratteristiche geometriche dei blocchi da produrre, sapendo che gli scambi termici tra questi e l ambiente avvengono attraverso la superficie dei blocchi stessi. 1. Determina il valore del lato b della base quadrata che consente di minimizzare lo scambio termico e il corrispondente valore dell altezza h, tenendo presente la necessità che il volume sia 10 dm 3. Il blocco di ghiaccio al termine del processo produttivo si trova alla temperatura di -18 C. Esso viene posto su un nastro trasportatore che lo porta a un camion frigorifero, attraversando per due minuti un ambiente che viene mantenuto alla temperatura di 10 C; esso pertanto tende a riscaldarsi, con velocità progressivamente decrescente, in funzione della differenza di temperatura rispetto all ambiente, e inizia a fondere se lungo il percorso raggiunge la temperatura di 0 C.. Scegli, motivando la tua scelta, quale delle seguenti funzioni è più idonea per rappresentare il processo di riscaldamento prima della liquefazione (Ta = temperatura ambiente, Tg = temperatura iniziale del ghiaccio, T(t) = temperatura del ghiaccio all istante t, dove t = tempo trascorso dall inizio del riscaldamento, in minuti): T T T Kt ( t) = ( Ta Tg ) e Kt ( t) = ( Ta Tg )( 1 e ) Kt ( t) = ( Ta Tg ) e Ta e determina il valore che deve avere il parametro K, che dipende anche dai processi produttivi, perché il blocco di ghiaccio non inizi a fondere durante il percorso verso il camion frigorifero. 3. Poiché il parametro K varia in funzione di diversi fattori produttivi, c è un incertezza del 10% sul suo effettivo valore. Ritieni che questo determini una incertezza del 10% anche sul valore della temperatura T del blocco di ghiaccio all istante in cui raggiunge il camion frigorifero? Motiva la tua risposta, in modo qualitativo o quantitativo. L azienda solitamente adopera, per contenere l'acqua necessaria a produrre un singolo blocco di ghiaccio, un recipiente cilindrico, con raggio di base eguale a 1,5 dm, e altezza eguale a dm. 4. sapendo che nel passaggio da acqua a ghiaccio il volume aumenta del 9,05%, stabilisci se il suddetto recipiente è in grado di contenere l'acqua necessaria a produrre il blocco richiesto e, in tal caso, a quale altezza dal fondo del recipiente arriverà l'acqua. + T g

7 Punto 1 SVOLGIMENTO Indicata con h l altezza del parallelepipedo, il volume è V = b h = 10 ovvero 40 totale del parallelepipedo è S = b + 4bh = b +. b 40 Posto y = S, b = x studiamo la funzione y = x + con x Dominio: è definita per ; Intersezione assi: non si annulla per ; Positività: è positiva per ; R \ x = 0 0 x h = b ; la superficie Asintoti verticali: ha come asintoto verticale in quanto lim x 0 + (x + 40 ) = + ; x Asintoti orizzontali: non presenta asintoti orizzontali in quanto lim x + (x + 40 ) = + ; x (x + 40 x ) Asintoti obliqui: non presenta asintoti obliqui in quanto lim = + ; x + x 40 Crescenza e decrescenza: la derivata prima è y' = 4x che è positiva per e negativa x per 0 x 3 10 di conseguenza x = 3 10 è ascissa di minimo relativo; 80 Concavità e convessità: la derivata seconda è y '' = 4 + che è sempre positiva per x 0 3 x pertanto la funzione presenta sempre concavità verso l alto per x 0. x 3 10 Lo scambio termico è minimo quando è minima la superficie del parallelepipedo, quindi quando 3 3 b = 10, h = 10 = 10 ovvero quando il parallelepipedo diventa un cubo. b Punto Con i dati forniti nel testo si ha: Poiché T( 0) = 18 Kt T( t) = 10 8e. Imponendo ( ) 0 T si ricava x 0 T T T ( t) x 0 = 8e Kt Kt ( t) = 81 ( e ) Kt ( t) = 8e = 10 8e vanno scartate la prima e terza funzione, pertanto la funzione plausibile è K K e 0 8e 10 K ln K ln di conseguenza possiamo scegliere K =. Punto 3 Kt Con l incertezza del 10% e considerando 1 K =, possiamo dire che il suo valore varia tra 0.45 e 0.55.

8 All incremento ΔK = 0.05 corrisponde un incremento della funzione T pari a: ΔT = T(K + ΔK) T(K) T (K)ΔK Considerando la funzione T(t) all istante t = ovvero T(K) = 10 8e K e, considerando K = 0.5 e ΔK = 0.05, si ha: ΔT T (0.5) 0.05 = 56e Considerando la temperatura T=0 raggiunta dopo minuti, l errore relativo su T sarebbe T T = = + pertanto, considerando ad esempio come valore di T la media tra T(0.55) e T(0.45) si ha: T = T(0.55) + T(0.45) di conseguenza l errore relativo su T diventa: = 10 8e e 0.45 T T = % 0.35 Quindi ad un errore del 10% su K corrisponde un errore del 314% su T, ovvero ad un errore percentuale su K pari al 10% non corrisponde lo stesso errore percentuale su T. Punto 4 Detto V a il volume dell acqua, poiché il passaggio da acqua a ghiaccio, comporta un aumento del volume del 9,05% e sapendo che il blocco di ghiaccio ha volume V = b 3 = 10, si deve imporre l equazione 10 3 V a V a = 10 Va = = 9.170dm Il volume del recipiente a forma di cilindro è V = R h = dm. Poiché il volume dell acqua è inferiore al volume del recipiente, si deduce che il recipiente è in grado di contenere l acqua necessaria a produrre il blocco richiesto. Per calcolare l altezza dal fondo del recipiente basta risolvere la seguente equazione: ( 1.5) h = h = 1.3 dm

9 QUESTIONARIO 1. In figura è riportato il grafico della funzione f (x), derivata della funzione f(x). Il grafico presenta un asintoto verticale per x = 0. Supponendo che la funzione f sia definita in R, descrivi la derivabilità della funzione nel punto di ascissa nulla e fornisci un grafico probabile della funzione in un intorno di zero.. Individua il valore di k per cui la tangente nell origine al grafico della funzione f(x) = x x k forma un angolo di π/6 radianti con l asse delle ascisse. 3. Risolvi esclusivamente per via grafica la disequazione: x > x 6 4. Il cerchio di raggio R centrato nel vertice in basso a sinistra del quadrato in figura ne ricopre metà della superficie; il cerchio di raggio r centrato nel centro del quadrato ne occupa metà della superficie. Sapendo che i quadrati sono equivalenti, determina il rapporto R/r. 5. Presi due punti A(a, a ) e B(b, b) sulla parabola y = x, traccia la retta OC, parallela alla retta AB e passante per l origine e per il punto C(c, c ). Dimostra che a+b=c.

10 Traccia un altra parallela DE, passante per due punti D ed E appartenenti alla parabola, e mostra che i punti medi delle tre parallele giacciono su una retta. 6. Il grafico della funzione polinomiale cubica y=f(x) intercetta l asse x nei punti di ascissa 10, 100 e È sufficiente questa informazione per individuare le coordinate del punto di flesso? Se sì, determinale. Se no, spiega per quale motivo. 7. Una sfera, il cui centro è il punto K(1,0,1), è tangente al piano Π avente equazione x y+z+1=0. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera? 8. Se si lancia una moneta volte, la probabilità di ottenere una testa e una croce (in qualsiasi ordine) è pari al 50%. Se la moneta viene lanciata 4 volte, la probabilità di ottenere due teste e due croci, in qualsiasi ordine, è ancora pari al 50%? Motiva la tua risposta.

11 SVOLGIMENTO 1. Dalla figura fornita si deduce che: La funzione presenta un punto angoloso all ascissa x = 0 in quanto f = 0, lim f = + + lim x 0 La funzione è strettamente crescente in quanto la sua derivata è non negativa ovvero sempre positiva per x 0 La funzione volge concavità verso il basso in quanto, essendo la sua derivata prima decrescente, deduciamo che la sua derivata seconda è negativa per x 0 Dalle considerazioni soprastanti deduciamo il seguente possibile grafico per la funzione f: x 0. Il punto di intersezione con l asse delle ascisse è l origine (0,0). La derivata prima della funzione è f (x) = k (x k) Di conseguenza il coefficiente angolare della retta tangente è Imponendo l equazione seguente m = f (0) = k (0 k) = 1 k

12 m = 1 k = tan π 6 si ricava: 1 k = 3 3 k = 3 3. Consideriamo il seguente grafico Dal grafico si evince che la disequazione è soddisfatta se x > x A. L ascissa del punto A si ricava risolvendo l equazione seguente: 6 x = x x = 4 Di conseguenza la disequazione x > x 6 è soddisfatta per x > Detto L il lato dei due quadrati, C 1, C i cerchi di raggi R ed r ed S 1, S le aree occupate dai cerchi nei due quadrati, si ha: A(S 1 ) = A(C 1) 4 = πr 4 = L A(S ) = A(C ) = πr = L

13 Uguagliando le due aree si ha: πr 4 = πr R r = 4 R r = 5. I coefficienti angolari delle rette AB ed OC sono rispettivamente: m AB = b a b a m OC = c c = c = a + b Visto che le due rette sono parallele uguagliando i coefficienti angolari resta dimostrato che a + b = c, b a. c 0 Se consideriamo i punti D(d, d ) e E(e, e ), otteniamo analogamente d + e = a + b = c I punti medi M, N e P hanno coordinate: a + b M (, a + b ), N ( c, c + e ), P (d, d + e ) Poichè d + e = a + b = c si deduce che M, N e P sono allineati sulla stessa retta di equazione x = c 6. In base ai dati forniti, la cubica ha equazione del tipo y = a(x 10)(x 100)(x 1000) Le derivate prima e seconda sono rispettivamente y = a(3x 0x ) y = a(6x 0) Di conseguenza il punto di flesso si ricava annullando la derivata seconda ed avrà ascissa

14 L ordinata del punto di flesso è x = 0 6 = 370 y = a Pertanto con le informazioni in possesso non è possibile individuare univocamente il punto di flesso in quanto la sua ordinata dipende dal coefficiente a. 7. Il punto di tangenza si trova intersecando il piano tangente con la normale condotta ad esso dal centro della sfera. La normale ha parametri direttori (1,-,1) e, dovendo passare per il centro della sfera K(1,0,1), avrà equazione parametrica: x = 1 + t { y = 0 t z = 1 + t x = 1 + t { y = t z = 1 + t Sostituendo tale equazione parametrica nell equazione del piano tangente si ricava: 1 + t + 4t t + 1 = 0 6t = 3 t = 1 Di conseguenza il punto di tangenza è T ( 1, 1, 1 ). Il raggio della sfera è pari alla distanza KT ovvero: R = (1 1 ) + (0 1) + (1 1 ) = = 3 = 6 8. Indichiamo con X il numero di teste ottenute lanciando una moneta N volte. La distribuzione di probabilità è una binomiale: p(n = n, X = k) = ( n k k ) (1 ) ( 1 n k ) = ( n k ) (1 ) n Su lanci la probabilità di ottenere 1 testa ed 1 croce è: p(n =, X = 1) = ( 1 ) (1 ) = ( 1 4 ) = 1 Su 4 lanci la probabilità di ottenere teste e croci è:

15 p(n = 4, X = ) = ( 4 4 ) (1 ) = 6 ( 1 16 ) = 3 8 1