y = 2 0 dunque per il teorema della funzione implicita 2 T e sup si ha che

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1 Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica AM soluzioni tutorato A.A 8-9 Docente: Prof. P. Esposito Tutori: G.Mancini, E. Padulano Tutorato dell Marzo 9 Esercizio a F x, y e y cos x in, F è una funzione di classe C in un intorno del punto, tale che F, e F, ey y dunque per il teorema della funzione implicita r, ρ > tali che F x, ρ x B r T e B r B ρ y, F dove T y, e per tali r, ρ g : B r B ρ tale che, in un intorno di,, l insieme {F } è il grafico di g. Stimiamo i raggi r e ρ imponendo le condizioni F x, ρ x B r T e B r B ρ y : F x, cos x x r quindi per avere F x, ρ x B r T ρ nel nostro caso T quindi T possiamo prender r in modo tale che r ρ r ρ. Inoltre ponendo ρ < si ha che y + F y ey 6 y 6ρ quindi per avere B r B ρ y possiamo prendere ρ. Dunque possiamo prendere ρ e r 6. di g quindi si ha F x, gx e gx cos x x B r ; derivando rispetto ad x otteniamo che e gx g x + sin x. Calcolando in x e ricordando che g otteniamo che g g. Derivando nuovamente si ottiene che 4e gx g x e gx g x+cos x. Da questo ricaviamo che g. Pertanto lo sviluppo al secondo ordine di g è gx g + g x + g x + ox 4 x + ox. b F x, x, y y + e xx in,, F è una funzione di classe C in un intorno del punto,, tale che F,, e F,, y y dunque per il teorema della funzione implicita in un intorno di,, l insieme {F } è il grafico di una,, funzione y gx, x. Stimiamo i raggi r e ρ degli intorni di definizione di F : ponendo per semplicità che r si ha F x, x, e xx x x x + x r r quindi per avere F x, x, ρ x B r, T ρ nel nostro caso T possiamo prendere r ρ. Inoltre T F y F y y ρ quindi per avere

2 B r B ρ y basta prendere ρ. Dunque possiamo prendere ρ e r. di g quindi si ha F x, gx g + e xx. Derivando in x e x otteniamo che g g x + x e xx e g g x + x e xx calcolando in, siccome g, abbiamo che g x g x. Derivando nuovamente in tutti i modi possibili otteniamo: gx + g g xx + x e xx g x g x + g g xx + e xx + x x e xx gx + g g xx + x e xx Calcolando in, otteniamo g xx g xx e g xx quindi gx, x x x + ox + y. c F x, x, y loge + x + sinx x y + x y in,, F è una funzione di classe C in un intorno del punto,, tale che F,, e F y,, x x cos x x y y dunque,, per il teorema della funzione implicita in un intorno di,, l insieme {F } è il grafico di una funzione gx, x. Stimiamo i raggi r e ρ degli intorni di definizione di F ponendo r, ρ : F x, x, loge + x sin x x + x loge + x + + sinx x + x log e + x log e + x x + x x + log + x e + 4 x + x x + 4r + r r + 7r 8r quindi per e avere F x, x, ρ x B r, T ρ nel nostro caso T possiamo prendere r ρ 8. Inoltre T F y F y + y x x cos x x + y + x x ρ + x ρ + r ρ + ρ 4 ρ 5 ρ quindi per avere 4 B r B ρ y basta prendere ρ 5. Dunque possiamo prendere ρ 5 e r. di g quindi si ha F x, gx log e + x + sinx x g + x g. Derivando in x e x otteniamo che cosx x gx g + x x g x + x g g x e+x + cos x x gx g + x x g x g g x calolando in, siccome g, si ha g x, e g x, + e Derivando le due relazioni precedenti otteniamo: 4 sinx x gx g +x x g x + cosx x gx g x +x g xx +gx gg xx 4 sinx x gx g + x x g x x g + x x g x + cosx x gg + x g x + x g x + x x g xx g x g x gg xx e+x sinx x gx g +x x g x + cosx x gx g x +x x g xx gx gg xx da cui ricaviamo g xx,, g xx, e, g x x, 4e Quindi lo sviluppo di Taylor di g in, è: gx, x x + + e x + e x x + 4e x + +ox + x

3 d F x, y log x + cosxy in, π F è una funzione di classe C in un intorno del punto, π tale che F, π e F y, π x sinxy, π dunque per il teorema della funzione implicita in un intorno di, π l insieme {F } è il grafico di una funzione g. Stimiamo i raggi r e ρ degli intorni di definizione di F : per semplicità poniamo che r e ρ F x, π log π cos π x + cos x log + x + x π + π sin π x + x π r + x r + π r r + r 4r quindi per avere F x, ρ x B r T ρ nel nostro caso T possiamo prendere r ρ 8. Inoltre T F y + F y x sinxy x + x x sinxy x + x sinxy r + sinxy r + sinxy π + π r + cos xy π xy π r + r + xy π r + xy y + y π r + x + ρ 4r + ρ ρ + ρ ρ quindi per avere y basta prendere ρ. Dunque B r B ρ π possiamo prendere ρ e r 4. di g quindi si ha F x, gx cioè log x + cosxg x B r. Derivando in x si ottiene che x sinxgg + xg g π x cosxgg + xg sinxgg + xg g π. Quindi gx π + π x π x + ox Esercizio Sia F : R R definita da F x, y, y arctan x e y sin y, e xy sinxy cosh y a F è una funzione di classe C in,, con F,, e F,, e y sin y e y cos y y e xy sinh y x cos xy,, Siccome F y,, è invertibile e T F y allora per il teorema della funzione implicita r, ρ > e una funzione g : B r B ρ, g g x, g x di classe C tale che F x, g x, g x x B r. b Stimiamo i raggi r e ρ ponendo r, ρ : F x,, arctan x, e x ; siccome arctan x x r e e x x r allora abbiamo che F x, r + 9r r 4r. Tenendo conto del fatto che T T allora prendendo r ρ 6 abbiamo che F x,, ρ x B r, T. Id T F y e xy sinh y x cos xy e y sin y e y cos y Stimiamo le singole componenti di questa matrice e y sin y e y cos y e xy sinh y x cos xy

4 e xy sinh y e xy + ey e y x y + + ey + e y x + y + y r + 6ρ 6 ρ + 6ρ 5 4 ρ x cos xy x r ρ 6 e y sin y y ρ e y cos y e y + e y cos y y + y ρ + ρ ρ + ρ 9 ρ Ne segue che Id T F y 5 4 ρ Se prediamo 5 4 ρ 4 cioè ρ 5 abbiamo che T F B r B ρ y T F B r B ρ y Prendiamo quindi ρ 5 e r 4. c Determiniamo lo sviluppo di Taylor al secondo ordine della funzione g. Sappiamo che F x, g x, g x cioè che arctan x e g sin g e e xg sinxg cosh g. Derivando in x otteniamo che +x + g e g sin g e g cos g g e xg g cosxg g + xg sinh g g da cui g g. x +x + g e g sin g g e g sin g + g g e g cos g + g g e g cos g + e g sin g g e g cos g g e xg g g e xg + sinxg g + xg cosxg g + g + xg cosh g g sinh g g da cui g e g. Quindi lo sviluppo di Taylor della funzione g è: gx g x, g x x x + ox, x + x + ox Esercizio Sia F : R R definita da F x, y x + x log + y + cosx + π, arctan y ex cos x x + log + y sin x + π a J F x, y x +y xe x cos x + sin x e x +y J F, che è una matrice invertibile quindi per il teorema della funzione implicita una funzione g : B r, B ρ, di classe C tale che F gu, v u, v u, v B r,. b Dobbiamo imporre che Id T J f x, y B ρ, e che r Per far questo prendiamo r, ρ in modo tale che e che r ρ 4 T. Nel nostro caso si ha che J F, T Id T J F x, y Id ρ T. B ρ, Id T J f x, y 4 quindi x + log + y sin x + π x +y xe x cos x + sin x e x +y 4

5 + x + log + y sin x + π x +y xe x cos x sin x e x +y + x + log + y sin x + π x + y + sin x + π ρ +ρ + cos x ρ + ρ + ρ ρ x + y x + y x ρ xe x cos x sin xe x 6 x + x 9ρ + y y + y y ρ ρ Quindi Id T J f x, y 9ρ. Per avere B ρ, Id T J f x, y 4 possiamo prendere ρ 6. Si può quindi prendere ρ 6 e r 4 ρ c Per determinare lo sviluppo di Taylor della funzione g sfruttiamo il fatto che J g, J f, T Quindi gu, v u + o u + v + v + u u + o + v + u v + + o + v + x Esercizio 4 x [, ] si ha che Φfx Φgx ft sin + t x ft gt x sin ft gt + t sin + t dt + t dt x arctan t f g arctan x f g π 4 f g. gt sin + t Dunque Φf Φg π 4 f g e quindi Φ è una contrazione. x dt f g + t dt Esercizio 5 a x n k π + sin nk. k Notiamo che x n l p per p > e che x n / l. Inoltre se consideriamo la successione xk π k si ha che p x n x p x n x k π + sin nk k π k k k sin nk k nk π n. n n Possiamo concluderne che per p > x n x in l p e che per p, anche se x n, x / l, x n x l e x n x n in l. n b x n k k + i. i n si ha x n l p perchè x n k k + + k k + è uua somma n finita di successioni di l p. Per studiare la convergeza di x n conviene osservare n che x n k k + i k + n+ k + i k + Sia xk allora si ha che k k k + n+ 5

6 n+ k x n x p x n x + k k k k n+ k π n n+ k k k + n+ 6