f : R 2 R, f(x, y) = x(4 x 2 y 2 ).

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1 ANALISI MATEMATICA ING. AEROSPAZIALE L-Z PROVE SCRITTE VERSIONE PROVVISORIA SI PREGA DI SEGNALARE EVENTUALI ERRORI * Determinare purché esistano i punti critici della seguente funzione e stabilirne la natura: f : R R, fx, y = x4 x y. Facoltativo: stabilire la natura di uno dei punti critici senza utilizzare la matrice hessiana. 6 punti, ± punti di sella, / 3, punto di massimo locale, / 3, punto di minimo locale. Svolgimento. Si ha se e solo se Quindi i punti critici sono Si ha 4 y = x = f x = 4 3x y = f y = xy = oppure 4 3x = y =. P 1 =,, P =,, P 3 = / 3,, P 4 = / 3,. 6x y detd fx, y = det y x = 1x 4y. Quindi P 1 e P sono punti di sella, P 3 è un punto di massimo locale e P 4 è un punto di minimo locale. Si ha f, = e perciò, è un punto di sella. fx, = x 3 x, * Determinare i punti critici della funzione f : R \ {, } R definita da fx, y = logx + y x y e stabilirne la natura. 7 punti, punto di massimo locale, ± 3/, 1/ punti di sella. Svolgimento. Si ha { f x = f y = x x = x x +y y x +y 1 = 1 1 x +y = se e solo se { x = y 1 = } oppure { x + y = 1 y 1 =.

2 Perciò i punti critici sono,, 3, 1/ e 3, 1/. Si ha y x 4xy D x fx, y = +y x +y. 4xy x y x +y x +y Valutandolo nei punti critici si ottiene la risposta. * Determinare il massimo assoluto e il minimo assoluto della funzione f : Ω R definita da fx, y = 1 4 x y + 1 y, Ω = { x, y R : x + y 1 }. 7 punti max f = 3/8, min f = 3/4. Svolgimento. Si ha fx, y = x, y + 1 = x, y =, 1, quindi f non ha punti critici interni. Perciò il massimo e il minimo che esistono per il Teorema di Weierstrass sono assunti su Ω. Posto Lx, y, λ = 1 4 x y + 1 y + λ1 x y, si ha se e solo se Lx, y, λ = x λx, y + 1 λy, 1 x y = Si ha x =, y = ±1 oppure λ = 1/4, y = 1/, x = ± 3/. da cui segue la risposta. f, 1 = 1/4, f, 1 = 3/4, f± 3/, 1/ = 3/8, Per studiare f su Ω si può in alternativa considerare la funzione gy = f1 y, y = y + y, y [ 1, 1] e osservare che g ha massimo assoluto in y = 1/ e minimo assoluto in y = 1, oppure passare in coordinate polari. * Sia f : R R definita da fx, y = 3x 3 + y 3. a Determinare la natura dei punti critici. b Determinare i punti di massimo assoluto e i punti di minimo assoluto di f nel seguente insieme: K = { x, y R : 3x 4 + y 4 1 }.

3 7 punti a, punto di sella; b max K f =, min K f =. a Si verifica facilmente che fx, y =, se e solo se x, y =,. Poiché f, =, si ha fx, y f, = 3 1/3 x + y 3 /3 x 3 1/3 xy + y }{{} 3 1/3 x y, > x,y R quindi, è un punto di sella per esempio, f, y f, se e solo se y. b Sia Risolvendo il sistema si ottiene Lx, y, λ = 3x 3 + y 3 λ3x 4 + y 4 1. L x = 9x 1λx 3 = 3x 3 4λx = L y = 3y 4λy 3 = y 3 4λy = L λ = 1 3x 4 y 4 = x, y = ±1/3 1/4, oppure x, y =, ±1 oppure x, y = ±1, 1/. Valutando la funzione in tali punti si ottiene, rispettivamente, ±3 1/4, ±1, ±, da cui segue la risposta 3 1/4 < 1/ visto che 3 < 4. * Sia f : R R definita da e sia fx, y = 1 x y x + y Ω = {x, y R : x + y 1, x }. Determinare il massimo assoluto e il minimo assoluto di f in Ω. 7 punti max f = f1/ 6, 1/ 6 = Ω 3, min f = f, 1/ 3 = 3 Ω 3. 3 I punti critici interni si determinano risolvendo f = xx + y + 1 x y, yx + y + 1 x y! =,. Sottraendo le due equazioni e svolgendo semplici calcoli, si ottiene che l unico punto critico interno ad Ω è P 1 = 1/ 6, 1/ 6. Per quanto riguarda Ω, si ha f Γ1, Γ 1 = Ω {x + y = 1}

4 mentre su Γ = Ω {x = } si studia la funzione g : [ 1, 1] R, gy := f, y = y1 y e si verifica che y = 1 e y = 1/ 3 sono punti di massimo locale per g in [ 1, 1], mentre y = 1/ 3 e y = 1 sono punti di minimo locale. Confrontando i valori dei candidati ottenuti si ottiene la risposta. * Determinare il massimo assoluto ed il minimo assoluto della funzione f : Ω R definita da fx, y = x x y +, Ω = { x, y R : x y x + 4 }. 7 punti max f = 4, min f = 4. Ω Ω Si ha fx, y =, 3x y +, x =, x, y =,, quindi P :=, è un punto critico interno ad Ω. Si ha inoltre Ω = Γ 1 Γ, dove Γ 1 = {x, y R : x, y = x } Γ = {x, y R : x, y = x + 4} Restringendo la funzione su Γ 1 si ottiene ϕ 1 x := f Γ1 = x x, x [, ] e si verifica che x = ed x = /3 sono punti di massimo locale per ϕ 1, mentre x = /3 ed x = sono punti di minimo locale per ϕ 1. A tali punti corrispondono i candidati P 1 :=, 8 e P := /3, 4/3 possibili punti di massimo locale per f e P 3 := /3, 4/3 e P 4 :=, 8 possibili punti di minimo locale per f. Su Γ si ha invece che ϕ x := f Γ = x, x [, ] da cui segue che x = ed x = sono, rispettivamente, punti di massimo locale e di minimo locale per ϕ x, cui corrispondono i candidati P 1 e P 4. Confrontando i valori dei candidati P,..., P 4 si ottiene la risposta. * Sia f : R R definita da fx, y = x y. Determinare il massimo assoluto ed il minimo assoluto di f su { Ω = x, y R : x + 4y + x, x 3 }. 7 punti

5 min f =, max f = 19/16. Ω Ω Cenno di svolgimento: La funzione ha un punto critico interno 1/,. Su Ω si ottengono i punti critici vincolati,, 1/3, ± 5/6 e 3/,. Inoltre si devono considerare a parte i vertici 3/, ± 3/4. Confrontando i valori si ottiene la risposta. * Sia f : R R definita da fx, y = x 5 x y + 1. Verificare che il Teorema delle funzioni implicite o di Dini è applicabile in un intorno del punto 1, e determinare il polinomio di Taylor di ordine centrato in x = 1 della funzione x gx definita implicitamente da fx, y = f1,. 7 punti 5x 1. Svolgimento. Si ha fx, y = 5x 4 xy, x, f1, = 5, 1, quindi il teorema di Dini è applicabile rispetto a entrambe le variabili. Segue dal Teorema di Dini che quindi g x = 5x4 xgx x da cui segue la risposta. = 5x gx x, g x = 1x g x + gx x x, g1 =, g 1 = 5, g 1 = 1 1 = Si noti che in questo caso g può anche essere ricavata esplicitamente: fx, y = f1, x 5 x y + 1 = y = x5 1 x da cui g x = 3x + x 3, g x = 6x 6 x 4, = x 3 1 =: gx, x e valutando in x = 1 si riottiene la risposta. * Verificare che, in un intorno del punto x, y = 1, π, l equazione sinxy x = 1 individua implicitamente una funzione y = gx oppure x = hy. Determinare lo sviluppo di Taylor del secondo ordine con centro in x = 1 oppure in y = π, rispettivamente della funzione cosí ottenuta.

6 7 punti gx = π 1 + πx πx 1. Lo svolgimento mediante il Teorema di Dini è standard e si rimanda allo svolgimento della prova precedente. Si osservi che, in alternativa, l equazione può essere risolta esplicitamente rispetto a x in un intorno di 1, π, osservando che sinxy = sinxy π: si ottiene y = gx = π + arcsin1 x. x * Disegnare l insieme Ω = { x, y : y 1 x y 1 } e calcolarne il baricentro. 7 punti x b, y b = 7/5, Svolgimento. La rappresentazione di Ω segue dal grafico delle due funzioni elementari y y 1 e y y 1. Per simmetria, y b =. Si ha da cui Ω = x b = 6 5 = y 1 y 1 1 y 1 1 dxdy = 1 y 1 xdxdy = y y dy = = 5 3, 1 y 4y 4 + 9y 3dy = 3 5 y 1 4y 1 dy = 7 5. * Determinare il baricentro del seguente insieme: { Ω = x, y R : x y } x +. 7 punti

7 5, 5. Il dominio è simmetrico rispetto a x = perché le funzioni x x e x x + sono pari. Quindi x b = e dove Ω = Ω 1, y b = 1 Ω 1 Ω 1 ydxdy, Ω 1 = {x, y R : x, x y x + }. Si verifica facilmente che, per x, x x + se e solo se x. Pertanto Ω 1 = {x, y R : x [, ], x y x + } e quindi y b = Ω 1 = 3 x+ 5 x x+ x dydx = 3 5 ydydx = 5 5. * Determinare le coordinate del baricentro del seguente insieme: Ω = { x, y R : y 3 x y }. 7 punti 3/7, 1/5 Per definzione dove Ω è l area di Ω. Poiché x b = 1 x dxdy, y b = 1 y dxdy Ω Ω Ω Ω y 3 y y [, 1], Ω si riscrive come dominio semplice come segue: Ω = { x, y R : y [, 1], y 3 x y }. Pertanto Quindi y b = 1 5 Ω = 1 y 1 y y 3 y 3 dx dy = 1 y dx dy = 1 5 = 1 5 y y 3 dy = y y y 3 dy y 3/ y 4 dy = 1 5,

8 mentre x b = y y 3 x dx dy = = x y y 3 dy y y 6 dy = 3 7. * Calcolare Ω xy dxdy, Ω = { x, y R : y x, 1 x + y 4 }. 7 punti 15/16. * Calcolare I = Ω x + ydxdydz, Ω = {x, y, z R 3 : x + y z x y}. 7 punti Primo metodo. Ponendo u = x + y e v = x y, si ottiene I = 1 ududvdz, T = {u, v, z R 3 1 : u + v z v} T e il risultato segue poiché l integranda è dispari rispetto a u = e il dominio è simmetrico rispetto ad u =. Secondo metodo. Passando in coordinate cilindriche, si ottiene I = r cos φ + sin φdrdφdz, dove Si ha S S = {r, φ, z [, [ π, π] R : r z rcos φ sin φ}. perciò, integrando per fili, r rcos φ sin φ r cos φ sin φ, I = E rcos φ sin φ r cos φ + sin φdz, r

9 dove Si ha Perciò I = = π/4 3π/4 π/4 3π/4 E = {r, φ : φ [ π, π], r cos φ sin φ}. cos φ sin φ cos φ sin φ φ [ 3π/4, π/4]. r 3 cos φ + sin φcos φ sin φ rdr dφ 1 cos φ + sin φcos φ sin φ5 dφ = 1 1 cos φ sin φ6 π/4 3π/4 Naturalmente i due metodi presentati non sono i soli: si può anche integrare per fili prima di passare in coordinate cilindriche, oppure osservare le proprietà di simmetria in qualunque momento del procedimento. =. * Calcolare il volume del solido ottenuto ruotando il triangolo definito sul piano z = di vertici 1, 1,,, 4,, 1, 4, di un angolo π attorno all asse y. 7 punti 4π. Cenno di svolgimento: Si tratta del volume di un solido di rotazione un tronco di cono meno un cilindro, che quindi vale 4 y + π 1 dy = 4π. 3 1 * Data la curva γ : [ π/, π/] R, γt = cos t, cost, calcolare γ x ds. 7 punti 17 3/ 1/4. Cenno di svolgimento: Applicando la definizione di integrale curvilineo di prima specie e ossefvando che l integranda è pari, si ottiene γ x ds = π/ π/ cos t sin t cos t 1/ dt = che si integra con la sostituzione y = cos t. π/ cos t sin t cos t 1/ dt

10 * Sia γ : [, 1] R definita da γt = t, t /. Calcolare xyds. γ 7 punti 1 + /15. * Determinare un insieme connesso E R in cui la forma differenziale y ω = x3x y dx + 1 3x y dy sia esatta; in E determinare una funzione potenziale ovvero una primitiva di ω. 7 punti D 1 = {x, y R : x >, y > 3x}, Ux, y = log x 3x y + C, C R Svolgimento. Il dominio della forma è D = {x, y R : x, y 3x}. Verifichiamo che ω è esatta su ciascuna componente connessa di D determinandone una funzione potenziale: 1 Ux, y = dy = log 3x y + Cx, 3x y da cui se e solo se x Ux, y = 3 3x y + C x =! y x3x y C x= 3 3x y y x3x y = 3x y x3x y = 1 x. Perciò Cx = log x + C, ovvero Ux, y = log x 3x y + C, C R. Si può quindi scegliere qualunque componente connessa di D, per esempio D 1 = {x, y R : x >, y > 3x}. * Disegnare l insieme D = {x, y R : 4x + y 8x 4y + 4 < }

11 e determinare il valore di A R per cui la forma differenziale ω = Ax 1dx + y dy 4x + y 8x 4y + 4 è esatta in D. 7 punti D è l interno dell ellisse di centro 1, e semiassi paralleli agli assi, di lunghezza 1 e ; A = 8. Svolgimento. Si ha 4x + y 8x 4y + 4 = 4x 1 + y 4, da cui segue la caratterizzazione di D. Dalla precedente identità segue anche facilmente che ω è esatta se e solo se A = 8 in tal caso una primitiva di ω è Ux, y = log 4x 1 + y 4. * Sia Calcolare γ : [, 1] R, γt = γ πt 1 t cosπt 3, sin t + 5. e y 1 + x dx + ey arctan x dy. 7 punti πe5 4 Svolgimento. Verifichiamo che la forma differenziale è esatta: e y Ux, y = 1 + x dx = ey arctan x + Cy da cui ovvero U y = e y arctan x + C y! = e y arctan x C y =, Ux, y = e y arctan x + C, C R. Perciò, osservando che γ1 = 1, 5 e γ =, 5, si ottiene e y 1 + x dx + ey arctan x dy = U1, 5 U, 5 = πe5 4. γ * Sia ωx, y = x x + y + 1 dx + y x + y x e sia γ : [, 1] R definita da γt = t 7 t, t. Calcolare ω. γ dy, x, y R

12 7 punti log 4 3. La forma differenziale ω 1 x, y := è esatta in R, con funzione potenziale Perciò γ ω = Uγ1 Uγ + x x + y + 1 dx + y x + y + 1 dy Ux, y = 1 log1 + x + y. γ 3xdy = log t 8 t dt = log 4 3. * Sia ω la forma differenziale definita da y ωx, y = 1 + x y x x dx + dy, x, y 1 + x R y e sia γ : [ 1, 1] R la curva definita da γt = t 4 cos πt 1, t, t [ 1, 1] orientata nel verso delle t crescenti. Calcolare γ + ω. 7 punti. Cenno di svolgimento: La curva è chiusa e la forma è esatta, con funzioni potenziali Ux, y = arctanxy x + C, C R. * Sia γ : [, π] R la curva definita da γt = cos t, sin t, t [, π] orientata nel verso delle t crescenti e sia ω la forma differenziale definita da ωx, y = xy x 1 + x 4 y dx x 4 y + x dy.

13 Calcolare γ + ω. 7 punti π La forma differenziale ω 1 := ω x dy è esatta in R le sue funzioni potenziali sono Ux, y = arctanx y + C, C R. Poiché γ è chiusa, si ottiene π ω = x dy = cos t dt = π. γ + γ + * Sia Ω R il triangolo di vertici,,, 1 e 1,, e sia ω la forma differenziale definita da 4x 3 ωx, y = 1 + x 4 + y dx + 4y x 4 + y + x dy. 4 Calcolare Ω + ω. 7 punti 1/ Si ha dove v = ω = v nds, Ω + Ω + 4y x 4 + y 4 + x, 4x x 4 + y 4 Applicando il Teorema della divergenza, si ottiene ω = div vdxdy = Ω = 1 Ω + Ω. In alternativa, siano ω 1 =. 4x x 4 + y 4 dx + 4y x 4 + y 4 dy, ω = xdy. Si verifica che ω 1 è esatta osservando che è chiusa in R o determinandone un potenziale, quindi ω = xdy Ω + Ω +

14 che si calcola facilmente ponendo attenzione al verso di percorrenza!. * a Determinare A R in modo tale che la forma differenziale ω = 1 Aydx xdy x + y sia chiusa nel suo dominio naturale D; b per tale valore di A calcolare ω, dove γ è una qualunque curva regolare in D γ che parte dal punto, 1 e arriva al punto 1,. 7 punti * Calcolare Ω + xy dy, Ω = {x, y R : y, y 5x, y 7x }. 7 punti log 7. Svolgimento. Segue dalle formule di Green che I = xy dy = ydxdy. Ω + L insieme Ω è semplice rispetto a entrambi gli assi: { Ω = x, y R : x [, 7/], y min {5x, 7x }} { = x, y R : y [, 5], y 5 x 7 }. y + Quindi I = 1 5x ydydx + 7/ 7/x 1 Ω ydydx oppure I = e svolgendo correttamente gli integrali si ottiene la risposta. 5 7/y+ y/5 ydxdy * Sia γ : [, π] R la curva piana definita da γt = sin t, t sin t. a Verificare che γ è una curva di Jordan. b Calcolare l area del suo interno.

15 7 punti π/4 La curva in esame è chiusa in quanto γ =, = γπ, ed è semplice in quanto γt 1 = γt { t1 sin t 1 = t sin t sin t 1 = sin t = t 1 = t sostituendo la seconda nella prima. Quindi è una curva di Jordan. Perciò l area del suo interno, Ω, è, a meno del segno che dipende dall orientazione di γ, π ydx = t sin t cos tdt = π 4, da cui segue il risultato. Ω * Calcolare x + y 3, y + x 6 nds Ω dove Ω = {x, y R : x + y 4y + x + 1 } ed n è la normale esterna ad Ω. 7 punti * Calcolare il flusso del campo vettoriale V = xz, yz, xy uscente da Ω = [, 1] 3. 7 punti 1 * Sia Ω R 3 un dominio di Green di volume 3 e baricentro, 1,, e sia V il seguente campo vettoriale: V : R 3 R 3, Vx, y, z = 3x, y, 5z + z. Calcolare il flusso di V uscente da Ω. 6 punti 9

16 Svolgimento. Applicando il teorema della divergenza, si ottiene V n e ds = 6x + y + 1z + 1dxdydz Ω Ω 6 = Ω xddydz + yddydz + 1 zddydz + 1 Ω Ω Ω Ω Ω Ω = = 9. * Determinare l area della porzione di superficie cilindrica definita da Σ = {x, y, z R 3 : x + y + = 4, z x}. 8 punti 8 Svolgimento. Si parametrizza Σ mediante coordinate cilindriche: σ : D R 3, σφ, z = cos φ, + sin φ, z. Per determinare D si nota che z x z cos φ, quindi D = {φ, z [, π R : z cos φ}. Poiché σ φ = sin φ, cos φ, e σ z =,, 1, si ha σ φ σ z = cos φ, sin φ, =. Quindi dσ = dφdz. Σ D Si riscrive D come dominio semplice osservando che cos φ φ [ π/, π/]. Pertanto Σ dσ = π/ cos φ π/ π/ dzdφ = 4 cos φdφ = 8. π/ * Sia Σ + la superficie ottenuta ruotando il sostegno della curva γt =, e t, t, t [, 1] di un angolo π attorno all asse z, orientata in modo tale che n + e 3. Calcolare il flusso del campo vettoriale Vx, y, z = x, y, attraverso Σ +. 7 punti

17 πe 1. Cenno di svolgimento: La parametrizzazione è σφ, t = e t cos φ, e t sin φ, t e la normale da scegliere è n + = σ φ σ t. Il resto è un calcolo. * Sia Σ la porzione del cono z = x + y compresa tra i piani z = e z = 1. Calcolare zdσ. S 6 punti * Sia v : R 3 R 3 il campo vettoriale definito da e sia Σ + la superficie definita da vx, y, z =, y, z Σ = { x, y, z R 3 : x = 4y + z, x [1, ] } e orientata in modo tale che n + e 1 >. Calcolare il flusso di v attraverso Σ +. 7 punti 7π/1 Si parametrizza la superficie utilizzando coordinate cartesiane o cilindriche. Nel secondo caso σr, φ = r, r cos φ, r sin φ, D = [1/, 1] [, π]. Si ha σ r =, cos φ, sin φ, σ φ =, r sin φ, r cos φ, quindi σ r σ φ = r, r cos φ, r sin φ, la cui orientazione coincide con quella richiesta. Pertanto Φ Σ v = v n + dσ = v σ σ r σ φ drdφ = r drdφ = 7π/1. Σ D D

18 * Determinare una parametrizzazione σ : D R R 3 della superficie Σ = { x, y, z R 3 : x, y, z, x 8 + y + 4z = 6 } e determinare il piano tangente e i due versori normali a Σ in 1, 1, 1. 6 punti Una possibile parametrizzazione è: D = {u, v : u +4v 6}, σu, v = 6 u 4v 1/8, u, v, il piano tangente è x 1 + y 1/4 + z 1 = e i versori normali sono n = ± , 1/4, 1. Svolgimento. Si può parametrizzare Σ come superficie cartesiana rispetto a qualunque asse. Per esempio, poiché x, pertanto x = 6 y 4z 1/8 =: fy, z, 6 y 4z, D = {u, v : u + 4v 6}, σu, v = 6 u 4v 1/8, u, v. Poiché si tratta di una superficie cartesiana, il piano tangente e i versori normali sono dati rispettivamente da 1 x 1 f y 1, 1y 1 f z 1, 1z 1 =, n = ± 1, f 1 + f y + fz y, f z. Poiché f y y, z = y 4z 7/8, f z y, z = 6 y 4z 7/8, si ha f y 1, 1 = 1/4, f z 1, 1 = 1, da cui segue la risposta. * Sia Σ + la superficie definita da { Σ = x, y, z R 3 : z = xy, x + y 1, y } 3x e orientata in modo tale che n + e 3 <. a Calcolare l area di Σ. b Calcolare la circuitazione del vettore v = x,, y lungo Σ +. 7 punti a π 3 1; b 1/3. Σ è una superficie cartesiana parametrizzata da σu, v = u, v, uv, D = {u, v R : u + v 1, v 3u}. Si ha quindi σ u σ v = v, u, 1, σ u σ v = 1 + u + v.

19 Perciò la risposta ad a è Σ = D 1 + u + v dudv = 4π/3 π/3 Per b, si osserva che versori normali sono 1 v, u, 1 ± 1 + u + v e quello tale che il prodotto scalare con e 3 è negativo è Si osserva inoltre che n + := v, u, u + v. rotv = 1,,, rotv n + = ρ 1 + ρ dρdφ = π 3 1. v 1 + u + v. Applicando il teorema del rotore, si conclude che la circuitazione vale D vdudv = 4π/3 1 π/3 ρ sin φdρdφ = 1 3. * Risolvere il seguente problema di Cauchy, specificando l intervallo massimale di esistenza della soluzione: { y x = 3 x 1 1 x yx e y y 1 =. log 3 7 punti yx = log x 3 3x + 1, y 3,. L equazione differenziale è a variabili separabili: yxe y x y x = 3 x 1 e y x = x 3 3x + C. Imponendo la condizione iniziale si ricava C = 1. Quindi yx = ± log x 3 3x + 1, e per soddisfare la condizione iniziale si deve scegliere la soluzione positiva: Tale funzione è definita se yx = log x 3 3x + 1. x 3 3x x x 3 { { x x x 3 x 3 [ x ] 3, [ 3, +,

20 quindi l intervallo aperto massimale che contiene x = 1 è 3,. * Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy, specificandone l intervallo massimale di esistenza: { x y x = yx 1 + yxe x/yx y1 = 1 log 4 si suggerisce di ricondursi a un equazione a variabili separabili mediante un opportuno cambio di variabile. 8 punti yx = x, log3+x x, +. Svolgimento. Ponendo ad esempio si ottiene Quindi ovvero Si ha u1 = 1/y1 = log 4, quindi ux := x yx, u = 1 y xy y = 1 y 1 y 1 + yeu = e u. e u = e u u = 1, e ux = C + x. e u1 = C + 1! = 4 C = 3. Pertanto ux = log3 + x yx = x ux = x log3 + x, x, +. * Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: x y x xy x + 1 yx = log x, x >. 9 8 punti yx = c + c 1 log x x 1/3 + 9 log x Svolgimento. L equazione assegnata una equazione di Eulero. Ponendo l equazione differenziale per ut diventa x = e t t = log x, ut = ye t, u t 3 u t + 1 ut = t. 9

21 Le radici del polinomio caratteristico sono λ 1 = λ = 1, per cui l integrale generale 3 dell omogenea associata risulta essere u o t = c + c 1 t e t/3. Per determinare una soluzione particolare si utilizza il metodo di somiglianza: da cui segue che u p t = At + B, y pt = A, y pt =, u pt 3 u pt u pt = 3 A At B! = t A = 9, B = 54. Da ci segue che l integrale generale nell incognita ut ut = c + c 1 t e t/3 + 9t + 54 e sostituendo t = log x si ottiene la risposta. * Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: y x 4y x + 13yx = e x. 7 punti * Determinare purché esistano i valori dei parametri α R e β R per i quali la soluzione del problema di Cauchy y x + yx = β sinx y π = α y π = β. è periodica di periodo π. 7 punti α = β = 4 3. L equazione assegnata è lineare. Le radici del polinomio caratteristico sono λ 1 = i, λ = i. Di conseguenza l integrale generale dell omogenea associata è: y o x = c 1 cos x + c sin x. Per determinare la soluzione particolare si usa il metodo di somiglianza: y p t = A cosx + B sinx + C.

22 Sostituendo nell equazione differenziale si ricava che A =, B = /3 e C = β, per cui l integrale generale risulta essere: y gen x = c 1 cos x + c sin x + sinx + β. 3 Imponendo poi le condizioni iniziali si ha che { c + β = α c = β { c1 = β 4 3 c = α β da cui si ricava che la soluzione del problema di Cauchy è: yx = β 4 cos x + α β sin x sinx + β Annullando infine i coefficienti delle funzioni sin x e cos x, uniche a non essere π- periodiche, si ottiene la risposta. * Risolvere il seguente problema di Cauchy, specificando l intervallo massimale di esistenza della soluzione: y x = yx + 1 y x y = y = 1 7 punti yx = x I =, 1 1 x Cenno di svolgimento: Attraverso il metodo risolutivo per equazioni autonome del secondo ordine oppure, più semplicemente, osservando che si possono integrare una volta entrambi i membri dell equazione. * Risolvere il seguente problema di Cauchy, determinando anche l intervallo massimale di esistenza della soluzione: { y x = x + 3yx 1 3 y = 1. 7 punti * Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy, specificandone l intervallo massimale di esistenza: { y x + x yx = e x3 y 4 x. y = 1

23 si suggerisce di utilizzare la sostituzione ux = yx 3. 7 punti * Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy, specificandone l intervallo massimale di esistenza: y = y sin y cos y y 1/ = π/4. y 1/ = 7 punti yx = arcsin 1 + x, I = 1 1/, 1 1/. * Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: y + 4y = 1 7 punti C 1 cosx + C sinx + C 3 + C 4 x x. * Dopo aver determinato lo sviluppo in serie di Fourier della funzione fx = sin x, calcolare la somma della seguente serie numerica: k=1 1 4k 1. 7 punti 1/ La funzione é pari e periodica di periodo π. Si ha quindi b n = per ogni n e a n = 4 π π/ sin x cosnxdx.

24 Quindi π/ e, integrando per parti, a = 4 π sin xdx = 4 π 4 π π/ sin x cosnxdx = [sin x sinnx]π/ } nπ {{} nπ ovvero n π quindi π/ = = [ 1 cos x cosnx n π sin x cosnxdx = Si conclude che la serie di Fourier è ] π/ 4 a n = 4n 1π. π 4 4n 1π cosnx. n=1 π/ + 1 n π cos x sinnxdx π/ sin x cosnxdx, [ ] π/ 1 cos x cosnx = 1 n π n π, Valutando la serie in x = e tenendo conto che f =, si ottiene 1 = 1 4n 1. n=1 * Determinare lo sviluppo in serie di Fourier della funzione f : R R, periodica di periodo π, definita in [ π, π] da { 1 se x < π fx = se π x π e utilizzarlo per calcolare la somma della seguente serie: k= 1 k k punti Sia A R e sia ω una forma differenziale di classe C 1 A. Dimostrare che se ω è esatta in A, allora è chiusa in A. Sia x, y R e sia f : R R differenziabile in x, y. Utilizzando la definizione, calcolare d dt fx + t, y e t nel punto t =.

25 Calcolare, purché esista, il seguente limite: y 3 + xy lim x,y, x + y. Dimostrare che per ogni x in un intorno di x = 1 esiste un unico yx in un intorno di y = 1 tale che x, yx risolve l equazione e dimostrare che yx < 1 se x > 1. x 5 y 7 x 8 y 1 = Sia Ω R un dominio regolare a tratti di area 1 e sia u : C 1 R R tale che ux, y = 3 per ogni x, y Ω. Calcolare u n e ds. Sia f una funzione continua π-periodica e sia Ω fx = a + a k coskx + b k sinkx k=1 il suo sviluppo in serie di Fourier. Dimostrare che se f è pari allora b k = per ogni k 1. Sia f : R R di classe C 1 R e sia x, y R. Determinare la direzione di massima pendenza del grafico di f in x, y. Determinare purché esistano le soluzioni dell equazione differenziale y x y x + y x = che posseggono un asintoto orizzontale per x. Siano f : R 3 R ed Ω R 3 definiti rispettivamente da fx, y, z = x + y + z e Ω = {x, y, z R 3 : x + y + z 1}. Calcolare il flusso del campo vettoriale f uscente da Ω. Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in R. Dimostrare che se f : R R è differenziabile in x, y, allora. f x x, y = fx, y 1, Fornire l esempio di una forma differenziale chiusa, ma non esatta, in D R. Determinare i valori del parametro α, + per i quali la funzione f : R R definita da fx, y = x 3α y α è differenziabile in x, y =,. Sia f : R 3 R definita da fx, y, z = x 3 y 3 z 3, e sia Ω R 3 un dominio regolare di volume 1 e baricentro in 1,,. Determinare il flusso di f attraverso Ω. Enunciare e dimostrare le formule di Green in R su un dominio semplice rispetto ad esntrambi gli assi.