- Meccanica Matriciale : essenzialmente dovuta ad Heisenberg è basata sulla associazione fra osservabili fisiche e matrici

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1 MECCANICA QUANTISTICA Ne esistono, sostanzialmente, due formulazioni, entrambe sviluppate fra il 1925 ed il 1930 ed usate in particolare modo per i sistemi chimici - Meccanica Matriciale : essenzialmente dovuta ad Heisenberg è basata sulla associazione fra osservabili fisiche e matrici - Meccanica Ondulatoria : essenzialmente dovuta a Schroedinger è basata sulla associazione di ogni particella con una funzione d onda Si tratta di formulazioni equivalenti unificate da Dirac (1930) in una forma assai simile alla meccanica matriciale La trattazione di Dirac è più generale e più potente della meccanica ondulatoria ma è più astratta Non seguiremo lo sviluppo storico della meccanica quantistica perché la pratica attuale se ne discosta alquanto; tuttavia vi sono alcuni concetti chiave che sono meglio comprensibili in una prospettiva storica. Tra questi la natura DUALISTICA dei sistemi fisici ONDA PARTICELLA (materiale) 1

2 Particelle ed onde Spettro di emissione del corpo nero Ogni corpo ad una determinata temperatura emette luce ( radiazione) con una intensità che varia con la frequenza (distribuzione delle frequenze) Questa distribuzione dipende dalla natura del materiale e della sua superficie ma ne è indipendente al limite ideale di CORPO NERO si chiama corpo nero perché un raggio luminoso che vi entri viene assorbito e riemesso tante volte (viene riflesso) e tutta la sua energia viene integralmente convertita in agitazione termica del materiale la luce originariamente entrata non esiste più la cavità raggiunge l equilibrio termodinamico la luce che esce dal corpo nero dipende in intensità e frequenza unicamente dalla sua temperatura un corpo nero assorbe più di qualsiasi superficie un corpo nero emette più di qualsiasi superficie radiatore integrale 2

3 lo spettro della radiazione emessa da un corpo nero ha questo aspetto A sinistra: distribuzione spettrale dell'intensità della radiazione termica secondo Planck, per temperature da 2000 a 4000 K. Le temperature, in gradi kelvin, sono indicate sulle curve corrispondenti. L'unità in ascissa è 0,1 m (1 m è uguale a 10-6 m). La parte tratteggiata corrisponde alla regione dell'ultravioletto fino a 0,28 m ; la regione del visibile è quella fra le due punteggiate. A destra: lo stesso che nell'altra figura, ma per temperature più elevate, da 4000 a K. L'unità sull'asse delle ordinate è più piccola di quella della figura a sinistra. N.B. lo spostamento in ν max (λ max) con la temperatura va sotto il nome di legge di Wien (Nobel 1911): λ max T = cost Questo complesso di osservazioni non avevano spiegazione con le teorie classiche (Rayleigh) che prevedevano un aumento senza limiti dell intensità della luce emessa all aumentare della frequenza della stessa: catastrofe ultravioletta Nel 1900 Planck riuscì a spiegare l andamento sperimentale di I = f (λ ) ammettendo, come Rayleigh, che gli atomi del materiale della cavità oscillino e che sia la loro oscillazione a rendere possibile l assorbimento e la emissione di radiazione (si comportano come gli elettroni nelle antenne) MA postulando anche che queste oscillazioni non possano avvenire per qualsiasi energia ma soltanto per multipli di unità discrete Quanti ( dal latino quantum ) E = hν h J s 3

4 se la distribuzione di Boltzmann si può applicare al numero di questi quanti l aumento catastrofico di intensità all aumentare di ν non ha più luogo La ragione qualitativa di ciò è che ad alte energie un quanto contiene tanta energia da rendere altamente improbabile la sua esistenza ( )/ kt viceversa nella teoria classica l energia dipende dalla ampiezza di oscillazione (non dalla frequenza) L effetto Fotoelettrico Emissione di elettroni da un metallo illuminato 1. Emissione istantanea 2. E cinetica dei fotoelettroni dipendente da ν n i = n o e ε i ε 0 3. ν minima di fotoemissione Le osservazioni sperimentali non trovavano spiegazioni con le teorie classiche 4

5 INFATTI (secondo queste ultime) - ci deve essere un certo ritardo, cioè un intervallo di tempo, durante il quale gli elettroni oscillando in sincrono con la perturbazione (la radiazione) assorbono man mano energia aumentando la ampiezza di oscillazione fino ad averne abbastanza da sfuggire - secondo l esperimento la energia è concentrata in piccole zone anziché essere distribuita su tutto il fronte d onda; viceversa secondo Maxwell la energia dipende dall ampiezza dell onda e non dalla sua frequenza Einstein (1905) postulò che la radiazione elettromagnetica consista di un fascio di particelle, FOTONI, tutte con la medesima velocità c ms 1 Ognuno di questi fotoni ha una frequenza caratteristica ν h una energia E = hν = ω = 2π h = Il fotone, con velocità c, deve seguire la teoria della relatività ed il suo momento p risulta: 0 ( ) 2 1 E hν hω E = p c + m c p = = = c c c Introducendo il numero d onda p = hk ω k = c hω J s l esistenza di questo momento è confermata dall effetto COMPTON (1924) 34 5

6 in definitiva 1 E fotone = hν = Φ + mv 2 2 work function (minima energia necessaria per uscire dal metallo) poichè gli elettroni in un metallo hanno molte energie diverse alcuni necessitano di maggiore energia di altri ed ½ mv2 è la massima energia cinetica degli elettroni fotoemessi La natura Ondulatoria delle particelle De Broglie (1924),simmetricamente a quanto fatto da Einstein per la luce, suggerì di associare un comportamento ondulatorio al moto di una particella. Egli postulò che ad una particella con momento lineare p sia associata una onda di lunghezza d onda λ ed energia E 2π h p = hk E = hω = k p La natura ondulatoria del moto di particelle è stata confermata sperimentalmente per Elettroni G.P.Thomson, Davisson, Germer He,H2, Esterman Frisch Stern Neutroni 1947 Fermi Marshall Zinn λ= immagini ottenute per attraversamento di una lastra di Al con raggi X elettroni 6

7 Vediamo ora un esperimento che illustra la natura dualistica onda corpuscolo sia della luce che delle particelle materiali (per esempio gli elettroni) L esperimento con due fenditure (di YOUNG) Vediamolo nella versione originale di YOUNG (1802); (usiamo una sorgente luminosa) 7

8 Queste osservazioni sono spiegabili con la interpretazione ondulatoria della luce e le sue proprietà di interferenza MA l interferenza non si spiega con la luce costituita da fotoni INFATTI Se la luce è costituita da fotoni è ragionevole pensare che ogni fotone passi per la fenditura a oppure per quella b Si può confermare questa ipotesi con una sorgente molto debole (tale che un solo fotone per volta venga emesso) e due rivelatori vicino e dietro le fenditure a e b I rivelatori registrano un fotone per a oppure per b e mai per entrambi simultaneamente Metà dei fotoni passano da a e metà da b Tutto ciò è coerente con la interpretazione corpuscolare Ci si domanda: Come si possono influenzare vicendevolmente i fotoni che passano per fenditure diverse? 8

9 Ripetiamo l esperimento con fenditure a e b aperte un fotone per volta emesso dalla Sorgente con frequenza tanto piccola (periodo tanto lungo) da escludere che i fotoni possano influenzarsi l un l altro Si osserva la solita figura di interferenza L interferenza persiste con qualsiasi intensità di luce Usiamo ora uno schermo in grado di rivelare la posizione dei punti di arrivo dei fotoni Si osserva: 1. Ogni fotone colpisce lo schermo in un unico punto 2. La figura di interferenza si forma come conseguenza dell accumularsi dei vari singoli impatti dei fotoni Il comportamento di ogni singolo fotone non è prevedibile La frequenza (densità) degli impatti in ogni punto dello schermo fornisce le bande di interferenza CIOE La figura di interferenza ci fornisce la distribuzione di probabilità delle posizioni dei punti di arrivo dei fotoni 9

10 nel caso dell esperimento 3 i fotoni che passano uno alla volta per a o per b danno origine, in modo statistico, alle figure IA e IB e, quindi, all effetto complessivo I A + I B MA Se lasciamo a e b aperti con un rivelatore in a che ci dice se ciascun fotone è passato da a o da b caso 5 NON si osserva la figura di interferenza ma la semplice I A + I B l atto di accertare da quale fenditura passa ogni fotone ha il medesimo effetto del chiudere l altra fenditura IN SINTESI Se un fotone passa indisturbato attraverso le fenditure mostra un comportamento ondulatorio e si osserva una figura di interferenza (o di diffrazione con una sola fenditura). Ogni fotone colpisce lo schermo in un punto specifico, in accordo con la natura corpuscolare, e la figura che risulta dall arrivo di molti fotoni è una distribuzione di probabilità Se un fotone è costretto a (oppure è osservato) passare attraverso una specifica fenditura le figure di interferenza non vengono osservate ed il suo comportamento è più simile a quello di una particella Esperimenti analoghi sono stati fatti con elettroni anzichè fotoni 10

11 Abbiamo visto una serie di osservazioni sperimentali non spiegabili compiutamente con la fisica classica Una spinta decisiva all introduzione di teorie di tipo quantistico venne dall osservazione che la luce viene emessa dagli atomi con uno spettro discreto In particolare, per l Idrogeno vale la semplice relazione: ν n1 n2 = R H 2 R H = cm -1 costante di Rydberg n 1,n 2 numeri interi Più in generale vale il principio di Raleygh-Ritz ν = T1 T 2 Suggerisce che i livelli energetici degli atomi assumano unicamente valori discreti Bohr ne diede una spiegazione imponendo al momento angolare degli elettroni di assumere valori discreti 11