La Regressione. Y = f ( X ) Le motivazioni che ci spingono alla ricerca di f essenzialmente due: la Previsione ed il Controllo.

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1 La Regressoe Sulla base delle coppe d modaltà osservate (x 1,y 1 ),..,(x,y ), dopo aver verfcato la dpedeza tra caratter quattatv X ed Y, c propoamo d determare la fuzoe matematca f che meglo stetzz l legame d dpedeza tra X ed Y, coè: Y = f ( X ) Le motvazo che c spgoo alla rcerca d f essezalmete due: la Prevsoe ed l Cotrollo. soo Gova Latorre 1

2 Prevsoe Nella fase d raccolta de dat corrspodeza de valor osservat x 1, x 2,,x d X e soo stat ache rlevat valor y 1, y 2,...,y d Y. Se s osserva u uovo valore d X, dcamo x +1, possamo prevedere l goto valore d Y co y +1 = f ( x +1 ). Cotrollo Sulla base degl valor osservat d X e d Y s è determata la fuzoe che lega le due varabl: Y=f(X). C s chede ora: quale valore cogto l operatore deve dare alla X per otteere u desderato valore y 0 della Y. Il valore cogto è: x 0 = f -1 ( y 0 ), coè quel valore d X tale che f(x 0 )=y 0. Gova Latorre 2

3 Uemploymet Rate 25,0 20,0 Uemploymet rate ( % of age group from 25 to 74 years) by Veture captal vestmets ( % of GDP) of 20 EU coutres YEAR ,0 10,0 Italy (0,004;8,9) Demark (0,072;6,3) 5,0 0,0 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 Veture Captal Ivestmets Gova Latorre 3

4 Uemploymet Rate 25,0 20,0 Uemploymet rate ( % of age group from 25 to 74 years) by Veture captal vestmets ( % of GDP) of 20 EU coutres YEAR ,0 10,0 Italy (0,004;8,9) Demark (0,072;6,3) 5,0 0,0 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 Veture Captal Ivestmets Gova Latorre 4

5 Uemploymet Rate 25,0 20,0 Uemploymet rate ( % of age group from 25 to 74 years) by Veture captal vestmets ( % of GDP) of 20 EU coutres YEAR ,0 10,0 Italy (0,004;8,9) Demark (0,072;6,3) 5,0 x=0,040 0,0 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 Veture Captal Ivestmets Gova Latorre 5

6 Uemploymet Rate 25,0 20,0 Uemploymet rate ( % of age group from 25 to 74 years) by Veture captal vestmets ( % of GDP) of 20 EU coutres YEAR ,0 10,0 Italy (0,004;8,9) Prevsoe=8,3 Demark (0,072;6,3) 5,0 x=0,040 0,0 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 Veture Captal Ivestmets Gova Latorre 6

7 Uemploymet Rate 25,0 20,0 Uemploymet rate ( % of age group from 25 to 74 years) by Veture captal vestmets ( % of GDP) of 20 EU coutres YEAR ,0 10,0 Italy (0,004;8,9) y=8,0 Demark (0,072;6,3) 5,0 0,0 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 Veture Captal Ivestmets Gova Latorre 7

8 Uemploymet Rate 25,0 20,0 Uemploymet rate ( % of age group from 25 to 74 years) by Veture captal vestmets ( % of GDP) of 20 EU coutres 15,0 10,0 Italy (0,004;8,9) y=8,0 Demark (0,072;6,3) 5,0 Cotrollo=0,046 0,0 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 Veture Captal Ivestmets Gova Latorre 8

9 I dat del problema della rcerca della fuzoe f pù doea a rappresetare l legame tra X ed Y soo costtut dalle coppe d valor (x, y ) che grafcamete s possoo rappresetare co put: Gova Latorre 9

10 Il modo pù semplcstco per determare f cosste ello sceglere la polomale d equazoe Y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a -1 x -1, che passa per tutt gl put dat: Gova Latorre 10

11 Dfett della polomale d grado (-1) La polomale d grado (-1) a) o opera essua stes; dat cosstoo coppe (x, y ) e la polomale è dvduata da parametr a 0,, a -1 ; b) o utlzzable a causa della sua complesstà; c) è certamete dversa dalla evetuale legge vera che lega Y ad X, perché quest ultma geererebbe dat scuramete affett da u certo grado d errore. Meglo sarebbe, ad esempo, la spezzata [x, M(Y x )] ma o s tratta d ua fuzoe matematca. Gova Latorre 11

12 S opera meglo se s procede el modo seguete: a) s potzza u modello semplce d relazoe tra X ed Y; b) s determao valor de parametr del modello mmzzado resdu, coè le dffereze tra valor osservat d Y ed valor teorc d Y*, fort dal modello; c) s gudca la botà d adattameto del modello a dat sulla base dell adameto de resdu; d) se l modello è soddsfacete, sulla base de resdu, s scegle u uovo modello da predere cosderazoe, e s rparte da a). Gova Latorre 12

13 Il modello d relazoe pù semplce è quello leare: a e b soo: - parametr del modello, ovvero: Y= a+ b X - l terme oto ed l coeffcete d X, ovvero: - l tercetta ed l coeffcete agolare della retta d equazoe: y=a+bx. Gova Latorre 13

14 Esempo d perfetta relazoe leare tra X ed Y: Y = a + b X : co Y = a quado X = 0 e Y = a + b per X = 1. Gova Latorre 14

15 Y Il Metodo de Mm Quadrat X Gova Latorre 15

16 Y Il Metodo de Mm Quadrat X Gova Latorre 16

17 Y Il Metodo de Mm Quadrat y x X Gova Latorre 17

18 Y Il Metodo de Mm Quadrat y y x X Gova Latorre 18

19 Y Il Metodo de Mm Quadrat y y x Gova Latorre X 19

20 Y Il Metodo de Mm Quadrat y (y -y ) y x Gova Latorre X 20

21 Y Il Metodo de Mm Quadrat y e = (y -y ) y x Gova Latorre 21 X

22 Gova Latorre 22

23 Gova Latorre 23

24 Gova Latorre 24

25 Gova Latorre 25

26 Gova Latorre 26

27 Gova Latorre 27

28 Gova Latorre 28

29 Gova Latorre 29

30 Gova Latorre 30

31 Gova Latorre 31

32 Gova Latorre 32

33 Gova Latorre 33

34 Gova Latorre 34

35 Gova Latorre 35

36 Gova Latorre 36

37 Gova Latorre 37

38 Gova Latorre 38

39 Gova Latorre 39

40 Gova Latorre 40

41 Gova Latorre 41

42 Gova Latorre 42

43 Gova Latorre 43

44 Gova Latorre 44

45 Gova Latorre 45

46 Gova Latorre 46

47 Gova Latorre 47

48 Gova Latorre 48

49 Metodo de Mm Quadrat S dspoe d coppe d valor ( x, y ) relatve a caratter X ed Y rlevat su utà statstche. Avedo verfcato la dpedeza statstca d Y da X s vuole determare la fuzoe f pù doea per descrvere tale legame. Ipotzzamo, prma approssmazoe, che tale fuzoe sa la retta d equazoe: Y * = a + b X. I tal caso corrspodeza de valor d X: x 1, x 2,,x, le ordate de put ad ess corrspodet e gacet su tale retta soo: y * 1 = a + b x 1 y * 2 = a + b x 2. y * = a + b x tal ordate y * (=1,) le chameremo valor teorc d Y, Gova Latorre 49 metre le y (=1,) soo valor osservat della Y.

50 Impoamo ora la codzoe che sa mmzzata la somma de quadrat delle dffereze (y y * ) e determamo parametr cogt a e b modo che tale codzoe sa soddsfatta: Per determare valor d a e b che redao mma S dobbamo dervare la fuzoe f(a,b) rspetto ad a e b, uguaglare a zero le dervate parzal e rsolvere l sstema d I grado che s ottee, avete cogte a e b. Per verfcare che le soluzo a e b che s otterrao mmzzo S bast cosderare che f(a,b) è ua fuzoe d secodo grado tale Gova Latorre 50 f(a,b) 0.

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52 Avremo che: Gova Latorre 52

53 Aalogamete avremo: Gova Latorre 53

54 Uguaglado a zero le due dervate parzal avremo l Sstema Normale: Gova Latorre 54

55 Sstema Normale: Gova Latorre 55

56 Nell espressoe che c forsce b se dvdamo umeratore e deomatore per 2, otterremo: oltre dalla prma equazoe del Sstema avremo: da cu otteamo: a e b soo gl stmator mm quadrat d a e b e la retta d equazoe: Y = a + b X è detta Retta d Regressoe e le y = a + b x soo valor stmat d Y corrspodeza Gova delle Latorre x osservate d X. 56

57 Alteratvamete, abbamo: Gova Latorre 57

58 Dervamo la fuzoe S rspetto ad a e b: S a = f S b = f b = 2b =1 a = 2a 2 =1 le dervate secode sarao allora: y + 2b =1 x x 2 2 x y + 2a =1 =1 x 2 S a 2 = 2 f a 2 = 2 > 0 2 S b 2 = 2 f b 2 = 2 > 0 Essedo queste ultme etrambe postve allora valor d a e b che aullao le dervate prme d S rappresetao u mmo d S=f(a,b). Gova Latorre 58

59 Pertato uguaglado a zero le dervate prme avremo: a y + b x = 0 =1 =1 a x + b x 2 x y = 0 =1 =1 =1 da cu otteamo le Equazo Normal: a + b x = y =1 =1 a x + b x 2 = x y =1 =1 =1 che formao u sstema d due equazo elle due cogte a e b, coè valor d a e d b che redoo mma S. Gova Latorre 59

60 Dalle equazo ormal otteamo: da cu: a = M y b M x M y b M x M x + b x 2 = x y a = M y b M x =1 =1 M x M y b M 2 x + b x 2 = x y =1 =1 a = M y b M x b x 2 M2 x =1 = x y M x M y =1 Gova Latorre 60

61 ed acora: a = M y b M x b = σ =1 x y M x M y x 2 2 M x σ =1 coè: a = M y b M x Cov(X, Yሻ b = V(Xሻ dove a e b soo, da ua parte, valor da dare ad a e b per mmzzare S e, dall altra, soo gl stmator dell tercetta e del coeffcete agolare della Retta d Regressoe, otteut col metodo de Mm Quadrat. Gova Latorre 61

62 Dagramma d Dspersoe: mpg vs horsepower Gova Latorre 62

63 Dagramma d Dspersoe: mpg vs horsepower e Retta d Regressoe: mpg = * horsepower ( R 2 = 0.61 ) Gova Latorre 63

64 Vedte (Sales) fuzoe della spesa pubblctara TV, Rado e Goral (Newspaper) (Ads.xlsx) TV Rado Newspaper Sales Gova Latorre 64

65 Vedte (Sales) fuzoe della spesa pubblctara TV, Rado e Goral (Newspaper) (Ads.xlsx) Gova Latorre 65

66 Gova Latorre 66

67 Vedte (Sales) fuzoe della spesa pubblctara TV, Rado e Goral (Newspaper) (Ads.xlsx) Superfce che rappreseta la Somma de Quadrat de Resdu fuzoe d (a,b) Gova Latorre 67

68 Vedte (Sales) fuzoe della spesa pubblctara TV, Rado e Goral (Newspaper) (Ads.xlsx) Isoquat che rappresetao la Somma de Quadrat de Resdu fuzoe d (a,b) Gova Latorre 68

69 Propretà della retta d regressoe: 1)Se tutte le coppe d dat osservat (x, y ) soddsfao la relazoe: y = c + d x,, allora put corrspodet soo perfettamete alleat su ua retta d equazoe Y = c + d X che cocde esattamete co la Retta d Regressoe d equazoe Y = a + b X, coè: b =Cov(X,Y)/V(X) = d e a = M(Y) b M(X) = c d cosegueza y = y,, e V(Y ) = V(Y). Dmostrazoe: date le coppe (x equazoe:, y ) la Retta d Regressoe avrà Y = a + b X, dove b = Cov(X,Y) / V(X) e a = M(Y) b M(X). Gova Latorre 69

70 Ma: Cov(X,Y)= = = 1 1 = d =1 =1 1 1 x - M(X) y - M(Y) x - M(X) c+d x - c - d M(X) x - M(X) d x - M(X) =1 x - M(X) = d V(X) =1 da cu: d = Cov(X,Y)/V(X) = b oltre: c = M(Y) d M(X) = a + b M(X) b M(X) = a. 2 = = = Ife: y = a + b x = c + d x = y c.d.d.. Gova Latorre,, e V(Y ) = V(Y), 70

71 2)Propretà d mmo de resdu: deft resdu le dffereze tra valor osservat y ed valor stmat y della Y, coè e = (y y ) avremo: =1 y - y 2 = mmo (a, b) Dmostrazoe: y = a + b x, dove a e b soo tal che sa: ma: Gova Latorre c.d.d. 71

72 3) La meda de resdu è ulla, coè M(e) = 0, perché la somma de resdu è ulla, coè: La varaza, vece, è par a:. Dmostrazoe: dalla prma equazoe del sstema ormale s ha che:, oltre: qud: e M(e)=0. Ife: Gova Latorre 72

73 Msura della botà della regressoe Dopo aver stmato l modello pù semplce d relazoe tra X ed Y affroteremo l problema della botà dell adattameto del modello otteuto a dat rlevat. Baseremo molta d questa aals su resdu, deft da: e = y y. Itato s ot che: =1 = = +2 2 y - M(Y) = y - M(Y)+ y - y =1 =1 y - y+ y - M(Y) 2 y y' + y - M(Y) =1 y - yy - M(Y) =1 =1 Gova Latorre 2 = = 73

74 S ot che ella formula precedete l doppo prodotto è ullo: =0, I^ eq. ormale =1 = = y - yy - M(Y) =1 =1 = a = b = b = y - y y - y - y M(Y)= y - ya +bx - M(Y) y - y= =1 =1 =1 y - y+b y - y =1 y x - a - bx y - a =1 x x =1 = - b Gova Latorre =1 x =1 x 2 = = 0 =0, II^ eq. ormale =0, I^ eq. ormale 74

75 qud: =1 = =1 y - M(Y) V(Y)=V(Y )+ 2 = 2 y - M(Y) + y - y dvdedo membro a membro per avremo: 1 =1 = y - y =V(Y )+ ma rcordado che M(e)=0 l ultmo terme è par a V(e), coclusoe: V(Y) =V(Y')+V(e) dove: V(Y) = Varabltà Totale = Varabltà delle y osservate; V(Y ) = Varabltà del Modello o della Regressoe = =Varabltà delle y ; Gova Latorre 75 V(e) = Varabltà Resdua = Varabltà degl e. =1 e 2

76 Y y 7 y 9 y 6 y 8 y 4 y 5 y 3 y 2 y 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Gova Latorre I X 76

77 Y Valor d x y 7 y 9 y 6 y 8 y 4 y 5 y 3 y 2 y 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Gova Latorre I X 77

78 Y y 7 y 9 y 6 y 8 y 4 y 5 y 3 y 2 y 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Gova Latorre I X 78

79 Y Retta d Regressoe: Y = a + b X y 7 y 9 y 6 y 8 y 4 y 5 y 3 y 2 y 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Gova Latorre I X 79

80 Y Valor d y y 7 y 9 y 6 y 8 y 4 y 5 y 3 y 2 y 1 I I I I I I I I I V(Y) = Varabltà Totale = Varabltà delle y osservate I I I I I I I I x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Gova Latorre I X 80

81 Y Retta d Regressoe: Y = a + b X y 7 y 9 y 6 y 8 y 4 y 5 y 3 y 2 y 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I Valor d y V(Y ) = Varabltà del Modello o della Regressoe = = Varabltà spegata = Varabltà delle y x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Gova Latorre I X 81

82 Y Retta d Regressoe: Y = a + b X Valor d e y 7 y 9 y 6 y 8 y 4 y 5 y 3 y 2 y 1 V(e) = Varabltà Resdua = Varabltà degl e I I I I I I I I I I I I I I I I I x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Gova Latorre I X 82

83 Coeffcete d determazoe R 2 = V( Y!) V(Y) Valor estrem d R 2 = var. spegata var. totale Se put d coordate (x, y ) soo alleat su ua retta abbamo gà vsto che la Retta d Regressoe cocde co tale retta, pertato: y = y per (=1,,), V(Y ) = V(Y) e R 2 = 1. Se la Retta d Regressoe è parallela all asse delle ascsse s ha che: y = cost. = M(Y ) = M(Y) per (=1,,), pertato: V(Y )= 0 e R 2 = 0. 0 R 2 1 Gova Latorre 83

84 V(Y )= = = = = =1 =1 =1 =1 1 y b Altre propretà d R 2 =1 a+bx x - M(X) + a+bm(x)- M(Y) y - M(Y) 2 = - M(Y)+bM(X)- bm(x) - bm(x)+bm(x)- M(Y) 2 2 b x - M(X) = b x - M(X) 1 =1 2 = 2 = 2 =0, I^ eq. ormale = 2 da cu: V(Y ) = b 2 Gova LatorreV(X) 84

85 Acora: R 2 = V( Y) V(Y) = b' 2 V(X) V(Y) = = Cov(X,Y)2 V(X) 2 V(X) V(Y) = = Cov(X,Y)2 V(X) V(Y) = r(x,y)2 coclusoe, e modell del tpo: Y = a + b X, s ha che: R 2 = r(x,y) 2 Gova Latorre 85

86 Nella dmostrazoe sulla scomposzoe della varabltà avevamo dmostrato che: 1 2 y y y 0 y y y 0 y y pertato: Cov Y, Y qud: = 1 =1 Þ r Y, Y = 1 =1 1 ( ) = Cov(Y, 1 1 y M Y y M Y = y y M Y 2 = 1 =1 Y) V(Y) V( Y) = V( Y) V(Y) V( Y) = 1 y 2 y 2 M Y 2 = V(Y ሻ 0 V( Y) 2 = V(Y) V( Y) = V( Y) V(Y) = coè s ha sempre: Gova Latorre R2 R 2 = r(y,y ). 86

87 Aals de Resdu. (1- R 2 ) c dce quato o è stato spegato dal modello, l Aals de Resdu c dce come l modello o ha spegato dat. Rcordamo che resdu soo deft da: e = y - y, per (=1,..,) e che: a) b) =1 e = V(e)= =1 1 y - y= 0 M(e)= e = 0 =1 e 2 - M(e) 2 = 1 1 =1 =1 e 2 = 1 y - y =1 2 c) V(Y) = V(Y ) + V(e). Gova Latorre 87

88 L Aals de Resdu è d tpo grafco. Essa cosste el costrure dagramm scatter : 1) (y, e ); 2)(x, e ) per (=1,..,) e verfcare adamet o-formatv, ovvero accdetal etro ua bada parallela all asse delle ascsse. Esempo d scatter d Resdu. e y (o x ) Se resdu hao l adameto descrtto ello scatter l modello è adeguato e o mglorable, Gova Latorre ache se R 2 è basso. 88

89 Lo scatter successvo mostra che l modello che ha determato resdu rportat el dagramma o è adeguato, perché u evdete compoete d II grado o è stata catturata e la s rtrova e resdu. e y (o x ) Gova Latorre 89

90 40,00 35,00 30,00 25,00 Dagramma Scatter (a) relatvo a 100 coppe d modaltà (x, y ) de caratter quattatv X e Y M(X)=11,87; M(Y)=9,87; V(X)=58,74; V(Y)=102,84; Cov(X,Y)=41,42; r(x,y)=0,53 b =0,71; a =1,50; R 2 =0,28; X1=5,00; y1=5,03; X2=30,00; y2=22,66. ( sovrmpressoe la retta d equazoe: Y = 1,5 + 0,71 X ) 20,00 15,00 10,00 M y =9,9 5,00 0,00 M x =11,9 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00-10,00-15,00 Gova Latorre 90

91 20,00 15,00 Data set (a) relatvo a 100 coppe d modaltà (x, y ) de e caratter quattatv X e Y ANALISI DEI RESIDUI 10,00 5,00 Y 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00-5,00-10,00-15,00-20,00 Gova Latorre 91

92 Aalogamete, per l data set (b), essedo caratter quattatv X e Y cocord, soo prevalet prodott d scart postv, qud Cov(X,Y)>0, partcolare: Cov(X,Y) = 41,64. 30,00 25,00 20,00 M(X)=11,87; M(Y)=10,29; V(X)=58,74; V(Y)=33,21; Cov(X,Y)=41,64; r(x,y)=0,94; b =0,71; a =1,88; R 2 =0,89; X1=0,00; y1=1,88; X2=20,00; y2=16,05. ( sovrmpressoe la retta d equazoe: Y = 1,88 + 0,71 X ) 15,00 10,00 M(Y)=10,29 5,00 M(X)=11,87 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00 Gova Latorre 92

93 4,00 3,00 Data set (b) relatvo a 100 coppe d modaltà (x, y ) de e caratter quattatv X e Y ANALISI DEI RESIDUI 2,00 1,00 Y 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00-1,00-2,00-3,00-4,00-5,00 Gova Latorre 93

94 Dagramma Scatter (c) relatvo a 100 coppe d modaltà (x, y ) de caratter quattatv X e Y ( sovrmpressoe la retta d equazoe: Y = 24,19-0,74 X ) M(X)=11,88; M(Y)=15,40; V(X)=59,05; V(Y)=36,31; Cov(X,Y)=-43,72; r(x,y)=-0,94; b =-0,74; a =24,19; R 2 =0,89; X1=0,00; y1=24,19; X2=20,00; y2=9, M y =15, Gova Latorre M x =11,

95 4,00 3,00 Data set (c) relatvo a 100 coppe d modaltà (x, y ) e de caratter quattatv X e Y ANALISI DEI RESIDUI 2,00 1,00 Y 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00-1,00-2,00-3,00-4,00-5,00 Gova Latorre 95

96 Data Set (d) relatvo a 100 coppe d modaltà (x, y ) de caratter quattatv X e Y ( sovrmpressoe la retta d equazoe: Y = 1,21 0,004 X ) M(X)=11,82; M(Y)=1,17; V(X)=57,42; V(Y)=9,28; Cov(X,Y)=-0,20; r(x,y)=-0,01; b =-0,004; a =1,21; R 2 =0,00; X1=0,00; y1=1,21; X2=20,00; y2=1,14. 2 M y =1, M x =11, Gova Latorre 96

97 6,00 Data set (d) relatvo a 100 coppe d modaltà (x, y ) e de caratter quattatv X e Y ANALISI DEI RESIDUI 4,00 2,00 Y 0,00 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22-2,00-4,00-6,00 Gova Latorre 97

98 6 4 Data Set (e) relatvo a 100 coppe d modaltà (x, y ) de caratter quattatv X e Y M(X)=2,91; M(Y)=0,14; V(X)=2,01; V(Y)=6,17; Cov(X,Y)=-0,03; r(x,y)=-0,01; b =-0,01; a =0,18; R 2 =0,00; X1=0,00; y1=0,18; X2=4,00; y2=0, M y =0,1 M x =2, Gova Latorre 98

99 6,00 4,00 Data set (e) relatvo a 100 coppe d modaltà (x, y ) e de caratter quattatv X e Y ANALISI DEI RESIDUI 2,00 Y 0,00 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18-2,00-4,00-6,00-8,00 Gova Latorre 99

100 Dat Auto (Auto.xlsx) mpg cylders dsplacemet horsepower weght accelerato year org ame chevrolet chevelle malbu buck skylark plymouth satellte amc rebel sst ford toro ford galaxe chevrolet mpala plymouth fury potac catala amc ambassador dpl dodge challeger se plymouth 'cuda chevrolet mote carlo buck estate wago (sw) toyota coroa mark plymouth duster amc horet ford maverck datsu pl volkswage 1131 deluxe seda peugeot aud 100 ls saab 99e bmw amc greml ford f chevy c dodge d200

101 Dat Auto (Auto.txt) mpg cylders dsplacemet horsepower weght accelerato year org ame dodge ares se potac phoex ford farmot futura volkswage rabbt mazda glc custom l mazda glc custom plymouth horzo mser mercury lyx l ssa staza xe hoda accord toyota corolla hoda hoda cvc (auto) datsu 310 gx buck oldsmoble cutlass cera chrysler lebaro medallo ford graada l toyota celca gt dodge charger chevrolet camaro ford mustag gl vw pckup dodge rampage ford rager chevy s-10

102 Dat Auto (Auto.txt) Regresso: Mpg vs Dsplacemet Gova Latorre 102

103 Dat Auto (Auto.txt) Regresso: Mpg vs Dsplacemet R Retta d Regressoe: Mpg = Dsplacemet R 2 = Gova Latorre 103

104 Dat Auto (Auto.txt) Regresso: Mpg vs Dsplacemet Resduals vs Dsplacemet Resdu formatv Gova Latorre 104

105 Dat Auto (Auto.txt) Regresso: Mpg vs Dsplacemet Resduals vs Ftted Mpg Resdu formatv Gova Latorre 105

106 Dat Auto (Auto.txt) Regresso: Mpg vs Weght Gova Latorre 106

107 Dat Auto (Auto.txt) Regresso: Mpg vs Weght Retta d Regressoe: Mpg = Weght R 2 = Gova Latorre 107

108 Dat Auto (Auto.txt) Regresso: Mpg vs Weght Resduals vs Weght Resdu formatv Gova Latorre 108

109 Dat Auto (Auto.txt) Regresso: Mpg vs Weght Resduals vs Ftted Mpg Resdu formatv Gova Latorre 109