MATEMATICA E STATISTICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI II PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 3

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1 MATEMATICA E STATISTICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI II PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 3 ATTENZIONE! DI OGNI ESERCIZIO GIUSTIFICARE LA RISPOSTA Esercizio 1 Se si elevasse di un ammontare fisso, per esempio 60 euro, lo stipendio degli impiegati statali, come cambierebbe lo stipendio medio? E la deviazione standard degli stipendi? SOLUZIONE: Lo stipendio medio verrebbe aumentato di 60 euro, mentre la deviazione standard resterebbe invariata, infatti La media aritmetica degli stipendi diventerebbe Σ i (x i +60)/n =Σ i x i /n + 60 =x*+60 mentre la deviazione standard sarebbe sqr(σ i (x i +60-(x*+60)) 2 )/n = sqr(σ i (x i -x*) 2 )/n Esercizio 2 Fai un esempio di funzione f: R R che sia non decrescente e tale che 0 f(x) 1 per ogni x. SOLUZIONE: Si possono ovviamente pensare molte funzioni soddisfacenti ai requisiti richiesti, una di queste ad esempio la funzione, definita a tratti, f(x)=0 per ogni x<0, f(x)=x per 0 x 1, f(x)=1 per ogni x>1. Esercizio 3 Quale tra le seguenti funzioni è quella rappresentata in figura? a) f(x) = 2x 2 e x b) g(x) = e x + x c) h(x) = xlogx d) k(x) = 2xe x +1

2 SOLUZIONE: la funzione rappresentata è definita su tutto R e quindi non può essere h(x); essa, inoltre vale 1 per x=0, quindi non può essere f(x) perchè f(0)=0; infine si osserva che la funzione rappresentata ha limite1 per x -, poichè si ha lim x - g(x)= -, mentre si ha lim x - k(x)=1, k(x) è la funzione cercata. Esercizio 4 E noto che una certa grandezza y dipende da x secondo la funzione razionale y(x) = (ax 2 +bx+c)/( dx 2 +ex+f), dove a, b, c, d, e, f sono opportune costanti. Sapendo che la funzione non è definita per x=-1 e per x=-2, inoltre la funzione vale 0 per x=1 e per x=2 ed, infine, y(0)=-1, determina le costanti a, b, c, d, e,f. SOLUZIONE: Poichè y(0)=-1 si ha c/f=-1, da cui c=-f; sapere che la funzione non è definite per x=-1 ed x=-2 significa che per tali valori il polinomio dx 2 +ex+f = 0, dunque si hanno le relazioni: d-e+f=0 4d-2e+f=0 da cui si ricavano, ad esempio f =2d, e=3d, quindi essendo c=-f, si ottiene c=-2d Sapendo che la funzione vale 0 per x=1 e per x=2, ci dice che ax 2 +bx+c si annulla per tali valori e quindi a+b+c=0 4a+2b+c=0 da cui si ricava c=2a= -2d, e quindi a=-d, b=-3a =3d Otteniamo quindi la funzione y(x) =(-dx 2 +3dx-2d)/( dx 2 +3dx+2d), da cui, semplificando, y(x) =(-x 2 +3x-2)/( x 2 +3x+2)

3 Esercizio 5 A partire dal grafico di sinx, a) disegna il grafico di f(x)=1+2sinx; b) determina per quali x, eventualmente, f(x)=0 c) determina per quali x 1+2sinx>0 d) disegna il grafico di g(x)= 1/(1+2sinx), dove è definita g(x)? Per quali x si ha g(x)>0? SOLUZIONE: a) b) 1+2sinx=0 quando sinx=-1/2, quindi per x=7π/6 +2kπ e per x=-π/6 + 2kπ, per ogni k intero; c)1+2six>0, quando sinx > -1/2, quindi per -π/6 + 2kπ<x<7π/6 +2kπ per ogni k intero; d) la funzione NON è definita dove 1+2sinx=0, quindi NON è definita per x=7π/6 +2kπ e per x=-π/6 + 2kπ, per ogni k intero; si ha g(x)>0 quando 1+2sinx>0, quindi per -π/6 + 2kπ<x<7π/6 +2kπ per ogni k intero.

4 Esercizio 6 Si vuole verificare se il livello produttivo del mais dipenda dalla dose di fertilizzante utilizzato. A tal proposito, viene suddiviso un terreno in 10 parcelle nelle quali si usa un dosaggio di fertilizzante diverso e poi si misura il peso della granella di mais. Si hanno i seguenti risultati: Unità fertilizzante Peso granella Si può affermare che ci sia una relazione lineare tra le due variabili? Fare una analisi di regressione.

5 SOLUZIONE: Completiamo la tabella nel modo seguente: X: fertilizzante Y:Peso X 2 Y 2 XY granella X*=176.4 Y*=68.9 (X 2 )*= (Y 2 )*= (XY)*= Possiamo ora facilmente calcolare Y=mX+q, dove m=( (176.4)(68.9))/( (176.4) 2 ) 1.34 q=68.9-(1.34)(176.4) Il coefficiente di Pearson CP=( (176.4)(68.9))/sqr[( (176.4) 2 )( (68.9) 2 )] 0.91 Quindi il coefficiente di Pearson è piuttosto vicino ad 1 e mostra una buona approssimazione lineare di Y in funzione di X.