Curricolo di matematica (primaria e secondaria di Ig) nella prospettiva di un approccio precoce all algebra

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1 Rappresentare un numer in frma plinmiale. Giustificare la prcedura usata per rislvere situazini prblematiche. Indicatri e biettivi di riferiment Saper rislvere semplici prblemi cn l us di segni grafici, metafre dell incgnita Cnscere la rappresentazine della divisine nella frma a=b q+r ricnscend che una divisine fra un numer e un su fattre ha rest 0. Individuare multipli e divisri di un numer. Cstruire e cmpletare serie e ritmi sul pian mtri, ggettuale, verbale, icnic frmand sequenze rdinate secnd un criteri. Ricnscere la mdularità della struttura. Utilizzare le relazini individuate per prevedere nuvi risultati sulla base di quelli precedenti. Stabilire crrispndenze scritte tra i numeri d'rdine delle psizini degli elementi e le relative figure di un fregi e cnscere la 'regla' che permette di trvare un element cnscend il numer della psizine. Osservazini generali 1. Le prve nn sn cncepite in md mirat per delle classi specifiche; sarà l insegnante, sulla base dell esperienza sua e degli alunni, e dei sui biettivi, ad iniziare cn le prve che riterrà più adatte, e a valutare cme prcedere sulla base delle rispste ttenute. Mlte prve sn strutturate cme episdi di classe che gli alunni devn esplrare e rislvere immedesimandsi nelle situazini descritte. 2. Numerse prve favriscn la graduale cnquista nelle attività sulla ricerca di reglarità - del significat del rest della divisine cme numer di pst di un element nel mdul. Ci spieghiam cn un esempi, rimandand per gli apprfndimenti all Unità 12. Nella successine: le psizini dei quattr elementi, espressi in funzine del numer degli elementi del mdul, sn: = = = = = = = = = = = =4 3+0 Si nta che, in gni scrittura, l increment del relativ multipl di 4 che è il rest della divisine nella sua rappresentazine euclidea - è uguale al numer della psizine di quell element nel mdul. 3. Il dcente, a secnda della situazine in cui pera, può utilizzare i quesiti sia per intrdurre/rinfrzare cncetti in crs d pera che per verificare il livell di acquisizine di cmpetenze già cstruite. 4. Va sempre curata cn la massima attenzine l argmentazine; nel cas di attività cllettive, bisgna evitare che gli alunni cntribuiscan aggiungend pezzettini al raginament e che sia l insegnante a cstruirl nella sua cerenza generale. Bisgna che gni alunn mantenga la respnsabilità persnale della cstruzine dell argmentazine. 5. Chiarimenti e apprfndimenti si trvan nell Unità 10 e nell Unità 12, Secnda Fase.

2 Argmenta le tue rispste 1. In quest mdul : a) in che psizine sta il quadrat blu? b) che pst ccupa il tnd vila? c) che element c è al terz pst? d) qual è il numer della psizine del tnd arancine? Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Suggeriam all insegnante di nn accntentarsi di rispste cme La secnda Il quadrat verde ma di richiedere una rispsta cmpleta del tip: Il quadrat blu sta nella secnda psizine e Al terz pst c è il quadrat verde. Riprtiam a quest prpsit un invit tratt da The Natinal Numeracy Strategy, Department fr Educatin and Emplyment, GB che abbiam inserit in Curricl, Prima Parte: Chiedete agli alunni di frnire delle rispste cstituite da più di una singla parla di un singl numer. Per esempi, talvlta ptreste richiedere che la rispsta a dmande brevi cme: Quant fa 16 più 8? sian espresse cn la frase cmpleta: Sedici più tt è uguale a ventiquattr. Ptresti inltre invitare gli alunni alla lavagna e prtarli a scrivere in frma simblica: 16+8=24. Argmenta le tue rispste 2. In questa successine: a) in che psizine c è la prima frbice? b) In che psizine c è il secnd telefn? c) Qual è il numer della psizine della terza gccia? d) La quinta frbice in che psizine si trva? e) Al 13 pst che element c è? f) In che psizine si trva il prim element del secnd mdul? g) La secnda frbice del quart mdul in che psizine sta? Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Anche in quest cas è necessari stimlare la verbalizzazine, richiedend frasi chiare e cmplete. Ad esempi: Le prime frbici sn il terz element sia del mdul che della successine ; Il secnd telefn è il sest element della successine ; La terza gccia è il nn element della successine. Il calcl è favrit se si ragina per mduli, ad esempi: la quinta frbice è al terz pst nel terz mdul, quindi si aggiunge 3 al prdtt fra 4 e 2.

3 Argmenta tutte le tue rispste 3. Cmpleta la successine inserend gli elementi nascsti stt le macchie: 4. Numera la psizine degli elementi visibili di questa successine. Csa sservi? 5. Numera sl la psizine dell ultim element di gni mdul. Csa nti? Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Ai numeri dispari crrispndn smile allegri e ai pari smile tristi. Una situazine analga a questa viene prpsta e cmmentata in Unità 12, Situazine 8, Diari 8, pag. 62. Risulta evidente che l assciazine cn l alternanza dispari-pari nn è immediata, ma cstituisce una cnquista culturale favrita dalla discussine cllettiva. 3. L ultim element di gni mdul, il, si trva in psizini che crrispndn ai multipli di 3. Situazini analghe a questa vengn prpste e cmmentate in Unità 12, Situazine 8, Diari 9, 10 e 11, pag. 63 e seguenti. Argmenta tutte le tue rispste 6. In questa successine: a) Numera le psizini degli elementi che si ripetn: b) Spiega cme ttieni i numeri delle psizini. c) Spiegal a Brishi in linguaggi matematic. Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : : ; : ; : ; : b) I numeri delle psizini si ttengn aggiungend 4 (il numer degli elementi del mdul) al numer della prima psizine ccupata da quell element nella successine. Si può sservare che l ultim element di gni mdul si trva in una psizine che è multipl del numer degli elementi del mdul. c) per esempi: 5=1+4 1, 9=5+4 2, 13=1+4 3, 17=1+4 4, 21=1+4 5 e csì via. La spiegazine per Brishi si ttiene traducend in linguaggi matematic la rispsta b). Questa attività è imprtante perché prepara alla rappresentazine euclidea della divisine.

4 7. Data questa successine: a) Che element c è al 34 pst? Spiega a parle cme fai a capirl. b) Rappresenta il 34 in md che Brishi capisca il tu raginament. Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Le strategie pssibili sn più d una: la più semplice: si può dividere 34 per il numer degli elementi del mdul (4), si trva il numer dei mduli cmpleti (8) e si ricnsce che il rest 2 indica il secnd element del mdul (la secnda penna). Per Brishi la rappresentazine diventa simile a questa: 34:4=8 rest 2. La secnda, più evluta, prta alla rappresentazine euclidea della divisine, e ciè per Brishi: 34= L argment, ndale in quest tip di attività, va apprfndit attravers l Unità 12 della Cllana ArAl. 8. Lucia, disegna il simbl nell 11 pst, ma senza clrare i simbli che l precedn. Spiegaci cme fai. Aiuta Lucia nel su cmpit. Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : L insegnante può prmuvere la scrittura alla lavagna dei numeri delle psizini in crrispndenza degli elementi per aiutare la lr visualizzazine. Le strategie più frequenti sn due: (a) una più semplice, mediante la quale l alunn immagina di clrare le palline una per vlta finché nn è arrivat all 11 a psizine; (b) una più evluta, in cui l alunn cglie la significatività del mdul e si spsta di tre elementi in tre elementi.

5 9. Gli alunni hann cstruit cn il Leg una successine sul paviment e hann cpert alcuni elementi. Luigi deve scprire cme sn fatti e dire il numer della lr psizine. Aiuta Luigi a rispndere spiegand I tui raginamenti. Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : L argment dell idea di incgnita è un tema mlt imprtante e delicat e l trattiam in md mlt apprfndit e cn il supprt di numersi diari di classe nell Unità 10, Secnda fase, pagg La maestra ha chiest a tre alunni di inserire i simbli nei psti indicati dalle frecce: Le ha disegnat il triangl, Pi il quadrat e Mea il triangl. Valuta le lr sluzini. Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Vist il numer limitat di elementi visibili della successine le strategie sn in genere due: (a) aggiungere un alla vlta gli elementi del mdul sin ad arrivare a quelli indicati dalle frecce; (b) aggiungere mduli interi. È imprtante il cnfrnt tra le due strategie. Prbabilmente gli alunni si stupiscn quand trvan che due sluzini sn sbagliate perché nn sn abituati a cnfrntarsi cn questa pssibilità. Ma la difficltà è dvuta sprattutt al fatt che la rispsta deve essere elabrata a livell metacgnitiv, in quant bisgna riflettere sul disegn, capire che è sbagliat e infine individuare ed esprimere la rispsta crretta. Cn alunni più grandi ai quali venisse prpsta, la situazine può favrire la riflessine sul rest della divisine cme numer di pst di un element nel mdul: 10=4 2+2 il secnd element del mdul è il triangl rss e nn il giall; 10=4 2+0 il quart element del mdul è il quadrat; 19=4 4+3 il terz element del mdul è il tnd e nn il triangl.

6 11. Anna, sei capace di trvare senza fare il disegn l element che sta al 36 pst in una successine cn il mdul? Brava! Dunque sì: il. Maestra, può spiegare cme ha fatt? Nn h capit... Sai spiegare tu al pst di Anna? Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Anna ptrebbe spiegare Il mdul è di quattr elementi, 36 è multipl di 4 e quindi al 36 pst c è l ultim element del mdul, e ciè. 12. Che element c è al 48 pst? Caspita che velce! Luigi, ci spieghi cme hai fatt? Una banana! Mettiti nei panni di Luigi e spiega alla classe. Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Luigi ptrebbe dire qualcsa del genere Il mdul è di cinque elementi; il multipl di 5 che si avvicina di più a 48 è 5 per 9 e aggiung 3 per arrivare a 48. Il terz element del mdul è quindi la banana.

7 13. (a) 1+3x9 (b) 1+4x7 (c) 3+5x5 Gli alunni dvevan rappresentare in frma nn cannica il 28 pst della successine. Si apre la discussine. Maestr, sl una di queste frasi va bene. Le altre due sn sbagliate! Federica, spiegati megli Se fssi Federica csa spiegheresti alla classe? Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Federica ptrebbe argmentare Il mdul è di quattr elementi, quindi il multipl in una scrittura deve essere multipl di 4; quest succede sl nella (b). La (a) ptrebbe riferirsi a 9 mduli di 3 elementi ppure a 3 mduli di 9 elementi; la (c) si riferisce a 5 mduli di 5 elementi. In cnclusine: (b) fa capire che il 28 element di questa successine è il prim dell ttav mdul, e ciè la prima casetta. 14. (a) 79=4x19+3 (b) 4x20-1=79 (c) 79=4x18+7 L insegnante ha chiest di rappresentare l element nella 79 a psizine della successine generata dal mdul disegnat alla lavagna e di dire qual è. Gli alunni lavran individualmente. Tre prpste vengn ricpiate alla lavagna. Immagina di partecipare alla discussine e spiega le tue sservazini su (a), (b), (c). Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Un alunn ptrebbe argmentare in quest md: Per cminciare, h verificat che le tre uguaglianze sn crrette: si riferiscn al mdul disegnat perché cntengn multipli di 4. La (a) è il numer della psizine del terz element del 20 mdul, il quadrat; la (b) l h capita perché mi sn ricrdat della metafra dell autbus, quindi vad indietr di un pst e arriv ancra al quadrat; la (c) è sbagliata cme rappresentazine del numer di pst perché il 7 cntiene il 4, e quindi la frase andrebbe riscritta nella frma 79=4 19+3, quindi sarebbe uguale alla (a). Alunni più grandi ptrebbe essere guidati ad sservare avend rmai cnfidenza cn la frma euclidea della divisine - che il rest 7 nn può essere maggire del divisre 4.

8 15. (a) 3x92+2 (b) 3x165-1 (c) 418x3+1 Brishi ci ha mandat queste tre frasi. Sapete dirmi a quali elementi della successine crrispndn? Prva a rispndere anche tu alla dmanda dell insegnante. Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : La rispsta più evluta, una vlta fatt il cntrll che le tre scritture fann riferiment ad un mdul di tre elementi, tiene cnt semplicemente del numer aggiunt tlt al prdtt. In (a) è l smile, in (b) ancra l smile, in (c) l min. I numeri grandi nei prdtti vglin prpri favrire quest apprcci che crtcircuita l imprtanza del calcl a favre dell interpretazine della struttura della rappresentazine del numer in frma nn cannica. 16. Oggi è il prim girn di primavera, ed è dmenica. Francesc si alza tardi. Il mi cmpleann è il 28 maggi. Chissà se è dmenica. Mah! Teresa, nn pss aiutarti. Nn ne h idea. Frse nn è csì difficile capirl. Pens che ce la pssiam fare Aiuta Teresa a rislvere la questine e ad rganizzare la rispsta. Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Teresa ptrebbe argmentare: Dev calclare quanti girni ci sn fra ggi (21 marz) e il 28 maggi: mancan 10 girni al 31 marz, pi ci sn i 30 girni di aprile e i 28 di maggi; in tutt =68. Pss vedere questi girni cme una successine di mdul 7, quindi divid 68 per 7 e tteng 9 settimane cn un rest di 5 girni. Il mi cmpleann è quindi di venerdì.

9 Argmenta sempre le rispste 17. In quest fregi: (a)filipp sstiene che al 64 pst c è una stella. Ha ragine? (b)erica è velce nel dire che al 121 pst c è un tnd. Cme ha fatt? (c) Elena dice che al 95 pst c è il secnd di tre triangli. È ver? Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : La strategia più efficace si basa sui multipli di 6 (numer degli elementi del mdul). Ricrrend anche al linguaggi matematic si può mettere in evidenza che in (a) 64= quindi Filipp sbaglia perché il 64 element è il prim triangl del 65 mdul; in (b) 121=6 20+1, quindi Erica ha ragine ma avrebbe fatt megli a precisare il prim tnd del 21 mdul; in (c) 95= quindi Elena ha rispst crrettamente. 18. Nel fregi generat da quest mdul: spiega a che elementi crrispndn le scritture: (a) (b) (c) (d) (e) Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Può darsi che, per rispndere in merit ad (a), vista la picclezza dei numeri, qualche alunn ricrra al calcl. I numeri pi però sn tali da scraggiare questa strategia e da rinfrzare l idea che è sufficiente sservare il numer aggiunt tlt al prdtt,e ciè il rest. Si nta che le scritture (a) e (d) rimandan all stess element, naturalmente in mduli diversi.

10 19. La classe ha analizzat questi mduli e ha scritt le frasi che li riguardan su dei pst it. Purtrpp i pst it si sn staccati e ra c è una grande cnfusine. 119= Aiuta a mettere rdine. Spiega cme fai. Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Gli alunni cntrllan in gni scrittura i fattri del prdtt e in un di essi ricnscn il numer degli elementi che li cnduce ad un dei mduli (gli ultimi due pst it pssn riferirsi ad entrambi i mduli di 4 elementi). Fatt quest, analizzan il numer aggiunt al prdtt, che li indirizza alla psizine dell element nel mdul cnsiderat. Ad esempi: in 29=5 5+4 si ricnsce l ultim mdul (5 elementi) e il su quart element (la campana). 20. L insegnante lancia questa sfida: Cme vedi h cancellat il mdul. Sei capace di ricstruirl interpretand gli indizi che ti d? Mettiti in gic e accgli la sfida! Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Ancra una vlta la strategia più efficace passa attravers il numer degli elementi del mdul, i lr multipli e il numer che viene aggiunt (che, nella rappresentazine euclidea, sarebbe il rest della divisine). Un argmentazine ptrebbe essere Il mdul è frmat da quattr elementi; se riscriv i numeri delle psizini in frma nn cannica: il 10 pst pss riscriverl cme 4 2+2, quindi il quadrat si trva al secnd pst del mdul; 13=4 3+1, quindi il tnd sta al prim pst; 16=4 4, quindi il triangl sta all ultim pst (il rest, esplicitat men, è zer); 19=4 4+3, quindi l esagn sta al terz pst. In cnclusine il mdul è: tnd, quadrat, esagn, triangl. Nn deve stupire se qualche alunn si lascia superficialmente distrarre dall rdine delle quattr figure e pensa che sia quell degli elementi del mdul.

11 21. L insegnante lancia questa sfida: (a) 81=27 3 TONDO ROSSO (b) 5+4=84 man (c) 308= 61+3 secnda frbici (d) =142 prim cure Cnfrntand mduli e frasi, sei capace di ricstruire le parti che h cancellat? Mettiti al lavr e spiega cme fai. Passa a: Cpertina Obiettivi Prim: Sec 1 : Un alunn ptrebbe argmentare in quest md: In (a) il mdul è di 3 elementi, quindi è il secnd mdul disegnat; il rest è 0, quindi è l ultim element e ciè il tnd; in (b) l indicazine della man cnduce al quart mdul di 5 elementi, quindi per capire qual è il numer cancellat pss farl a mente (84-4):5 ppure impstare e rislvere un equazine (n 5+4=84) trvand in entrambi i casi 16; il (c) si riferisce a prim mdul, quindi anche qui è cancellat il 5; in (d) si tratta del terz mdul quindi è cancellat il 2.