ANALISI DELLO STATO DI DEFORMAZIONE

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1 ANALS DELLO STATO D DEFORMAZONE Un mo continuo, da un punto di vista macroscopico, è una rgion dllo spaio V, dlimitata da una o più suprfici chius d occupat da matria in ogni sua part, comunqu piccola. Mi continui sono i solidi, i liquidi gli ariformi. Un mo continuo si dic dformabil s possono variar l posiioni rlativ di suoi punti; in caso contrario si dic rigido. Applicando ad un mo continuo, già in quilibrio sotto l aion di crt aioni, un sistma di aioni aggiuntiv, si provocano gnralmnt in sso dll variaioni di configuraion (spostamnti). Possono sistr spostamnti pr i quali non variano l posiioni rlativ dll singol parti dl mo continuo, quindi l distan rlativ tra i suoi punti: si tratta di moti rigidi o, più prcisamnt, di traslaioni rotaioni rigid. Epurando il campo di spostamnti dai moti rigidi si ottin la dformaion pura subita dal mo continuo. 1

2 CONFGURAZONE NZALE d ATTUALE Si considri un solido struttural nll configuraioni indformata (iniial) dformata (attual). O V n uno spaio uclido tridimnsional, fissato un rifrimnto cartsiano ortonormal, sia P º{,, } la posiion assunta da un punto Pº{,,} a dformaion avvnuta. Si dfinisc spostamnto dl punto P il vttor u(p), avnt pid nl punto P tsta nl punto P : u(p)= [u (P) u (P) u (P)] T dov u (P)= -, u (P)= - u (P)= - sono l componnti di spostamnto, scondo i tr assi coordinati. 2 P u(p) V Configuraion attual u (P) Configuraion iniial P u (P) u (P)

3 CAMPO di SPOSTAMENT CONTNUO d NVERTBLE Si assuma ch il campo di spostamnto dl solido struttural sia congrunt: 1) Estrnamnt: in corrispondna di punti vincolati sulla frontira dl volum, il campo di spostamnto è compatibil con i vincoli stssi. 2) ntrnamnt: nl volum dl continuo matrial non si vrificano né distacchi (frattur), né compntraioni di matria: a tal fin il campo di spostamnti dv ssr dscritto da una funion continua, monodroma (ad un sol valor), d invrtibil. Campo di spostamnti non continuo (Lacraion di matria) Campo di spostamnti non invrtibil (Compntraion di matria) 3

4 CAMPO di SPOSTAMENT NFNTESM Si considri un solido struttural nll configuraioni indformata (iniial) dformata (attual) di valuti il campo di spostamnti infinitsimi in un intorno dl punto P. n C C C O r P dv a) V S V u S L O r r' P u( P ) b) P' u n potsi di spostamnti dformaioni infinitsimi prciò trascurabili risptto all dimnsioni finit dl solido lastico 4

5 CAMPO di SPOSTAMENT NFNTESM Si considri un solido struttural nll configuraioni indformata (iniial) dformata (attual).siano Pº{,,} un gnrico punto dl solido struttural Qº{+d,+d,+d} un punto appartnnt all intorno di P. dr Q Q u(q) d r du dr r P r u(p) P dr + u (Q) = u (P) + dr = u (P) + dr + du u (Q) = u (P) + du 5

6 CAMPO di SPOSTAMENT NFNTESM Sviluppando in sri di Talor l componnti di spostamnto scritt in notaion matricial, si ottin: u u J r 0 ì u (P) u (P) u (P) u = u + d + d+ d + ï u (P) u (P) u (P) u (P) u (P) u (P) u = u + d + d+ d + ï ïî (Q) (P) 0(2) (Q) = (P) + (P) d + (2) Û íu(q) = u(p) + d + d+ d + 0(2) (Q) (P) 0(2) dov J(P) è la matric jacobiana dll componnti di spostamnto, valutata in P 0(2) indica infinitsimi di ordin suprior al primo: J(P) é u(p) u(p) u(p) ù ê u (P) u (P) u (P) ú = ê ú u(p) u(p) u(p) êë úû dov dr=[d, d, d] T è il vttor distana tra i punti P Q. 6

7 MATRC di DEFORMAZONE di ROTAZONE La part misimmtrica dlla matric jacobiana nl gnrico punto P è la matric di rotaion, si indica con W(P); la part simmtrica è la matric di dformaion (o tnsor di dformaion), si indica con (P). W 1 é ù 1 é ù 2 ë û 2 ë û T T (P) = J( P) - J( P) ; (P) = J( P) + J( P) Dunqu, trascurando i trmini di ordin suprior al primo, il campo di spostamnti nll intorno dl punto P si scriv: u(q) = u(p) + W(P) dr + (P) dr = du R (P) + du D R primi du trmini a scondo mmbro dfiniscono un atto di moto rigido du (P): rapprsntano, rispttivamnt, lo spostamnto dl punto Q dovuto ad una traslaion rigida assim al punto P ad una rotaion rigida attorno al punto D P. l tro trmin du, infin, rapprsnta il contributo consguna di una dformaion pura. 7

8 MATRCE di ROTAZONE Omssa la dipndna splicita dal punto P, il tnsor di rotaion si può riscrivr nlla forma: é 1é u u ù 1é u u ùù ê ú 2ê ú ë û ë û 1é u u ù 1é u u ù W = = êë úû êë úû 1é u u ù 1é u u ù êë2êë úû 2êë úû úû é 0 w w ù - = w 0 -w ê-w w 0 ë úû w + p 2 w La sconda uguagliana è valida nll ipotsi di piccoli spostamnti 8

9 MOTO RGDO DEFORMAZONE PURA n figura i tr contributi sono splicitati con rifrimnto al caso di una trav a mnsola soggtta ad una fora applicata all strmo libro. 9

10 MOTO RGDO DEFORMAZONE PURA n figura i tr contributi sono splicitati con rifrimnto al caso di un solido piano. Configuraion iniial C Configuraion attual C 10

11 MATRCE o TENSORE di DEFORMAZONE Omssa la dipndna splicita dal punto P, il tnsor di dformaion si può riscrivr nlla forma: é u 1 é u u ù 1é u u ùù ê ú 2ê ú ë û ë û é 1 u u u 1 u u é ù é ù ê = = êë úû êë úû 1 u u 1 u u é ù é ù u êë + + êë2 êë úû 2 êë úû úû g g g g 1 1 ê2 2 g 1 2 g 1 2 ù úû dov la sconda uguagliana è valida nll ipotsi di piccoli spostamnti dov l componnti spciali di dformaion i (stnsional) g ij (angolar), con i,j=,, i¹j, sono: i u u u i i = ; g = + ij i j i j 11

12 GRANDEZZE FSCHE dlla DEFORMAZONE Pr dscrivr lo stato di dformaion in un solido struttural occorr conoscr la variaion di lungha la variaion di dirion subit da un gnrico sgmnto infinitsimo PQ a sguito di un assgnato campo di spostamnti, ch conduc il solido struttural dalla configuraion iniial C alla configuraion attual C. C C Al limit pr Q P, lo studio dll variaioni di lungha (dilataioni contraioni) di dirion (scorrimnti) fornisc informaioni complt sullo stato di dformaion nll intorno dl gnrico punto P, da cui si risal alla dformaion dl solido struttural. 12

13 GRANDEZZE FSCHE dlla DEFORMAZONE Si dfinisc dilataion mdia dl sgmnto PQ la quantità adimnsional fornita dal rapporto incrmntal: PQ = PQ - PQ PQ Facndo tndr il punto Q al punto P lungo un assgnata rtta r, il sgmnto PQ divin infinitsimo; il limit fornisc la dformaion stnsional nl punto P scondo la dirion r, con r dirion dl sgmnto PQ nlla configuraion iniial: r = lim Q P PQ - PQ PQ Configuraion iniial P Q L dformaioni stnsionali sono positiv s corrispondono ad un allungamnto dll fibr (dilataioni), ngativ s corrispondono ad un accorciamnto (contraioni). P Q Configuraion attual r 13

14 GRANDEZZE FSCHE dlla DEFORMAZONE Al fin di comprndr il significato fisico dgli lmnti dl tnsor di dformaion si isoli un paralllpipdo é u 1é u u ù 1é u u ùù + + 2ê ú 2ê ú ë û ë û 1é u u ù u 1é u u ù = êë úû êë úû 1é u u ù 1é u u ù u + + êë2êë úû 2êë ûú úû infinitsimo. Dall sam dlla dformata in dirion si ottin: u(,,) u u u + d D AB - AB u (+ D,, )- u (,, ) u( + D,, ) u u + = lim = lim = D 0 AB D 0 D u d 14

15 GRANDEZZE FSCHE dlla DEFORMAZONE Siano a b du smirtt uscnti dal gnrico punto P dl solido struttural nlla configuraion iniial, sia J l angolo ch ss formano. Nll intorno di P, quindi, si considrino du fibr PA PB appartnnti a tali smirtt d orintat concordmnt ad ss: a dformaion avvnuta cambia anch la loro dirion rlativa. n altr parol, l angolo J ch l corrispondnti smirtt a b (uscnti dal punto P passanti pr A B, rispttivamnt) formano nlla configuraion attual è, in gnr, divrso dall angolo iniial J. Si dfinisc scorrimnto mutuo, o cofficint di dformaion angolar, tra l du dirioni a b, la quantità adimnsional fornita dal limit: ( ) lim g = J- J = ab -ab ab lim P( ) A P A B P B P C P P B A J A B J a C b a b Lo scorrimnto è positivo s corrispond ad una diminuion dll angolo J, pr dfiniion il minor in valor assoluto tra qulli formati dall smirtt a b. 15

16 GRANDEZZE FSCHE dlla DEFORMAZONE Al fin di comprndr il significato fisico dgli lmnti dl tnsor di dformaion si isoli un paralllpipdo u u (,+ D,)? é u 1é u u ù 1é u u ùù + + 2êë ú 2ê ú û ë û 1é u u ù u 1é u u ù = êë úû êë úû 1é u u ù 1é u u ù u + + êë2ê ë úû 2êë úû úû infinitsimo s n studia la dformata nl piano O(,). D u u D π /2 u u (+ D,,) g é u u ù u = = + = û æp ö u (,+,)- u (,, ) (+ D,,)- (,,) u lim q D D 0ç êè ø D D ú D 0ë 16

17 TENSORE di DEFORMAZONE Lo stato di dformaion in un solido struttural è dunqu noto s sono not la variaion di lungha la variaion di dirion subit da un gnrico sgmnto infinitsimo a sguito di un assgnato campo di spostamnti. l tnsor di dformaion si può anch scomporr nlla somma di si matrici simmtrich, di cui l prim tr rapprsntano l dformaioni stnsionali pur nll dirioni dgli assi coordinati, l scond tr i corrispondnti scorrimnti angolari puri: é 1 1 2g 2g ù é 0 0ù é0 0 0ù é0 0 0ù 1 1 = 2g 2g = g 2g êë úû êë úû êë úû êë úû é g 0ù é g ù é ù g g ê ú ê 2 g g ë û 0 ë ûú êë úû 17

18 TENSORE di DEFORMAZONE Al fin di splicitar il significato di qusti si contributi, si considri un solido cubico con tr spigoli di lungha l disposti lungo gli assi coordinati,. Sottoponndo il solido a tr dilataioni pur nll dirioni dgli assi coordinati, cioè a tr allungamnti Dl = l, Dl = l Dl = l, ch mantngono inaltrat l dimnsioni ortogonali, si ottngono i primi tr contributi al tnsor di dformaion. Dl Dl Dl ¹ 0 ¹ 0 ¹ 0 Dl Dl = Dl = l = l 18

19 TENSORE di DEFORMAZONE Sottoponndo il solido cubico a tr scorrimnti angolari puri ni piani dfiniti dagli assi coordinati, pr cui du facc iniialmnt ortogonali a dformaion avvnuta subiscono rotaioni di vrso opposto g, g g, mantnndo inaltrati gli angoli ni piani ortogonali, si ottngono gli ultimi tr contributi al tnsor di dformaion. g ¹ 0 g ¹ 0 g ¹ 0 19

20 DEFORMAZON DREZON PRNCPAL l tnsor di dformaion, com il tnsor di tnsion s, è un tnsor doppio simmtrico. È dunqu rapprsntato da una matric simmtrica. Ci si chid s sistono dll dirioni particolari ch subiscono solo dilataioni stnsionali non angolari. Cioè s sistono du rtt m d n ch rimangono ortogonali dopo la dformaion. P dr = drn Q m R u(q) = du (P) + du = u(p) + W( P) dr + (P) dr D = Eliminando i moti rigidi si ottin ch: P m º m n u (P) u (Q) P m dr = dr n Q Q D du Q n n º n D D du = (P) dr = du n (P) drn = d u D n 20

21 DEFORMAZON DREZON PRNCPAL l tnsor di dformaion, com il tnsor di tnsion s, è un tnsor doppio simmtrico. n prftta analogia con qust ultimo, dunqu, sono numri rali gli autovttori d autovalori di, soluion dl problma: D (P) n = ln; l = du / dr L quaion carattristica, l cui radici sono l dformaioni principali, si scriv: é 1 1 ù -l g g p( l) = dt g l g - l l l = = 1 1 g g - l êë 2 2 úû dov, d prndono il nom di invariant linar, quadratico cubico dlla dformaion, dati rispttivamnt da: = + + = tr( ) = g - g - g; = dt( )

22 DEFORMAZON DREZON PRNCPAL La soluion fornisc, rispttivamnt, l dirioni principali di dformaion, indicat con,,, d i valori dll dformaioni stnsionali scondo tali dirioni,,. Nl rifrimnto principal {,,}, dunqu, il tnsor di dformaion è diagonal: é 0 0 ù = 0 0 ê 0 0 ë úû Nl rifrimnto principal {,,}, gli invarianti di dformaion assumono l sprssioni: 1 = + + = tr( ) = + + ; = = dt( ) 2 3 l campo di dformaioni nll intorno dl gnrico punto P si può pnsar com la sovrapposiion dll sol tr dformaioni stnsionali lungo l dirioni principali,,, mutualmnt ortogonali. 22

23 DEFORMAZON DREZON PRNCPAL Configuraion iniial dformata nl rifrimnto: a) cartsiano, b) principal dlla dformaion, c) principal a mno di moti rigidi. 23

24 DEFORMAZON DREZON PRNCPAL Configuraion dformata nl rifrimnto: a) principal a mno di moti rigidi, b) cartsiano con ass = principal dlla dformaion. a) b) a) b) 24

25 COEFFCENTE di DLATAZONE CUBCO S l tr dformaioni principali sono tutt tr divrs tra loro divrs da ro si ha uno stato di dformaioni triassial. S una dll tr dformaioni principali è nulla l altr du sono non null si ha uno stato di dformaioni piano (o biassial). S du dll tr dformaioni principali sono null l altra è non nulla si ha uno stato di dformaion monoassial (o linar). Si dimostra ch la variaion rlativa di volum dll unità di volum di un paralllpipdo lmntar, contnuto in un assgnato intorno, è data dalla traccia dl tnsor di dformaion, ch coincid con l invariant primo dlla dformaion d è dtta cofficint di dilataion cubico: D V -D V = = + + = + + = DV lim tr( ) D V Gli altri du invarianti dlla dformaion,, non possidono un significato 2 fisico altrttanto vidnt. 25

26 PARTCOLAR STAT DEFORMATV S l tr dformaioni principali sono tutt tr divrs tra loro divrs da ro si ha uno stato di dformaioni triassial. S una dll tr dformaioni principali è nulla l altr du sono non null si ha uno stato di dformaioni piano (o biassial). p(l) p(l) s s h s l s s s h l 26

27 STAT CNEMATCAMENTE AMMSSBL Equaioni di Compatibilità nl volum V: u u u u u = ; = ; = ; + = g u u u u + = g; + = g in V n forma matricial u= L Si quaioni in tr incognit: Sistma localmnt labil Condiioni cinmatich al contorno: C u= u sulla suprfici vincolata S V C T L S L V S V é ù ê ú éu ù u ê ú u ê ú = ; =u ; êë é ë T = ê g g g ú ù û V úû ë û 27

28 STAT CNEMATCAMENTE AMMSSBL Assgnato un campo di spostamnti, è smpr possibil risalir, pr drivaion, all dformaioni ch risultano congrunti con gli spostamnti. Pr risalir invc ai 3 spostamnti not l 6 dformaioni, il problma è indtrminato. È ncssario dunqu ch l dformaioni soddisfino ultriori condiioni di intgrabilità dtt di congruna intrna. Dll 6 condiioni, 3 sol R 1 ( 36 ) 2 i 1 é gij g g ik = + - jk 2 iêë k j i g é ij ù i j = ij ê j i ú ë û é = êë 2 2 R n forma matricial: ( 66 ) ( 61 ) ( 61 ) ù úû R 2 ( 36 ) jk in V ù úû = 0 sono indipndnti, ss dvono infatti soddisfar l idntità di BANCH: CR T L =0 R é = êr R ë T T T ê 1 2 ( 66 ) ( 63 ) ( 63 ) é ù = ê ë úû ù ú û

29 du ( ) ( ) = ε ; d du ( ) = γ d dϕ ( ) = κ ( ). d Equaioni indfinit di Compatibilità ( ) ϕ( ) Tr quaioni in tr incognit: Sistma localmnt isostatico ; CONFRONTO con la TRAVE u(, u(,, ), ) u(,, ) = + = (,, ); γ (,, ); u(,, ) u(,, ) u(,, ) = (,, ); + = γ (,, ); u(, u(,, ), ) u(,, ) = (,, ); + = γ (,, ); Equaioni indfinit di Compatibilità Si quaioni in tr incognit: Sistma localmnt labil in V La soluion dll quaioni diffrniali richid la conoscna dll condiioni al contorno 29

30 . Assgnato il campo di spostamnto : ( ) ESERCZ u u u 2 2 (, ) = α ; (, ) = α + 2 ; (, ) = α. Con 0< α 1, dtrminar:la matric di rotaion, la matric di dformaion, l dformaioni principali. Assgnato lo stato di dformaion rapprsntato in figura dtrminar l dformaioni l dirioni principali. Rifrimnto bibliografico: A.Luongo, A. Paolon. Scina dll Costruioni,vol.. Casa ditric Ambrosiana