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2 Stefano ergero Paolo Cavalletti nna Chiari PROLEMI DI FISIC TECNIC 100 ESERCIZI SVOLTI E RGIONTI Dario Flaccovio Editore

3 Stefano ergero Paolo Cavalletti nna Chiari PROLEMI DI FISIC TECNIC 100 eercizi riolti e ragionati ISN b Dario Flaccovio Editore.r.l. - tel info@darioflaccovio.it Pria edizione: arzo 014 Cavalletti, Paolo <196-> Problei di fiica tecnica : 100 eercizi riolti e ragionati / Paolo Cavalletti, Stefano ergero, nna Chiari. - Palero : D. Flaccovio, 014. ISN Fiica tecnica. I. ergero, Stefano <197->. II. Chiari, nna <1966->. 61 CDD- SN PL0668 CIP iblioteca centrale della Regione iciliana lberto obace Stapa: Tipografia Priulla, Palero, arzo 014 Noi e archi citati ono generalente depoitati o regitrati dalle ripettive cae produttrici. L editore dichiara la propria diponibilità ad adepiere agli obblighi di legge nei confronti degli aventi diritto ulle opere riprodotte. La fotocopiatura dei libri è un reato. Le fotocopie per uo peronale del lettore poono eere effettuate nei liiti del 15% di ciacun volue/facicolo di periodico dietro pagaento alla SIE del copeno previto dall art. 68, coi 4 e 5, della legge aprile 1941 n. 6. Le riproduzioni effettuate per finalità di carattere profeionale, econoico o coerciale o counque per uo divero da quello peronale poono eere effettuate olo a eguito di pecifica autorizzazione rilaciata dagli aventi diritto/dall editore.

4 5 INDICE INTRODUZIONE 7 Capitolo 1 FISIC GENERLE Cineatica 9 1. Dinaica Lavoro - energia Statica dei fluidi Circuiti elettrici Forulario 54 Capitolo TERMODINMIC 6.1 Ga perfetti 6. Prio principio della terodinaica per itei chiui 66. Prio principio della terodinaica per itei aperti 77.4 Dinaica dei fluidi 90.5 Sotanze pure Macchine teriche CRNOT Ciclo invero a copreione di vapore Forulario 10 Capitolo TRSMISSIONE DEL CLORE 14.1 Conduzione 14. Convezione 147. Irraggiaento Meccanii cobinati 15.5 Traittanza di pareti per l'edilizia Forulario 18 Capitolo 4 TERMOIGROMETRI E IMPINTI Condenazione ilancio del locale e ricaldaento Traforazioni dell'aria uida 8

5 6 Problei di fiica tecnica 4.4 Ipianti di condizionaento Forulario 61 ILIOGRFI 71 PPENDICE 7.1 Proprietà dei ga perfetti a 00 K 7. Proprietà terofiiche dell'acqua allo tato liquido in condizioni di aturazione 74. Proprietà terofiiche dell'aria a 1015 Pa 75.4 Diagraa di Mood per il calcolo del fattore di attrito nelle tubazioni 76.5 Coefficienti di reitenza localizzata per il calcolo delle perdite di carico concentrate 77.6 Diagraa p-h del refrigerante R Diagraa p-h del refrigerante R14a 79.8 Reitenze teriche uperficiali 80.9 Reitenza terica di intercapedini d'aria [ K/W] Preione di aturazione dell'acqua [Pa] Diagraa picroetrico 8

6 7 INTRODUZIONE Il teto preenta cento problei di Fiica Tecnica interaente riolti e ragionati e i propone coe uidio didattico per la preparazione all'eae degli allievi architetti e ingegneri. Sono tati raccolti eercizi volti in aula e prove d'eae, eguendo il prograa che gli autori, orai da quindici anni, volgono nell'abito dei cori di Fiica Tecnica dei diveri cori di tudio in rchitettura e Ingegneria della Scuola Politecnica dell'univerità di Genova. Senza alcuna velleità di copetizione con i teti tradizionali diponibili, le ragioni che hanno pinto gli autori ad intraprendere la teura dell'opera ono eenzialente due. La pria è di copletare con eercizi ed applicazioni nueriche i due teti teorici precedenteente pubblicati, "ppunti di Terodinaica" e "ppunti di Traiione del Calore", per i cui dettagli i rianda alla bibliografia. La econda è quella di ripondere ad una particolare eigenza dei cori di tudio in rchitettura. Infatti una delle caratteritiche couni a quai tutti i cori preenti ul territorio nazionale è la ancanza di inegnaenti di Fiica Generale propedeutici allo tudio della Fiica Tecnica e degli Ipianti. È in genere copito dei docenti di Fiica Tecnica, tenendo conto della differente provenienza colatica degli tudenti, fornire agli tei quelle nozioni di bae di eccanica ed elettricità aolutaente indipenabili per affrontare lo tudio della fiica dell'edificio. Ciò piega l'ineriento nel teto, pria dei tipici argoenti della Fiica Tecnica, di un capitolo iniziale che propone alcuni problei di Fiica Generale, per il quale è tato neceario un rigoroo lavoro di uniforizzazione della noenclatura, dal oento che le varie grandezze fiiche ono tradizionalente indicate in odo differente nei teti di Fiica e di Fiica Tecnica. Lo copo del preente teto è pecificataente didattico; lo chea con cui vengono propoti gli eercizi è quello di guidare l'apprendiento dello tudente pao dopo pao, attravero la rioluzione ia di problei colatici, ia di problei applicativi, propoti in odo eplificato, con riferienti alla pratica progettuale e alla norativa tecnica vigente. Una olida preparazione fiico-tecnica è orai infatti etreaente iportante in abito profeionale, dato il proliferare di nore tecniche epre più coplee ia in capo ipiantitico che acutico. Il libro è uddivio in 4 capitoli. Nel prio capitolo "Fiica Generale" ono preentati alcuni eercizi di eccanica ed elettricità, liitati agli argoenti trettaente neceari per la coprenione dei fenoeni fiico-tecnici dell'abiente cotruito. Nel econdo capitolo "Terodinaica" ono propoti eercizi riguardanti l'applicazione del prio principio della terodinaica per i itei chiui e aperti, la dinaica dei fluidi e le acchine teriche a ciclo invero.

7 8 Problei di fiica tecnica Nel terzo capitolo "Traiione del Calore" i problei riguardano ia i ingoli eccanii di cabio terico, conduzione convezione e irraggiaento, ia la preenza cobinata degli tei, con particolare riferiento allo cabio terico attravero le pareti degli edifici. Nel quarto capitolo "Teroigroetria e Ipianti" vengono propote applicazioni riguardanti la picroetria, la verifica teroigroetrica dell'involucro edilizio, il bilancio teroigroetrico del locale cliatizzato e gli ipianti di condizionaento. l terine di ogni capitolo è inerito un forulario, dove ono elencate le forule utilizzate nella rioluzione dei problei e le ipotei di calcolo adottate. Chiude il libro un'ppendice in cui ono riportati i grafici e le tabelle neceari per la rioluzione degli eercizi. Si ringraziano fin d'ora quanti, colleghi e tudenti, vorranno apportare critiche cotruttive e uggerienti che aranno tenuti in coniderazione per eventuali aggiornaenti e/o apliaenti dell'opera. Genova, 1 gennaio 014 Gli utori

8 9 Capitolo 1 FISIC GENERLE 1.1 Cineatica Eercizio 1 Un aereo tocca la pita di atterraggio con velocità pari a 40 k/h e in 5 raggiunge una velocità pari a 50 k/h. Deterinare: l accelerazione dell'aereo (odulo, direzione e vero), uppota unifore, e lo pazio percoro nella frenata, ipotizzando che l'aereo proceda con velocità cotante, il tepo ipiegato a percorrere ulteriori Rioluzione w 1 = 40 k/h = / w = 50 k/h = 1.9 / 1, = 5, = 1500 Ipotizzando che nel tratto 1- l'aereo i uova di oto rettilineo uniforeente accelerato in direzione, i ottiene: w w1 a1, w w a , 5 Ne egue che il vettore accelerazione riulta: odulo: a = 4.11 / direzione: quella di vero: quello oppoto alla direzione del oto (decelerazione) Lo pazio percoro nella frenata vale: w w a 1 1, w w , 16 a ( 4.11) Eendo da a il oto rettilineo unifore, i ha:, w w, ,, 108

9 10 Problei di fiica tecnica Eercizio Il tapi roulant di un aeroporto i uove con una velocità di 10 k/h ed è lungo 5. Deterinare: il tepo ipiegato da una perona a percorrere tutta la lunghezza nel cao in cui ia fera oppure caini ul tapi alla velocità di 6 k/h. Un babino i diverte a percorrere il tapi roulant in eno invero. Deterinare: a quale velocità deve correre il babino per percorrere l'intera lunghezza del tapi in 40 econdi. Coniderando che lo teo corra alla velocità appena calcolata, deterinare: dopo quanto tepo e a che ditanza dall'ingreo del tapi i incontrano la perona fera ul tapi ed il babino e partono nello teo itante. Rioluzione w t = 10 k/h =.78 / L = 5 w p = 6 k/h = 1.67 / b = 40 Nel cao in cui la perona è fera ul tapi (w p = 0), la ua velocità di percorrenza del tappeto riulta: w w.78 / w p 0 t Nel cao in cui la velocità della perona ripetto al tapi è pari a 6 k/h, la ua velocità di percorrenza del tappeto riulta: w w w / w p 6 t p pplicando la legge del oto rettilineo unifore, i deterina il tepo ipiegato dalla perona a percorrere il tapi roulant nelle due ituazioni: L 5 w p w.78 w 0 p L 5 w p w 4.45 w 6 p Se il babino percorree il tapi fero in eno invero, la ua velocità di percorrenza del tappeto riulterebbe: L 5 wb' 0.88 / b 40 Se il tapi è in oto, il babino deve quindi correre in eno invero ripetto al tappeto con una velocità: w b wt wb' / 1. k/ h Siano, ripetto a terra, w =.78 / la velocità della perona fera ul tapi, nella direzione del tapi, w = 0.88 / la velocità del babino che corre in vero contrario e e le ditanze dall'ingreo e dall'ucita del tapi del punto di incontro, coì coe rappreentato in figura.

10 1. Fiica generale 11 w w L pplicando la legge del oto rettilineo unifore e coniderando che la perona ed il bibo partono conteporaneaente, i ottiene: (1) w L () w w Uguagliando la (1) e la (), i ottiene: L w 0.88 w w Dalla (1) i ricava il tepo dopo cui i incontrano il bibo e la perona: Eercizio Due corpi e partono dallo teo punto. Il corpo parte da fero con un'accelerazione cotante di 1.8 /. Se il corpo parte nello teo itante del corpo con una velocità di.5 / e con un'accelerazione cotante di.5 /, deterinare: dopo quanto tepo, ripetto alla partenza, il corpo raggiunge una velocità doppia ripetto al corpo, lo pazio percoro dai due corpi. Se invece il corpo parte da fero 0 econdi dopo il corpo, deterinare: l'accelerazione che dovrebbe avere il corpo per raggiungere il corpo in 0 econdi, la velocità dei due corpi quando il corpo raggiunge il corpo. Rioluzione w 0, = 0 / a, = 1.8 / I dati relativi al prio queito ono i eguenti: w 0, =.5 / a, =.5 / = (1) w, = w, () pplicando le forule del oto rettilineo uniforeente accelerato, i ottiene:

11 1 Problei di fiica tecnica w, w0, a, () w, w0, a, (4) Sotituendo la (1) nella (), i ottiene: w a (5),, Sotituendo la () nella (4), i ottiene: w w a (6), 0,, Sotituendo la (5) nella (6), i ottiene il tepo ipiegato dal corpo a raggiungere una velocità doppia del corpo : a w a, 0,, w0,.5. a a 1.8.5,, w 0, 0 a, w, 0 w 0, a, w, w, Lo pazio percoro dal corpo vale: 1 0, w0, a, Lo pazio percoro dal corpo riulta: 1 0, w0, a, w 0, 0 a, w, 0 0 w 0, a, w, w, I dati relativi al econdo queito ono i eguenti: w 0, = w 0, = 0 / = 0 = 0

12 1. Fiica generale 1 = (7) w 0, 0 w, a, w, 0 w 0, 0 w 0 0, a, a, w, w, w , a, w, Il tepo ipiegato dal corpo ad eere raggiunto dal corpo riulta: pplicando le forule del oto rettilineo uniforeente accelerato, i ottiene: 1 w0, a, (8) 1 w0, a, (9) Ricordando la (7), i ottiene dalla (8) e dalla (9) l'accelerazione del corpo : a a, a, a,, Le velocità finali dei corpi riultano ripettivaente: w, a, w, a, Eercizio 4 Due corpi e ono lanciati da terra vero l'alto, con velocità ripettivaente pari a 6 / e 11 /. Deterinare: lo pazio percoro dal corpo, nel tepo in cui il corpo ha raggiunto la aia altezza,

13 14 Problei di fiica tecnica dopo quanto tepo la differenza di quota tra le poizioni del corpo e del corpo è pari a 0.8. Rioluzione w 0, = 6 / w 0, = 11 / g = 9.81 / Prio queito. Quando i corpi raggiungono la aia altezza i ha w a, = 0 e w a, = 0 Eendo il oto rettilineo uniforeente decelerato, i ricava il tepo ipiegato dai corpi e a raggiungere la poizione di aia altezza: w w g a,,a w a,,a w g w 0, 0, w g 0, 0, g ,a,a ,a a,,a a, 0 a a f,a f, 0, w 0, 0 w 0, 0, Lo pazio percoro dal corpo per raggiungere da terra la poizione di aia altezza vale: 1 0 a a, 0, w0,,a g,a

14 1. Fiica generale 15 Nel retante tepo: ,a,a lo pazio percoro dal corpo in dicea riulta: 1 a, f, wa, g a f Lo pazio percoro copleivaente dal corpo nel tepo in cui il corpo raggiunge la poizione di aia altezza riulta: a a f Il dato relativo al econdo queito è - = 0.8. Tale condizione potrebbe verificari ia in alita che in dicea In alita: 1 0, w0, g 1 0, w0, g ottraendo ebro a ebro i ottiene: (w w ) 0, 0, w w , 0, In dicea la poizione di aia altezza raggiunta dal corpo vale: 1 a, 0, w0,,a g,a Il corpo ritorna al uolo dopo un tepo pari a,a. Nel tepo in cui il corpo ale e poi ritorna al uolo, il corpo cende per un tepo pari a:,a, a In tale tepo lo pazio percoro da in dicea vale: 1 a, wa, g Ne egue che quando il corpo è tornato al uolo, il corpo i trova in dicea ad un'altezza = 6.1 ed è quindi ipoibile che i realizzi la condizione richieta. 1. Dinaica Eercizio 5 Un corpo di aa = 7 kg ale lungo un piano inclinato di = 45 ripetto all orizzontale, tracinato da una forza cotante di odulo F = 60 N diretta coe in figura. Nell'ipotei che il piano ia licio, deterinare: l accelerazione del corpo (odulo, direzione e vero),

15 16 Problei di fiica tecnica la velocità con cui il corpo raggiunge la quota H =, apendo che la ua velocità alla bae del piano inclinato è nulla, il tepo ipiegato a colare il dilivello H. Nell'ipotei che il piano ia cabro, deterinare: il coefficiente d attrito dinaico tale per cui il corpo ale lungo il piano inclinato con velocità cotante. F H Rioluzione = 7 kg = 45 F = 60 N H = Nell'ipotei di piano licio la econda legge della dinaica in terini vettoriali riulta: F N P a F N H P j P P i In direzione i ha: F P a F P in a F gin a 1

16 1. Fiica generale 17 F gin in45 a Pertanto il vettore accelerazione riulta: odulo: a = 1.6 / direzione: quella del piano inclinato vero: in alita Lo pazio percoro da 1 a vale: H 4.4 in in45 pplicando le forule del oto rettilineo uniforeente accelerato e coniderando che alla bae del piano inclinato il corpo è fero, i può calcolare la velocità con cui il corpo raggiunge la quota H: w, w,1 a w, a Il tepo ipiegato vale: w w a,,1 w,.7. a 1.6 F N P j P P i F a Eendo il oto rettilineo unifore ( w cotante, a 0 ) ed il piano cabro, la econda legge della dinaica in terini vettoriali riulta: F N P F 0 a Nelle direzioni e i ha: F N P P F a 0 0 F P in F a N P co 0 0

17 18 Problei di fiica tecnica Ricordando che F a N e P g, i ha: c F gin cn 0 (1) N gco 0 () Sotituendo la () nella (1) i ottiene il coefficiente di attrito: F gin cgco 0 F gin in45 c 0. 4 gco co 45 Eercizio 6 Due oggetti di aa 1 = 10 kg ed = 15 kg ono collegati ediante un filo ottile (privo di aa). La aa 1 è pota u una uperficie orizzontale con un coefficiente di attrito dinaico pari a 0.4, la aa è opea ediante una carrucola (priva di attrito), coì coe rappreentato in figura. Sapendo che all'itante iniziale le due ae ono fere, deterinare: l'accelerazione della aa 1, la tenione della fune, lo pazio percoro dalla aa in 0.8, il coefficiente d'attrito tatico tale per cui la aa 1 riane fera. 1 P Rioluzione 1 = 10 kg = 15 kg c = 0.4 = 0.8 La econda legge della dinaica, applicata eparataente alle ae 1 e, riulta in terini vettoriali: aa 1 Fa1 N1 T1 P1 1a 1 aa T P a

18 1. Fiica generale 19 N 1 F a1 1 T 1 P 1 P T P Ipotizzando che il filo ia teo, i ha: T 1 = T = T a 1 = a = a Nelle direzioni e i ottiene: T Fa1 1a N1 P1 0 T a P Ricordando che F a = c N e P = g, i ha: T 1 N1 1 c N1 a (1) g 0 () g T a Sotituendo la () nella (1), i ottiene: T 1 c 1g a () g T a (4) Sotituendo la (4) nella () i ottiene: g a c1g 1a ( c 1)g ( ) a Dalla () i ottiene: T ( cg a)1 ( ) N pplicando le forule del oto rettilineo uniforeente accelerato, i ha: 1 w0 a

19 0 Problei di fiica tecnica Se le ae 1 e riangono fere, i ha: a 0 a1 Ne egue che: aa 1 Fa1 N1 T1 P1 0 aa P 0 T 1 N1 1 P Fa 0 P 0 T 0 T T N1 0 (5) N1 1g 0 (6) g T 0 (7) Sotituendo la (6) e la (7) nella (5), i ricava il coefficiente d'attrito tatico liite: g 1g Quindi, affinché la aa 1 ia fera, deve eere: 1.5 Eercizio 7 Un corpo di aa pari a 1 kg i uove di oto circolare unifore appoggiato alle pareti di una centrifuga, di diaetro pari a.7, che ruota a 0 giri/inuto, enza che vi ia oto relativo tra la centrifuga e il corpo teo, coì coe rappreentato in figura. La olla a cui è incernierato il corpo ha una cotante elatica pari a 15 N/c e riulta coprea di 5 c. Deterinare: l'accelerazione del corpo e il fattore di attrito tra la parete e il corpo affinché quet'ultio non cada, la frequenza di rotazione che dovrebbe avere la centrifuga per antenere il corpo nella tea poizione in aenza della olla, coniderando che il fattore d'attrito abbia il valore appena calcolato. Rioluzione 1 = 1 kg D =.7 f = 0 in -1 = 0.5 Hz k = 15 N/c = 1500 N/ = 5 c = 0.05

20 1. Fiica generale 1 La velocità angolare di rotazione della centrifuga vale: rad f L'accelerazione centripeta del corpo vale: D.14.7 a R 1. La econda legge della dinaica, applicata alla aa 1, riulta in terini vettoriali: F N F P a a el Nelle direzioni e i ottiene: N F F a el P 0 a F el F a P N Ricordando che F a = N, F el = k e P = g, i ha: N a k (1) N g 0 () Sotituendo la () nella (1), i ottiene il coefficiente d'attrito tatico liite tra la parete della centrifuga e il corpo: g g N a k Quindi, affinché il corpo non cada, deve eere: 0.5 In aenza della olla, applicando la econda legge della dinaica, i può deterinare l'accelerazione centripeta del corpo: N P a F a

21 Problei di fiica tecnica F a P N N a P F a 0 N a N g 0 N g g 9.81 a La velocità angolare di rotazione della centrifuga vale: a a 19.6 rad.81 R D.7 La corripondente frequenza di rotazione vale:.8 1 f 0.61 Hz 6.6 in Quindi, affinché il corpo non cada in aenza della olla, deve eere: f 6.6 in -1. Eercizio 8 Una piattafora circolare orizzontale i uove di oto circolare unifore copiendo un giro copleto in 5 econdi, coì coe rappreentato in figura. Sul bordo della piattafora è poato un corpo di aa pari a 0 kg. Sapendo che il fattore d'attrito tatico è pari a 1.5, deterinare nella condizione liite di aenza di oto relativo tra il corpo e la piattafora: la velocità angolare e l'accelerazione radiale del corpo, il diaetro della piattafora e la velocità tangenziale del corpo, Sapendo che la velocità angolare della piattafora raddoppia in 7 econdi, deterinare: l'accelerazione angolare (uppota cotante) e lo potaento angolare effettuato dalla piattafora in tale intervallo di tepo.

22 1. Fiica generale Nel cao in cui la tea piattafora ia pota in rotazione verticalente con periodo pari a 1 inuto, coì coe rappreentato in figura, deterinare: la inia forza perpendicolare alla piattafora che biogna applicare al corpo affinché queto i uova attaccato alla piattafora enza cadere. Rioluzione T 1 = 5 = 0 kg = 1.5 = 7 T = 1 in = 60 La velocità angolare di rotazione della piattafora riulta: rad T1 5 La econda legge della dinaica, applicata al corpo poto ulla piattafora, riulta in terini vettoriali: F a N P a Nelle direzioni (radiale) e i ottiene: F F a a N P 0 N F a P Ricordando che F a = N e P = g, i ha: N (1) a N g 0 ()

23 4 Problei di fiica tecnica Sotituendo la () nella (1), i ottiene il valore dell'accelerazione centripeta a cui è ottopoto il corpo: a g ovvero l'accelerazione riulta radiale diretta vero il centro di rotazione con odulo a 1 = 14.7 /. Il diaetro della piattafora vale: a D La velocità tangenziale del corpo vale: D 18.5 w Se la velocità di rotazione della giotra raddoppia, riulta: rad L'accelerazione angolare (uppota cotante) vale: rad La velocità angolare edia nella fae di accelerazione riulta quindi: rad 1.89 Lo potaento angolare della piattafora riulta: rad ovvero copie poco più di due giri. La velocità angolare di rotazione della piattafora verticale riulta: rad T 60 L'accelerazione centripeta corripondente vale: D 18.5 rad a La econda legge della dinaica, applicata al corpo poto ulla piattafora nelle poizioni,,c riulta in terini vettoriali: F a N P F a In direzione per tutte e tre le poizioni i ottiene nella condizione liite: N F 0 () In direzione i ottiene nelle poizioni: ) P F a a (4) ) P Fa 0 (5) C) P F a a (6)

24 1. Fiica generale 5 F a F a F N P a P () () F a (C) a P a F a P Ricordando che F a = N e P = g, i ha otituendo le (4), (5) e (6) nella (): ) g F a g a F ) g F 0 g F C) g F a g a F La forza più elevata è quella nella poizione C, per cui la inia forza da applicare perché il corpo ruoti attaccato alla piattafora durante l'intera rotazione vale: (g a) 0 ( ) F 1 N 1.5

25 6 Problei di fiica tecnica 1. Lavoro - energia Eercizio 9 Un corpo di aa.7 kg civola u una guida curvilinea priva di attrito fino al punto C e poi riale lungo un piano con attrito, inclinato di 0 ripetto all'orizzontale, fino al punto D coì coe rappreentato in figura. Sapendo che il corpo nel punto iniziale i trova ad un altezza di 9 e poiede una velocità nulla e che il fattore di attrito del piano inclinato è pari a 0.5, i vuole deterinare: la velocità del corpo nel punto e la lunghezza del tratto C, apendo che quet'ultio viene percoro dal corpo in.4, l'accelerazione del corpo nel tratto CD (odulo, direzione e vero), l'altezza aia a cui arriva il corpo quando riale lungo il tratto CD, l'energia diipata per attrito durante il oto ul piano inclinato. D H H a C Rioluzione =.7 kg w = 0 / H = 9 C =.4 = 0 c = 0.5 w D = 0 / pplicando il principio di conervazione dell'energia eccanica al tratto e auendo coe riferiento per l'energia potenziale gravitazionale la quota H = 0, i ottiene: ET, ET, 1 1 w gh w gh w gh Nel tratto C il oto riulta rettilineo unifore: w C w

26 1. Fiica generale 7 C w C C Nel tratto CD la econda legge della dinaica in terini vettoriali riulta: N P F a a N P i D F a P P j H a C Nelle direzioni e i ha: P N F P a a 0 P in F a a N P co 0 gin cn a (1) N gco 0 () Sotituendo la () nella (1) i ottiene: gin cgco a a g(in c co ) 9.81 (in0 0.5 co 0) 9.15 Riulta dunque a = 9.15 /, diretta lungo il piano inclinato vero il bao. Eendo nel tratto CD il oto rettilineo uniforeente accelerato, i ha: w w a CD D C C w CD a Ha HD CDin 9.67 in pplicando il principio di conervazione dell'energia eccanica al tratto CD e auendo coe riferiento per l'energia potenziale gravitazionale la quota H C = 0, i ottiene: E E E T,C T,D di,cd

27 8 Problei di fiica tecnica 1 1 wc ghc wd ghd Edi,CD 1 1 Edi,CD wc ghd J L'energia diipata nel tratto CD può eere deterinata anche ediante la eguente relazione: Edi,CD L a,cd (F a CD) Fa CD () La forza d'attrito agente ul corpo nel tratto CD riulta: Fa cn cgco co N Ne egue dalla (): E J di, CD Eercizio 10 Il carrello di una "ontagna rua" paa per il punto con una velocità di 8 /, per il punto con una velocità di 15 / ed arriva in D con una velocità di 0 /. Sapendo che H C -H = 10 ed ipotizzando che la guida u cui corre il carrello ia priva di attrito tra e D, deterinare: la velocità del carrello in C, le quote H e H. Volendo ferare il carrello nel punto E in un tepo pari a econdi da quando paa per D, deterinare: la lunghezza del tratto DE, il coefficiente d'attrito del tratto DE. C H H C H Rioluzione w = 8 / w = 15 / w D = 0 / H C -H = 10 DE = pplicando il principio di conervazione dell'energia eccanica tra e C, i ottiene: D E

28 1. Fiica generale 9 E E T, 1 w T,C gh 1 w C gh C wc w g(h C H ) pplicando il principio di conervazione dell'energia eccanica tra e D, i ottiene: ET, ET,D 1 1 w gh wd ghd wd w 0 8 H 17.1 g 9.81 pplicando il principio di conervazione dell'energia eccanica tra e, i ottiene: ET, ET, 1 1 w gh w gh w w 15 8 H H g 9.81 C F a N w D P E Nel tratto DE il oto riulta rettilineo uniforeente accelerato per cui i ha: w w a a w E E D w w D D DE DE a DE wd 0 DE 9.9 a 6.7 pplicando la econda legge della dinaica nel tratto DE, i ricava:

29 0 Problei di fiica tecnica N P F F a a a N P 0 a an a N g 0 ag a a 6.7 a g 9.81 Eercizio 11 Una olla ideale, avente cotante elatica 500 N/, è pota in fondo a un piano licio inclinato di 45 ull'orizzontale. Un oggetto di aa 0.5 kg parte da fero in cia al piano inclinato e arriva a copriere la olla di 5 c ferandoi. Deterinare: lo potaento dell'oggetto da quando parte a quando i fera, la velocità dell'oggetto nell'itante in cui entra in contatto con la olla. Coniderando il piano cabro, deterinare: l'energia diipata per attrito, ipotizzando una copreione della olla pari a 6 c quando il corpo i è arretato. Rioluzione k = 500 N/ = 5 c = 0.5 = 45 = 0.5 kg w 1 = 0 / w = 0 / uendo la quota di riferiento per la valutazione dell'energia potenziale coì coe rappreentato in figura, l'energia totale nelle tre poizioni evidenziate vale: ET,1 Ep,1 gh1 1 ET, Ec, Ep, w gh 1 ET, Ep, k Dal oento che la dinaica tratta i corpi coe puntifori, è indifferente porre il riferiento nel baricentro o ul bordo del corpo. Quet'ultia cheatizzazione è tata celta per eglio evidenziare la copreione della olla. Quando i conidera il corpo con dienioni finite il riferiento deve eere nel centro di aa.

30 1. Fiica generale h 1 1, h pplicando il principio di conervazione dell'energia eccanica nel cao di capo di forze conervativo nel tratto 1-, i ottiene: E E T,1 T, 1 gh1 k L'altezza da cui parte l'oggetto vale dunque: k h1.19 g Lo potaento dell'oggetto riulta: h1.19 1, 4.51 in in45 L'altezza del punto in cui l'oggetto viene a contatto con la olla vale: in 0.5 in h pplicando il principio di conervazione dell'energia eccanica nel cao di capo di forze conervativo nel tratto 1-, i ottiene: E E T,1 T, 1 gh1 w gh La velocità dell'oggetto nell'itante in cui viene a contatto con la olla riulta:

31 Problei di fiica tecnica w g(h 1 h) 9.81 ( ) Nel cao di piano cabro i ha: * = 6 c = 0.06 w * = 0 / h 1 * * h * L'energia totale nella poizione * quando il corpo i fera vale: 1 * ET,* Ep, gh* k eendo: * h* ( )in ( ) in pplicando il principio di conervazione dell'energia eccanica nel cao di capo di forze non conervativo nel tratto 1-*, i ottiene: ET,1 ET,* Edi,1* 1 * gh1 gh* k Edi,1* L'energia diipata per attrito nel tratto 1-* vale dunque: 1 * 1 Edi,1* g(h 1 h* ) k ( ) J Eercizio 1 Un corpo di aa pari a 100 g i uove u un piano orizzontale tra due ponde ditanti 1. econdo la traiettoria rappreentata in figura. Sapendo che ad ogni urto l'angolo tra la traiettoria e la norale alla ponda è cotante e pari a 0, che nell'urto non i ha diipazione di energia (urto elatico), che il coefficiente d'attrito tra il piano e il corpo è pari 0.5 e che il corpo parte dal punto con una velocità di 10 /, deterinare: l'accelerazione del corpo, la velocità del corpo nel punto, il nuero di urti ubiti dal corpo pria di ferari e l'energia diipata per attrito,

32 1. Fiica generale il nuero di urti ubiti dal corpo pria di ferari, ipotizzando che ad ogni urto (urto anelatico) l'energia cinetica diipata ia pari al 0% di quella poeduta dal corpo pria dell'urto. L Rioluzione = 100 g = 0.1 kg w = 10 / = 0 c = 0.5 L = 1. Nel tratto percoro dal corpo tra le due ponde i applica la econda legge della dinaica in terini vettoriali: N P F a a N F a w P Nelle direzioni e i ha: F N P 0 a a cn a N g Ne egue che: a cg Si tratta quindi di decelerazione con odulo a =.4 /.

33 4 Problei di fiica tecnica Lo pazio percoro dal corpo tra due urti ucceivi riulta: L co co 0 Lo pazio percoro dal corpo tra e vale: pplicando le forule del oto rettilineo uniforeente accelerato, i deterina la velocità del corpo nel punto : w w a pplicando le forule del oto rettilineo uniforeente accelerato, i deterina lo pazio * percoro dal corpo una volta fero: * 0 w a * w a Eendo: * il nuero di urti pria di ferari vale n = 10. L'intera energia cinetica poeduta inizialente dal corpo viene diipata in attrito ul piano, per cui riulta: 1 1 Edi ET, w J Nel cao di urti anelatici, coniderando l'urto i-eio rappreentato in figura, la velocità w 1,i del corpo iediataente pria dell'urto vale: w 1,i w,i 1 a eendo w,i-1 la velocità del corpo iediataente dopo l'urto i-1 precedente. urto i-eio w 1,i w, i w,i 1 w 1,i 1 urto i-1 urto i+1 L'energia cinetica del corpo pria dell'urto riulta: 1 1 Ec,1,i w1,i (w,i 1 a)

34 1. Fiica generale 5 L'energia cinetica del corpo dopo l'urto, coniderando una diipazione del 0% dell'energia cinetica poeduta pria dell'urto, riulta: Ec,,i 0.8Ec,1,i 1 1 Ec,,i w,i 0.8 (w,i 1 a) eendo w,i la velocità del corpo iediataente dopo l'urto i-eio: w,i 0.8(w,i 1 a ) I calcoli a partire dal punto ono riportati nella eguente tabella. urto i w,i [/] Dopo il quinto urto il corpo i fera, in quanto non poiede più l'energia tale da raggiungere la ponda ucceiva. Infatti lo pazio percoro dal corpo pria di ferari dopo il quinto urto vale: w,5.68 ' 1.05 a.4 inferiore agli 1.9 da percorrere pria di copiere il eto urto. Ne egue che il nuero di urti pria di ferari riulta n = Statica dei fluidi Eercizio 1 Un blocco cubico di legno d'abete ben eiccato ( l = 465 kg/ ) di lato 40 c è poto ul fondo di una picina vuota di dienioni in pianta 54 e profondità. Viene quindi aperto un rubinetto che carica nella picina una portata d'acqua pari a 5 /h. Deterinare: il livello dell'acqua nella picina per cui il blocco di legno i tacca dal fondo e la percentuale del volue del blocco di legno che riane fuori dall'acqua, il tepo neceario per riepire la picina, tracurando la preenza del blocco di legno, e la preione eercitata dall'acqua ul fondo della vaca una volta riepita. Rioluzione L = 40 c = 0.4 h =

35 6 Problei di fiica tecnica V = 54 = 40 l = 465 kg/ q v = 5 /h = / Il corpo i tacca dal fondo della picina nel oento in cui l'acqua nella picina raggiunge un livello H tale per cui la pinta di rchiede agente ul blocco equilibra il peo del blocco teo. h S V l,i H P Dalla econda legge della dinaica i ha: S P 0 In direzione i ha: S P 0 S P 0 (1) Il odulo della forza peo riulta: P lvg l ll g () eendo V l il volue del blocco di legno. Il odulo della pinta di rchiede riulta: S Vl,i g L Hg () eendo V l,i il volue del blocco di legno che riane iero nell'acqua. Sotituendo la () e la () nella (1) ed ipotizzando che la denità dell'acqua ia = 1000 kg/, i ottiene: ll g L Hg ll H La percentuale del volue del blocco di legno che riane fuori dall'acqua riulta:

36 1. Fiica generale 7 V l,i L H H % V l L L 0.4 Dalla definizione di portata voluetrica (cfr. par..8) i ottiene: q V v V h 8' 44' ' q v Ipotizzando che la preione eterna ia pari alla preione atoferica norale, la preione eercitata dall'acqua ul fondo della vaca una volta riepita riulta: p pat gh Pa Eercizio 14 Un corpo cubico di lato 5 c è attaccato a una olla, caratterizzata da una cotante elatica pari a 0. kn/, ancorata al fondo di una vaca piena d'acqua. Sapendo che in condizioni di equilibrio il corpo i trova ad una quota di ripetto al fondo della picina e che la olla riulta coprea di 7 c, deterinare: il volue pecifico del corpo, il tepo ipiegato dall'oggetto a raggiungere il fondo della picina una volta ganciato dalla olla, tracurando l'attrito tra blocco e fluido. Se in un econdo tepo viene attaccato alla olla un corpo di uguale volue e di denità pari a 680 kg/, deterinare: lo potaento della olla ripetto alla poizione di rilaaento, pecificando e è coprea o allungata. Rioluzione L = 5 c = 0.5 k = 0. kn/ = 0 N/ H = = 7 c = 0.07 Il volue del corpo riulta: V L

37 8 Problei di fiica tecnica S H F el P 1 olla a ripoo Dalla econda legge della dinaica i ha: S Fel P 0 In direzione i ha: S F P 0 el, S Fel P 0 (1) Il odulo della pinta di rchiede riulta: S H OVg () Il odulo della forza elatica riulta: F el k () Il odulo della forza peo riulta: Vg P g Vg (4) v Sotituendo la (), la () e la (4) nella (1) ed ipotizzando che la denità dell'acqua ia = 1000 kg/, i ottiene: Vg H OVg k 0 v Vg v H OVg k kg Nel cao in cui il corpo ia ganciato dalla olla, dalla econda legge della dinaica i ha: S P a In direzione i ha: S P a S P a (5) Sotituendo la () e la (4) nella (5), i ha: Vg V H OVg a v v 4 a g(v H O 1) 9.81 ( ) 0.9 L'accelerazione è diretta vero il bao ovvero il corpo affonda.

38 1. Fiica generale 9 Eendo il oto rettilineo uniforeente accelerato, i ha: 1 0 w0 a Eendo 0 - = H e w 0 = 0, i ottiene: H.6 a 0.9 Nel terzo queito la denità del corpo vale: = 680 kg/ S F el P 1 olla a ripoo Dalla econda legge della dinaica i ha in direzione : Fel, S P S P (6) Sotituendo la () e la (4) nella (6), i ottiene: Fel, H OVg Vg Vg( H O) (7) Eendo H O >, riulta F el, < 0, ovvero la forza elatica è diretta vero il bao e lo potaento F el della olla è diretto vero l'alto con coneguente allungaento della tea. Ricordando che F el, = -k, dalla (7) i deterina l'allungaento della olla ripetto alla poizione di rilaaento: k Vg( H O) Vg( ) H O ( ) 0. c k 0 Eercizio 15 Un argano è ipiegato per portare fuori dall'acqua un blocco di ferro ( = 7800 kg/ ) di aa pari a 1500 kg, inizialente poto ad una profondità di 5 ripetto al pelo libero. Ipotizzando che il blocco ia fatto rialire con velocità cotante u un piano inclinato di 5 ripetto all'orizzontale e apendo che il coefficiente d'attrito tra il piano e il blocco è pari a 0.7, deterinare: la pinta archiedea agente ul blocco; la reazione vincolare del piano e la tenione della fune;

39 40 Problei di fiica tecnica la velocità di tracinaento del blocco, apendo che il taburo dell'argano ha un diaetro di 70 c e fa un giro in 40 ; la potenza necearia e il tepo ipiegato per portare il blocco fuori dall'acqua, tracurando l'attrito tra blocco e fluido. H Rioluzione = 1500 kg = 7800 kg/ H = 5 = 5 = 0.7 T = 40 D = 70 c = 0.7 Il volue del blocco riulta: 1500 V La pinta di rchiede agente ul blocco, ipotizzando che la denità dell'acqua ia pari a 1000 kg/, vale: S H OVg N Le forze che agicono ul blocco ono rappreentate in figura. Dalla econda legge della dinaica, critta in terini vettoriali, riulta: T S N Fa P 0 T S N F a P Nelle direzioni e i ha:

40 1. Fiica generale 41 T S S N F P a P 0 0 T S in Fa P in 0 (1) Sco N P co 0 () La reazione vincolare del piano i ottiene direttaente dalla (): N (P S)co ( H )Vgco O ( ) co N La forza d'attrito riulta: N N F a La tenione della fune i ricava dalla (): T Fa (P S)in Fa ( H )Vg in O 744 ( ) in N La frequenza di rotazione del taburo vale: 1 1 f 0.05 Hz T 40 La velocità angolare di rotazione riulta: rad f La velocità tangenziale del taburo è la velocità con cui ale il blocco di ferro: D 0.7 w R La potenza necearia per portare il blocco fuori dall'acqua è proporzionale alla tenione della fune e alla velocità del blocco e vale: P Tw W Lo pazio che il blocco deve percorrere pria di ucire dall'acqua riulta: H in in5 Eendo il oto del blocco rettilineo unifore, il tepo ipiegato dal blocco ad ucire dall'acqua vale: ' 7" w 0.06 Eercizio 16 Un teroetro galileiano è cotituito da un cilindro di vetro riepito con acqua (altezza del pelo libero H pari a 0 c), in cui ono iere tre apolle di vetro riepite ediante un liquido colorato, coì coe rappreentato in figura. Ogni apolla ha attaccata una leggera targhetta che indica una teperatura. Sapendo che le apolle ono feriche ed hanno diaetro pari a c e aa pari a 10 g, deterinare: la aa che devono avere le targhette che indicano le teperature 16 C, 0 C, 4 C.

41 4 Problei di fiica tecnica Se la teperatura dell'aria circotante il teroetro paa brucaente da 6 C a C, nell'ipotei di coniderare l'acqua in equilibrio terico con l'aria, diegnare coe cabia la dipoizione delle apolle all'interno del teroetro e, nel cao di cabiaento, deterinare: il tepo ipiegato dalle apolle a venire a galla o ad affondare all'interno del recipiente, coniderando le apolle coe punti ateriali e tracurando l'attrito tra apolle e fluido. Si ipotizzi che la denità dell'acqua vari con la teperatura in bae alla eguente legge: T T [T] = [ C] Rioluzione H = 0 c = 0. D = c = 0.0 a = 10 g = 0.01 kg Il volue delle apolle vale: D V La denità dell'acqua alle tre teperature indicate ulle targhette vale: kg kg kg Dal oento che la denità dell'acqua diinuice all'auentare della teperatura, e la teperatura dell'acqua contenuta nel teroetro, in equilibro con l'aria circotante, è uperiore al valore indicato ulla targhetta l'apolla affonda, vicevera e è inferiore galleggia. Pertanto al valore di teperatura indicato ulla targhetta deve riultare che la pinta archiedea agente ull'apolla equilibra il peo dell'apolla coprenivo della targhetta. Il odulo della forza peo riulta: P (a t)g (1) eendo t la aa della targhetta. Il odulo della pinta di rchiede, tracurando il volue occupato dalla targhetta, riulta: S Vg () Uguagliando la (1) e la (), i ottiene: V t a

42 1. Fiica generale 4 La aa della targhetta alle differenti teperature riulta quindi: 5 V kg g t,16 16 a V kg 4.10 g t,0 0 a V kg g t,4 4 a 5 5 Si oervi che la preciione tra le targhette deve eere al centeio di grao. Nel cao in cui la teperatura ia 6 C, le apolle ono tutte ul fondo; nel cao in cui la teperatura ia C, le apolle 16 C e 0 C retano ul fondo, entre quella 4 C galleggia, coì coe rappreentato in figura. 4 T = 6 C T = C La denità dell'acqua a C vale: kg La aa dell'apolla 4 C, copreniva della targhetta, vale: 4 a t kg pplicando la econda legge della dinaica all'apolla 4 C, quando la teperatura dell'acqua nel teroetro è C, i ottiene il odulo dell'accelerazione con cui l'apolla raggiunge il pelo libero dell'acqua: S P a g a Vg 4 4 ( a V )g ( ) pplicando le leggi del oto rettilineo uniforeente accelerato, i ottiene il tepo neceario alla alita:

43 44 Problei di fiica tecnica H w 1 0 a H a Eercizio 17 Rioluzione h D = 5 h 1 = 70 c = 0.7 h = 95 c = 0.95 lla bae di un erbatoio cilindrico, di diaetro pari a 5, contenente acqua è collegato un anoetro differenziale a ercurio ( Hg = kg/ ) coe in figura. Sapendo che h 1 = 70 c e h = 95 c deterinare: h 1 la preione ul fondo del recipiente e il nuero di litri d'acqua in eo contenuto, il dilivello del ercurio h 1 nel cao in cui la aa d'acqua preente nel erbatoio venga ridotta del 0%, ipotizzando che la quota h rianga invariata. H h h 1

44 1. Fiica generale 45 Eendo p = p, dalla legge di Stevino i ottiene: gh p g(h h ) pat Hg 1 at HO La profondità H del recipiente ripetto al pelo libero dell acqua, ipotizzando che la denità dell'acqua ia pari a 1000 kg/, riulta: Hgh1 H Oh H 8.57 H O 1000 La preione ul fondo del recipiente, ipotizzando che la preione eterna ia la preione atoferica norale, vale: p pat H OgH Pa 1.85 bar Il volue del recipiente vale: D 5 V H lt 4 4 Se la aa d'acqua all'interno del recipiente viene ridotta del 0%, la nuova profondità H * vale: H * 0.7H * Il nuovo dilivello h 1 riulta: * * gh p g(h h ) pat Hg 1 at HO * H 1000 O * h1 (H h) (6 0.95) c Hg 1.5 Circuiti elettrici Eercizio 18 Dato il circuito elettrico rappreentato in figura, ono noti i eguenti dati: V = 0 V, i 1 = 50 (corrente che attravera R 1 ), R 1 = 10, R = 0, R 4 = 10. Si deterini: la reitenza equivalente del circuito e la potenza terica diipata nella reitenza R, la corrente che attravera la reitenza R, pecificandone il vero, la differenza di potenziale tra i punti e del circuito. R 1 V + R 4 R R Rioluzione V = 0 V i 1 = 50 = 0.5 R 1 = 10 R = 0

45 46 Problei di fiica tecnica R 4 = 10 V + R C R 1 i 1 R 4 i R La reitenza equivalente del circuito vale: V 0 Req 880 i1 0.5 La reitenza equivalente di R e R 4 in parallelo vale: RR Req R R , 4 4 Eendo R 1, R e R in erie, i ha: R eq,4 R R R eq 1 1 eq,4 P R i W di,r La differenza di potenziale tra C e riulta: V V R i V VC C eq, 4 1 La corrente che attravera la reitenza R vale: V V V R i C C VC i , diretta coe in figura. R 0 La differenza di potenziale tra e riulta: V R i V V 1 1 V V V R i V V 1 1 oppure V (R eq,4 R )i 1 V V V (R R )i 0.5 (58 88) V V eq, 4 1

46 1. Fiica generale 47 Eercizio 19 Dato il circuito elettrico rappreentato in figura (V 1 = 4 V, V = V, V = 5 V, R 1 = 1, R =, R = 5 ), deterinare: l'intenità ed il vero delle correnti in ciacun R 1 R rao, la differenza di potenziale tra i punti e, Verificare inoltre: il bilancio energetico del circuito (potenza erogata = potenza aorbita), pecificando e V 1, V e V ono effettivaente dei generatori o ono degli aorbitori. V R V V R 1 Rioluzione V 1 = 4 V V = V V = 5 V R 1 = 1 R = R = 5 R R 1 R D F i - V R V i 1 V i R 1 C - + R E Ipotizzando che in ciacun rao del circuito il vero della corrente ia quello riportato in figura e applicando le leggi di Kirchhoff, i ottiene il eguente itea algebrico di tre equazioni in tre incognite:

47 48 Problei di fiica tecnica i1 i i 0 nodo (1) Ri V Ri1 V1 R1i1 0 aglia CD () Ri V R1i V Ri 0 aglia EF () Ricavando i 1 e i dalla () e dalla () e otituendo nella (1), i ottiene: V1 V Ri i1 R R i 1 1 V V R i R R V V1 V 4 5 i R R R Ne egue che: i i Il vero delle correnti i 1 e i è tato ipotizzato correttaente, entre la corrente i è diretta nel vero oppoto a quello ipotizzato, coe rappreentato nella eguente figura. D R 1 R F i V R V + - i 1 V + - R 1 i C R E Riulta: i 1 = 0.15 i = i = 0.9 Vale la eguente relazione per il rao : V ir V V Ne egue: V i R V V V

48 1. Fiica generale 49 V 1 e V ono effettivaente dei generatori (le correnti i 1 e i ono dirette dal al +), V è un aorbitore (la corrente i è diretta dal + al -). Il bilancio energetico del circuito riulta quindi: Pgenerata V1i 1 Vi W Paorbita Vi R1(i 1 i ) Ri R(i1 i ) ( ) ( ) 1.96 W Eercizio 0 Dato il circuito elettrico in figura, ono noti i eguenti dati: R 1 = 5, R = 15, R = 0, R 4 = 0, R 6 =, V 1 = 40 V, V = 190 V, V V = 10 V. Deterinare: la corrente che attravera la reitenza R, pecificandone il vero (vero l'alto o vero il bao), e la reitenza equivalente di R e R 4, la corrente che attravera la reitenza R 1, pecificandone il vero (vero detra o vero initra), la reitenza R 5. R 1 R 5 V V R R 4 R 6 R Rioluzione R 1 = 5 R = 15 R = 0 R 4 = 0 R 6 = V 1 = 40 V V = 190 V V V = 10 V

49 50 Problei di fiica tecnica C R 1 R 5 E + V + 1 R V R i R 6 R D F pplicando la legge di Oh tra e i ottiene la corrente che attravera la reitenza R : V V R i V V 10 i 6 R 0 Eendo V > V, i è diretta vero il bao. Le reitenze R e R 4 ono in parallelo per cui riulta: RR R,4 R R C R 1 G R 5 E V 1 i i 1 i5 + R V R i i 4 R 6 R D F Ipotizzando che i 1 ia diretta vero detra ed applicando la legge di Kirchhoff alla aglia DC, i ottiene procedendo in vero orario: Ri1 V1 R1i 1 Ri 0 da cui i ricava la corrente che attravera la reitenza R 1 : V1 Ri i1 4 R1 R 5 15 Eendo i 1 < 0, il vero ipotizzato è bagliato; ne egue che i 1 = 4 diretta vero initra. Eendo R 4 in parallelo a R, la corrente che la attravera vale: