La massa del bosone di Higgs

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1 La massa del bosone di iggs Limiti teorici diretti e indiretti Natascia Vignaroli Corso di Fisica Nucleare e Subnucleare II prof. C.Dionisi a.a.006/007

2 La massa del bosone di iggs rimane l unico parametro ad oggi sconosciuto del Modello Standard. Si sono però ottenuti dei limiti sul suo valore sulla base di: Misure dirette (LEP1 e LEP) Vincoli teorici: unitarietà della matrice di diffusione. finitezza dell accoppiamento quartico dei bosoni di iggs ( Triviality bound). stabilità del potenziale scalare (Stability bound). Misure elettrodeboli di precisione

3 Le ricerche a LEP1 e LEP hanno fissato M > GeV con un 95% C.L. (.ne parlerà Cristiana nella sua presentazione)

4 Limiti teorici diretti Unitarietà Consideriamo lo scattering di bosoni WL ad alta energia : W W W W + + L L L L L L L L

5 Possiamo avvalerci del Teorema di Equivalenza Elettrodebole: e calcolare A sulla base del potenziale scalare dei bosoni di Goldstone 1 + ω = (θ + ιθ 1 ) 1 - ω = (θ - ιθ 1 ) θ M M V= ( +ω +ωω) + v 8v ( + ω +ωω ) M ω 0 = M M g = -i g = -i ω+ ω- v ω+ ω- ω+ ω- v

6 ω + ω s ω g ω + ωω - + ω - ω + g ωω g ωω t Troviamo quindi l ampiezza che decomponiamo in onde parziali In cui l è il momento angolare,θ l angolo di scattering, Pl i polinomi di Legendre, al le ampiezze d onda parziale.

7 Per le ampiezze d onda al che compaiono in A vale la relazione: al =i(1- a l )/k,con k vettore d onda dello stato iniziale ed a l azione del potenziale di scattering sulla componente l dell onda sferica divergente dello stato finale. (vedere Burcham and Jobes Nuclear and Particle Physics o Appendice:Limiti di Unitarietà negli appunti del prof.dionisi). Poiché per un processo risulta dσ/dω = A ² /(64π²s) si trova : In cui si è utilizzata la relazione di ortonormalità per i polinomi di Legendre. 1 1 d(cos θ) P (cos θ) P (cos θ) = l l' δ ll ' l + 1

8 Per il teorema ottico: Tale teorema è una diretta conseguenza della richiesta di unitarietà della matrice di diffusione S. Infatti, considerando lo sviluppo di S al primo ordine in p.t. possiamo scrivere: S = 1+iT La richiesta che sia SS = 1 cioè ( δik + it ik )( δkj - it kj) = δij porta alla condizione : ImT = T T ImT = T T ij ik kj ii ik ki Da cui, essendo Im A(θ =0) = 16π ( l + 1)Im a l, l=0 si ottiene la condizione di unitarietà

9 al = Im( al) Re( al) + Im( al) = Im( al) 1 1 Re( al) + Im( al) - = 4 da cui Re( a ) l 1 Consideriamo quindi l onda parziale con l =0 (dà il limite più stringente): a(s,t)= l 1 3π 1-1 d(cosθ)p (cosθ)a l M M 1 M 1 a(s,t)= d(cosθ)a = d(cosθ) π 3π -1-1 v v s - M v t - M 0 L integale si può facilmente calcolare nel s.c.m. ottenendo: M M M s a(s)=- + - ln 1+ 16πv s - M s M 0

10 Nel s.c.m. (si trascura la massa dei bosoni visto che siamo nel limite di alta energia) ω + ' ω θ ' ω + ω P+ =(E,0,0,E) P- =(E,0,0,-E) P - =(E,0,-Esenθ,-Ecosθ) P + =(E,0,Esenθ,Ecosθ) s =(P+ + P- )² = 4E² t =(P+ -P - )² = - P - P+ = -E²(cosθ +1) Per l unico termine dell ampiezza A che dipende da cosθ risulta allora: M 1 1 M 1 d(cosθ) - = d(cosθ) = 3π -1 v t-m 3π v E (1+cosθ)+ M -1 1 M 1 4E 1 M 1 s = ln 1+ = ln 1+ 3π v E M 16π v s M

11 Abbiamo quindi : M M M s a(s)= ln 1+ 16πv s - M s M 1 Re(a 0 ) < nel limite si ottiene: M S s M M a(s) - 8πv 1 Re(a 0 ) < 0 v=46 GeV M < 87 GeV Il limite superiore ottenuto si abbassa se si tengono in considerazione gli altri possibili canali dello scattering W W ad alte energie: Z Z,, Z ed in L L L L L + generale gli scattering ad alte energie con i possibili accoppiamenti tra bosoni vettoriali e bosoni vettoriali ed iggs.

12 Le ampiezze di tali scattering possono essere rappresentate da una matrice 6x6 nella base dalla quale si ottiene, per l onda parziale con l =0: -M a = 8πv 0 Il più grande autovalore che si ottiene diagonalizzando la matrice è 3/ da cui il limite: M < 71 GeV

13 Se invece consideriamo il limite M S M M M s s M s a(s)=- + - ln πv s - M s M 3πv 1 Re(a 0 ) < 0 s <1.74 TeV da cui il limite che, considerando tutti gli accoppiamenti come prima, si riduce a: s < 1.TeV Il limite trovato ci dice che, nel caso in cui l iggs sia troppo pesante, cioè inesistente, allora, quando la scala di energia comincia a superare i TeV devono comparire fenomeni legati a NUOVA FISICA che ristabiliscano l unitarietà. 1- TeV è proprio il range di energia esplorato dal Tevatron

14 Limiti teorici diretti Triviality bound Consideriamo l accoppiamento quartico tra i bosoni di iggs e le relative correzioni radiative ad un loop: g 4 = 6 λ g 4 4 g g 4 dalla rinormalizzazione si ottiene l equazione per il running coupling: Il coupling varia logaritmicamente con il quadrato della scala di energia in gioco nel processo ( Q² ). (v =46GeV è la scala di energia alla quale si ha la rottura di simmetria elettrodebole).

15 Nel limite Q v : 3 Q λ(q ) = λ(v ) 1 - λ(v )log 0 Q v 4π v La teoria diventerebbe triviale: non ci sarebbe interazione tra i bosoni di iggs che sarebbero, inoltre, privi M λ = v di massa ( ) Nel limite opposto : Q v λ(q²) cresce con Q² e può diventare infinito quando il denominatore si annulla (polo di Landau) cioè quando 3 Q λ(v )log = 1 4π v

16 La richiesta che λ rimanga diverso da zero e finito pone dei limiti su M. Per evitare il polo di Landau, infatti, deve essere: 3 Q 3 Q 8π v λ(v )log < 1 M log < 1 M < 4π v 8π v v Q 3log v Stability bound Finora nel running non abbiamo considerato i contributi dei fermioni e dei bosoni di Gauge. Dato che, però, gli accoppiamenti dell iggs sono proporzionali alle masse delle particelle con cui si accoppia, possiamo limitarci a considerare i contributi che vengono dai quarks top e dai bosoni di Gauge.

17 NOTAZIONE g g g g 1 ' Si ottiene, allora la seguente variazione di λ con la scala di energia: con la scala alla quale dovrebbe manifestarsi nuova fisica dipende da mt I termini aggiuntivi, comunque, hanno un contributo rilevante solo nel limite in cui risulta:

18 E quindi: Il contributo del top può portare ad instabilità, cioè a valori di λ(q²) negativi Perché non si abbia instabilità ho una condizione su λ(v²) che porta al limite:

19 Considerando insieme lo Stability e il Triviality Bound si ottengono le limitazioni di M alle varie scale ( nel grafico sono inclusi i contributi a due loop )

20 Limiti teorici indiretti Misure di precisione elettrodeboli IDEA DI BASE La precisione delle misure elettrodeboli raccolte è tale che, per confrontarle con le rispettive predizioni teoriche, tali predizioni devono includere le correzioni radiative ad ordini elevati. Le correzioni radiative ad uno o più loop dipendono logaritmicamente dalla massa dell iggs. Fittando le misure di precisione con le espressioni teoriche nelle quali si lascia M come parametro libero, si arriva a stimare la massa dell iggs.

21 I FIT I parametri dello Standard Model vengono espressi in funzione delle quantità conosciute con maggiore precisione: La costante di struttura fine La costante di Fermi La massa dello Z Le correzioni puramente elettromagnetiche sono sottratte dal fit sostituendo α con il suo valore alla scala di energia MZ : α α(mz ) 1.064α Tali quantità si utilizzano come parametri di input dei fit. Vengono, invece, lasciati come parametri liberi la massa dell iggs e quella del top.

22 Dipendenza da M delle correzioni radiative (esempio ad un loop ) G e = (1 + Δr ) 8s c M W W Z c Δ r = Δα Δ ρ + Δr s W W Δα dà la correzione alla costante di struttura fine : α Δρ Δr rem α 1- Δα(q ) rem (q )=, dalla quale si trova ( M ) Z 3e 64π s c M W W Z m t top m ha i principali contributi dal top : Δrrem ln( ) c M iggs m e dall'iggs: Δrrem ln( ) c M W Z α t W Z

23 Le misure di precisione elettrodeboli a Lep ( s=mz) Le asimmetrie Le principali asimmetrie analizzate sono: L asimmetria forward-backward per i fermioni, operativamente definita dall equazione: in cui NF ed NB indicano il numero di eventi in cui si ha produzione di fermioni in avanti ed indietro. L asimmetria di polarizzazione Pτ definita da : in cui σr(l) è la sezione d urto per la produzione di leptoni τ right(left)-handed

24 L asimmetria forward-backward nel flusso di carica negli eventi adronici: con qf carica fermionica, Γf(had) larghezza parziale di decadimento di Z in fermioni (adroni). Tutte queste asimmetrie possono essere espresse in funzione della quantità: e quindi delle grandezze gvf e gaf che entrano nell accoppiamento : La dipendenza, dunque, delle asimmetrie dalla massa dell iggs è legata alla dipendenza dei coupling gvf e gaf da M nelle correzioni radiative.

25 Altre misure di precisione La quantità: che dipende direttamente dai coupling g (leptonici, in questo caso) Il rapporto: in cui anche Γl è legato ai coupling g dalla relazione Il rapporto: con Γb larghezza di decadimento di Z in b-bbar. Un analogo rapporto è definito per il quark c. RISULTATI DEI FIT

26 Risultati Fit sulle misure di precisione raccolte a LEP1,LEP,SLC, Tevatron. Non si considerano le correzioni puramente elettromagnetiche α α(mz ) Si trova la più bassa compatibilità tra risultato del fit e misura sperimentale per A b FB

27 Stime di M risultanti dai fit su misure di precisione elettrodeboli. Misura di precisione A b FB un po' fuori dal range di M risultante dalla media su tutti i singoli risultati

28 Andamento con M di ΔΧ² = Χ²- Χ²mis, il Χ² è ottenuto da un fit globale su tutte le misure di precisione elettrodeboli La zona in giallo è esclusa dal limite M >114.4GeV fissato a LEP La banda celeste viene dall incertezza teorica sulle correzioni di ordini più alti

29 Massa di W M M M W = ln ln 100GeV 100GeV (5) α had(m Z ) Mt GeV a(m s Z) L ovale rosso viene dalle misure indirette di mw e mt a LEP1 e SLD L ovale blu tratteggiato viene da misure dirette a LEP e Tevatron

30 Referenze The Anatomy of Electro-Weak Symmetry Breaking, A.Djouadi Precision Tests of the Standard Model at LEP, B.Mele Tasi 004 Lecture Notes on iggs Boson Physics, L. Reina Unitarity constraints on scalar parameters of the Standard and Two iggs Doublets Model, A. Arhib Introduction to Electroweak Symmetry Breaking,S.Dawson An introduction to gauge theories and modern particle physics, E.Leader E.Predazzi Nuclear and Particle Physics, Burcham and Jobes Corso di Fisica Nucleare e Subnucleare II Appendice: Limite di Unitarietà, prof. C.Dionisi