Assorbimento. Procedendo nel nostro percorso conoscitivo utilizzeremo, al solito: Equazioni di equilibrio

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1 Assormento 'operzone d Assormento consste nel trsfermento d uno o pù component d un fse gssos d un fse lqud; l lqudo utlzzto vene detto lqudo ssorente. 'operzone d trsfermento d un lqudo d un gs prende l nome d strppggo. Tl operzon, nche se preferenzlmente c rfermo quell d ssormento, possono vere le seguent fnltà: Recupero d component pù o meno pregt d esempo, recupero d vpor d enzn present n un corrente d zoto mednte l'utlzzo d un olo qule lqudo ssorente Purfczone d component ndesdert o che non possono essere espuls nell'tmosfer d esempo, ttmento d cdo solforco presente nelle corrent gssose d nvre l cmno n centrl termoelettrche Rsult chro, qund, che l'operzone d ssormento, un volt effettuto l pssggo de component desdert dl gs l lqudo, deve essere complett con un processo d seprzone che convolge l solvente ed component trsfert; s not, nftt, che è necessro recuperre component ssort, n qunto devono essere opportunmente trttt s nel cso s trtt d component pregt s che s trtt d nqunnt, m nche l solvente, n qunto vene rutlzzto ll'nterno d un cclo chuso. Tl esgenze determnno crter d scelt del solvente ssorente n qunto deve essere: Solule rspetto l gs consderto coè, n grdo d solulzzre component d recuperre o d elmnre Selettvo deve ssorre solo component volut e non ltr Economco Non tossco generlmente vene utlzzt l'cqu che, però, non è dtt nel cso n cu s deno ssorre degl drocrur Fclmente seprle d component ssort Procedendo nel nostro percorso conosctvo utlzzeremo, l solto: Equzon d lnco Equzon d equlro Equzon d trsporto (n prtcolre per vlutre l'ltezz dell colonn d ssormento)

2 Consderzon generl Equzon d equlro l prncpo su cu s fond l'operzone d ssormento è reltvo ll solultà d un certo componente n fse gssos n un solvente dtto; n ltr termn, ponendo conttto un fse gs con un fse lqud s vene determnre un equlro che consente l pssggo d un componente dll fse gs ll fse lqud o vcevers (strppggo): tl condzon sono rppresentte su dgrmm d Solultà, (frzon molr d un componente presente s nel lqudo s nel gs) che hnno l'ndmento d un rett, per soluzon estremmente dlute (legge d Henr), oppure l'ndmento d un curv, per soluzon non dlute. Rssumendo, qund, per studre le operzon d ssormento è necessro utlzzre le relzon d equlro nche fornte ttrverso dgrmm d solultà: Se lvormo n condzon d dluzone nfnt, vle l legge d Henr per cu s h un dpendenz lnere tr le frzon molr n fse gssos e quelle n fse lqud: le condzon d equlro n un dgrmm, sono rppresentte d un rett Se, nvece, non lvormo n condzon d dluzone nfnt, non è pù vld l legge d Henr m c srà sempre un relzone (rppresentt d un curv e non d un rett) che c consentrà d ndvdure le composzon d equlro lqudo-gs Volendo relzzre uno scmo d mter, coè l trsfermento d un componente dll fse gs ll fse lqud, è necessro tener conto delle condzon d lvoro che devono essere suffcentemente dstnt dlle condzon d equlro n ogn punto dell colonn d ssormento, n modo tle d ottenere un forz spngente suffcente promuovere lo scmo nell drezone desdert. 'operzone nvers quell d ssormento è dett operzone d desormento o strppggo; n quest operzone s trsfersce n fse gs un componente contenuto n fse lqud. S not che è possle relzzre l'ssormento se le condzon d lvoro sono rppresentte d un punto l d sopr dell curv d equlro; n ltr termn, se l componente desderto h concentrzone * n fse lqud e n fse gs dove è mggore del vlore * d equlro per l concentrzone ttule *, s vene determnre un forz spngente esprmle come -* che promuoverà lo scmo voluto. Operndo, nvece, con un concentrzone n fse gs mnore del vlore * d equlro s vene determnre un forz spngente *- che promuoverà lo strppggo del componente desderto dl lqudo verso l gs. Nturlmente, se l punto rppresenttvo delle condzon d lvoro s trov sull curv d equlro c trovmo n condzon tl n cu lo scmo d mter non può propro vvenre. 2

3 Vsulzzmo qunto ppen detto sul dgrmm d solultà,. Supponmo d porre conttto un gs ed un lqudo ne qul e * sono rspettvmente le frzon molr del componente Assormento d trsferre d un fse ll'ltr; ndchmo con * l A concentrzone d equlro lto gs ll ttule concentrzone * lto lqudo. condzone per l qule s * h ssormento (trsfermento Strppggo del componente dl gs l S lqudo) è dt dll relzone * > * n ltr termn, l componente d trsferre h un concentrzone n fse gs mggore d quell d equlro reltv ll concentrzone ttule * presente nel lqudo: n queste condzon l punto A(*,) s trov l d sopr dell curv d equlro. Vcevers, l condzone per l qule s h strppggo (trsfermento del componente dl lqudo l gs) è dt dll relzone < * n ltr termn, l componente d trsferre h un concentrzone n fse gs mnore d quell d equlro reltv ll concentrzone ttule * presente nel lqudo: n queste condzon l punto S(*,) s trov l d sotto dell curv d equlro. Ovvmente, se l componente d trsferre present concentrzon nel lqudo e nel gs (*,*) tl d ndvdure un punto pprtenente ll curv d equlro, non v è lcun trsfermento d fse del componente stesso. Dstllzone ed Estrzone Nello studo dell Dstllzone e dell'estrzone non s prendono n consderzone le equzon d scmo cos che, nvece, s verfc nel cso del trsfermento d clore; l cos può pprre senz senso n qunto, nche per l trsfermento d mter, s pone sempre lo stesso prolem: conoscere l veloctà con cu vvene lo scmo n qunto questo non dpende solo dll forz spngente che lo promuove, m nche dlle resstenze che s oppongono l trsfermento stesso. In reltà, nell Dstllzone e nell'estrzone le equzon d trsporto non vengono consderte n qunto le condzon d scmo non sono descrvl né con equzon estte né ttrverso modell nterprettv cus dell complesstà de fenomen consdert. 3

4 Ad esempo, nell Dstllzone mo che, d dspostv d mscelzone, l vpore vene dsperso nell fse lqud: per poter descrvere n qulche modo l fenomeno, dovremmo poter segure le vcende del vpore. Anche mmesso che tle vpore composzone unforme, s verfc che: Il vpore vene dsperso n ollcne d dfferent dmenson, con condzon d turolenz, ll'nterno e ll'esterno, estremmente dverse d oll oll Tl ollcne scmno con l lqudo presente e che h un cert composzone; durnte l rslt ttrverso l ttente lqudo, però, le ollcne possono scnders oppure mscelrs tr loro In funzone delle dmenson delle ollcne, cus de mot convettv ntern, s hnno dfferent grd d mscelzone ntern Potremmo contnure per un el po m, n ogn cso, rest l certezz che non è possle descrvere tutto questo né n modo estto ttrverso le legg dell dffusone né ttrverso de modell nterprettv del fenomeno. Anlogh prolem s ncontrno nell Estrzone n qunto, per trsferre l soluto d un fse ll ltr, è necessro lvorre n presenz d turolenz per relzzre uone condzon d mscelzone; cò determn un gross vrltà delle grndezze n goco (d punto punto del sstem consderto) ed, noltre, contnue modfche dell superfce d scmo: nche n questo cso, qund, non è possle n lcun modo schemtzzre tl fenomen. unc strd percorrle è quell d rtenere che, n un certo volume d pprecchtur, vengono rggunte le condzon d equlro; poché nessuno c può sscurre se quest condzone d equlro s effettvmente rggunt nell pprecchtur rele, prm clcolmo l numero d std teorc d conttto necessr e, successvmente, cerchmo d determnre n modo emprco e cso per cso l effcenz del processo (rcordmo che l effcenz esprme glolmente qunto vene effettvmente relzzto nello stdo rele rspetto llo stdo teorco): n questo modo, mo l possltà d pssre dl numero d std teorc l numero d std rel. Assormento e Modello nterprettvo Anche nell Assormento voglmo relzzre un trsfermento d mter tr due fs n presenz d un dt forz spngente; l prolem è sempre lo stesso e coè conoscere l veloctà con cu vvene lo scmo n qunto, questo, non dpende solo dll forz spngente m nche dlle resstenze che s oppongono l trsfermento stesso. Al contrro d qunto vsto per l dstllzone e l estrzone, nel cso dell Assormento è possle rcorrere d un modello nterprettvo che c consente d utlzzre un relzone d scmo; n questo modo è possle pervenre ll espressone dell veloctà con cu 4

5 vvene l trsporto: espressone dello stesso tpo d quell vst nello scmo termco n cu l flusso è stto espresso come prodotto d un coeffcente d scmo, d un superfce d conttto e d un forz spngente (n questo cso, però, l superfce d conttto è meglo defnt rspetto l cso dell ssormento ed, noltre, l modello è relmente derente lle modltà d trsporto del clore). Ipotzzmo, nel cso dell Assormento, che l resstenz è concentrt n due flm d spessore nfntesmo present ll nterfcc lqudo-gs; cò equvle d ffermre che n tutt Flm Flm lqudo gs l mss gssos l concentrzone del componente d trsferre è unforme e pr mentre n tutt l mss lqud l concentrzone è unforme e pr : grdent d concentrzone sono present solo ne flm. Quest schemtzzzone, però, non corrsponde cò che s verfc relmente ll nterno d un colonn d rempmento; s not, nftt, che l lqudo scende verso l sso formndo un velo sul rempmento mentre l gs rsle verso l lto pssndo ttrverso gl nterstz present: è evdente, qund, che lungo lo spessore del velo lqudo presente sul rempmento s vengono determnre de grdent d concentrzone. Del resto, l lqudo MIX lqudo gs lqudo conttto con l gs tende sturrs del componente d cu s st relzzndo l trsfermento che, qund, deve po dffondere verso l nterno dell mss lqud; se è presente un moto lmnre o turolento non penmente svluppto, s mntengono tl grdent d concentrzone ll nterno dell mss lqud. In defntv, nel modello mo potzzto che le concentrzon sono unform ll nterno dell mss lqud e dell mss gssos mentre, n reltà, lmeno per qunto rgurd l lqudo sono present de grdent d concentrzone; nonostnte queste dfferenze, l modello proposto resce d nterpretre glolmente l fenomeno d trsporto. Il modello presuppone l esstenz d un moto turolento s ll nterno dell mss lqud s dell mss gssos; n questo modo le concentrzon nelle due fs n un cert sezone dell pprecchtur sono unform: l resstenz è concentrt nel flm lqudo e nel flm gssoso. 5

6 C rendmo conto, gurdndo l fgur precedente, che qundo l lqudo flusce sul rempmento è effettvmente presente, ll nterno del lqudo, un grdente d concentrzone; s not, però, che gunto ll fne d un pezzo del rempmento, l lqudo cde su d un ltro pezzo mscelndos con del lqudo che h seguto ltr percors: tle mscelzone rende unforme l concentrzone. Non ppen s è verfct tle mscelzone, l lqudo comnc spostrs verso l sso, scorrendo su dfferent pezz d rempmento, dfferenzndo nuovmente l percorso: ll fne d un pccolo trtto, però, s verfc un ulterore mscelzone. A questo punto, tenendo presente che l colonn è lt crc 5 0m e che pezz del rempmento sono dell ordne de centmetr (d esempo nch), è pur vero che loclmente (nell sngol sezone) l concentrzone del lqudo non è unforme m, lungo tutt l colonn, s verfcno en 500 mscelzon; n defntv, l numero d quest rmescolment è tlmente elevto d poter rtenere unforme l concentrzone del lqudo per ogn sezone dell colonn. S not che nloghe consderzon s possono effetture per l gs; nftt, n un fsst sezone v è un lternnz fr vuot (d dverse dmenson n cu può pssre l gs) e pen (n cu l gs non può pssre): ncor un volt, smo n presenz d dfferent condzon d scmo pssndo d punto punto dell sezone. In defntv, strde dverse sgnfcno condzon d scmo dfferent nche per l gs; s not, però, che un volt ttrverst un cert fl d pezz d rempmento, tle gs s mscel con del gs provenente d ltr percors unformndo, così, l concentrzone: l frequenz d tl rmescolment è funzone dell ltezz med del rempmento. In conclusone, l modello nterprettvo utlzzto (detto Modello del doppo Flm) potzz che l resstenz s concentrt nel flm lqudo e nel flm gssoso e che non v s resstenz ll nterfcc (coè, le composzon del lqudo e del gs ll nterfcc e sono le composzon d equlro). Apprecchture Vsto che smo n presenz d un fse erforme e d un fse lqud, è possle pensre d relzzre l'ssormento operndo n contnuo ed n controcorrente; tle scopo sono stt mess punto vr dspostv che s dfferenzno per form, costruzone e prncp opertv. colonn ptt un dspostvo d questo tpo è del tutto nlogo quello vsto nel cso dell dstllzone, coè s trtt d un sere d ptt ncolonnt n cscuno de qul s relzz un equlro ntermedo; s not, però, che le potenzltà e, prncplmente, l'mportnz economc d quest operzone è 6

7 certmente d qulche ordne d grndezz nferore quello dell dstllzone qundo, per l relzzzone d un colonn ptt, s h sogno, comunque, d un grosso nvestmento fnnzro: n defntv, nell mggor prte de cs non convene utlzzre tle dspostvo e c s orent verso pprecchture pù semplc. colonn spruzzo n questo dspostvo, s relzz l dspersone d un corrente lqud (fse dscontnu) sotto form d pccol gett n un fse gssos contnu che ttrvers l colonn dl sso verso l'lto. Colonn Colonn Colonn spruzzo olle rempmento colonn olle quest volt l corrente lqud rppresent l fse contnu e percorre sempre l colonn dll'lto verso l sso mentre, ll se, vene dspers l fse gssos dscontnu mednte gorgoglmento ttrverso l lqudo (s formno, coè, delle ollcne che ttrversno l lqudo dl sso verso l'lto). Entrm dspostv, però, non soddsfno le esgenze d produzone ndustrle: queste rchedono pprecchture comptte n cu l rpporto lqudo-gs s pccolo ed noltre che s oper con un'lt veloctà d mss del gs (questo perché, trttndo pccole portte d lqudo con grosse portte d gs, ottenmo un lqudo n cu l componente d trsferre è contenuto n concentrzon suffcentemente elevte; necessrmente, qund, convene operre con lte veloctà del gs n modo d ottenere vlor ccettl per l sezone dell colonn). e due pprecchture consderte, n reltà, non possono lvorre con le portte generlmente mpegte nelle operzon d ssormento. S not, nftt, che nell colonn spruzzo l lqudo deve essere dsperso sotto form d mnutssme goccolne per cu, onde evtre l trscnmento delle stesse, è necessro contenere l veloctà d pssggo del gs con conseguente umento dell sezone dell colonn; nell colonn olle, nvece, l gs deve essere dsperso sotto form d pccolssme ollcne propro per umentre l superfce d scmo: cò determn un portt dspers per untà d sezone d colonn estremmente ss e, dovendo trttre un gross portt gssos, dovremmo relzzre nche n questo cso un colonn d sezone estremmente elevt. 7

8 colonn rempmento questo tpo d pprecchtur è l pù utlzzt per l'operzone d Assormento e, per questo motvo, c rferremo essenzlmente tle dspostvo. In un colonn rempmento s l fse lqud ntrodott dll'lto s l fse gssos ntrodott dl sso vengono utlzzte n modo contnuo; tle colonn, noltre è crct con cosddett Corp d rempmento (nche ndct semplcemente come Rempmento dell colonn; tle ctegor pprtengono gl nell Rshg, essg, pn dmetrl, d elcode nterno e vr tp d corp sell) costtut d mterle soldo nerte n pezz e che può essere: D dvers form (sfere, cuett, clndrett oppure sgome prtcolr) D dverso mterle (gh, plstc, metllo e cermche) D dmenson opportune (dell'ordne d qulche centmetro) Inoltre, devono rspondere lle seguent crtterstche: Elevt superfce gnle per untà d volume d rempmento (n questo modo s vuole ottenere un'elevt superfce specfc d conttto tr le due fs per ccelerre l processo d trsfermento) Elevto vlore del volume de vuot (n modo d consentre notevol portte de flud senz eccessve perdte d crco) Resstenz ll corrosone Bsso peso specfco (per utlzzre un grnde qunttà d rempmento senz eccessve complczon strutturl per l colonn) Costo contenuto Voglmo sottolnere che, n ogn cso, nche l form e le modltà con cu vene crcto l rempmento n colonn sono d estrem mportnz n qunto, è vero che mo sogno d un elevto rpporto superfce-volume d rempmento, m è ltresì fondmentle svluppre l mggor superfce d conttto per untà d volume dell colonn. Nell colonn rempmento, l lqudo vene dstruto dll'lto n modo unforme su tutt l sezone e, qund, su tutt pezz del rempmento; scendendo dll'lto verso l sso vene gnto tutto l rempmento e s form un velo lqudo 8

9 Anello Anello Rshg essng derente ll superfce de vr pezz che lo costtuscono: se l portt del lqudo è tle d non ffogre completmente l colonn, v srnno de percors (costtut dlle ntercpedn tr un pezzo e l'ltro e d vuot present su pezz stess) ttrverso cu può pssre l corrente gssos. In defntv, l lqudo cdendo dll'lto s dstrusce e scorre su tutt pezz del rempmento senz occupre tutt l colonn m lscndo degl nterstz vuot ttrverso cu pss l gs: l rempmento funge d supporto per l flm lqudo e, contempornemente, relzz un'elevt superfce specfc d scmo. o studo dell'ssormento srà lmtto d operzon n cu un solo componente vene ssorto n condzon soterme; c rferremo, qund, d operzon n cu l qunttà d clore svluppt per effetto dell'ssormento è pccol perché o clor d soluzone sono trscurl o le soluzon d trttre sono dlute e le qunttà d trsferre molto pccole. rd d lertà Consdermo un generc colonn d ssormento ed ndchmo con e le sezon d test e d cod rspettvmente; supponmo d lmentre dl sso un corrente gssos d portt vente composzone (frzone molre o ponderle) del componente d ssorre mentre dll ltro ntroducmo un corrente lqud che, venendo conttto con l gs, ssore l componente d trsferre, l cu composzone nel lqudo pss dl vlore nzle l vlore fnle ( < ): ovvmente, vr nche l composzone dell corrente gssos e le portte del lqudo e del gs, propro perché un componente s trsfersce dll corrente gssos quell lqud. E fondmentle osservre che n un corrente sono present molt component; n prtcolre, nell corrente gssos sono present s sostnze che non vengono ssorte dl lqudo (nert) s sostnze che vengono ssorte dl lqudo: n ltr termn, vpor sono costtut d sostnze 9

10 con dvers solultà m lcun component, rspetto gl ltr, presentno un solultà mggore. In queste condzon e per l processo nlzzto, possmo concludere che, nche se n ogn corrente sono present pù component, fn prtc possmo ssumere l presenz d solo nerte (se non s trsferscono l possmo trttre come un unco componente) ed solo componente d trsferre (l loro solultà è molto pù grnde d quell degl nert per cu presentno lo stesso comportmento). Consdermo, or, un sezone dell colonn d ssormento; se ndchmo con portt d nerte nell corrente lqud (coè tutte le sostnze present nel lqudo dverse dl componente d trsferre) portt d nerte nell corrente gssos (coè tutte le sostnze present nel gs con solultà tle d non essere ssorte nel lqudo) possmo scrvere che: + + S not che e sono costnt lungo tutt l colonn. e vrl che ntervengono n un operzone d ssormento sono: 4(c+2) numero d vrl dovute lle 2 corrent n ngresso e lle 2 corrent n usct; s not che, per qunto detto n precedenz, s deve porre c 2: tl vrl rppresentno l pressone, l tempertur, l portt e l composzone delle 4 corrent consderte vrle dovut l flusso termco q scmto con l mente n defntv, s h che N V 7 Per qunto rgurd vncol s h che: vncol nerent: uguglnz dell pressone dell corrente lqud e dell corrente gssos n un stess sezone p p 3 uguglnz dell tempertur fr le 4 corrent per l condzone d sotermctà T T ; T T ; T T 0

11 vncol d lnco: lnco d mter sul componente d trsferre + + n defntv, s h che lnco d mter sull nerte lto gs (- ) (- ) lnco d mter sull nerte lto lqudo (solvente ssorente) (- ) (- ) lnco termco reltvo l flusso scmto con l esterno N R 8 Il numero de grd d lertà è esprmle come N l N V N R Ovvmente, quest 9 g.d.l. non sono tutt dsposzone del progettst; s not, nftt, che: g.d.l. è mpegnto dlle perdte d crco p present tr le sezon e dell colonn e che dpendono dl tpo e dlle dmenson dell colonn stess 3 g.d.l. sono utlzzt per ssegnre portt e composzone dell corrente n ngresso (, ) e composzone del lqudo n ngresso; s not, nftt, che l composzone è not n qunto l lqudo ssorente o è completmente scrco del componente d trsferre (come nel cso d un lmentzone sempre fresc) o provene d un rcclo durnte l qule h suto un opportuno trttmento 2 g.d.l. sono utlzzt n qunto, generlmente, vene ssegnto nche l recupero (ttmento) del componente desderto oppure l purezz (concentrzone mssm) cu deve essere portto l gs n usct Anlzzmo, or, l perché ssegnre l recupero o l purezz mpegn 2 grd d lertà.

12 Recupero Supponmo d voler recuperre l 95% del componente desderto dll corrente gssos; possmo dre che nell corrente d gs n usct c deve essere solo l 5% per cu possmo scrvere: Or, poché s verfc che: (- ) + (- ) n questo modo, essendo not e, mo rcvto m è possle conoscere nche. Purezz supponmo che s ssegnt l concentrzone mssm del componente desderto nell corrente gssos n usct (molto spesso tle vlore è mposto per legge; non s possono scrcre n tmosfer corrent gssose eccedent cert vlor d concentrzone per specfc component): dl lnco d mter sull nerte s rcv (- ) (- ) In defntv, per defnre correttmente l prolem dell ssormento mo mpegnto 6 g.d.l. su 9 g.d.l. dsposzone; restno, qund, solo 3 grd d lertà effettv d sturre e cò vvene secondo seguent crter: Tempertur l condzone d sotermctà fss un unco vlore d tempertur per le 4 corrent; questo non è ltro che l vlore dell tempertur d lvoro dell colonn: l ssormento è fvorto dlle sse temperture m, d ltr prte, è estremmente costoso rcorrere ccl frgorfer, per cu s oper preferenzlmente tempertur mente Pressone questo tpo d scelt s rduce quell dell pressone n un sezone dell colonn (pressone d lvoro); rcordmo che l processo d ssormento è fvorto dll lt pressone m, ovvmente, sogn sopportre l onere d pù lt cost: se, però, l solultà del componente desderto è molto ss pressone tmosferc, sogn necessrmente lvorre sotto pressone (d esempo, se s vuole ssorre SO 2 n cqu st lvorre 2 3tm mentre per ssorre CO 2 n cqu è necessro lvorre 20 30tm). In tutt gl ltr cs convene lvorre ptm 2

13 Portt del lqudo l terzo grdo d lertà vene utlzzto per fssre l portt d solvente ssorente. In questo cso, smo espost scelte contrstnt; s not, nftt, che se effettvmente l umento dell portt determn condzon d trsfermento pù fvorevol n qunto l composzone n fse lqud del componente desderto è pù ss per cu s vene determnre un mggore forz spngente, è pur vero che cò determn un corrente n usct d portt mggore e, oltretutto, pù dlut con conseguente ppesntmento del processo d rgenerzone del solvente e d recupero del soluto. In defntv, per fvorre l processo d ssormento dovremmo umentre l portt d lqudo mentre, per gevolre vlle l trttmento d rgenerzone e recupero, dovremmo rdurre tle portt; per trovre un compromesso tr queste due opposte esgenze è ene ndvdure de lmt: n prtcolre, è necessro osservre che l vlore dell portt non può essere scelto pccolo pcere. S not, nftt, che l dmnuzone dell portt comport l progressvo umento dell concentrzone n fse lqud e cò può determnre l rggungmento, n un cert sezone dell colonn, delle condzon d equlro con l fse gssos: ovvmente cò è d evtre n qunto s potree scmre l qunttà d soluto volut solo ptto d vere un colonn d ltezz nfnt Un ultm consderzone rgurd le operzon d strppggo: queste, generlmente, sono condotte pressone tmosferc, m le temperture d lvoro sono pù elevte delle corrspondent operzon d ssormento. Rssumendo, un prolem d ssormento s pone ssegnndo: ) Portt del gs n ngresso 2) Composzone del gs n ngresso 3) Composzone del lqudo n ngresso 4) Recupero o purezz del gs n usct; cò, comunque, c consente d rcvre nche l portt d gs 5) Perdte d crco I tre grd d lertà effettv sono sturt con le seguent scelte Tempertur d lvoro Pressone d lvoro Portt del lqudo ssorente 3

14 Progetto dell Colonn d Assormento Consdermo un colonn d ssormento n cu mo n ngresso un corrente gssos, costtut dl componente d trsferre pù l nerte, ed un corrente lqud contenente trcce del componente d ssorre pù l nerte (supponmo che l lqudo proveng d un rcclo). Il lnco d mter glole sul componente d trsferre è espresso dll relzone: + + e condzon d lvoro s possono ottenere scrvendo l lnco tr l test ed un generc sezone dell colonn e tr l cod e l generc sezone; nftt, l lnco glole dell colonn pone, po, n relzone l test con l cod: + + lnco d mter sul componente trsferto tr un generc sezone e l test dell colonn + + lnco d mter sul componente trsferto tr un generc sezone e l se dell colonn Queste due relzon costtuscono le Equzon d voro e legno portte e composzon delle corrent che s ncrocno n un cert sezone dell pprecchtur (possmo utlzzre ndfferentemente l un o l ltr); d esempo, rcvndo dll prm equzone s h + E necessro sottolnere che le Equzon d lvoro vste non rppresentno le equzon d rette: sono delle curve. Cò s verfc n qunto le portte d lqudo e d gs, dfferenz d qunto vsto n Dstllzone, non sono costnt. In conclusone, nel dgrmm, n cu è rppresentt l curv d equlro, non è presente un rett d lvoro m un curv d lvoro n qunto le portte e non sono costnt m vrno sezone per sezone. Per renderc meglo conto d tle stuzone, rcordmo che un generc corrente può essere espress come somm d due termn d cu uno rppresent l nerte (costtuto d quelle sostnze che non s trsferscono) e l ltro rppresent l componente d trsferre; n ltr termn, possmo scrvere (un per tutt): + /(- ) 4

15 5 Esprmendo n quest termn,, e,, s h che ' ' ' ' ' ndndo sostture tl relzon nelle due equzon d lvoro ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' questo modo d esprmere le equzon d lvoro, dove e sono le portte d nerte lto lqudo e lto gs costnt lungo tutt l colonn, rende ncor pù evdente che l relzone ntercorrente tr le frzon molr e non è d tpo lnere. Sorge, questo punto, l prolem d come trccre tle curv d lvoro; potremmo, d esempo, trccrl per punt sul dgrmm, m cò ptto d ver gà determnto l vlore ottmle dell portt lqud d nerte. V è, comunque, un modo per rendere l prolem pù semplce; comncmo con l osservre che rpport X Y rppresentno l rpporto tr l numero d mol del componente d trsferre e l numero d mol d nerte nelle rspettve corrent; possmo esprmere le equzon d lvoro come: ( ) ( ) Y Y X X ' ' ( ) ( ) Y Y X X ' '

16 rsult evdente che tl relzon d lvoro espresse n coordnte X,Y rppresentno l equzone d un rett; qund, steree rferrs dgrmm X,Y per esprmere trmte un rett le condzon d lvoro: ovvmente, dovremmo esprmere l curv d equlro nelle stesse coordnte. S not che le consderzon effettute restno del tutto vlde pssndo d rpport molr rpport ponderl. Se le corrent consderte (lqudo e gs) sono dlute, le composzon e possono essere trscurte rspetto ll untà; con tle pprossmzone le condzon d lvoro sono esprml ttrverso l equzone d un rett e n prtcolre s h: ' ' ( ) '( ) ( ) '( ) tle pprossmzone (l ver trscurto e rspetto ), equvle consderre le portte n goco costnt e concdent con le portte de rspettv nert. Rssumendo, qund, le condzon d lvoro possono essere espresse trmte un rett qundo: e corrent sono dlute e corrent non sono dlute m utlzzmo l posto delle frzon molr (componente d trsferre su mol totl) rpport molr (componente d trsferre su mol d nerte) D questo punto n po, convene rferrs ll prm delle relzon d lvoro ' ( ) '( ) n qunto v compono le composzon e delle corrent n test ll colonn che sono un dto del prolem. Voglmo determnre, or, l portt mnm d lqudo che ndrà successvmente mggort per ottenere l effettv rett d lvoro; tle scopo consdermo l dgrmm, (supponmo, coè, che le corrent sno dlute, ltrment, dovremmo consderre un dgrmm X,Y oppure un curv d lvoro): osservmo che l rett d lvoro s deve trovre certmente l d sopr dell curv d equlro n qunto, per effetture l operzone d ssormento, s deve verfcre che > *. 6

17 Rcordmo che per trccre un rett mo sogno d conoscere due punt oppure un punto e l su pendenz; dell nostr rett d lvoro, conoscmo certmente l punto A(, ) n qunto è un dto del prolem m, per l resto, non conoscmo né un ltro punto né l su pendenz / n qunto non è noto: s teng presente, noltre, che tle vlore è compreso tr un mnmo, determnto dl rggungmento delle condzon d equlro, e un mssmo, determnto d un dluzone troppo spnt dell corrente lqud (umentndo oltre un certo vlore l portt non s h un grosso ncremento dell forz spngente e s rende pù oneroso l successvo trttmento del lqudo per l rgenerzone del solvente e per l recupero del componente desderto). Per ndvdure l vlore mnmo dell portt d lqudo E A mn / * mn, s deve tener presente che, d dt del prolem, oltre l punto A(, ) è noto nche l vlore ; l ntersezone con l curv d equlro c consente d ndvdure l punto E(*, ) rppresenttvo d un potetc condzone d equlro nell sezone d cod dell colonn: mporre l pssggo dell rett d lvoro per l punto E, sgnfc mporre un certo vlore ll pendenz dell rett l che c consente, nfne, d determnre l vlore mn. In ltr termn, l dmnure dell portt l pendenz dell rett dmnusce con conseguente vvcnmento delle condzon d lvoro quelle d equlro; procedendo n questo modo, l rett d lvoro ntersec l curv d equlro nel punto E rppresenttvo delle condzon d equlro nell sezone d cod dell colonn: trmte l pendenz dell rett d lvoro, qund, smo n grdo d determnre l vlore mnmo dell portt d lqudo mn. S not che, oltre ll costruzone grfc vst, per l determnzone d mn s può nche segure un procedmento nltco; è suffcente, nftt, scrvere l equzone d lnco glole sul componente d trsferre n funzone delle portte d nerte, ponendo * (concentrzone d equlro ) ' mn * * ' n ogn cso, nelle potes vste, convene segure l v grfc. 7

18 Un volt ndvduto l vlore mn v è l necesstà d mggorrlo, n modo tle d ndvdure un vlore soddsfcente che teng conto delle nostre due contrstnt esgenze: Operre con lt vlor d forz spngente mtre l ncremento dell portt per non rendere oneroso l processo d rgenerzone del solvente ed l recupero dell ssorto Voglmo sottolnere come l vlore mn nelle operzon d ssormento trov corrspondenz, n dstllzone, nel rpporto d rflusso mnmo R mn n qunto nche mn è l se d rfermento per determnre l effettvo vlore opertvo del rpporto /. È necessro rdre che per mn l processo d ssormento voluto s relzz, n teor, solo utlzzndo un colonn d ltezz nfnt. Il prolem dell mggorzone del vlore dell portt mn, n reltà, non è così strngente come nel cso dell dstllzone; s not, nftt, che v è un mpo spzo per l ncremento d mn senz che questo veng d ncdere n modo sostnzle sul costo untro dell operzone: n ltr termn, le vrzon dell portt lqud ncdono poco sulle dmenson trsversl dell colonn n qunto, queste, sono essenzlmente dpendent dll portt dell corrente gssos. In defntv, poché l operzone d ssormento è meno oneros rspetto ll dstllzone (percò d mnore ncdenz nel qudro economco d un processo) ed noltre l mnmo dell funzone costo-portt d lqudo rsult essere ncor pù ppttto rspetto l cso dell dstllzone, l cmpo de vlor ottml è pù mpo e s h che: ott 2 4 mn Un crtero prtco d scelt, congruente con lmt ppen vst, è quello d umentre mn n modo tle d rendere l rett d lvoro ll ncrc prllel ll curv d equlro, n modo d sscurre, lungo l colonn, un forz spngente costnte. S not, però, che tle crtero cde n dfetto se l purfczone del gs deve essere molto spnt, perché ll estremtà superore dell colonn l forz spngente è comunque molto pccol e non sree certo convenente, d un punto d vst economco, mntenerl tle per tutt l'ltezz dell colonn; è nche vero, però, che nel cso d purfczon molto spnte o totl è preferle rcorrere d ssorment con rezone oppure process mst, coè con ssormento con rezone n sere d un ssormento fsco Vedmo, or, perché è opportuno mntenere l forz spngente costnte, coè sceglere n modo d rendere l rett d lvoro ll ncrc prllel ll curv d equlro. 8

19 Consdermo l rett d lvoro AB ; n questo cso non mo umentto molto l vlore mn con l rsultto che l rett rsult essere molto ccostt ll curv d equlro n prossmtà dell sezone d cod: cò mplc un mrct dmnuzone dell forz spngente propro n prossmtà dell sezone termnle. Quest condzone non è certmente uspcle n qunto, se n un cert zon dell colonn v è, d esempo, un forz spngente pr ll metà d quell presente nel resto dell colonn, per relzzre lo B 2 B ott B E A * scmo dell stess qunttà d mter è necessr, n quell zon, un ltezz d rempmento dopp: n ltr termn, l ltezz del rempmento è fortemente dpendente dlle zone crtterzzte d un mrct dmnuzone dell forz spngente. A questo punto, potremmo pensre d trscurre le mplczon dovute l processo d rgenerzone e recupero d esegure vlle del processo d ssormento ed umentre, qund, n modo sostnzle l vlore mn n modo d ottenere l rett d lvoro AB 2 ; tle scelt determn, certmente, un umento de vlor d forz spngente nell zon d cod dell colonn m nell zon d test, poché smo nchodt d dt del prolem che fssno l punto A(, ), le condzon d scmo non presentno un mglormento tle d gustfcre questo tpo d scelt: n ltr termn, un grosso ncremento dell portt lqud non fvorsce molto l operzone d ssormento m rende certmente pù oneroso l processo successvo d rgenerzone del solvente e d recupero del componente desderto. Supponmo d dover relzzre un operzone d ssormento molto spnt rggungendo, l lmte, le condzon d equlro; cò sgnfc che l rett d lvoro, soprttutto nell zon d cod, è molto ccostt ll curv d equlro (sse forze spngent): n questo cso, mntenere l rett d lvoro prllel ll curv d equlro, sgnfc operre n tutt l colonn con forze spngent molto esgue, con notevole ncremento dell ltezz dell colonn. Convene, qund, operre con sse forze spngent solo nell zon d necesstà mentre, nelle ltre, convene dstnzre l rett d lvoro dll curv d equlro. In defntv, convene mntenere l rett d lvoro ll ncrc prllel ll curv d equlro meno che nell sezone d cod dell colonn l forz spngente non s così esgu che mntenere tle vlore n tutt l colonn determneree un ltezz eccessv dell stess. 9

20 Amo vsto che le condzon d lvoro sono rppresentl trmte un rett se s oper n condzon d dluzone oppure se utlzzmo rpport molr o ponderl X,Y; nel cso n cu non s oper n condzon d dluzone e, nonostnte cò, s vuole contnure d utlzzre l pno, è possle procedere qus nello stesso modo. portt mnm d lqudo mn vene clcolt nltcmente prtre dl lnco glole mponendo * ; ottenmo l seguente relzone: (*) * ' mn ' * un volt clcolto mn, l vlore ottmle dell portt lqud srà esprmle come ott 2 4 mn B E per cu non rest ltro che trccre per punt l curv d lvoro secondo l relzone ' ott ' A * ssegnndo un vlore e clcolndo l rspettvo vlore (o vcevers). In defntv, s deve tener presente che: e condzon d lvoro sono rppresentte d un rett se utlzzmo le coordnte X,Y (rpport molr o ponderl) e condzon d lvoro possono essere rppresentte, n prm pprossmzone, d un rett n coordnte, (frzon molr) se opermo n condzon d dluzone Nel cso n cu le corrent non sno dlute e s vogl contnure d operre n coordnte, (frzon molr), possmo ndvdure l vlore mn trmte l relzone (*); un volt mggorto tle vlore n modo opportuno, ndvdumo l vlore ottmzzto dell portt del lqudo ott e possmo costrure l curv d lvoro per punt trmte l relzone ' ott ' 20

21 E necessro sottolnere, noltre, che nelle operzon d Assormento l condzone d equlro s verfc usulmente nell sezone d se dell colonn; propro perché l curv d equlro present l concvtà verso l lto, nelle operzon d strppggo l sezone n cu A usulmente s rggungono le condzon d equlro è un sezone ntermed dell colonn: rcordmo, n ultm nls, che nel desormento / mn l scelt rgurd l portt d gs che present un lmte nferore ndcto con mn (n fgur è llustrt B l costruzone per l vlutzone d mn cu corrsponde l mssmo vlore mmssle per l pendenz). Modello del Doppo Flm Rcordmo che, per qunto rgurd le colonne rempmento, nche se le condzon d scmo non sono nlzzl secondo l effettv fenomenolog, è possle schemtzzrle ttrverso l Modello del Doppo Flm utle per l vlutzone quntttv dello scmo d mter e, qund, dell ltezz d rempmento. colonn contene pezz d rempmento crct, generlmente, ll rnfus e lmt d un velo lqudo su volt conttto con l gs; l lqudo scorre sul pezzo d rempmento e l effettv condzone d scmo consste nell penetrzone del componente gssoso nell fse lqud: s svlupp, qund, un proflo d concentrzone per ogn sezone del velo lqudo. unto ll estremtà del pezzo d rempmento, l lqudo cde sul pezzo nferore sul qule rprende scorrere; n defntv, pssndo d un elemento ll ltro del rempmento, l lqudo ncontr ltro lqudo provenente d percors dfferent e s mscel con esso: cus d tl mscelzon, s vene determnre un ppttmento del proflo d concentrzone (coè, l lqudo present n ogn punto l stess concentrzone). Il processo d scmo nell fse lqud s compone pertnto d due fs: un d dffusone e un d mescolmento. Tenendo presente, però, che le dmenson de pezz d rempmento sono dell ordne de centmetr, mentre l colonn (rempt con tl pezz) rggunge nche un ltezz d 0m, è fcle dedurne che l numero d mscelzon che s verfcno lungo l colonn è molto elevto, tnto d poter pensre che l fenomeno dell mscelzone è prtcmente contnuo. 2

22 Per l fse gssos sussstono consderzon del tutto nloghe; n questo cso rmescolment sono ndott d frequent mptt e devzon mpost dlle dscontnutà de pezz d rempmento. Il Modello del Doppo Flm non rppresent esttmente l fenomeno fsco, m schemtzz nel loro nseme fenomen che s svolgono nell colonn; tle modello potzz condzon d moto turolento s per l lqudo s per l gs che s muovono n controcorrente lungo tutt l colonn: l resstenz llo scmo è concentrt, qund, n due sottl flm ne press dell nterfcc lqudo-gs. Flm Flm ndmento dell concentrzone lqudo gs n un sezone generc dell colonn è rportto n fgur; e sono vlor d equlro ll nterfcc (dove l resstenz è null), mentre e rppresentno le concentrzon nell mss lqud ed n quell gssos. Per qunto rgurd l estensone dell superfce d conttto (rppresentt dll nterfcc lqudo-gs) s ntusce che quest è n strett relzone con l superfce del rempmento m non concde con ess; s not, nftt, che lcun pezz del rempmento potreero essere completmente sommers dl lqudo mentre ltr potreero restre del tutto o przlmente non gnt: è chro, qund, come l superfce specfc d scmo (superfce per untà d volume d colonn) dpende dll superfce specfc del rempmento senz perltro concdere con ess. Rssumendo: ) Il Modello del Doppo Flm ssume che l resstenz s concentrt nel Flm lqudo e nel Flm gssoso, mentre l nter mss lqud e gssos rsultno completmente mscelte n modo tle che le rspettve concentrzon e s possno rtenere costnt 2) I grdent d concentrzone, qund, sono present solo ne due flm mentre ll nterfcc non è presente lcun resstenz per cu e sono vlor d equlro; l forz spngente dsposzone vene spes per superre le resstenze present ne due flm: n prtcolre, l forz spngente lto gs è esprmle come mentre l forz spngente lto lqudo è esprmle come - 3) Il grdno presente ll nterfcc, rppresentto dll dscontnutà de vlor e d equlro, derv dll ver espresso l forz spngente ttrverso le frzon molr d cu è quell vld lto gs mentre è quell vld lto lqudo 22

23 Clcolo dell ltezz d rempmento ltezz d un colonn d ssormento è costtut dll ltezz dell prte n cu s relzz l processo vero e propro d trsfermento d mter (ll qule c rferremo) e dll ltezz reltv lle sezon d dsmpegno e d servzo ll estremtà dell colonn: n defntv, voglmo clcolre l ltezz del rempmento e, tle scopo, utlzzeremo l Modello Doppo Flm. Consdermo un generc colonn e, d un ltezz z dll se, un z -d() elemento d ltezz nfntesm dz; se ndchmo con S l sezone dell colonn, tle elemento vrà un volume pr S dz. Poché c rfermo d un modello essenzlmente monodrezonle n cu le condzon d scmo non vrno lungo l sezone m vrno lungo l ltezz dell colonn, possmo rtenere che le condzon d scmo ll nterno del volumetto S dz sno unform coè dpendno dlle sole concentrzon e delle corrent che, ncrocndos, ttrversno l elementno d volume consderto. Voglmo vlutre nell elementno d volume S dz l qunttà d soluto che vene trsfert dl gs l lqudo; rcordmo che l curv rppresenttv delle condzon d lvoro s deve trovre l d sopr dell curv d equlro: solo n queste potes, nftt, esste un forz spngente n grdo d promuovere lo scmo dll fse gs quell lqud (ssormento). Prm d procedere, è ene osservre che, n questo cso, le resstenze present ne due flm non rppresentno ltro che due resstenze n sere. Il flusso può essere espresso ttrverso: dz Forz spngente lto lqudo m sogn utlzzre l resstenz lto lqudo Forz spngente lto gs utlzzndo l resstenz lto gs Forz spngente glole ptto d utlzzre l resstenz glole Indcndo con l superfce specfc d scmo (superfce d conttto per untà d volume), possmo esprmere l numero d mol dn scmte per untà d tempo nell elementno d volume S dz come: 23

24 dn κ S dz ( ) per l flm gssoso dove κ coeffcente d trsporto lto gs forz spngente lto gs dn κ S dz ( - ) per l flm lqudo dove κ coeffcente d trsporto lto lqudo forz spngente lto lqudo o stesso numero d mol dn può essere espresso, consderndo le due resstenze n sere, ttrverso un forz spngente glole; s not, però, che n termn d forz spngente le grndezze e non sono omogenee: n fse gs, l forz spngente glole deve essere espress come * dove * è l concentrzone lto gs d potetco equlro l lqudo d composzone mentre, n fse lqud, l forz spngente glole deve essere espress come * - dove * è l concentrzone lto lqudo d potetco equlro l gs d composzone. In defntv, possmo scrvere che: dn K S dz ( *) dove K coeffcente glole d scmo rferto ll forz spngente glole espress n termn d concentrzon lto gs dn K S dz (* ) dove K coeffcente glole d scmo rferto ll forz spngente glole espress n termn d concentrzon lto lqudo Voglmo sottolnere che le 4 relzon vste rppresentno vr mod possl per esprmere l veloctà d scmo d mter; tl relzon non sono ndpendent fr loro, n qunto le due relzon n cu compono coeffcent glol rsultno essere comnzone delle prme due relzon vste e che sono tr loro ndpendent. È necessro, qund, vedere come è possle esprmere le resstenze glol n funzone delle resstenze present ne due flm. A tl proposto, osservmo che le relzon d equlro s possono esprmere come segue: m m * * m 24

25 dlle prme due relzon sull veloctà d scmo s h che: κ dn Sdz κ dn Sdz se esprmmo e utlzzndo rspettv vlor d equlro possmo scrvere che: κ dn Sdz * m κ dn Sdz n defntv, mo ottenuto le seguent due relzon: κ dn Sdz * m κ dn Sdz sommndo memro memro queste due relzon espresse n termn dell concentrzone lto gs, ottenmo: * dn κ Sdz mdn + κ Sdz dn Sdz κ m + κ rcordmo, però, che utlzzndo l coeffcente d scmo glole mo vsto che: dn K S dz ( *) * K dn Sdz confrontndo queste ultme due relzon che esprmono l forz spngente glole *, possmo concludere che: K κ + m κ Anlogmente, esprmendo e ttrverso rspettv vlor d equlro s ottene l relzone: K mκ + κ 25

26 Con rfermento queste relzon è necessro sottolnere che: Tl rsultt, trttndos d resstenze n sere, gà l conoscevmo: l resstenz glole (nverso del coeffcente glole) è pr ll somm delle sngole resstenze (coè quell reltv l flm lqudo e quell reltv l flm gssoso) Il fttore m, dervnte dlle relzon d equlro, serve per rendere omogenee tr loro le resstenze; d esempo, l resstenz glole /K con rfermento concentrzon n fse gssos è ugule ll somm delle sngole resstenze /κ e m/κ n fse gssos e lqud dsposte n sere: m è l coeffcente d pssggo che c consente d esprmere untà d concentrzone n fse lqud n untà n fse gssos superfce specfc d scmo è stt conservt n ogn termne n qunto non è possle dstnguere tle vlore d coeffcent d scmo; spermentlmente, nftt, è possle determnre solo l loro prodotto: l superfce specfc d scmo è funzone dell form, delle dmenson, dell modltà d mplggo (ordnto, csule, ecc..) ed noltre v possono essere pezz completmente mmers nel lqudo mentre ltr completmente scutt, per cu tle vlore non può propro essere vlutto Osservmo, or, come è possle vlutre l ltezz d rempmento dell colonn utlzzndo un qulss delle 4 relzon vste per l veloctà d scmo d mter. Rfermoc, d esempo, ll relzone: dn κ S dz ( ) rcordmo che dn rppresent l numero d mol del componente che s trsfersce dl gs l lqudo nell elementno d volume S dz; poché dn concde con l vrzone del numero d mol dell fse gssos, possmo scrvere che: dn -d() n ltr termn, quest rppresent l dmnuzone del numero d mol del componente che vene ssorto nel lqudo durnte l pssggo del gs dll sezone z ll sezone z+dz; poché, come mo vsto, l portt n un sezone può essere espress ttrverso l portt d nerte e coè (-) ' 26

27 S h che: per cu dn d ( ) dn d ( ) ' d + d 2 d d ( ) ( ) d 2 ' ' 2 ( ) d d dn d questo punto, uguglndo le due espresson d dn vlde per l fse gs, possmo scrvere che d κ Sdz ( ) seprndo le vrl dz S κ d ( )( ) per ottenere l ltezz dell colonn, non c rest ltro che ntegrre tle espressone; prm d procedere, però, è necessro osservre che: Il rpporto /S non rppresent ltro che l veloctà d mss del gs; n generle, poché l portt d gs vr sezone per sezone, l veloctà d mss non è costnte. Consdermo, or, l termne /Sκ ; mo detto che vr lungo l pprecchtur cus del trsfermento d un componente e che /S rppresent l veloctà d mss: s not, però, che denomntore è presente l coeffcente κ che present un dpendenz secondo l potenz 0.8 dll veloctà d mss /S. In defntv, le vrzon dell veloctà d mss del gs lungo l colonn sono compenste dlle vrzon d κ ; noltre, operndo con soluzon dlute le vrzon d e, qund, dell veloctà d mss sono comunque lmtte: n defntv, possmo rtenere l termne /Sκ costnte nell mggor prte de cs. Se cò non s dovesse verfcre cus delle fort vrzon d tle termne lungo l colonn, è possle consderre l med de vlor clcolt nelle sezon d test e d cod. 27

28 Integrndo, ottenmo che z z dz d ( )( ) S ( )( ) Sκ 0 κ d tle equzone fornsce l ltezz dell colonn come prodotto d due termn: ) H Sκ questo termne prende l nome d Altezz untr d scmo, n qunto dpende dlle modltà d scmo ( loro volt condzonte dll fludodnmc del sstem). Il suo sgnfcto è ovvo nel cso n cu l vlore dell ntegrle s untro: n questo cso, rppresent l qunttà d conttto necessr per produrre l rrcchmento d un fse n qunttà ugule ll forz motrce nell stess fse N 2) ( )( ) questo termne prende l nome d Numero d ltezze untre d scmo n qunto dpende, per un ssegnto sstem, d qunto spnto è lo scmo: è un grndezz dmensonle In conclusone, l ltezz dell colonn d ssormento è esprmle come segue: d z S κ d ( )( ) H N S not che esprmendo dn non n termn d mol perse dll corrente gssos m n termn d mol cquste dll corrente lqud, s ottene che: dn d ( ) d ' ' 2 d d ( ) rcordndo, noltre, che dn κ S dz ( - ) 28

29 possmo scrvere d κ Sdz ( ) seprndo le vrl ed ntegrndo, ottenmo: z Sκ d ( )( ) In defntv, utlzzndo le 2 relzon vste, che esprmono dn o n termn d mol perse dll corrente gssos o n termn d mol cquste dll corrente lqud, e le 4 relzon sull veloctà d scmo d mter, ottenmo le seguent 4 relzon tutte n grdo d fornre l ltezz z dell colonn: z S κ ) ( )( ) z S κ d 2) ( )( ) z d 3) o o ( )( ) z d SK * d SK * 4) o o ( )( ) H H H H N N N N l ndc e utlzzt per H e N dstnguono le concentrzon n fse lqud e gssos lle qul c s è rfert; l ndce o (nzle d overll ) rcord che le equzon d scmo sono scrtte con rfermento ll forz spngente glole. S not, noltre, che le ltezze untre d scmo non sono ndpendent tr loro, m soddsfno delle relzon dervl dlle relzon prm vste sulle resstenze n sere. È mportnte sottolnere che s ottengono equzon del tutto nloghe quelle ppen vste esprmendo le concentrzon n termn d rpport molr X,Y(mol d componente trsferto su mol d nerte). 29

30 e relzon () (4) sono tr loro perfettmente equvlent e s possono utlzzre ndfferentemente per l clcolo dell ltezz del rempmento d un colonn; potree semrre che, n ogn cso, è pù convenente utlzzre l () n qunto s h l necesstà d conoscere solo κ, oppure l (2) n qunto s h l necesstà d conoscere solo κ mentre per utlzzre l (3) e l (4) mo sogno d conoscere K e K, qund, n ultm nls entrm vlor κ e κ : ovvmente, tutto cò non h senso n qunto, d esempo, è vero che nell () compre esplctmente l termne κ m è necessro tener presente che l termne κ è mplctmente contenuto nel vlore dell concentrzone. S not che l stuzone vr leggermente qundo un delle resstenze è trscurle rspetto ll ltr; nche se ognun delle 4 relzon contnu d essere vld, un sol è, n prtc, utlzzle per l clcolo dell ltezz d rempmento. Supponmo che l coeffcente d scmo n fse lqud κ s estremmente elevto: cò mplc che l resstenz n fse lqud è trscurle (coè l resstenz è concentrt nel flm gssoso; qunto descrtto s può verfcre qundo l componente ssorto regsce mmedtmente e, qund, l su concentrzone n fse lqud è ovunque null). In sntes, s verfc che: κ κ h un vlore fnto ll luce d queste consderzon, possmo concludere che l unc relzone che convene utlzzre è l () z S κ d ( )( ) s not, nftt, che l relzone (2) z S κ d ( )( ) pur contnundo d essere vld, present un form ndetermnt n qunto κ mentre per cu non è d nessun utltà prtc. Per qunto rgurd le relzon espresse trmte coeffcent d scmo glole, st osservre che l relzone (4) vene prtcmente concdere con l relzone (). Se s verfc che l coeffcente d scmo n fse gs κ è estremmente elevto (coè, l resstenz n fse gs è trscurle) s possono effetture consderzon del tutto nloghe quelle ppen vste. 30

31 Vedmo, or, come è possle vlutre n prtc l ltezz z d rempmento d un delle 4 relzon vste; supponmo d utlzzre l (): mo sogno d vlutre H (ltezz untr d trsfermento) e N (numero d ltezze untre d trsfermento). Per qunto rgurd H, mo detto che tle vlore s può rtenere costnte per cu è possle vlutrlo con rfermento d un precs sezone, d esempo, l sezone d ngresso dell corrente gssos; n questo modo, conoscmo l portt n qunto è certmente un dto del prolem d ssormento e rtenmo, noltre, d conoscere gà l vlore dell sezone S dell colonn (specfcheremo n seguto come s determn): l termne κ, lo rtenmo noto oppure effettumo delle potes utl per l su vlutzone. Per qunto rgurd N, non c rest che vlutre l ntegrle; generlmente cò vene relzzto utlzzndo un metodo grfco (coè ndndo dgrmmre l funzone ntegrnd /(-)(- ) n funzone d tr e ): tle scopo occorre rferrs l dgrmm, n cu sono rportte l curv d lvoro e l curv d equlro. Fssto un vlore, ttrverso l ntersezone con l curv d lvoro ruscmo d ndvdure l corrspondente vlore : tle copp d vlor sono ndvdut dl punto (,) sull curv d lvoro. E necessro, questo punto, ndvdure corrspondent vlor d equlro; rfermoc, E qund, lle seguent relzon: dn κ S dz ( ) dn κ S dz ( - ) dvdendo memro memro, ottenmo che 5) κ κ quest rppresent l equzone d un rett pssnte per l punto E(, ) d coeffcente ngolre pr - κ /κ ; n ltr termn, ssegnto un punto sull curv d lvoro e conoscendo l coeffcente ngolre or vsto, vlor e sono ndvdut dll ntersezone dell rett (5) con l curv d equlro: l costruzone d tle rett deve essere rpetut per tutt punt dell curv d lvoro. 3

32 S not che ottenmo rette prllele tr loro solo se coeffcent d scmo κ e κ restno costnt lungo l colonn; se vrno, sogn clcolre punto per punto l coeffcente ngolre, oppure c s rfersce, pù semplcemente, d un vlore medo tr l fondo e l test dell colonn. In questo modo, fssto l vlore, smo n grdo d determnre l vlore e, n ultm nls, d dgrmmre l funzone /(-)(- ); non c rest ltro che clcolre l ntegrle (-)(- ) grfcmente oppure per dfferenze fnte. Rssumendo, qund, per vlutre l ltezz d rempmento utlzzndo l relzone ) z S κ d ( )( ) H N domo vlutre due termn H e N ; mo vsto che l ltezz untr d scmo H è sostnzlmente not: l prolem è costtuto dll vlutzone dell ntegrle presente nel numero d ltezze untre d scmo N. Tle vlutzone rchede l conoscenz del vlore d equlro per ogn pprtenente ll ntervllo compreso tr e (ntervllo d ntegrzone); tle scopo, occorre consderre le espresson dell veloctà d scmo per entrm flm: l rett ottenut dl rpporto tr le veloctà n questone c consente d ndvdure vlor d equlro corrspondent. Se voglmo determnre l ltezz d rempmento trmte l relzone 2) z S κ d ( )( ) H N l procedmento d segure è del tutto nlogo quello vsto. Il termne H, l solto, lo possmo rtenere noto mentre l ntegrle reltvo l termne N deve essere vlutto; n questo cso, l vlore d equlro necessro è rppresentto dll concentrzone : n ltr termn, domo essere n grdo d vlutre l vlore d equlro per ogn pprtenente ll ntervllo d ntegrzone compreso, quest volt, tr e. Consderndo le solte espresson sull veloctà d scmo pervenmo ll stess rett vst n precedenz che, però, può essere espress come: κ κ l costruzone grfc rest esttmente l stess. 32