APPUNTI DI TOPOGRAFIA

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1 PPUNTI DI TOPOGRFI IDONEIT LL CLSSE 4 a PROF. SPDRO EMNUELE

2 lfabeto Greco minuscola Lettera Greca Corrispondente lettera italiana Nome delle lettere maiuscola a alfa b beta g gamma d delta E e épsilon Z z zeta H e éta th theta I i iota K c cappa l lambda M m mu N n nu cs csi O o òmicron p pi (greco) P r rho s sigma T t tau Y u (francese) upsilon f fi X ch chi ps psi o oméga Segni Matematici Segno significato Segno significato perpendicolare, a 90 circa non perpendicolare maggiore parallelo maggiore o uguale uguale e parallelo minore uguale (identico) minore o uguale coincidente sommatoria non uguale (diverso) appartiene congruenete non appartiene simile da, a

3 DEFINIZIONE DI NGOLO Si definisce angolo la parte di piano compresa fra due semirette che hanno origine nello stesso punto fig. 1 DEFINIZIONE DI NGOLO ORIENTTO Per evitare l incertezza se si intenda o l angolo fra i due segmenti O e O è opportuno dare un orientamento al senso di rotazione che deve avere un segmento per sovrapporsi all altro con il quale forma l angolo in questione. In topografia si usa il senso orario e si dirà che l angolo è rappresentato dalla rotazione che deve compiere il segmento O per sovrapporsi ad O. Si scriverà quindi: = O; = O. Esercizio proposto Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti elementi: = 16,8m; C = 19,3m; CD = 15,1m; DE = 10,9m; EF = 13,1m; C = = 140 ; CD = = 130 ; CDE = = 100 ; DEF = = 80. Suggerimento: utilizzando un goniometro destrorso (che avanza con la graduazione in senso orario), posizionare lo zero nella direzione della prima lettera della terna che individua il generico angolo e il numero che rappresenta la sua ampiezza nella direzione della terza lettera. UNIT DI MISUR DEGLI NGOLI Le unità di misura angolari utilizzati in topografia sono : i sessagesimali (sg); i sessadecimali (sd); i centesimali o gon (g); i radianti (rad) per la verità questi sono quasi mai utilizzati in topografia. I Sessagesimali L unità di misura è il grado che si definisce come la novantesima parte dell angolo retto. L angolo sessagesimale si indica con i gradi ( ), i primi ( ) e i secondi ( ). primi e secondi sono sottomultipli del grado. 3

4 In particolare: 1 (un grado) = 60 (sessanta primi) 1 (un primo) = 60 (sessanta secondi) perciò: 1 = 3600 In genere un angolo in sessagesimali si indica: sg = g p s. d esempio = I Sessadecimali L unità di misura è la stessa del sistema sessagesimale. Il sistema sessadecimale è stato introdotto per semplificare le operazioni di calcolo un tempo onerose. L angolo sessadecimale è composto da gradi, decimi, centesimi,millesimi e decimillesimi di grado. Un esempio di angolo sessadecimale è il seguente: = 11,6359. Sia per i sessagesimali che per i sessadecimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in DEG (D). I Centesimali (o Gon) Sono strutturati in modo analogo ai sessadecimali, perciò hanno una parte intera rappresentata dai gradi centesimali (o gon) e quattro decimali che rappresentano i decimi, centesimi, millesimi e decimillesimi di grado. L angolo giro in centesimali conta 400gon, l angolo piatto 00gon e l angolo retto 100gon. Perciò il grado centesimale corrisponde alla centesima parte dell angolo retto. Vi sono modi diversi per scrivere un angolo centesimale. 1 modo: = 75 c, c = gradi centesimali 4 = primi centesimali 73 = secondi centesimali essendo: ed 1 (un primo centesimale) = 1 c /100 (un centesimo di grado) 1 (un secondo centesimale) = 1 c /10000 (un decimillesimo di grado) modo: = 75 g, 4 c 73 cc 75 g = gradi centesimali 4 c = primi centesimali 4

5 73 cc = secondi centesimali analogamente a prima si avrà: 1 c = 1 g /100 ed 1 cc = 1 g / modo: è molto utilizzato perché più pratico e veloce = 75 c, modo: è il modo più utilizzato perché più pratico, veloce e moderno = 75 g, 473 oppure = 75,473gon. Per operare con i centesimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in GRD (G). Sistema ssoluto O nalitico L unità di misura è il radiante che è l angolo che sottende un arco lungo come il raggio della circonferenza a cui l arco appartiene. = 1rad se = R Tra arco, angolo e raggio del settore circolare O esiste la seguente relazione: rad = / R fig. L angolo giro nel sistema assoluto vale retto vale / radianti. radianti, l angolo piatto vale radianti, l angolo Per operare con i radianti le calcolatrici scientifiche vanno impostate in RD (R). PSSGGIO FR SESSDECIMLI, CENTESIMLI E RDINTI Per effettuare questi passaggi, tenendo conto della proporzionalità fra l angolo in una determinata unità di misura e il corrispondente angolo piatto, è sufficiente applicare le seguenti uguaglianze: sd g rad = = gon rad 5

6 FUNZIONI Si dice funzione l operatore matematico che ad ogni valore della variabile indipendente x associa un solo valore della variabile dipendente y. In generale si scrive: y = f(x) lcuni esempi di funzioni sono i seguenti: y = x + 3; y = x - 1; y x. FUNZIONI GONIOMETRICHE Nelle funzioni goniometriche la variabile indipendente è un angolo mentre la variabile dipendente è un numero adimensionato. Le funzioni goniometriche più importanti per la topografia sono: 1. la funzione seno (sin);. la funzione coseno (cos); 3. la funzione tangente (tg); 4. la funzione cotangente (cotg). DEFINIZIONE DI SENO E COSENO TNGENTE E COTNGENTE Per definire le funzioni goniometriche utilizzeremo il cerchio goniometrico. Tale cerchio è caratterizzato dal fatto che il suo raggio è sempre unitario. Ciò non vuol dire che deve necessariamente valere un centimetro o un decimetro o un metro o un... ma vuol dire che qualunque sia la sua lunghezza essa va presa come unità di misura del disegno. fig. 3 Si definisce seno dell angolo la proiezione del raggio C sull asse orizzontale (per questo detto asse dei seni) perciò: CD = = sin 6

7 nalogamente si definisce coseno dell angolo la proiezione del raggio C sull asse verticale (per questo detto asse dei coseni) perciò: C = D = cos. In base alla definizione data sia il seno che il coseno avranno valori compresi fra -1 e 1. Si definisce tangente dell angolo il segmento EF della retta tangente al cerchio goniometrico e parallela all asse dei seni. Essendo E il punto di tangenza col cerchio ed F il punto di intersezione fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò: EF = tg. Si definisce cotangente dell angolo il segmento GH della retta tangente al cerchio goniometrico e parallela all asse dei coseni. Essendo G il punto di tangenza col cerchio e H il punto di intersezione fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò: GH = cotg. In base alla definizione data sia la tg che la cotg hanno valori compresi fra meno infinito (- ) e più infinito (+ ). Esercizio risolto Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l uso della calcolatrice scientifica il seno, il coseno, la tangente e la cotangente del seguente angolo: = 56. Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con decimali per la risoluzione grafica e con 5 per la risoluzione con calcolatrice scientifica. Risoluzione grafica: Si costruisce la figura in modo preciso assumendo come unità di misura il raggio C. Quindi si misurano con accuratezza i segmenti CD, C, EF ed GH dividendo la lunghezza di ogni segmento per la lunghezza del raggio C si determinano i valori delle funzioni goniometriche. Dalla figura si legge: C = 7 mm; CD = 3 mm; C = 15 mm; EF = 38 mm; GH = 19 mm. fig. 4 sin = 3 : 7 = 0,85; cos = 15 : 7 = 0,56; tg = 38 : 7 = 1,41; cotg = 19 : 7 = 0,

8 Risoluzione con calcolatrice scientifica: Dopo avere impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo: sin 5 6 = 0,8904; cos 5 6 = 0,55919; tg 5 6 = 1,4856. sin56 cos56 tg56 cotg56 risoluzione grafica 0,85 0,56 1,41 0,70 risoluzione con calcolatrice scientifica 0,8904 0, ,4856 non siamo ancora in grado di calcolarlo Si nota una sufficiente rispondenza fra le due serie di risultati. Naturalmente i risultati grafici sono affetti da inevitabili errori di graficismo. Esercizio proposto Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l uso della calcolatrice scientifica il seno, il coseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli: = 0 ; = 40 ; = 70. Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con decimali per la risoluzione grafica e con 5 per la risoluzione con calcolatrice scientifica. RELZIONI FONDMENTLI Fra le funzioni goniometriche esistono alcune importanti proprietà. Relazione fra seno e coseno Fra seno e coseno esiste la seguente importante relazione fondamentale: sin + cos = 1 Relazione fra seno coseno e tangente Fra seno, coseno e tangente esiste la seguente importante relazione fondamentale: tg = sin / cos Relazione fra seno coseno e cotangente Fra seno, coseno e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale: cotg = cos / sin 8

9 Relazione fra tangente e cotangente Fra tangente e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale: cotg = 1 / tg Esercizio risolto Calcolare la cotangente di 58. Dopo aver impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo: 1 : tg 5 8 = 0,6487 Esercizio risollto Dato sin = 3 / 5 determinare: cos, tg e cotg. sapendo che: sin + cos = 1 si ricava: cos = 1 - sin = 4 / 5 per la tangente utilizzando la (3) si ricava: tg = sin / cos = 3/4 per la cotangente utilizzando la (5) si ricava: cotg = cos / sin = 4 / 3. Esercizio risolto Data tg = 5 determinare: sin; cos e cotg. per la cotangente si utilizza la sua relazione con la tangente: cotg = 1 / tg = 1 / 5 per determinare seno e coseno si scrive il seguente sistema: sin / cos = 5 sin + cos = 1 risolviamo per sostituzione: 5 cos + cos = 1 sin = 5 cos (5 cos) + cos = 1 6 cos = 1 cos = 1 / 6 e razionalizzando: cos = 6 / 6 infine: sin = 5 6 / 6. Esercizio proposto Sapendo che cotg = 3 determinare sin, cos, e tg. Esercizio proposto Sapendo che: sin x tg = determinare sin, cos, tg e cotg. 9

10 SEGNI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE NEI VRI QUDRNTI In base alle definizioni date per le funzioni goniometriche, ragionando sul cerchio goniometrico determiniamo i segni del seno e del coseno. Tenendo conto che se la proiezione del raggio è un segmento a destra dell origine (sull asse dei seni) o verso l alto (sull asse dei coseni) il segno è più viceversa è meno. Per i segni delle funzioni tangente e cotangente si utilizzano le relazioni (3) e (5). 1 quadrante 0 90 quadrante quadrante quadrante sin cos tg cotg fig. 5 VLORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI LCUNI RCHI NOTEVOLI sin 0 ½ cos ½ tg imp. 0 imp. 0 cotg imp imp. 0 imp. FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE Nelle funzioni inverse le variabili cambiano di significato cioè la x diventa variabile dipendente e la y variabile indipendente. Se ad esempio la funzione diretta o semplicemente funzione è la seguente: y = x la funzione inversa è: x = y. Le funzioni inverse goniometriche associano un angolo (arco) ad un numero. Per questo sono dette funzioni arco. Le funzioni goniometriche inverse che assumono importanza per la topografia sono: arcoseno (arcsin) che è la funzione inversa del seno; 10

11 arcocoseno (arccos) che è la funzione inversa del coseno; arcotangente (arctg) che è la funzione inversa della tangente. rcoseno L arcoseno di un numero è l angolo il cui seno è uguale al numero di partenza. La funzione arcoseno si scrive nel seguente modo: dove: = angolo (arco) arcsin = funzione inversa y = numero adimensionato. = arcsin y Poichè come già detto (vedi pag. 11) il seno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 la variabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi). Esercizio risolto Calcolare l arcoseno di 0,38. Si imposta la calcolatrice nell unità di misura in cui si intende ottenere l angolo, (DEG per i sessagesimali e i sessadecimali, GRD per i centesimali) supponiamo DEG quindi: NDF sin 0, 3 8 =,33368 NDF DMS 0'01",5 rcocoseno L arcocoseno di un numero è l angolo il cui coseno è uguale al numero di partenza. La funzione arcocoseno si scrive nel seguente modo: dove: = angolo (arco) arccos = funzione inversa y = numero adimensionato. = arccos y Poichè come già detto (vedi pag. 11) il coseno può assu mere solo valori compresi fra -1 e 1 la variabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi). Esercizio risolto Calcolare l arcocoseno di 0,38. Si imposta la calcolatrice nell unità di misura in cui si intende ottenere l angolo, (DEG per i sessagesimali e i sessadecimali, GRD per i centesimali) supponiamo DEG quindi: NDF COS 0, 3 8 = 67,6663 NDF DMS 67 39'58",

12 rcotangente L arcotangente di un numero è l angolo la cui tangente è uguale al numero di partenza. La funzione arcotangente si scrive nel seguente modo: dove: = angolo (arco) arctg = funzione inversa y = numero adimensionato. = arctg y Poichè come già detto (vedi pag. 10) la tangente può assumere solo valori compresi fra - e + la variabile indipendente y potrà avere tutti i valori compresi in questo intervallo. Esercizio risolto Calcolare l arcotangente di 43. Si imposta la calcolatrice nell unità di misura in cui si intende ottenere l angolo, (DEG per i sessagesimali e i sessadecimali, GRD per i centesimali) supponiamo DEG quindi: NDF tg 4 3 = 88,66778 NDF DMS 88 40'04",01 Esercizio proposto Calcolare l arcoseno, l arcocoseno e l arcotangente dei seguenti numeri: 0,3499; 0,563;, TRIGONOMETRI La trigonometria (dal greco misura dei triangoli) studia le relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli. Essa utilizza le funzioni goniometriche per la risoluzione dei triangoli. Risolvere un triangolo vuol dire determinare tutti i suoi elementi (tre lati, tre angoli e la superficie). Una cosa nota a priori per qualsiasi triangolo è che la somma dei suoi angoli interni corrisponde all angolo piatto. Questa affermazione può essere dimostrata nel modo seguente: si traccia D prolungamento di, si traccia E parallela a C quindi si nota che: CE = e ED = (angoli alterni interni) (angoli corrispondenti) fig. 6 Perciò: + + =

13 TRINGOLI RETTNGOLI Sono quei triangoli che hanno sempre un angolo retto (90 ). In esso i lati che definiscono l angolo retto sono detti cateti mentre il lato opposto all angolo retto è detto ipotenusa. Per risolvere questo tipo di triangoli si possono utilizzare alcuni teoremi già noti quali ad esempio Pitagora ed Euclide oppure i seguenti teoremi trigonometrici. PRIMO TEOREM SUI TRINGOLI RETTNGOLI Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l ipotenusa e il seno dell angolo ad esso opposto. In base all enunciato si possono scrivere le seguenti formule: c = a sin b = a sin (7) fig. 7 le (7) possono anche essere scritte nel modo seguente: = C sin C = C sin SECONDO TEOREM SUI TRINGOLI RETTNGOLI Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l ipotenusa e il coseno dell angolo ad esso adiacente. In base all enunciato si possono scrivere le seguenti formule: b = a cos c = a cos (8) fig. 8 le (8) possono anche essere scritte nel modo seguente: C = C cos = C cos TERZO TEOREM SUI TRINGOLI RETTNGOLI Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l altro cateto e la tangente dell angolo ad esso opposto. 13

14 In base all enunciato si possono scrivere le seguenti formule: c = b tg b = c tg (9) fig. 9 le (9) possono anche essere scritte nel modo seguente: = C tg C = tg QURTO TEOREM SUI TRINGOLI RETTNGOLI Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l altro cateto e la cotangente dell angolo ad esso adiacente. In base all enunciato, con riferimento alla fig. 11, si possono scrivere le seguenti formule: b = c cotg c = b cotg le precedenti possono anche essere scritte nel modo seguente: C = cotg = C cotg Esercizio risolto Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elmenti: c = 31,08 m; a = 51,98 m. Risolvere il triangolo. Nella risoluzione di questi problemi è sempre opportuno disegnare il triangolo, in scala per verificare i risultati, mettendo i vertici in senso orario qualora non venga specificato, esplicitamente o implicitamente, il contrario. b a c in questo caso che fra i dati non vi sono angoli si è liberi di scegliere per essi l unità di misura che si desidera. Scegliamo i centesimali perciò impostiamo la calcolatrice in GRD. Essendo: c = a sin si ricava: = arcsin (c /a) = 40,8014 gon = 100 g - = 59,1986 gon S = ½ b c = 647,40 m. 14

15 Esercizio risolto Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elmenti: b = 7,45 m; C = = 3,865 gon. Risolvere il triangolo. La calcolatrice va impostata in GRD = 100 g - = 67,135 gon essendo: si ricava: b = a sin a = b / sin = 55,61 m c = b tg = 48,36 m S = ½ b c = 663, 74 m Esercizio proposto Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: c = 35,61 m; b = 5,88 m. Risolvere il triangolo. (R. a = 44,0 m; = 59,9909 gon; = 40,0091 gon; S = 460,79 m.) Esercizio proposto Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: a = 68,51 m; C = = 1,5133 gon. Risolvere il triangolo. (R. b = 13,38 m; c = 67,19 m; = 87,4867 gon; S = 449,50 m.) FORMULE PER IL CLCOLO DELL RE DI UN TRINGOLO RETTNGOLO Per calcolare l area di un triangolo rettangolo possono essere utilizzate formule diverse a seconda degli elementi noti. In particolare se sono noti i cateti la formula da utilizzare è: S = ½ b c. (10) Quando invece è noto un cateto e un angolo si utilizza la seguente formula: S = ½ b tg opuure: S = ½ c tg. Le precedenti si ottengono dalla (10) dove, utilizzando il terzo teorema sui triangoli rettangoli, alla c prima e alla b poi si sostituiscono le seguenti espressioni: c = b tg e b = c tg. Quando è nota l ipotenusa e un angolo si può utilizzare la seguente espressione: S = 1/4 a sin(). 15

16 questa formula si giunge ragionando sulla figura 13 che si ottiene ribaltando intorno al lato C il triangolo della figura 1. ed essendo: S C = ½ S C = ½ ( ½ CH) C = a e H = a sin() dal triangolo rettangolo CH si ha: S C = 1/4 a sin(). fig. 10 Esercizio risolto Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: C = = 75,018gon, S = 864,30m. Risolvere il triangolo. La calcolatrice va impostata in GRD. Essendo: S = ½ c tg si ricava: quindi: S c = 6,64 m tg b = c tg = 64,89 m a b c = 70,15 m; = 100 g - = 4,798 gon. Esercizio risolto Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: C = a = 58,3m, S = 615,00 m. Risolvere il triangolo. La calcolatrice va impostata in GRD. Essendo: S = 1/4 a sin() si ricava: = ½ arcsin (4 S : a ) = 5,7019gon quindi: = 100 g - = 74,981gon c = a sin =,58m b = a cos = 53,66m. 16

17 Esercizio proposto Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: S = 648,00m ; = Risolvere il triangolo. (R. a = 164,68m; b = 97,89m; c = 13,43m; = ) Esercizio proposto Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: a = 54,36m; S = 10000m. Risolvere il triangolo. (R. = ; = ; b 40,37m; c = 83,1m.) CONSIDERZIONI CONCLUSIVE SUI TRINGOLI RETTNGOLI Come sin qui visto per risolvere un triangolo rettangolo è necessario conoscere almeno due elementi dei quali almeno uno deve essere lineare (lati, perimetro, superficie,...). RISOLUZIONE DEI TRINGOLI QULSISI Sono qualsiasi quei triangoli per i quali l unica cosa nota a priori è la somma degli angoli interni (180 o 00 gon o rad). Per la risoluzione di questi triangoli, a seconda dei dati e dopo averli scomposti in due triangoli rettangoli, si possono utilizzare i teoremi sui triangoli rettangoli. Ma la risoluzione risulta molto più spedita se vengono applicati i teoremi per essi specifici. Esistono diversi teoremi per la risoluzione dei triangoli rettangoli, fra questi assumono particolare importanza: 1. il teorema dei seni;. il teorema di Carnot. TEOREM DEI SENI Enunciato: in un triangolo qualsiasi il rapporto fra il lato e il seno dell angolo opposto è costante ed è uguale al doppio del raggio del cerchio circoscritto (il cerchio circoscritto passa per i tre vertici del triangolo. Il suo centro è detto circocentro e si ottiene come intersezione degli assi dei tre lati. Ciascun asse di ciascun lato passa per il punto medio del lato ed è perpendicolare al lato). HO, MO ed NO sono gli assi rispettivamente dei lati, C ed C. In base all enunciato possiamo scrivere la seguente formula: a : sin = b : sin = c : sin = R (11) fig.11 Dalla (11) si possono scrivere le seguenti sei relazioni: 17

18 a : sin = b : sin; a : sin = c : sin; b : sin = c : sin; a : sin = R; b : sin = R; c : sin = R. Esercizio risolto Del triangolo C sono noti i seguenti elementi: a = 8,3m; = 53,100 gon; = 71,1600gon. Risolvere il triangolo. = 00 g - ( + ) = 75,700gon c a b : sin = a : sin b = a sin : sin = 34,6m h C c : sin = a : sin c = a sin : sin = 35,36m b S = ½ b h essendo: h = a sin sostituendo nella precedente si ha: S = ½ a b sin = 448,83m. La formula utilizzata per il calcolo della superficie è detta di camminamento. Si può esprimere nel modo seguente: l area di un triangolo qualsiasi è data dal semi prodotto fra due lati e il seno dell angolo compreso. Perciò: S = ½ a b sin S = ½ a c sin S = ½ b c sin Esercizio risolto Del triangolo C sono noti: = 71,43gon; = 49,58gon. Ed il raggio del cerchio ad esso circoscritto: R = 33,1m. Risolvere il triangolo. = 00 g - ( + ) = 78,99gon a : sin = R a = R sin = 59,68m b : sin = R b = R sin = 46,53m c : sin = R c = R sin = 6,67m S = ½ a c sin = 1313,59 m. 18

19 Esercizio proposto Del triangolo C sono noti i seguenti elementi: b = 403,8m; = ; = Risolvere il triangolo. (R. = ; c = 370,11m; a = 349,38m; S = 60037,09m.) Esercizio proposto Del triangolo C sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 191,4m e gli angoli = 65,0500gon; = 56,8889gon. Risolvere il triangolo. (R. = 78,0611gon; a = 36,7m; b = 359,99m; c = 98,08m; S = 45769,00m.) TEOREM DI CRNOT Se gli elementi noti sono due lati e l angolo compreso, oppure i tre lati il problema non può essere risolto con il teorema dei seni. In questo caso entra in gioco il Teorema di Carnot il cui enunciato si esprime nel seguente modo: In un triangolo qualunque il quadrato di un lato è uguale alla somma del quadrato degli altri due diminuiti del doppio prodotto fra questi ultimi e il coseno dell angolo che essi comprendono. c a b C fig. 1 (15) a b c bc cos a b c bc cos b a c ac cos b a c ac cos c a b ab cos c a b ab cos Per trovare gli angoli quando sono noti i tre lati si applicano le seguenti formule che si ottengono invertendo le (15) b ar cos a ar cos a ar cos c a bc c b ac b c ab Esercizio risolto Risolvere il triangolo C del quale sono noti i seguenti elementi: = c = 5,40m; C = a = 4,65 m; C = b = 65,40m. 19

20 c a b C a b c bccos bc a cos b c b c a 65,40 5,40 4,65 g ar cos ar cos 45, 114 bc 65,405,40 b a c accos ac b c cos a c a b abcos ab c cos a b a c b 4,65 5,40 65,40 g ar cos ar cos 95, 9006 ac 4,655,40 a b c 4,65 65,40 5,40 g ar cos ar cos 58, 9871 ab 4,65 65, g S b c sen 65,40 5,40 sen45, ,11m Esercizio risolto Risolvere il triangolo C del quale sono noti i seguenti elementi: C = a = 4,05m; C = b =,8m; C = = 41,7705gon. c a b C g c a b ab cos 4,05,8 (4,05,8) cos 41, ,15m a b c bccos bc a cos b c b c a,8 15,15 4,05 g ar cos ar cos 84, 0079 bc,8 15,15 b a c accos ac b cos a c a c b 4,05 15,15,8 g ar cos ar cos 74, 160 ac 4,0515,15 0

21 Per la calcolatrice usa Grad ndf cos ((...) : (...)) = Ricordati di impostarla in 1 1 g S b c sen,8 15,15 sen84, ,44m Formule per il calcolo dell area di un tiangolo qualsiasi c a h H b C fig. 13 S = ½ bh 1 S b c sin 1 S a c sin 1 S a b sin Formula di CMMINMENTO per un Triangolo S S S a cot g cot g b cot g cot g c cot g cot g Formula delle COTNGENTI Si usa quando sono noti: un Lato + i due ngoli adiacenti nche L'area + ngoli S P(P a)(p b)(p c) Formula di ERONE dove: a b c P 1

22 Esercizio risolto Risolvere il triangolo C del quale sono noti i seguenti elementi: C = = 60,18gon; C = = 88,031gon; S = 10,8830m. c a 00 S 1 g ( ) 51 a cot g cot g g,8410 b C g g a S (cot g cot g ) = 1088,30(cot g60 18 cot g88,031) = 44,60 m a 44,60 b sin sin 60 g sin sin 51,8410 a 44,60 c sin sin 88 g sin sin 51,8410 g g,18 49,69 m,031 60,4 m Esercizio proposto: Risolvere il triangolo C che ha l angolo C = ottuso (si dice ottuso un angolo maggiore di 90 ) e del quale sono noti i seguenti elementi = c = 86,55m; C = b = 6,40m; S = 1815,00m² (R. a = 139,m; = ; = ; = ) CONSIDERZIONE SUI TRINGOLI QULSISI Per risolvere un triangolo qualsiasi è necessario conoscere tre elementi dei quali almeno uno deve essere lineare (altezza, superficie, lato ecc. ecc.). Con i teoremi sviluppati si sono ricavate delle formule che consentono di calcolare lati o angoli. isogna però prestare molta attenzione quando si fa l arcoseno per ricavare gli angoli (perché la calcolatrice ci da sempre un angolo del 1 quadrate e questo, a volte non è sufficiente) e precedere il calcolo dalla risoluzione grafica del problema (fare la figura in scala partendo dai dati). E consigliabile, tutte le volte che è possibile, applicare Carnot nella ricerca degli angoli.

23 CERCHI NOTEVOLI DEI TRINGOLI Un cerchio si dice notevole quando basta il nome per individuarlo in tutte le sue caratteristiche. Oltre al cerchio circoscritto del quale abbiamo già parlato nel teorema dei seni esistono altri due cerchi notevoli dei quali tratteremo: il cerchio inscritto e il cerchio ex-inscritto. IL CERCHIO INSCRITTO E' il cerchio interno al triangolo che contemporaneamente tange ai tre lati. Il suo centro si chiama incentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo (si ricorda che la bisettrice è una linea interna al triangolo che partendo da un vertice divide in due parti uguali l'angolo di quel vertice). Per determinare il raggio: S C r a b c fig. 14 IL CERCHIO EX-INSCRITTO E' il cerchio "inscritto fuori", esso è contemporaneamente tangente ad un lato ed al prolungamento degli altri due. Quindi come il cerchio inscritto esso è tangente ai tre lati ma sta fuori dal triangolo. Da quanto detto si evince che ogni triangolo ha tre cerchi ex-inscritti uno per ogni lato. Il centro del cerchio ex-inscritto, si chiama exincentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli angoli esterni al triangolo adiacenti al lato di tangenza e della bisettrice dell'angolo interno opposto al lato detto. Per determinare i raggi: S C ra b c a r b S C a c b S C rc fig. 15 a b c 3

24 RISOLUZIONE DEI QUDRILTERI Per risolvere un quadrilatero è necessario sapere che la somma degli angoli interni vale 360. Inoltre è necessario conoscere almeno 5 elementi dei quali almeno devono essere lineari. Per la risoluzione dei quadrilateri ci si serve dei triangoli utilizzando uno dei seguenti metodi: si considera il quadrilatero come somma di due triangoli qualsiasi; si considera il quadrilatero come differenza di due triangoli qualsiasi; si considera il quadrilatero come somma di tre triangoli rettangoli e di un rettangolo. Primo metodo Si utilizza questo metodo quando: si conoscono due lati consecutivi e tre angoli; si conoscono tre lati e due angoli opposti, in questo caso però si corrono i rischi visti nel teorema dei seni per la risoluzione di un triangolo del quale sono noti due lati e un angolo non compreso; si conoscono tre lati e i due angoli fra essi compresi; si conoscono tutti i lati e un angolo. b a c C D fig. 16 d Le formule da utilizzare sono quelle dei triangoli qualsiasi. Secondo metodo Si utilizza questo metodo quando: non è possibile utilizzare il primo metodo; si conoscono due lati opposi e tre angoli. b C a ' c ' E d D fig. 16 Per la risoluzione: si prolungano i due lati incogniti fino a farli intersecare nel punto E; 4

25 quindi dopo aver calcolato: = e = si calcolano con le formule dei triangoli qualsiasi gli elementi dei due triangoli E ed CED; ed infine per differenza fra gli elementi dei due triangoli sopra detti si calcolano gli elementi del quadrilatero. Terzo metodo Si utilizza questo metodo quando: non è possibile utilizzare il primo e il secondo metodo; si conoscono due lati opposi e tre angoli e quindi in alternativa al secondo metodo; si conoscono tre lati e i due angoli compresi. b a T C K H D fig. 18 d Per la risoluzione: si tracciano le perpendicolari (K e CH) ad uno dei lati incogniti (in questo caso D); partendo da un vertice (in questo caso C) si traccia la perpendicolare (CT) ai segmenti tracciati prima; si calcolano con le formule dei triangoli rettangoli gli elementi incogniti. c RISOLUZIONE DEI POLIGONI Per risolvere un poligono di n lati è necessario conoscere almeno n 3 elementi dei quali almeno n devono essere lineari Per la risoluzione dei poligoni ci si serve dei triangoli considerando, in genere, il poligono come somma di triangoli. La somma degli angoli interni di un poligono si ottiene con la seguente formula: = (n ) 180. lla quale si giunge facendo il seguente ragionamento: l'esagono della figura è stato scomposto in 6 triangoli, sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 e togliendo l'angolo giro (360 = 180 ) si ottiene: =

26 quindi sostituendo a 6 la lettera n, che indica il numero dei vertici di un generico poligono, e raccogliendo il 180 si ottiene: = (n )180. fig. 19 FORMUL DI CMMINMENTO Si applica per determinare l'area di un poligono (per cui anche di un triangolo e di un quadrilatero), del quale sono noti tutti i lati meno uno e tutti gli angoli meno i due adiacenti al lato incognito c D d E e C F b fig. 0 a pplichiamo la regola al poligono della figura nel quale abbiamo supposto di conoscere i lati a, b, c, d, e e gli angoli,,, S = ½ a b sin + b c sin + c d sin + d e sin - a c sin(+) - b d sin(+) c e sin(+) + a d sin(++) + b e sin(++) a e sin(+++). La formula sopra scritta si legge nel seguente modo: la superficie è uguale ad un mezzo della somma dei prodotti dei lati consecutivi (presi a due a due) per il seno dell'angolo fra essi compreso, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, aumentata dalla somma dei prodotti fra i lati bi-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati tri-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, e così via. Ogni tornata inizia da uno dei lati adiacenti a quello incognito e finisce quando si arriva all'altro lato adiacente al lato incognito. La formula si blocca quando si moltiplicano insieme i due lati adiacenti al lato incognito. Il segno davanti ad ogni termine dipende dal numero di angoli che sono all'argomento del seno ed è + se tale numero è dispari, - in caso contrario. 6

27 PROLEMI SULLE COORDINTE CRTESINE E POLRI PREMESSE Per individuare la posizione di un punto nei piano, e per la successiva rappresentazione grafica, è necessario dare le sue coordinate rispetto ad un sistema di riferimento. Le coordinate planimetriche di un punto sono sempre due numeri e possono essere essenzialmente di due tipi: coordinate cartesiane ; coordinate polari. COORDINTE CRTESINE Le coordinate cartesiane (più corretta mente dette coordinate cartesiane ortogonali perché gli assi cartesiani di riferimento sono ortogonali fra loro) sono particolarmente utili nella restituzione (disegno) di un rilievo topografico. La posizione di ogni punto P è definita dalle due coordinate x p ed y P che ad esso si associano. La coordinata x P è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle Y (asse delle ordinate), analogamente la y p è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle X (asse delle ascisse). Spesso lo studente non riesce ad associare in modo corretto l asse X o Y al termine ascisse o ordinate. Si suggerisce la seguente assonanza ascisse = ascix per favorire la corretta associazione. Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti mod i: esplicito: x P =...; y P =... implicito: P(x P ; y P ); P(x P ; y P ) nel modo implicito si mette sempre prima la x e poi la y. 7

28 COORDINTE POLRI Le coordinate polari sono utili in fase di rilievo. Esse si riferiscono ad un sistema costituito da un unico asse ON detto asse polare. Le coordinate polari di un punto P sono: la distanza fra l origine O del sistema (detto polo) e il punto stesso; e l angolo orizzontale (misurato su di un goniometro orizzontale) OP (detto azimutale) di cui si deve ruotare, in senso orario, l asse polare per farlo sovrapporre alla congiungente l origine con il punto in questione. Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi: esplicito: OP =...; OP =... implicito: P( OP ; OP); P(OP; OP ) in questo caso non esiste un ordine di precedenza fra l angolo e la distanza poiché l angolo e la distanza sono grandezze di tipo diverso. L angolo azimutale diventa azimut quando l asse polare ON viene indirizzato verso il nord oppure è parallelo all asse Y di un sistema di riferimento cartesiano. esplicito: (OP) =...; OP =... implicito: P(OP); OP; P(OP); OP La distanza OP non varia ne come simbolo ne come valore numerico, mentre l angolo cambia sia come simbolo, che come nome, che come valore numerico. 8

29 PSSGGIO D COORDINTE POLRI CRTESINE Poiché il rilievo viene molto spesso effettuato con coordinate polari (utilizzando tacheometri e teodoliti che inizieremo a conoscere nel modulo 4), mentre il disegno viene molto spesso effettuato con coordinate cartesiane (perché è più preciso) è necessario effettuare il passaggio dalle une alle altre. llo scopo si utilizzeranno le formule (1), ricavate applicando il primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1) OP P in figura Nella figura si è fatto coincidere l origine del sistema cartesiano con l origine dei sistema polare e l asse delle ordinate con l asse polare. x p = OP Sin(OP) y p = OP cos(op) (1) PSSGGIO D COORDINTE CRTESINE POLRI In alcuni problemi didattici e della pratica operativa del Geometra, vengono fornite le coordinate cartesiane di punti già rappresentati su di un disegno (vertici, ad esempio, di un appezzamento di terreno), e sì richiede di calcolare le coordinate polari degli stessi rispetto ad un sistema polare con origine coincidente con quella del sistema cartesiano e asse delle ordinate coincidente con l asse polare (allo scopo, ad esempio, dell effettuazione di calcoli relativi all appezzamento in questione). Le formule necessarie per raggiungere lo scopo verranno ricavate. come segue, applicando il primo, secondo e terzo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1) al triangolo rettangolo OP P in figura. Per calcolare la distanza OP possiamo utilizzare la seguente formula () ottenuta applicando il teorema di Pitagora al triangolo prima detto: OP () x P y P oppure una delle seguenti (3) ricavate applicando il primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli OP = x p / sin(op) OP = y P / cos(op) (3) 9

30 Per calcolare l azimut (OP) applichiamo il terzo teorema sui triangoli rettangoli sempre al triangolo OP P: (OP) = arctg(x p / y P ) + k (4) Il k che compare nella (4) è un termine corretti vo che consente di eliminare l errore che commetterebbe la calcolatrice. Infatti facendo l arcotangente di un numero positivo la calcolatrice ci da sempre un angolo dei primo quadrante (mentre però potrebbe essere anche del terzo) analogamente tacendo l arcotangente di un numero negativo la calcolatrice ci da sempre un angolo del primo quadrante col segno meno (mentre però potrebbe essere un angolo del secondo o del quarto quadrante). Stabiliremo il valore da assegnare al k in base al segno di x P e di y p come riassunto nella tabella che segue: Segni del Rapporto x/y 1 caso + / + caso + / - 3 caso - / - 4 caso - / + Quadrante di ppartenenza dell angolo Valore da attribuire al k sessagesimali centesimali L azimut è del primo quadrante 0 0 g L azimut è del secondo quadrante g L azimut è del terzo quadrante g L azimut è del quarto quadrante g COORDINTE TOTLI E PRZILI Se in un piano cartesiano vengono date le coordinate cartesiane di due punti e si dice che x, y, x, y, sono le coordinate totali (che comunque noi chiameremo semplicemente coordinate) perché si riferiscono all unico sistema esistente OXY. Se introduciamo un secondo sistema cartesiano di riferimento con origine in e con asse X parallelo a X e Y parallelo ad Y si avrà che i punti e in questione oltre ad avere le coordinate totali riferite al vecchio sistema (che chiameremo sistema principale) OXY avranno delle coordinate dette parziali riferite al sistema secondario X Y. Le coordinate parziali si indicano con seguenti termini: (x ) e (y ) Il termine: (x ) si legge x di rispetto ad ed analogamente il termine: (y ) si legge y di rispetto ad 30

31 Le coordinate parziali sono legate alle coordinate totali dalle seguenti relazioni ricavate ragionando sulla precedente figura: (x ) = x - x (5) (y ) = y - y CLCOLO DELL DISTNZ E DELL ZIMUT FR DUE PUNTI DI NOTE COORDINTE CRTESINE Ragionando sul triangolo rettangolo della figura a fianco ed applicando i teoremi sui triangoli rettangoli, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polari), per la distanza si ottiene: (x ) (y ) Che sostituendo le (5) diventa: (x (6) x ) (y y ) lla (6), per il calcolo della distanza, si possono affiancare le seguenti: (x ) sin() (y ) cos() nelle quali sostituendo le (5) otteniamo: x x sin() y y (7) cos() Per calcolare l azimut () applicando il terzo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo in figura, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polari), otteniamo: tg() = (x ) / (y ) da cui: (x ) () arctg k (y ) nella quale sostituendo le (5) otteniamo: x x () arctg k (8) y y il valore da attribuire al k della (8) lo si deduce, in base ai segni che ass umono il numeratore ed il denominatore dopo aver sostituito i numeri, dalla tabella di pag

32 ZIMUT E CONTROZIMUT Se indichiamo con () l azimut del segmento che da va verso, l azimut che da va verso si chiamerà (). I due azimut hanno le stesse lettere ma invertite cioè l uno è il contrario dell altro in altri termini possiamo dire che l uno è il controazimut dell altro. Quindi se diciamo che () è l azimut () è il suo controazimut. Viceversa se diciamo che () è l azimut () è il suo controazimut. Fra azimut e controazimut la relazione, come sì vede dalla figura, è la seguente; () = ( ) ± 180 dove: si metterà il segno + se () è minore di 180 si metterà il segno - se () è maggiore di 180. RISOLUZIONE DI UN TRINGOLO DEL QULE SONO NOTE LE COORDINTE CRTESINE DEI VERTICI Se di un triangolo conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando: le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinate cartesiane per trovare i lati; il teorema di Carnot per trovare gli angoli; la formula di camminamento per trovare la superficie. La procedura da seguire per la figura a fianco é la seguente: l) si calcolano i lati con le seguenti for mule: C C (x (x (x C C x x x ) ) ) (y (y (y C C y y y ) ) ) ) si calcolano gli angoli con le seguenti formule: C C arccos C C C arccos C C C arccos C C 3

33 3) si calcala la superficie con una delle seguenti formule: S = ½ CCsin S = ½ Csin S = ½ Csin RISOLUZIONE DI UN POLIGONO DEL QULE SONO NOTE LE COORDINTE CRTESINE DEI VERTICI Se di un poligono conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando: le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinat e cartesiane per trovare i lati; la differenza degli azimut per trovare gli angoli (dopo aver trovato gli azimut con le formule per il loro calcolo): la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di quattro lati, oppure somma di aree di due triangoli se il poligono è un quadrilatero oppure le formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9. La procedura da seguire per la figura a fianco è la seguente: 1) si calcolano i lati con le seguenti formule: C CD D (x (x (x (x C D D x x x x C ) ) ) ) (y (y (y C (y D D y y y y C ) ) ) ) ) si calcolano gli angoli con le seguenti formule x () arctg y x (D) arctg y D D x y x y k k = (D) (); x (C) arctg y x y () () 180 C C k = () (C); 33

34 x (CD) arctg y D D x y (C) (C) 180 C C k = (C) (CD); = ( + + ) 3) si calcola la superficie con una delle seguenti formule: la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di quattro lati; lati somma di aree di due triangoli se il poligono è un quadrilatero; le seguenti formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9. n n 1 1 S x i (y i1 y i1) ; S y i (x i1 x i1 ) (per i vertici che ruotano in senso orario) i1 i1 n n 1 1 S x i (y i1 y i1 ) ; S y i (x i1 x i1) (per i vertici che ruotano in senso antiorario) i1 i1 dove per i = 1 si pone 1-1 = n, essendo n il vertice antecedente ad i e per i = n si pone n + 1 = l, essendo 1 il vertice successivo a n. REGOL DEL TRSPORTO DEGLI ZIMUT lcune volte sono note le coordinate dei vertici dl un po1igono e si richiede la sua risoluzione (come nel due paragrafi precedenti), altre volte, invece, sono noti tutti gli elementi di un poligono, le coordinate di un suo vertice ed un azimut e si richiede il calcolo delle coordinate di tutti gli altri vertici (questo è parti colarmente utile nella realizzazione di un disegno nel modo più preciso possibile) Se nella figura a fianco supponiamo di conoscere tutti i lati (meno eventualmente F tutti gli angoli (meno eventualmente, le coordinate di e l azimut () e possibile calcolare le coordinate di tutti gli altri vertici utilizzando invertite le (7) di pagina 8. d esempio per il punto avremo: x = x + sin() nalogamente: x C = x + C sin(c) y C = y + C cos(c) y = y + cos() 34

35 prima però, come si vede dalle formule bisogna calcolare l azimut (C). llo scopo possiamo applicare la regola del trasporto degli azimut che si enuncia come segue: l azimut di un lato è uguale all azimut del lato precedente più o meno (±) l angolo al vertice formato tra i due lati, più a meno (±) l angolo piatto (180 ). Con riferimento alla figura la regola si può scrivere nel seguente modo: (C) = () 180 Per stabilire i segni nel primo trasporto si ragiona sulla figura: si trasporta () sul vertice ; si tiene conto che l azimut (C) parte dalla direzione verticale passante per e raggiunge la direzione C; che ruotando in senso orario si effettua somma mentre ruotando in senso antiorario si effettua sottrazione; ed infine che l azimut non può essere ne negativo ne maggiore dell angolo giro (360 ). Nel caso della figura si avrà quindi che: con + () si e superata la direzione C quindi si deve tornare indietro (ruotare in senso antiorario); si torna indietro quindi si sottrae 180, ma si è tornato troppo indietro perciò bisogna ritornare avanti (ruotare io senso orario); si somma quindi. L azimut (C) sarà perciò: (C) = () Per i trasporti successivi il segno davanti all angolo del poligono non varia (se gli angoli sono dalla stessa parte rispetto ad un osservatore che percorre il contorno del poligono, in caso contrario si ripete il ragionamento fatto sulla figura per il primo trasporto) mentre per il segno davanti al 180 si avrà che: esso sarà positivo se la somma dei primi due termini e minore di 180 ; viceversa sarà negativo se la somma dei primi due termini é maggiore di 180. Infine se sottraendo i 180 (detti sopra) l azimut rimane maggiore di 360 ad esso bisognerà sottrarre ancora

36 ESERCIZI 1) Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti elementi: = 6,8m; C = 9,44m; CD = 5,1m; DE = 16,95m; EF = 3,1m; C = = 130 ; DC = = 100 ; CDE = = 130 ; FED = = 150. ) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, in sessadecimale i seguenti angoli: = = ; = (R. = 13,644; = 17,159; = 93,9836) 3) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, da sessadecimale a sessagesimale i seguenti angoli: = 9,534; = 115,619. (R. = ; = ) 4) Trasformare, con e senza l uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale i seguenti angoli: = 9 13 ; = ; = (R. = 10 g,475; = 18 g,806; = 88 g,5673) 5) Trasformare, con e senza l uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale i seguenti angoli: = ; = ; = (R. = 15 g,4941; = 35 g,760; = 16 g,5898) 6) Trasformare, con e senza l uso della calcolatrice scientifica, da centesimale a sessagesimale i seguenti angoli: =,5681gon; = 34,90gon; = 43,6331gon. (R. = ; = ; = ) 7) Dati: = 3,5451; = 9,98gon; = ; = 0,164rad. Effettuare, con e senza l uso della calcolatrice scientifica, le seguenti operazioni e dare il risultato in sessagesimali: ;. (R. = ; = ) 8) Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l uso della calcolatrice scientifica il seno, il coseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli: = 40 ; = 140 ; = 50. Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con decimali per la risoluzione grafica e con 5 per la risoluzione con calcolatrice scientifica. 9) Sapendo che: sin = 1/3, senza utilizzare la calcolatrice scientifica, determinare cos, e tg, cotg. (R. cos ; tg ;cot g )

37 10) Sapendo che: cotg = ½ e che al terzo quadrante, senza utilizzare la calcolatrice scientifica, determinare sin, cos, e tg. 5 5 (R. sin ;cos ; tg ) ) Sapendo che: sin tg = 3 e che al primo quadrante, determinare sin, cos, tg e cotg. (R. sin = 0,95307; cos = 0,3078; tg = 3,14773 e cotg = 0,31769) 1) Calcolare l arcoseno, l arcocoseno e l arcotangente dei seguenti numeri: 0,44499; 0,5883; 1, ) Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: b = 37,35m; C = = 4,845gon. Risolvere il triangolo. (R. = 57 g,155; c = 46,85m; a = 59,9m; S = 874,9m ) 14) Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: c = 5,61m; b = 37,88m. Risolvere il triangolo. (R. a = 45,7m; = ; = ; S = 485,05m ) 15) Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: a = 118,m; C = = 3,5143gon. Risolvere il triangolo. (R. b = 57,79m; c = 103,13m; = 67,4857gon; S = 979,94m ) 16) Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: C = = 65,018gon, S = 564,58m. Risolvere il triangolo. (R. a = 50,43m; b = 43,08m; c = 6,1m; = 34,798gon;) 17) Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: C = a = 58,35m, S = 515,00 m. Risolvere il triangolo. (R. b = 55,30m; c = 18,63m; = 79,3156gon; = 0,6844gon;) 18) Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: S = 548,39m ; = Risolvere il triangolo. (R. a = 155,61m; b = 83,50m; c= 131,30m; = ) 19) Del triangolo C retto in sono noti i seguenti elementi: D = altezza relativa all ipotenusa = 84,63 m; S = 7645,56 m. Risolvere il triangolo. (R. a = 180,68m; b = 148,44m; c = 103,0m; = ; = ) 0) Del triangolo C sono noti i seguenti elementi: a = 38,3 m; = 63,105gon; = 71,1666gon. Risolvere il triangolo. (R. = 65,719gon; b = 41,08m; c = 39,m S = 674,08m ) 1) Del triangolo C sono noti: = 69,43gon; = 5,58gon ed il raggio del cerchio ad esso circoscritto R = 43,14m. Risolvere il triangolo. (R. = 77,99gon; a = 76,5m; b = 63,43m; c = 81,17m S = 83,3m ) 37

38 ) Del triangolo C sono noti i seguenti elementi: b = 383,8m; = ; = Risolvere il triangolo. (R. = ; a = 36,03m; c = 391,96m; S = 6084,35m ) 3) Del triangolo C sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 01,4m e gli angoli = 65,0500gon; = 56,8889gon. Risolvere il triangolo. (R. = 78,0611gon; a = 343,34m; b = 378,8m; c = 313,67m; S = 50681,94m ) 4) Risolvere il triangolo acutangolo, C del quale sono noti i seguenti elementi: b = 79,m; c = 108,84 m; = 84,6855gon. (R. a = 95,86m; = 65,333gon; = 49,9813gon; S = 3687,68m ) 5) Risolvere il triangolo C del quale sono noti i seguenti elementi: = c = 55,45 m; C = a = 39,65 m; C = b = 63,43 m. (R. = 4,4748gon; = 90,9431gon; = 66,581gon; S = 1088,19m ) 6) Risolvere il triangolo C del quale sono noti i seguenti elementi: C = a = 8,15m; C = b = 4,8m; C = = 44,7705gon. (R. c = 8,06m = 44,9587gon; = 110,708gon; S = 389,76m ) 7) Risolvere il triangolo C del quale sono noti i seguenti elementi: C = = 60,18; C = = 88,031; S = 108,83m. (R. = 31,841; a = 11,51m; b = 18,9m; c = 1,8m) 8) Risolvere il triangolo C che ha l angolo C = ottuso e del quale sono noti i seguenti elementi: = c = 86,55m; C = b = 6,40m; S = 1815,00m² (R. a = 139,m; = ; = ; = ) 9) Del triangolo C sono noti: = c = 65,45 m; C = a = 49,65 m; C = b = 55,43 m. Risolvere il triangolo, fare la figura in scala 1:800, quindi trovare i raggi dei cerchi inscritto ed exinscritti e rappresentare tali cerchi in figura. (R. =...gon; =...gon; =...gon; S =...m ; r =...m; R a =...m; R b =...m; R c =...m) 30) Del triangolo C sono noti: a = 13,1m; b = 109,45m; = Risolvere il triangolo. Quindi tracciati gli ex-incentri relativi ad ogni lato collegarli tra loro e risolvere il triangolo che ne viene fuori. (R. c = 11,03m; = ; = ; S = 5665,50m ; O a O b = 33,9m; O a O c = 181,95m; O b O c = 1,5m; = ; = 6 56 ; C = ; S 1 = 17690,96m ) 31) Dal vertice del triangolo C si sono collimati i vertici e C, utilizzando un distanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi: punto di stazione punti collimati letture al cerchio orizzontale distanze topografiche ,88m C ,59m 38

39 risolvere il triangolo. (R. a =...m; b =...m; c =...m; =...; =...; =...) 3) Dal punto S di stazione si sono collimati i vertici, e C di un triangolo, utilizzando un distanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi: punto di stazione punti collimati letture ai lerchio orizzontale distanze topografiche 3,614gon 991,15m S 170,1648gon 3014,77m C 95,4965gon 4399,13m risolvere il triangolo. (R. a =...m; b =...m; c =...m; =...; =...; =...) 33) Del quadrilatero CD sono noti: = 4,16m; C = 39,76m; CD = 53,8m; = ; = Risolvere il quadrilatero. (R.: D =...m; =...; =...; S =...m ) 34) Del quadrilatero CD sono noti: = 165,8m; D = 0,44m; CD = 11,45m; = 91,556gon; = 135,658gon. Risolvere il quadrilatero. (R.: C = 15,47m; = 86,69gon; = 86,517gon; S = 3658,17m ) 35) Del quadrilatero CD sono noti: = 8,365m; CD = 160,449m; = 11,35gon; = 19,66gon; = 98,44gon. Risolvere il quadrilatero. (R.: C = 78,815m; D = 141,615m; = 59,55gon; S = 1043,37m ) 36) Del quadrilatero CD sono noti: C = 56,15m; D = 50,34m; CD = 49,05m; = 57,315; = 74,919. Risolvere il quadrilatero. (R.: = 89,39m; = 91,104; = 136,66; S =...m ) 37) Del quadrilatero CD sono noti: = 79,44m; C = 107,67m; D = 66,90m; CD = 34,0m; D = 110,81m. Risolvere il quadrilatero. (R.: = 98...; = 54...; = 86...; = 11...; S =...m ) 38) Del quadrilatero CD sono noti: = 10,3m; C = 14,44m; CD = 53,3m; = 133,734gon; = 107,431gon. Calcolare la lunghezza del lato D e la distanza fra il vertice e il punto E ottenuto dall intersezione delle due diagonali. (R.: D = 61,90m; E = 39,40m) 39) Del poligono CDE si sono misurati i seguenti elementi: = 39,8m; C = 4,16m; CD = 33,33m; = ; ; = 93 1 ; = Risolvere il poligono. (R.: DE =...m; E =...m; =...; S =...m ) 40) Del poligono CDE si sono misurati i seguenti elementi: = 8,9m; C = 4,53m; CD = 9,66m; DE = 36,3m; 1 14 ; = ; = Calcolare l area. (R.: S =...m ) 39

40 41) Del appezzamento triangolare C sono note le coordinate cartesiane dei vertici: (19,4m, 13,18m); (55,6m, 63,98m); C(80,84m, -18,89m). Risolvere il triangolo. (R.: = 6,17m; C = 69,9m; C = 86,73m; = 8 07 ; = ; = ; S = 134,80m.) 4) Dell appezzamento quadrilatero CD sono note le coordinate cartesiane dei vertici: (1,35m, -6,4m); (-15,40m, 16,71m); C(39,41m, 7,8m); D(43,16m, 7,0m). Effettuare la figura in scala opportuna e risolvere il quadrilatero. (R.: = 36,13m; C = 55,9m; CD = 1,14m; D = 33,61m; = ; = ; = ; = ; S = 1133,74m.) 43) Di un triangolo C sono note le coordinate cartesiane dei suoi vertici: x = 1,03m; y = 9,10m; x = 65,45m; y = 89,3m; x C = 14,58m; y C = 63,94m. Risolvere il triangolo, determinare i1 raggio del cerchio inscritto e le coordinate dell incentro. Fare il disegno in scala opportuna. (R.: = 96,38m; C = 81,0m; C = 141,60m; = ; = ; = ; S = 3771,74m ; r = 3,63m; x O = 75,14m; y O = 61,4m.) 44) Della poligonale aperta CD sono noti i seguenti elementi: x = 13,03m; y = 0,99m; () = = 33,1m; C = 79,39m; CD = 37,45m; C = = ; DC = = Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale e le aree dei triangoli E e CDE (essendo E il punto d incontro fra il lato C e la congiungente D). Fare la figura in scala opportuna. (R.: x = 35,96m; y = -,91m; x C = 84,14m; y C = 60,19m; x D = 106,6m; y D = 30,4m; S E =.m ; S CDE =.m.) 45) Della poligonale aperta CDE sono noti i seguenti elementi: = 31,1m; C = 8,39m; CD = 3,44m; DE = 1,1m; C = = ; CD = = ; EDC = = Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale rispetto ad un sistema di assi cartesiani con origine in e semiasse positivo delle ascisse coincidente con il lato. (R.: x = y = 0,00m; x = 31,1m; y = 0,00m; x C = 35,46m; y C = 7,18m; x D = 58,06m; y D = 0,95m; x E = 60,14m; y E = -10,99m.) 46) Il triangolo C é stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorso determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna): Punto di stazione Punti collimati Letture al cerchio orizzontale (azimutali) Distanza topografica ,04m C C ,044m Riferendo il triangolo ad un sistema di assi cartesiani con origine in e semiasse positivo delle ordinate diretto lungo, si determino le coordinate dei vertici e l area del triangolo. (R.: x = y = 0,000m; x = 0,000m; y = 49,043m; x C = -5,974m; y C = 3,689m; S = 636,90m.) 40

41 47) Il quadrilatero CD è stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorso determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna): Punto di stazione Punti collimati Letture al cerchio orizzontale (azimutali) Distanza topografica D ,674m ,383m C ,684m Riferendo il poligono ad un sistema di assi cartesiani con origine in e semiasse positivo delle ascisse diretto lungo C. Determinare le coordinate dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero. (R.: (0,000m, 0,000m); (114,659m; 4,789m); C(179,684m; 0,000m); D(96,646m; -78,760m); DC = 114,449m; C = 77,841m; = ; = ; = ; = ; S = 1090,05m.) 48) Di un triangolo C, i cui vertici ruotano in senso antiorario, sono note le coordinate dei punti e C e i corrispondenti angoli interni: x = 1,00m; y = 36,00 m; x C = 48,00m; y C =156,00 m = 9 g,0164 = 65 g,9095 Determinare: le coordinate del vertice ; le coordinate del baricentro G e del centro O del cerchio inscritto al triangolo: l'area del triangolo GO. (R.: x = 185,1m; y = 6,99m; x O = 67,64m; y O = 70,63m; x G = 81,70m; y G = 66,33m; S GO = 363,04 m.) 49) Il quadrilatero CD è stato rilevato con un teodolite centesimale destrorso determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna): Punto di stazione Punti collimati Letture al cerchio orizzontale (azimutali) Distanza topografica 331,345gon 31,99m C 46,15gon 35,15m C 73,347gon --- D 171,893gon 46,58m Sono inoltre noti: x = 3,04m; y = 18,33m; () = 135,389gon Determinare le coordinale dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero. (R.: (50,1m; 1,35m); C(75,13m; 6,4m); D(39,56m; 56,03m); D = 41,16m; = 109,097gon; = 114,780gon; = 77,577gon; = 77,577gon; S =.m.) 50) Di un triangolo C, i cui vertici ruotano in senso antiorario, sono note 1e coordinate dei punti e e i lati C e C: x = 5,00m; y = 06,00m; x = 65,00m; y = 77,00m C = 98,50m; C =11,30m Determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dei centri O a, O b ed O c dei cerchi ex-inscritti al triangolo e l'area del triangolo O a O b O c. (R.: x C =...m; y C =...m; x Oa = 151,09m; y Ob = -13,75m; x Ob = 7,99m; y Ob = 157;39 m; x Oc =...m; y Oc =...5m; S = 879,98m ) 51) In un triangolo C sono state misurate le lunghezze dei tre lati: = 57,50m; C = 74,40m; C =114,85m Fissando un, sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in e con asse delle ascisse orientato sulla direttrice, determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dell'ortocentro H 41

42 del triangolo (ortocentro = punto di intersezione delle altezze di un triangolo), le coordinate del punto K su C, intersezione della congiungente tra il punto H e il punto medio M del lato C e il lato C, l'area del triangolo MKC. (R.: x C = 95,35m; y C = -64,07m; x H = 149,5m; y H = -88,1m; x K =...m: y K =...m; S MKC =...m ) 5) In un triangolo C, i cui vertici ruotano in senso antiorario, sono state misurate le lunghezze dei tre lati: =15,60m; C=13,70m; C =167,56m Fissando un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in e con asse delle ascisse orientato sulla direttrice, determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate del punto K intersezione tra la bisettrice dell'angolo in e della mediana relativa al lato C; le coordinate del punto O centro del cerchio inscritto a1 triangolo K; 1 area del triangolo K. (R.: x C =...m; y C =...m; x K = 89,79m; y K = 40,63m; x O = 88,17m; y O =19,0 m; S K = 3100,17m ) 53) In un quadrilatero CD sono note le coordinate dei suoi vertici: x = 0,00m; y = 0,00m; x = 16,50m; y = 0,00m x C = 130,40m; y C = 18,80m; x D = 3,60m; y D = 97,80m Determinare le coordinate del punto K intersezione delle diagonali, le coordinate del punto H intersezione tra gli assi dei lati D e CD, l'area del quadrilatero. (R.: x K = 70,9m; y K = 69,4m; x H =11,03m; y H = 16,99m; S = 1474,1m ) 54) In un quadrilatero CD sono note le coordinate dei suoi vertici: x = 0,00m; y = 0,00m; x =16,50m; Y = 0,00m x C = 130,40m; y C = 18,80m; x D = 3,60m; y D = 97,80m Determinare le coordinate del centro O del cerchio inscritto al triangolo C, le coordinate del baricentro G del triangolo che ha come vertici il precedente centro O e i punti medi dei lati D e CD, l'area di quest'ultimo triangolo. (R.: x O = 8,64m; y O = 7,84m; x G = 44,85m; y G = 84,16m; S = 60,51m ) 55) In un quadrilatero CD, i cui vertici ruotano in senso antiorario, sono note le coordinate dei punti e C: x = 0,00m; y = 0,00m; x C = 148,00m; y C = 16,00m Sono poi stati misurati i seguenti elementi: = 97 g,0709; = 85 g,0171; CD = 137,8m; D = 135,81m Determinare: le coordinate dei vertici e D, le coordinate del punto K intersezione della diagonale C con la congiungente i punti medi del lati D e C; le coordinate del punto H intersezione della diagonale D con la congiungente i punti medi dei lati D e C. (R.: x =...m; y =...m; x D =...m; y D =...m; x K = 75,58m; y K = 64,35m; x H = 94,61m; y H = 63,44 m) 56) Di un triangolo C, i cui vertici ruotano in senso antiorario, sono noti: = 6 g,500; x = 0,00m; y = 0,00m; x C = 106,50m; y C = 70,80m Non potendo misurare la lunghezza del lato si è sviluppata la spezzata MN misurando i seguenti elementi: M = g,4500; MN = 08 g,7700; MN = 117 g,5153; M = 4,00m; MN = 48,50m; N = 51,80m Determinare: le coordinate del vertice e le coordinate del baricentro G del triangolo. (R.: x =108,98m; y = - 45,48m; x G = 71,83m; y G = 8,44m; = 118,09m) 4

43 57) L'asse di un canale è composto da una sequenza di segmenti di estremi CDEF. Si sono misurati i seguenti elementi: = 85,36m; C = 110,18m; CD = 101,38m; DE = 9,70m; EF = 74,50m; C = = 108,0370; CD = = 49,7407; CDE = = 13,0370; DEF = = 33,4444 Determinare la distanza tra gli estremi ed F del canale. (R.: F = 383,71m) 58) Si sono collegati gli estremi ed E di un tratto di strada rettilinea con una spezzata CDE, e sono state effettuate le seguenti misure: = 73,5m; C = 54,08m; CD = 388,43m; DE = 356,91m; C = =135 g,310; CD = = 144 g,0154; CDE = = 141,098 Determinare la lunghezza del tratto di strada e gli angoli che essa forma con i lati ed ED della spezzata. (R.: E = 930,88m; E = 94 g,0430; ED = 85 g,4104) 59) Tra i punti ed E sono presentì ostacoli che impediscono la misura diretta della distanza tra i punti stessi. Questi sono poi stati collegati con una spezzata CDE e sono state effettuate le seguenti misure: = 165,00m; C = 7,50m; CD = 90,46m; DE = 1,34m; C = = 54 g,0503; CD = = 13 g,6391; CDE = =14 g,1165 Determinare: la distanza tra ed E e le coordinate del punto K intersezione del segmento E con Ia bisettrice dell'angolo CD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in e asse delle ordinate diretto lungo. (R.: E =...m; x K =...m; y K =...m) 60) Tra i punti ed E sono presenti ostacoli che impediscono la misura diretta della distanza. Questi sono poi stati collegati con una spezzata CDE e sono state effettuate le seguenti misure: = 65,00m; C = 9,50m; CD = 110,40m; DE=105,80m C = = 154 g,0503; CD = = 163 g,6391; CDE = =14 g,1100 Determinare: la distanza tra ed E e le coordinate del punto K intersezione del segmento E con la bisettrice dell'angolo CD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in e asse delle ascisse diretto lungo. (R.: E = 7,59m; x K = 47,07m; y K = 116,31m) 61) Tra í punti e D è stata sviluppata la spezzata CD e sono state effettuate le seguenti misure: = 75,00m; C = 11,60m; CD = 83,50m; C = = 144 g,7419; CD = = 151 g,5315 Determinare: la distanza tra e D; le coordinate del punto K intersezione tra il prolungamento de: Iato DC, dalla parte di C. e la perpendicolare, tracciata da, alla congiungente D, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in e asse delle ascisse diretto lungo, le coordinate del baricentro G del triangolo DK. (R.: D = 1,5m; x K = 160,86m; y K = -135,78m; x G = 101, m; y G = 11,18m) 43