Esercizio 1. soddisfazione

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1 Esercizio 1 Un campione di trenta impiegati viene intervistato sulla soddisfazione verso il proprio lavoro. Nella tabella di seguito sono riportate le risposte date suddivise secondo il sesso dei soggetti. sesso soddisfazione sì no maschi femmine Si vuole sapere se nel campione esaminato esiste una relazione tra il sesso dei soggetti e la soddisfazione lavorativa. Si stabiliscano: 1- Le ipotesi H 0 e H 1 - Si individui il test statistico adeguato ed il relativo valore critico con α Si esegua il test 4 - Si prenda una decisione in base ai risultati del test 1

2 Soluzione esercizio Ipotesi H 0 e H 1 H : P P 0 sodd m sodd f H : P P 1 sodd m sodd f - Test statistico Chi quadrato a 1 grado di libertà (tabella X). Leggendo sulla tavola dei valori del chi quadrato per la soglia α considerata, chi quadrato Calcolo del test Calcoliamo dapprima le frequenze attese Calcoliamo infine il chi quadrato

3 soddisfazione sesso sì no maschi 5 - A 8 - B 13 femmine 11 - C 6 - D Frequenza attesa cella A Frequenza attesa cella B Frequenza attesa cella D Frequenza attesa cella C

4 k Calcolo del chi quadrato ( ) O i Ei χ i 1 E i χ ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1.93) ( 1.93) ( 1.93) ( 1.93) Decisione statistica Il valore calcolato del chi quadrato è inferiore al valore critico, pertanto NON possiamo rigettare H 0. Concludiamo quindi che non vi sono differenze significative tra maschi e femmine nella 4 soddisfazione verso il proprio lavoro.

5 Esercizio Mille individui sono stati classificati in base al sesso ed alla presenza di daltonismo sesso daltonismo maschi femmine normali daltonici 38 6 Testare l ipotesi che il daltonismo è indipendente dal sesso. Stabilire alfa

6 Soluzione esercizio 1 - Ipotesi H 0 e H 1 H : P P 0 daltonico m daltonico f H : P P 1 daltonico m daltonico f - Test statistico Chi quadrato a 1 grado di libertà (tabella X). 3 Calcolo del test Calcoliamo inizialmente i totali marginali maschi femmine Totale normali 44 - A B 956 daltonici 38 - C 6 - D 44 Totale

7 Calcoliamo quindi le frequenze attese maschi femmine Totale normali 44 - A B 956 daltonici 38 - C 6 - D 44 Totale Frequenza attesa cella A Frequenza attesa cella B Frequenza attesa cella D Frequenza attesa cella C

8 Calcoliamo infine il chi quadrato considerando i valori della tabella sottostante normali maschi 44 (458,88) femmine Totale 514 (497,1) daltonici (1,1) (,88) 44 Totale χ ( ) ( ) ( ) ( 6.88)

9 4 Decisione statistica Chi quadrato (1df) 7.14 supera di gran lunga la soglia di per alfa Abbiamo forte evidenza statistica per rigettare l ipotesi nulla secondo la quale il daltonismo è indipendente dal sesso. Il daltonismo infatti è un carattere recessivo legato al cromosoma X: le femmine eterozigoti per mutazioni al gene della opsina sono portatrici sane di questo disturbo visivo mentre i maschi eterozigoti risultano affetti. 9

10 Esercizio 3 È stata valutata la presenza di allergie ai metalli in cinquanta pazienti ai quali è stata impiantata una protesi dentaria fissa. Le protesi contenevano alternativamente nella lega titanio o palladio. materiale lega allergia titanio palladio sì 7 15 no 3 5 Valutare se la presenza di allergie è indipendente dal tipo di metallo contenuto nella lega della protesi dentaria. Stabilire alfa

11 Soluzione esercizio Ipotesi H 0 e H 1 P P ( indipenden ) H 0 : allergia titanio allergia palladio za H1 : Pallergia titanio Pallergia palladio ( dipendenza) - Test statistico Chi quadrato a 1 grado di libertà (tabella X) X Critico per α gdl Calcolo del test Calcoliamo i totali marginali titanio palladio Totale sì 7 15 no Totale

12 Calcoliamo le frequenze attese titanio palladio Totale sì 7 15 no Totale Frequenza attesa cella A Frequenza attesa cella B Frequenza attesa cella D Frequenza attesa cella C

13 Calcoliamo infine il chi quadrato titanio palladio Totale sì 7 (13,) 15 (8,8) no 3 (16,8) 5 (11,) 8 Totale χ ( ) ( ) ( ) ( 5 11.) Decisione statistica Chi quadrato (1df) 13 supera la soglia di per alfa Abbiamo pertanto sufficiente evidenza statistica per rifiutare l ipotesi nulla. Il titanio infatti è un materiale bioinerte preferibile 13 al palladio che può dare fenomeni allergici.

14 Esercizio 4 Un corso universitario è impartito dallo stesso insegnante a studenti di tre diverse facoltà; il numero degli esami superati e non sono elencati nella tabella sottostante laurea A laurea B laurea C Totale esame superato esame NON superato Totale Il rendimento degli studenti dei tre corsi si può considerare equivalente o esistono delle differenze? 14

15 Soluzione esercizio 4 La tabella di presentata da questo esercizio differisce da quelle viste fino ad ora poiché si tratta di una tabella x3 Anche in questo caso possiamo utilizzare il test del chi quadrato ricordando però che il numero di gradi di libertà è cambiato Infatti g (n righe 1) x (n colonne 1) ( 1) ( 3 1) gradi di libertà 15

16 1 - Ipotesi H 0 e H 1 H : P P P 0 esameok A esameok B esameok C H : P P P 1 esameok A esameok B esameok C - Test statistico Chi quadrato a gradi di libertà. Leggendo sulla tavola dei valori del chi quadrato stabilendo α0.05, chi quadrato Calcolo del test Il calcolo delle frequenze attese si realizza come visto in precedenza. Sintetizzando i passaggi visti negli esercizi precedenti si può scrivere Frequenze attese ( totale riga i) ( totale colonna j) totale generale Data una tabella avente i righe e j colonne 16

17 laurea A laurea B laurea C Totale esame superato 80 (A) 40 (B) 110 (C) 30 esame NON superato 50 (D) 0 (E) 40 (F) 110 Totale Frequenza attesa cella A Frequenza attesa cella C Frequenza attesa cella B Frequenza attesa cella D Frequenza attesa cella E Frequenza attesa cella F

18 Calcoliamo il chi quadrato esame superato esame NON superato laurea A laurea B laurea C Totale (87,94) (40,59) (101,47) (4,06) (19,41) (48,53) 110 Totale χ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

19 4 Decisione statistica χ esercizio 4.46 χ α Poiché il valore della statistica chi quadrato a due gradi di libertà è minore del valore critico, non possiamo rifiutare l ipotesi nulla e concludiamo che l esito dell esame è indipendente dall indirizzo di laurea, cioè che il rendimento è equivalente 19

20 Esercizio 5 La sindrome eosinofilo-mialgica (EMS) è una patologia sistemica particolarmente insidiosa. Oltre a causare contratture muscolari dolorose ed alterazione della conta degli eosinofili ha altri sintomi (es. febbre,debolezza generale) e può portare talvolta alla morte. Nel 1990 un certo numero di americani contrasse questa malattia rara. Queste persone erano accomunate dal fatto di avere assunto integratori alimentari a base di triptofano, un amminoacido aromatico. malattia integratore EMS Normale Sì 4 34 No Stabilire se esiste un collegamento fra la malattia e l assunzione dell integratore alimentare. 0