1 RADAR AD APERTURA REALE

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1 1 RADAR AD APERTURA REALE Il piú semplie sistema di telerilevamento attivo é il radar ad apertura reale RAR), in ui un sensore, in moto rettilineo alla quota h, on veloitá v, illumina la superfiie terrestre, e ne rieve il segnale diffuso. Se é nota la quota H, il segnale diffuso onsente di estrarre la sezione radar differenziale σ 0 della superfiie terrestre, ovviamente mediata sulla area illuminata. La geometria di aquisizione di un RAR, e di qualunque altro sensore radar di immagine, é mostrata in Fig. 1 Fig. 1: Geometria di aquisizione di un sensore radar di immagine. Il sensore guarda lateralmente rispetto alla proiezione a terra della sua linea di volo, per evitare l ambiguitá destra sinistra nella aquisizione. In Fig. 2 sono mostrate le viste laterali della geometria, rispettivamente in direzione ortogonale alla linea di volo direzione di range) e parallela a questa direzione di azimuth). Nella Fig. 2 si evidenziano l angolo θ di vista del sensore, e le larghezze di fasio θ r in range e θ a in azimuth molto esagerate nella figura). Se l antenna del sensore é un array planare di dimensioni W in range ed L in azimuth, allora θ r = λ θ a = λ W L essendo λ la lunghezza d onda di funzionamento del radar. 1) Fig. 2: Viste laterali della geometria di aquisizione. 1

2 Come si vede dalle figure, il sensore, nel suo moto, illumina una strisia, parallela alla sua linea di volo, detta swath, he, dalla Fig. 2, ha una larghezza pari a S = S osθ on S = h osθ θ r = hλ W osθ essendo h/osθ la distanza tra il sensore e il entro della zona illuminata. Ne segue he la larghezza dello swath é hλ S = W os 2 2) θ Consideriamo ome esempio un radar su satellite on h = 800km, θ = 20 o e, per una lunghezza d onda λ = 27m, una antenna larga W = 2.1m. A questi valori orrisponde uno swath di S = 100km. Allostessomodo, lalunghezzal a dellazonailluminataaterra, nelladirezionediazimuth é data da l a = h osθ θ a = hλ 3) Losθ Per lo stesso esempio di prima, on L = 12m, si ha l a = 19.1km. Da questi esempi si vede he la risoluzione di un RAR é troppo grande per essere pratiabile. Anhe usando frequenze molto piú alte, l area illuminata a terra, orrispondente allaella dirisoluzione, éanoradideinedikm 2. Sonoquindineessarietenihediaquisizione diverse per garantire risoluzioni ragionevoli. Solo per sensori su aerei, on quote di qualhe km, un RAR potrebbe garantire risoluzioni, soprattutto in azimuth, utilizzabili. Si noti, omuqnue, he le espressioni date da 1,2) sono valide anhe per sensori ottii. Solo he, in tal aso, la lunghezza d onda é dell ordine di 0.5µm, e quindi la ella di risoluzione risulta molto piú piola, anhe on strumenti ottii on aperture di pohi m. Vedremo nel seguito ome si ostruise, in un radar di immagine, una immagine in range ad alta risoluzione, e poi passeremo a onsiderare l immagine in azimuth, he rihiederá una elaborazione del segnale molto piú omplessa. 2 GEOMETRIA DI IMAGING IN RANGE Per ostruire una immagine ad alta risoluzione in range, é neessario poter disriminare la potenza diffusa da zone diversa della sena. Questo é possibile in quanto il tempo di viaggio del segnale dipende dalla pozizione nello swath. Per riavare questa relazione, fissiamo un asse R sulla superfiie terrestre, on entro il entro dello swath, Fig. 3, e indihiamo on R 0 la distanza tra la direzione di nadir, ovvero la proiezione a terra della linea di volo, e il entro dello swath. Il tempo totale di viaggio t A per un punto A di asissa R A dal entro dello swath) risulta pari a t A = 2 rr A) 4) essendo rr A ) la distanza tra il sensore ed il punto A, e la veloità della lue. Detta D la distanza tra il sensore ed il entro dello swath, ol he R 0 = Dsinθ, risulta rra ) ] 2 = h 2 +R 0 +R A ) 2 = h 2 +R DsinθR A +R 2 A = D2 +2DsinθR A +R 2 A 2

3 Fig. 1: Calolo del tempo di viaggio del segnale fino a un punto generio x dello swath. AquestopuntonotiamoheR A D perui possiamoalolare rr A ) onunosviluppo di Taylor rr A ) = D 1+2 R A D sinθ + { D = D { R A D sinθ + 1+ R A D sinθ Sostituendo in 4) segue t A = 2 ) 2 RA D RA ) 2 ] 1 D 8 ) 2 1 D 2 D RA RA ] } 2 D sinθ ) 2 sin θ} 2 2 R A D +R A sinθ+ 1 R 2 ] A 2 D os2 θ = t 0 + 2R A = D +R A sinθ+ 1 2 R 2 A D os2 θ 5) sinθ+ R2 A D os2 θ 6) essendo t 0 il tempo di viaggio orrispondente al entro dello swath. Se l ultimo termine di 6) è trasurabile 1, allora il tempo di viaggio è proporzionale alla posizione: t A = t 0 + 2R A sin θ 7) ed è quindi possibile ottenere la σ 0 R) registrando la potenza rievuta al variare del tempo. Questo può essere ottenuto inviando un segnale ostituito da un impulso modulato di durata τ, he rihiede una banda in trasmissione se modulato SSB) B T =1/τ. Se onsideriamo, ad esempio, la presenza sul suolo di soli due oggetti, A e B, posti in R A ed R B > R A ) rispettivamente, la risposta ad un impulso he parte da t = 0 è data dalla somma di due impulsi, di ampiezza diversa, on inizio in t A e t B, dati da 7), rispettivamente, ome riportato in Fig. 2. Si definise risoluzione in range di un radar di immagine la minima distanza tra due oggetti he sono distinguibili in maniera affidabile. Se onsideriamo i due oggetti A e B, posti in punti generii, il segnale rievuto è quello di Fig. 2. Come si vede da tale figura, i due oggetti 1 Rimandiamo ad un paragrafo suessivo la disussione della validità di questa approssimazione. 3

4 s R t τ t A Fig. 2: Segnali trasmessi e rievuti le ampiezze dei due impulsi sono proporzionali a σ 0 A e σ 0 B ripettivamente). t B sono distinguibili se la riezione dell impulso diffuso da B inizia quando la riezione dell impulso diffuso da A è terminato, ovvero se t A +τ t B = t 0 + 2R A sinθ +τ t 0 + 2R B sinθ Semplifiando segue he A e B sono distinguibili se le loro posizioni soddisfano a R B R A τ 2sinθ La risoluzione in range X r è il minimo della espressione preedente X r = R B R A min = τ 2sinθ 8) 3 POTENZA RICEVUTA E SNR IN UN RADAR DI IMMAGINE Valutiamo la potenza rievuta da un radar di immagine, e il orrispondente rapporto segnale-rumore SNR, nelle varie ondizioni di funzionamento. Consideriamo una antenna di dimensioni L in azimuth ovvero nella direzione di volo) e W in range ovvero in direzione ortogonale), he trasmette una potenza di pio) P T. Il sensore vola ad una quota h ed osserva la sena ad un angolo θ. La sezione radar differenziale della sena è σ 0. L equazione del radar per una superfiie è: λ 2 G 2 ] P R = P T 4π) 3 r 4 σ 0 A I osθ essendo G il guadagno d antenna, r la distanza della superfiie illuminata ed A I la sua area. Introduendo l area effiae della antenna A e = WL e la quota di volo h la 9) diventa P R = P ] T 4πλ 2 W2 L 2os5 θ σ 0 h 4 A I 10) L areailluminata A I èpari al prodottodella lunghezzadella improntaaterrainazimuth e della lunghezza a terra dell impulso trasmesso. Per valutare questa ultima quantità, supponiamo he l impulso trasmesso abbia una durata τ t, e notiamo he ad ogni istante i sono un punto B in ui il segnale è appena arrivato 9) 4

5 e un punto A in ui il segnale è appena terminato. Evidentemente, usando la definizione 4), risulterá: t A 2 +τ t = t B 2 in quanto il segnale in A è arrivato τ t seondi prima. Sostituendo la relazione tempo range 6) segue R A sinθ +τ t = R B sinθ dove R A e R B sono i due range orrispondenti. La zona illuminata a terra vale Di onseguenza R B R A = τ t sinθ La potenza rievuta diventa: A I = l a R A R B ) = ] hλ τt Losθ sinθ 11) P R = P T W 2 L 4πλ h 3 La potenza di rumore è invee pari a os 4 θ sinθ τ tσ 0 12) P N = KB RF T N 13) essendo K = W/KHz la ostante di Boltzmann, B RF la banda a radiofrequenza del segnale trasmesso e T N la temperatura di rumore omplessiva del sistema he, tra l altro, inlude anhe l emissione termia della superfiie illuminata). Le prestazioni rispetto al rumore di un sensore sono misurate dal rapporto segnale rumore SNR = P R P N e dipendono ovviamnte da T N, ma anhe dalla potenza e dalla modalità del sensore. Risulta allora piùonveniente misurarleintroduendola sezione radarequivalente dirumoreσ 0 N, definita ome quella sezione radar differenziale he produrrebbe un SN R = 1. Confrontando 12) e 13) segue: Utilizzando σ 0 N σn 0 = KB RF T N P T segue he 4πλ h 3 W 2 L sinθ os 4 θ 1 τ t SNR = σ0 σn 0 14) Finora abbiamo onsiderato una antenna senza perdite. La presenza di perdite nella antenna ha sia l effetto di modifiare il valore di T N, sia quello di ridurre le potenze. Se il trasmettitore produeunapotenzap T, lapotenzairradiataèpariaη L P T, essendoη L l effiienza della antenna. Anhe la potenza rievuta 12) viene ridotta di η L e vale quindi 5

6 η l P T W 2 L os 4 θ P R = η L 4πλ h 3 sinθ τ tσ 0 Si trova quindi, per una antenna on perdite, σ 0 N = KB RF T N η 2 L P T 4πλ h 3 W 2 L sinθ os 4 θ 1 τ t 15) 4 TRASMISSIONE DI IMPULSI MODULATI CHIRP Confrontando 8) ed 15) si vede he una riduzione di τ produe un miglioramento della risoluzione in range, ma a spese di un inremento di σn 0, ovvero di una riduzione del SNR. D altra parte, l immagine in range é ostruita misurando σ 0 al variare del tempo o, piú preisamente, al variare del ritardo differenziale rispetto al entro dello swath. Poihé, per misurare un intervallo di tempo t oorre un segnale di banda B 1/ t, é ragionevole pensare he la 8) vada in realtá espressa in termini della banda B RF del segnale a radiofrequenza, ome X r = 16) 2B RF sinθ La 16) suggerise he il parametro limitante la risoluzione sia B RF, e he quindi segnali di durata diversa, ma on la stessa banda, fornisano la medesima risoluzione, ovviamente on elaborazioni differenti. Vieversa, la σn 0 é inversamente proporzionale alla durata del segnale trasmesso τ t, vedi 11,15), e quindi impulsi di durata diversa fornisono SN R diversi per la stessa sena. Conviene allora utilizzare un segnale in ui durata e banda possano essere selti indipendentemente. Uno di questi segnali, ed abbondantemente il più utilizzato nei radar di immagine, é il hirp: at) = os ω 0 t+ ω ) t 2 17) 2τ le ui proprietá sono state desritte nel apitolo sulla polarizzazione. Il hirp resente) 17) ha durata τ e banda B RF = ω/2π, tra loro indipendenti. In tal modo é possibile, ome ora mostreremo, avere una risoluzione pari alla 16), ma usando un impulso molto piú lungo di 1/B RF, e quindi on un notevole inremento del SN R. Il prinipio alla base dell uso di un hirp é mostrato in Fig. 1. Il segnale diffuso dai due punti A e B onsiderati preedentemente per alolare la risoluzione arrivano parzialmente sovrapposti, in quanto la differenza di tempo di viaggio, τ, é piú piola della durata τ del hirp. Fig.1: Frequenza istantanea dei segnali rievuti 6

7 Tuttavia, ome si vede dalla Fig. 1, istante per istante le frequenze istantanee dei due hirp sono diverse. Come vedremo, se la durata del hirp é suffiientemente grande, é possibile disriminare queste due frequenze istantanee e quindi ostruire l immagine in range. Consideriamo allora i due punti A e B già onsiderati nel Par. 2, e supponiamo he il radar trasmetta un hirp 17). Il segnale rievuto s R t) vale s R t) = γ A at t A )+γ B at t B ) 18) essendo γ A, γ B le due sezioni radar differenziali in ampo. L elaborazione standard prevede di far passare il segnale s R t) attraverso un filtro adattato, ovvero un filtro on risposta armonia Â+ω)] e jωt R, on âω) trasformata del hirp at), pari alla 34) del paragrafo sul filtro adattato e t R un opportuno istante di tempo, neessario per la realizzabilitá del filtro adattato stesso. L usita del filtro sarà data dalla 38) del paragrafo sul filtro adattato, opportunamente adattata all ingresso 18): Yt) = e jω 0t R {γ A exp j ω ] ] ω 2 t t A t R ) sin 2 t t A t R ) +γ B exp j ω ] 2 t t B t R ) sin ω 2 t t B t R ) ] } 19) Segliendo t = t 0, in modo he il primo sin sia massimo, e il seondo sia trasurabile, si trova Yt 0 ) 2 = γ A 2 = σa 0. Il seondo sin è trasurabile se il suo argomento è maggiore o uguale a π. Ne segue he la distanza minima tra A e B, ovvero la risoluzione in range X r, si ha quando l argomento della seonda sin è pari a π. Seguono allora le equazioni ] ] ω ω 2 t t A t R ) = 0 2 t t B t R ) = π Dalla prima segue t 0 t R = t A e sostituendo nella seonda ω 2 t B t A ) = π = t B t A = 2π ω = 1 B RF Sostituendo i tempi da 8) segue la espressione 16) della risoluzione in range. L inremento dalla durata del segnale ridue la σ 0 N. Indiando on C = B RF τ il fattore di ompressione del hirp, he é normalmente molto grande, la espressione 15) per la σ 0 N diventa σ 0 N = KB RF T N P T 4πλ h 3 W 2 L sinθ os 4 θ 1 τ = KB RF T N P T 4πB RF λ h 3 W 2 L sinθ os 4 θ oerentemente ol miglioramento atteso dall uso di un filtro adattato. In alternativa ad usare il filtro adattato al hirp 17), si puó usare un filtro adattato a un hirp a R t), on la stessa modulazione, ma piú orto, e quindi on una banda piú piola. Se indihiamo on N r la riduzione di banda e durata, si trova 1 C 20) a R t) = os ω 0 t+ ω ) /N r t 2τ 2 = os ω / 0 t+ ω ) t 2 N r 2τ t 0, τ / N r ] 21) 7

8 La trasformata â R ω) é pertanto ostante in modulo, e oinide on âω) nella banda ω 0,ω 0 + ω/n r ], ed è nulla al di fuori di questo intervallo. Di onseguenza, se al filtro adattato a a R t) faiamo preedere un passa banda ideale on banda ω 0,ω 0 + ω/n r ], l usita resta invariata. In questo aso, il segnale 18) passa prima nel passa banda, e poi nel filtro adattato a a R t). Ma l effetto su at) del filtro passa banda è quello di trasformare il hirp in a R t), he poi entrerà nel filtro adattato. Ne segue he la 19) resta anora valida, a patto di sostituire ω on ω/n r. Si ottiene osì Yt) = e jω 0t R {γ A exp j ω ] ] ω t t A t R ) sin t t A t R ) 2N r 2N r e la risoluzione diventa X r,nr = +γ B exp j ω ] t t B t R ) sin 2N r 2B RF/ N r sinθ = N r ω 2N r t t B t R ) ] } 22) 2B RF sinθ = N rx r 23) La risoluzione é quindi piú grande di N r volte, a paritá di banda in trasmissione. Tuttavia, potendo usare una banda piú piola in riezione, la σ 0 N si ridue di N r. Le onsiderazioni preedenti, e la prima espressione della 23), indiano he la banda effettivamente utilizzata per la risoluzione é B r = B RF N r e il rumore dipenderà pertanto da questa banda. Quindi la espressione 20) per σn 0 forma assume la σ 0 N = KB rt N P T 4πλ h 3 W 2 L sinθ os 4 θ 1 τ = KB rt N P T 4πB RF λ h 3 W 2 L sinθ os 4 θ La selta di far passare il segnale rievuto attraverso un filtro on risposta adattata ad A R t) ha anhe un altro effetto. Per valutarlo, onsideriamo la riezione del segnale da una sena on σ 0 R) distribuito. La 18) del segnale rievuto va allora generalizzata in 1 s R t) = 1 C 24) γρ)a t 2 ] D +ρsinθ) dρ 25) All usita del filtro adattato ad a R t) si ha, analogamente a 22), Yt) = e jω 0t R { γρ) exp j ω 2N r { ω sin 2N r t 2 D +ρsinθ) t R ]} t 2 ]} D +ρsinθ) t R dρ 26) 1 Ovviamente queste onsiderazioni valgono anhe se il filtro è adattato a at). Basterà solo porre N r = 1. 8

9 he può essere sritta ome una onvoluzione generalizzata Yt) = e jω 0t R = e jω 0t R { γρ) exp j ω 2N r { ω sin 2N r { γρ) exp j ωsinθ N r 2sinθ { ωsinθ sin N r t 2D t R ) 2ρsinθ ]} ) 2ρsinθ ]} t 2D t R t 2D t R 2sinθ ) ρ ]} t 2D t R dρ ) ]} ρ dρ Nell ipotesi di banda infinita, la sin diventa una δ di Dira. A meno di una ostante si avrebbe allora Yt) = e jω 0t R { γρ) exp j ωsinθ N r δ = e jω 0t R γ 2sinθ t 2D ) 2sinθ t R t 2D ) ] 2sinθ t R ρ dr t 2D )] t R ]} ρ da ui possiamo estrarre la γr) e quindi la mappa dela sezione radar differenziale on risluzione infinita). Per farlo, eseguiamo il ambio di variabili R = t 2D ) 2sinθ t R = t = 2Rsinθ + 2D +t R 28) L effetto su t del ambio di variabili é nient altro he il passaggio dal ritardo differenziale rispetto al entro dello swath on tempo di viaggio 2D/) alla oordinata di range sullo swath medesimo. Risolvendo per γr) segue allora γr) = e jω 0t R 2Rsinθ Y + 2D ) +t R da ui σ 0 R) = 2Rsinθ Y + 2D ) 2 +t R Per banda infinita, quindi, il modulo quadro dell usita sarebbe, per un opportuno asse orizzontale, una mappa della sezione radar differenziale della sena. Tornando al aso di banda finita, onviene usare anora il ambio di variabili 28). Se poniamo 2Rsinθ YR) = Y + 2D ) +t R in modo he YR) 2 sia una stima della sezione radar differenziale, segue allora, dalla seonda di 27) 27) 9

10 YR) = e jω 0t R { γρ) exp j ωsinθ } { } ωsinθ R ρ] sin R ρ] dρ 29) N r N r he mostra he la stima YR) risulta una media mobile della γr), fatta su una larghezza pari alla larghezza a 3dB della sin, ovvero alla distanza tra il massimo e il primo zero. Questa distanza l r vale ωsinθ l r = π = l r = N r N r 2B RF sinθ = N rx r 30) pari alla risoluzione. Ovviamente per N r = 1 si riottiene una risoluzione X r, il he mostra he il segnale rievuto ontiene, prima della elaborazione, informazioni per riostruire una immagine on risoluzione X r. L effetto di usare a R t) ome risposta del filtro é quindi quello di eseguire una media, su N r ampioni, della immagine ottenibile on il segnale trasmesso, di banda B RF. Poihé la banda in trasmissione, e quindi il segnale rievuto, ontiene informazioni on una risoluzione X r, allora la media di ui parliamo é fatta su N r ampioni indipendenti. Esprimiamo la 29) anhe nel dominio spettrale. Se trasformiamo rispetto a R, e indihiamo on u la variabile oniugata a R, si trova { Ŷu) = e jω 0tR ˆγu) F exp j ωsinθ ] ]} ωsinθ R sin R N r N r u) = e jω 0tR ˆγu) π ωsinθ N r u ωsinθ N r 2 ωsinθ N r dove ) è una funzione finestra 2. La Ŷu) ha quindi uno spettro diverso da zero solo in un intervallo 0, 2 ωsinθ/n r ). Questo deriva dal fatto he Ŷu) é la trasformata della usita di un filtro adattato a un hirp, e il modulo quadro della trasformata del hirp é diverso da zero solo in 0,B RF ). Riordando la 23), la relazione preedente diventa u π Ŷu) = e jω 0tR N ˆγu) N r X r r X r 2π N r X r 31) ) = e jω N 0tR r X r u π ˆγu) N r X r 2π he mostra espliitamente la risoluzione nella espressione della Ŷu) trasformata di YR)). 2 Una funzione finestra x x0 ) X é una finestra, di larghezza X e entrata in x 0. In altri termini, questa funzione vale 1 per x x 0 <X/2 e zero altrove. 10

11 Valutiamo infine σn 0 nelle due ondizioni di funzionamento, assumendo i dati di sistema di tabella I. Dati orbitali Antenna Dati sistema h = 800 km λ = 23.5 m B = 19 MHz θ = 20.5 o L = m τ = 33 µse W = 2.14m P T = 150 W T N = 650 K Tabella I: Dati di una tipia missione SAR La zona illuminata a terra vale l a = 18.7km e la risoluzione, in entrambi i asi, risulta X r = 22.5m. mentre S = km Trasmissione ad impulsi σn 0 = 0.6 db Trasmissione di un hirp σn 0 = -27 db Da tali dati si vede la notevole riduzione del rumore dovuta all utilizzo di una modulazione hirp per ottenere la neessaria risoluzione in range. 5 DISTORSIONE GEOMETRICA Poihé la variabile intrinsea in range è il tempo di ritardo, e la relazione lineare range tempo 7) è solo approssimativamente valida, le immagini del radar presentano delle distorsioni geometrihe he vanno valutate e, se neessario, orrette. Una prima ausa di distorsione geometria delle immagini è il termine quadratio trasurato nella 6): R 2 A D os2 θ massimo alla estemità dello swath R A =S/2, ui orrisponde un tempo di viaggio rispetto al entro) di S/) sin θ. Il massimo errore sul tempo di viaggio va quindi alolato alla estremitá dello swath e vale 11

12 e A = S2 4D os2 θ = h2 λ 2 1 hλ 2 W 2 os 4 θ 4D os2 θ = 4W 2 osθ Questo errore produe una deformazione della immagine, on onseguente spostamento della posizione dei vari ontributi alla sezione radar differenziale, Affinhé gli effetti siano trasurabili e A deve risultare molto piú piolo del ritardo differenziale orripondente a X r : e A 2X rsinθ = 1 B RF = hλ 2 B RF 4W 2 osθ 1 Se questo valore fosse troppo grande presenza di angoli pioli, antenna troppo sottile) oorre tenere onto della relazione esatta 6) fra T A ed R A nel ostruire l immagine in range. Una seonda ausa di variazione della relazione lineare 7) si ha se la superfiie terrestre è inlinata. Indihiamo on ψ l angolo positivo o negativo) della superfiie rispetto all orizzonte, e assumiamo quota nulla al entro dello swath. Fig. 1: Geometria di aquisizione per un terreno non orizzontale. La distanza rr A ) tra il sensore e il punto di asissa R A nello swath va alolata in maniera analoga alla 6), ma partendo dalla espressione he deriva dal teorema di Carnot rra ) ] 2 = h 2 +R 0 +R A ) 2 = h 2 +R 2 0 2DR A osα+r 2 A essendo 1 π ] α = π 2 θ ψ = π 2 +θ ψ Segue e la 7) va sostituita on rra ) ] 2 = h 2 +R 0 +R A ) 2 = h 2 +R DR A sinθ ψ)+r 2 A rr A ) = D +R A sinθ ψ) 32) 1 Per ψ = 0 si ha osα = sinθ, riottenendo la 6). 12

13 È quindi evidente he la proporzionalità tra t A e R A dipende dall angolo ψ he può variare nell immagine. Per ψ > 0 si ha quindi una ompressione dell immagine, ovvero la distanza fra i pixel è inferiore alla distanza in sala tra le elle orrispondenti. Nel aso limite ψ = θ si ha he tutti i punti della superfiie sono alla stessa distanza dal sensore e quindi l immagine della superfiie si ridue ad un solo punto. Se poi l inlinazione è tale he ψ > θ si ha addirittura una inversione della immagine, ioè i punti più viini alla proiezione della linea di volo rihiedono tempi maggiori, e quindi vengono rappresentati ome se fossero più lontani. Ovviamente per ψ < 0 si ha invee una dilatazione della sala del range e se θ < ψ la superfiie non viene proprio riostruita fold-over). 6 TEMPORIZZAZIONI DEL SEGNALE La variabile indipendente naturale di una sena in range è il tempo di viaggio. Questo implia dei vinoli relativi alle temporizzazioni del segnale, neessari a evitare ambiguità, ovvero ehi di punti diversi he arrivino allo stesso istante. Inoltre, vi sono aluni vinoli di temporizzazioni relativi a speifihe realizzative. Infine, per evitare ulteriori ambiguità, è rihiesto he il radar guardi lateralmente, altrimenti gli ehi di due punti A e B, posti alla stessa distanza dalla linea di volo, ma da parti opposte, arriverebbero insieme. Per quanto riguarda la adenza degli impulsi, detta P RF pulse repetition frequeny), o il suo inverso T PR, vi sono vari vinoli he vanno rispettati. Per prima osa è neessario he gli impulsi siano abbastanza spaziati in modo he quando un impulso inizia ad essere rievuto, quello suessivo sia già stato ompletamente rievuto. Consideriamounasequenzadiimpulsisuessivi, didurataτ t. Itempi ditrasmissioneeriezione sono dati dalla Tabella I he segue Tx Rx punto Rx punto iniziale swath finale swath 0, τ t ) 2r1, 2r ) 1 +τ 2r2 t, 2r ) 2 +τ t T PR, T PR +τ t ) T PR + 2r 1, T PR + 2r ) 1 +τ t T PR + 2r 2, T PR + 2r ) 2 +τ t nt PR, nt PR +τ t ) nt PR + 2r 1, nt PR + 2r ) 1 +τ t nt PR + 2r 2, nt PR + 2r ) 2 +τ t Tabella I Tempi di trasmissione e riezione di un treno di impulsi del radar essendo r 1 ed r 2 le distanze fra il sensore e i due estremi dello swath r 1 = h osθ S 2 sinθ r 2 = h osθ + S sinθ 33) 2 13

14 Fig. 1: Posizione di due impulsi suessivi. Dovrà quindi siuramente risultare ovvero: 2r 2 +τ t T PR + 2r 1 T PR > τ t + 2 h osθ + S ) 2 sinθ 2 h osθ S ) 2 sinθ = 2S sinθ+τ t 34) Comevedremopiúavanti, hainteresseilmassimovaloredit PR enonilminimo. Inoltre, riordiamo he τ t risulta in genere minore spesso molto minore) di S/. Pertanto possiamo esprimere la 34) ome on T PR > X 2S sinθ = PRF < 1 X 2S sinθ 35) X = 1+ τ t 2Ssinθ tipiamente ompreso tra 1 e 1.5, ma il ui valore esatto é inessenziale. Vedremo piú avanti he alla 35) oorre aggiungere anhe un limite inferiore alla P RF. Quindi si otterrá un intervallo ammissibile di valori per PRF. Ora onsideriamo i vinoli realizzativi. Il primo di questi deriva dal fatto he la stessa antenna è usata sia in trasmissione he in riezione, per ui oorre garantire he intervalli onseutivi di trasmissione e riezione siano separati, in modo da spegnere il rievitore per proteggerlo da segnali troppo forti) durante l intervallo di trasmissione. Gli intervalli di trasmissione, vedi Tabella I, sono nt PR,nT PR + τ t ) on n intero. È quindi rihiesto he, per ogni n, questi intervalli non riadano nell intervallo di riezione. La sequenza di impulsi trasmessi e rievuti è mostrata in figura 2. Per evitare la sovrapposizione, ondizione neessaria è he sia verifiata la relazione: T PR > tempo totale di riezione = τ t + 2 r 2 r 1 ) ovvero lo stesso vinolo 34) relativo all ambiguità. 14

15 Fig. 2: Sequenza trasmissione riezione. Dovrà poi risultare, per ogni n, he gli intervalli A e B di Fig. 2 siano maggiori di 0 e, spesso, anhe superiori a una durata minima). Ciò implia 2r 2 +τ t < nt PR nt PR +τ t < T PR + 2r 1 usando i dati di tabella I, ovvero 2r 2 +τ t < nt PR < T PR + 2r 1 τ t 36) A questo va aggiunto un altro vinolo da onsiderare, legato al segnale di disturbo) proveniente dai lobi laterali del sensore. Questo effetto può essere ridotto usando distribuzioni di orrente variabili, he riduono l ampiezza di questi lobi. Tuttavia questa riduzione è effiae solo se l eo dalle direzioni dei lobi laterali è paragonabile a quello del lobo entrale. Questo è vero salvo he nella direzione di nadir, ovvero perpendiolarmente verso il basso. Infatti l eo da questa direzione può essere prodotto per riflessione e non per diffusione) e quindi presentare un livello molto più alto. Pertanto è neessario evitare di rievere la riflessione dal nadir nadir eho), tipiamente faendola oinidere on un intervallo di trasmissione. Fig. 2: Segnali di nadir eho. 15

16 essere Considerando la Fig. 3, e riordando he il tempo di viaggio del nadir è 2h/, dovrà ovvero 2r 2 +τ t < nt PR + 2h nt PR + 2h +τ t < T PR + 2r 1 2r 2 2h +τ t < nt PR < T PR + 2r 1 2h τ t 37) La selta della P RF all interno dell intervallo ammissibile va fatta imponendo i due limiti 34,37). Per imporre questi limiti, omunque, é neessario proedere a tentativi. Consideriamo ome esempio un radar on i parametri seguenti Dati orbitali Antenna Dati sistema h = 720km λ = 6m τ t = 46.55µse θ = 23 o L = 8.1m PRF > 1.73kHz v = 7km/se W = 0.85m Risulta S = 50km 1.73kHz < PRF < 5.68kHz r 1 = 772.4km r 2 = km e il fattore X della 35) vale 1.35). Pertanto il vinolo 5) diventa µse < nt PR < µse+T PR Per ottenere la minima PRF si prova dapprima il valore massimo di T PR ovvero µse. Con questo valore, i due limiti della relazione preedente diventano µse = 9.21T PR e µse +T PR = 8.82T PR +T PR = 9.82T PR, he non possono essere rispettati entrambi on n intero. Poihé T PR puó solo diminuire, si puó segliere un valore per il quale la seonda disuguaglianza sia verifiata on n = 9 minimo valore intero superiore a quello deimale, n = 8.82, trovato), ovvero T PR = µse = µse PRF = 1.764kHz he rispetta anhe la prima disuguaglianza. Ovviamente in questo modo la 5) é rispettata esattamente al limite. Se é rihiesto un margine, allora va presa una PRF leggermente piú grande. Allo stesso modo, essendo 2h/= 4800 µse, il seondo vinolo 37) diventa )µse = 526.2µse < nt PR < )µse+T PR = 303.2µse+T PR 16

17 Con T PR = µse, i due limiti sono 526.2µse = 0.93T PR e 303.2µse +T PR = 0.53T PR +T PR = 1.53T PR, e quindi PRF = 1.764kHz rispetta anhe il vinolo sulla assenza di nadir eho. 7 RADAR AD APERTURA SINTETICA SAR Abbiamo visto he un array ha una risoluzione angolare e quindi spaziale) molto più grande di una singola antenna. Ciò avviene in quanto i segnali delle singole antenne sono ombinati dalla BFN in modo oerente. Analogamente, poihé un sensore radar in volo on veloitá v aquisise più immagini della stessa sena, da posizioni equispaziate su una retta la linea di volo) è faile intuire he se i segnali di tali immagini sono ombinati in modo oerente, la risoluzione angolare e spaziale possono migliorare d s Fig.1: Posizioni del sensore sulla linea di volo notevolmente rispetto a quelli di un sensore singolo ovviamente relativamente solo all azimuth). Consideriamo quindi un sensore di lunghezza L he viaggia a veloitá v lungo la linea di volo, e sia d S =v/prf la spaziatura tra le posizioni in ui il sensore aquisise la sena. Il segnale rievuto dipende evidentemente dalla sena he il radar sta osservando. Cominiamo a onsiderare il aso in ui sia presente un solo oggetto, posto in P, di oordinate, usando un sistema di riferimento ilindrio, di ui la linea di volo ostituise l asse polare, date da r,z). L origine dell asse z é posto nella aquisizione p = 0. Nel seguito supporremo he z sia per un SAR su satellite) al piú di qualhe km, mentre la distanza r é dell ordine di grandezza di 1000km. Il segnale he inide sull oggetto quando il sensore è nella posizione di aquisizione p e quindi ha asissa z = pd s ) vale: E i r,z) = jζi Ah s ϕ p ) e jβr e jβ r r p r] 38) 2λr dove: h s ϕ p ) è l altezza effiae del sensore il quale ha una larghezza di fasio totale pari a θ a =λ/l ) nella direzione dell oggetto, e I A è la orrente del trasmettitore. I parametri geometrii della 38) valgono r rp = r2 +z pd s ) 2 e tanϕ p = z pd s r Si noti he, a differenza di una array fisio, mana nella 38) la somma su p, in quanto, a ogni istante, solo un sensore sta irradiando. Se l oggetto in P ha una sezione radar in ampo pari a γ, il segnale rievuto dal sensore nella posizione p sarà: s p = h s ϕ p )γe i r,z) e jβ r r p 4π r 39) v 17

18 Questo segnale viene registrato e memorizzato, assieme a tutti gli altri. Da questi si alola poi il segnale d usita del sensore sintetizzato: N S N S e jβr e jβ r rp r] jζi S S = a p s p = a p h s ϕ p )γ A h s ϕ p ) e jβr e jβ r r p r] p= N S p= N S 4π r 2λr = γ jζi A N S 4π 2λr 2 e 2jβr a p h 2 sϕ p ) e 2jβ r r p r] p= N S 40) Il valore di N S, ovvero la lunghezza L S = 2N S +1)d S, ha un limite superiore fissato dalla larghezza di fasio del sensore. Fig.2: Lunghezza della zona in ui sensore vede il punto P. Se il punto P si trova in z = 0, ome in Fig. 2, il primo segnale utile s NS sarà quello per ui, vedi Fig. 2, il punto P è appena entrato nella zona illuminata dall antenna. La distanza tra P e il punto orrispondente alla pozizione N S é quindi pari a metá della zona illuminata a terra l a data dalla 3). Quindi l antenna sintetia può essere al massimo lunga: L S l a = hλ Losθ Sela41)érispettata, possiamoapprossimareh 2 sϕ p )onunaostante, parialsuovalore massimo h 2 M. Se P é spostato rispetto a z = 0, ma al piú di qualhe entinaio di metri, allora possiamo anora utilizzare lo stesso intervallo di aquisizioni, e ponendo anora h 2 sϕ p ) = h 2 M per tutti i valori di p, aettando una piola variazione di h 2 sϕ p ) ad una estremitá della zona di aquisizione. Variazione trasurabile in quanto, ome vedremo, il valore di N S é normalmente intorno al migliaio. In tal aso la 40) diventa, a meno di una ostante moltipliativa 1 41) 1 Qui e nel seguito non i preouperemo delle ostanti moltipliative, in quanto, se é rihiesto solo il ontrasto tra i diversi pixel, tale ostante non interessa. Se invee é rihiesto il valore esatto della sezione radar differenziale, un radar di immagine ha sempre la neessitá di una opportuna alibrazione, on un oggetto on σ 0 nota, he fissa proprio questa ostante. 18

19 N S S S = γ a p e 2jβ r r p r] = γ F S r,z) 42) p= N S in ui abbiamo indiato la sommatoria in parentesi quadra on F S r,z), detto fattore di array sintetizzato. Essendo z pd s dell ordine di grandezza di l a, ovvero di qualhe km, mentre r é dell ordine di grandeza di 1000km, l esponenziale he ompare in F S può essere approssimato sviluppando la radie in serie di Taylor: ) 2 r rp r = r2 +z pd s ) 2 r = r z pds 1+ 1 r ) ] 43) 2 1 z pds r = 1 2 r 2r z2 2pd s z +p 2 d 2 s) Sostituendo in 42) si trova F S r,z) = N S p= N S a p exp j β r z 2 2pd s z +p 2 d 2 s) ] = exp j β N S r z2] a p exp j β r p= N S 2pds z +p 2 d 2 ) ] 44) s in ui il primo fattore é ostante e verrá quindi onglobato nella ostante moltipliativa sottintesa in tutta questa sezione. Un radar di immagine serve a vedere e misurare oggetti posti in z = 0, senza he oggetti posti lateralmente influenzino il risultato della misura. Questo si ottiene faendo in modo he Fr,z) sia massimo in z = 0, e questo é possibile se tutti i termini della 44) sono in fase per z = 0 2 ovvero a p exp j β r 2pds z +p 2 d 2 ) ] s = a p exp j β ] z=0 r p2 d 2 s = 1 a p = exp j β ] r p2 d 2 s Con la selta 45), il fattore di array sintetizzato diventa Fr,z) = N S p= N S exp j β ] r 2pd sz ed é massimo in z = 0, dove vale Fr,0) = 2N S +1. Per valutare la risoluzione erhiamo anora il minimo valore di z orrispondente al primo nullo. Analogamente a un array reale, il primo 2 Come nel aso di un array reale, il modulo delle ostanti a p viene selto per abbassare il livello dei lobi laterali di F s. Comunque, valuteremo le prestazioni per a p =1, analogamente al aso di array fisio. 45) 46) 19

20 nullo si ha per quell asissa z π per il quale le fasi dei termini della 46) sono uniformemente distribuite sul erhio -π,π). Questo ondue a 2βd s z π = r 2π 2N s +1 = z π π 2π λ L S r = λ 2L S r 47) he oinide anhe on la risoluzione spaziale ottenibile X A. Riordando he r =h/osθ segue: hλ X A = 48) 2L S osθ he prende il nome di risoluzione in azimuth del SAR. X A è molto più piolo he per un sensore reale in quanto L S L. Inoltre vi è un ulteriore fattore 1/2 dovuto al fatto he la fase he onsideriamo è doppia inludendo andata e ritorno) rispetto a quella di un array reale. Va peró onsiderato he il livello dei lobi laterali di un F S uniforme é solo di 13dB, in quanto il segnale rievuto é proporzionale a F S, e non al suo quadrato. Risulta quindi neessario utilizzare distribuzioni variabili, piú basse verso le estremitá. Il minimo valore di X A lo abbiamo quando L S è pari alla zona illuminata a terra 41): X A = hλ 2l a osθ = ed é normalmente dell ordine di aluni metri. hλ hλ 2osθ Losθ = L 2 49) 8 FOCALIZZAZIONE DI UNA IMMAGINE SAR L utilizzo dei pesi di elaborazione 45) onsente di ottenere l immagine di una sena, on una risoluzione data dalla 48). Tuttavia, questi pesi dipendono dal range 1 r dell oggetto o, piú generalmente, del pixel) da foalizzare, e questo inrementa moltissimo la omplessitá omputazionale del SAR. Possiamo allora domandari se e quando é possibile approssimare i pesi 45) on una espressione indipendente da r. Il aso piú semplie in ui questo é possibile é per r, in ui la 45) diventa sempliemente a p = 1 50) Si parla allora di SAR foalizzato all infinito. Tuttavia, la distanza r, per quanto grande, é finita, ed oorre quindi valutare l auratezza della approssimazionea p 1. Per farequesto, assumiamohe unesponenziale dipendente 1 La distanza r dalla linea di volo non va onfusa on la posizione R di un oggetto, o di un pixel, nello swath, benhé entrambe vengano indiate ol nome di range. In molti asi, proprio per evitare ambiguitá, la distanza r he stiamo utilizzando in queste sezioni viene hiamata slant range. 20

21 da p) ome quello di 45) puó essere approssimato on 1 se la sua fase é sempre non superiore a π/8. Poihé il massimo si ha per p = N S, segue he la 50) é valida se β r N2 S d 2 s = β r Ls 2 ) 2 π 8 = r > r F = 4L2 s λ ondizione orrispondente a quella di Fraunhofer per le antenne 2 Un semplie alolo mostra peró he r F é tipiamente dell ordine di grandezza di 10 5 km o piú, se L S é prossimo a l a, e quindi la 50) é di diffiile appliazione. A meno he non si aetti di ridurre L S in modo he la distanza r F non sia pari, o inferiore, ad h/osθ. 4L 2 s λ < h λh = L S < osθ 4osθ Tuttavia, questa selta porta ad una notevole riduzione della risoluzione, he diventa X A = λh 2osθ 1 λh 4osθ = λh osθ Per mantenere la piena risoluzione 49), oorre allora rinuniare alla 50). Poihé siamo interessati ad avere pesi indipendenti da r, e non neessariamente unitari, possiamo hiederi in he ondizioni possiamo approssimare i pesi 45) on un valore indipendente da r. La selta migliore é quella di porre a p = exp j β ] p 2 d 2 s r 0 essendo r 0 lo slant range al entro dello swath. L errore he si ommette negli altri punti dello swath é un errore di fase, pari a β r p2 d 2 s β p 2 d 2 s r 0 = βp2 d 2 r 0 r s rr 0 β r 2 p2 d 2 s r 0 r L ultimo fattore é massimo alla estremitá dello swath, e questo massimo si ottiene dalla 5): r 0 r = S 2 sinθ Prendendo anhe p = N S si trova il massimo errore di fase. Imponendo he questo errore sia minore di π/8 segue β r 2 N2 Sd 2 s S 2 sinθ = β r 2 Ls 2 ) 2 S 2 sinθ < π 8 La 53) puó essere interpretata ome una equazione in r, he fornise quindi la minima distanza sensore sena per poter usare un unio set di pesi 52) per tutta la sena: 51) 52) 53) r 2 > 8 π 2π λ L 2 S S 8 sinθ = 2 λ L2 S sinθ rλ W osθ = r > 2 L2 S W tanθ 2 La differenza rispetto alla ondizione valida per array fisii sta nel fatto he il ritardo di fase nella 40) é doppio, in quanto inlude sia il perorso di andata, sia quello di ritorno. 21

22 Ma la 53) puó anhe essere interpretata ome la massima estensione dello swath he onsente di usare i pesi 52) per tutta la sena da riostruire: S < r2 λ 2sinθ 1 L 2 S = h 2 λ 2sinθ os 2 θ 1 L 2 S 54) La 54) esprime la massima lunghezza dello swath he onsente di usare sempre i pesi 52). Poihé tali pesi sono quelli he servono per foalizzare il pixel al entro dello swath, la lunghezza 54) prende il nome di profonditá di messa a fuoo in inglese depth of fous), e si india on F: F = h 2 λ 2L 2 S sinθos2 θ = 2X2 A λsinθ 55) avendo introdotto la risoluzione tramite la 48). Si vede dalla 55) he la profondità di messa a fuoo aumenta al ridursi della risoluzione. Il suo valore minimo è quello di un SAR a piena risoluzione, ovvero F min = 2 λsinθ ) 2 L = L2 2 2λ sinθ In un sistema SAR reale, lo swath é normalmente determinato dai requisiti di sistema, ovvero dalla larghezza della strisia di ui il sensore deve realizzare l immagine. Il valore di F dipende invee dalla risoluzone. Ne segue he é importante il rapporto tra la lunghezza dello swath e F, he fornise il numero di set diversi di pesi da usare. Questo numero N P è pari quindi all intero immediatamente superiore a 56) S F = hλ W os 2 θ 2L 2 S sinθos2 θ λh 2 = 2L2 S sinθ hw 57) 9 ANALISI DOPPLER DEL SAR Il sensore SAR é in moto, e pertanto il segnale he una sena a terra rieve é soggetta all effetto Doppler, ovvero a una variazione di frequenza rispetto alla frequenza di trasmissione. Questo fatto ondue ad una metodologia di analisi del SAR, basata sull effetto Doppler, alternativa e, in un erto senso, omplementare) a quella vista preedentemente. 22

23 sorgente v rievitore Fig. 1: Geometria dell effetto doppler. Determiniamo per prima osa le leggi dell effetto Doppler. Consideriamo dapprima una sorgente in moto, on veloitá v s he supporremo piola rispetto alla veloitá della lue) verso un oggetto Fig. 1). La sorgente manda un segnale sinusoidale a frequenza f T. I massimi suessivi del segnale sono emessi on un intervallo pari al periodo T T del segnale. Tuttavia, poihé la sorgente é in moto, questi massimi non sono emessi nello stesso punto. Se segliamo il riferimento in modo he l origine dell asse z sia nel punto oupato dalla sorgente a t = 0, orrispondente a un massimo della sinusoide, il primo massimo suessivo é emesso a t = T T e quindi nel punto z = v s T T. Il ampo orrispondente a questi due massimi viaggia ovviamente on veloitá, per ui, all istante T T, un massimo si trova in z = T T e il suessivo in z = v s T T, a una distanza di v s )T T dal preedente. Questa spaziatura tra i due massimi rimane ovviamente ostante durante la propagazione, ed é la distanza tra una qualunque oppia di massimi suessivi. Il rievitore, fermo, rieverá il primo massimo in T a, quando il seondo deve anota fare un tratto v s )T T he perorrerá a veloitá ), e quindi rieverá il seondo massimo in T a + v s T T Pertanto il rievitore vede un segnale on i massimi spaziati di T R = v s ovvero rieve un segnale di frequenza f R = 1 = T R 1 v s T T = 1 v s ] 1 1 T T ] T T 1+ v s ] f T 58) maggiore della frequenza trasmessa. La relazione 58) vale anhe se il sensore si allontana, onsiderando una veloitá negativa. La relazione 58), per veloitá v s piole rispetto a, vale anhe se il trasmettitore é fermo, e il rievitore in moto. Pertanto, nel aso di un sistema radar, la frequenza rievuta vale f Rs = 1+ v ] 2 s ft 1+2 v ] s f T 59) on una variazione di frequenza f = 2 v s f T 60) piola valori tipii 100 khz) ma perfettamente identifiabile. Finora abbiamo onsiderato un sensore in volo verso l oggetto. Tuttavia, una analisi simile puó essere fatta anhe per il aso di veloitá obliqua. Infatti, quello he onta é la riduzione del tempo di viaggio dovuto al fatto he il sensore emette gli impulsi suessivi piú viino o piú lontano) dal rievitore. Pertanto la 60) vale anhe nel aso di veloitá obliqua Fig. 2) a patto di onsiderare la veloitá radiale, ovvero la omponente del vettore veloitá nella direzione dell oggetto. 23

24 Fig.2: Componente radiale della veloitá. Per alolare questa proiezione, onsideriamo l angolo Θ resente da o a π se la traiettoria fosse infinatemente lunga) tra la linea di volo e la direzione dell oggetto. La omponente radiale della veloitá vale vosθ, per ui la variazione di frequenza al sensore) vale, da 60): f = 2 vosθ f T 61) Per un sensore SAR, questa variazione di frequenza varia nel tempo, in quanto varia l angolo Θ. Consideriamo allora la traiettoria al variare del tempo, e sia t = 0 l istante in ui il sensore é allineato on l oggetto in esame, posto in P Fig. 3). Al variare del tempo, la posizione del sensore varia. Possiamo individuarla mediante l angolo ϕt) = π/2 Θ on segno), piolo e dato da tanϕt) = vt h/os θ Essendo osθ = sinϕ ϕ, segue = ϕt) vtosθ h 62) ft) = 2 vosθ f T 2 v f T ϕt) = 2 v2 osθ f T t 63) h La differenza di frequenza varia linearmente 1 on t, e si annulla quando il sensore passa davanti al punto in esame. Il segnale rievuto in azimuth é la versione ampionata, on passo di ampionamento pari a 1/P RF, di un segnale a frequenza istantanea linearmente resente, ovvero dell equivalente di un hirp. La durata T D =L S/ v del segnale dipende vedi 61) ) dalla lunghezza L S della zona di aquisizione. La sua durata massima è pari a T DM = l a v = hλ 64) vlosθ La banda oupata dal segnale é pari alla variazione totale di frequenza, he dipende da T D, ed è pari, da 63), a essendo 2 = f T λ. B D = 2 v2 osθ h f T T D = 2 v2 osθ hλ T D = 2v L L S l a 65) 1 La variazione é lineare in quanto abbiamo approssimato sinϕ tanϕ ϕ. Tuttavia, per le onsiderazioni he seguono, non é neessario onsiderare la variazione effettiva di f ol tempo. 2 Ovviamente questo risultato vale solo se il prodotto banda durata 24

25 Consideriamo ora due punti P e Q, a distanza D A. Le frequenze istantanee dei segnali rievuti a ausa della variazione Doppler di frequenza) sono spostate nel tempo di T A =D A/ v, ome in Fig. 3. La differenza di tempo T A può essere misurata dal nostro segnale se la banda del segnale è almeno pari a 1/T A : ovvero 2v L B D 1 T A L S l a v D A f D /v A Fig. 3: Frequenza istantanea dei segnali doppler. Il valore minimo di di D A, orrispondente alla risoluzione in azimuth, è quello per ui i due termini sono uguali X A = l a L L S 2 he oinide on 65) se si sostituise l a on la 3). Ovviamente, a piena risoluzione L S = l a ), segue X A =L/2. L analisi doppler mostra anhe perhè neanhe la risoluzione in azimuth dipenda dalla quota del sensore. Possiamo disriminare due punti se la variazione doppler, tra inizio e fine della zona di aquisizione, è abbastanza grande. Questa variazione doppler dipende solo dalla veloità e dall angolo di apertura della antenna, ma non dalla quota. Riordando poi he il segnale he stiamo usando è ampionato, possiamo usare i risultati del teorema del ampionamento per determinare la minima P RF ammissibile. Il segnale doppler va onsiderato un segnale DSB, on banda B D/ 2 riportata in banda base). Poihè oorrono almeno due ampioni per periodo alla frequenza massima), ovvero una frequenza di ampionamento almeno doppia della frequenza massima, segue t 66) Riordando il limite 35) PRF 2 B D 2 = B D = 2v L L S l a 67) PRF < 1 X essendo X > 1, segue da 67): 2S sinθ = 1 X W os 2 θ 2λh sinθ < W os2 θ 2λh sinθ 2v L L S < PRF < W os2 θ l a 2λh sinθ 68) B D T D = 2v L L S T D = 2 L S L S l a l a L è grande, ome avviene normalmente essendo L S L. 25

26 Dalla 68) è possibile estrarre una ondizione di ompatibilità sulla antenna del sensore, data da 2v L L S < W os2 θ l a 2λh sinθ Inoltre, dalla 67) segue = LW > 2v L S 2λh sinθ l a os 2 θ = 4 L S v l a sinθ os 2 θ λh 69) d S = v PRF L 2v l a L S = X A 10 SPECKLE I segnali rievuti da un SAR sono ovviamente affetti da rumoretermio), he ne degrada la qualità. Tuttavia la prinipale ausa di degradazione è legata alla elaborazione oerente 40) dei segnali rievuti da un SAR benhè, ome vedremo più avanti, anhe il rumore termio può gioare un ruolo). Per un radar di immagine, il parametro da misurare è la sezione radar differenziale σ 0. Partendo dalla 42) e tenendo onto dei pesi 45) il segnale rievuto di ui poi andrá alolato il modulo quadro) vale S S = γ N S p= N S exp j β r 2pd sz) 70) dove abbiamo anora trasurato le variazioni del guadagno del sensore nel lobo prinipale. Ora, ogni termine della70) deriva dalla diffusione del pixel onsiderato, ma on direzioni di inidenza e diffusione leggermente diverse. Pertanto la fase di γ è in realtà dipendente da p, e la 70) deve essere sritta nella forma N S S S = γ p exp p= N S j β ) r 2pd sz = γ 0 N S p= N S e jφp exp j β r 2pd sz) essendo φ p la differenza di fase tra γ p e γ 0. φ p è una variabile aleatoria, e può essere onsiderata uniformemente distribuita in π, π). In usita dal sistema interessa misurare i parametri di diffusione del pixel onsiderato, e quindi la relazione preedente va valutata per z = 0. S S0 = S S z=0 = γ 0 N s p= N s e jφp = γ 0 S X 71) essendo S X = p expjφ p) una variabile aleatoria omplessa. Parte reale e immaginaria di S X sono, per il teorema del limite entrale, due V.A. gaussiane, on media nulla e uguale varianza, e indipendenti. 26

27 Le mappe SAR riportano la ampiezza γ o la potenza σ 0 diffusa dalla sena, e quindi i dati di interesse sono S S0 = γ S X e P S = γ 2 S X 2 = σ 0 S X 2 72) I valori dati dalla 72) sono quindi delle variabili aleatorie. Data la statistia di S X, ne segue he S X e S S0 sono V.A. di Rayleigh, mentre S X 2 e P S sono V.A. esponenziali. La 72) esprime quindi il fatto he un SAR onsente di stimare piuttosto he di misurare) i dati di diffusione della superfiie. Affinhé la stima sia senza bias, il SAR va alibrato in modo he E S S0 ] = γ e EP S ] = σ 0 e questo si ottiene mediante una operazione di alibrazione, ovvero misurando la sezione radar di un oggetto noto 1. Conseguenza della alibrazione é he S X e S X 2 hanno entrambe media statistia unitaria. Pertanto il valore della sezione radar differenziale, misurato tramite P S, è solo una possibile realizzazione di una variabile aleatoria, e non il valore della grandezza fisia. Questo fenomeno prende il nome di spekle, ed è strettamente ollegato alla elaborazione oerente 70) dei segnali aquisiti. Immediata onseguenza della 72) è he una zona on σ 0 ostante appare in realtà on fluttuazioni di intensità sintillamento). La qualità di una immagine andrà allora valutata onsiderando il rapporto tra l ampiezza delle fluttuazioni e il valore medio, ovvero il valore di γ o σ 0 he stiamo misurando. Questo rapporto, he indihiamo on ISN R, vale rispettivamente ISNR = { E SS0 ] } 2 var S S0 ] e ISNR = EP S] varps ] per il aso di misura di ampiezza o di potenza rievuta. Utilizzando le proprietá della distribuzione di Rayleigh si trova he ISNR = 3.66 orrispondente a 5.6dB). Invee, per una distribuzione esponenziale, media e sarto oinidono, e quindi, in questo aso, ISNR = 1 ovvero 0 db). Questi valori, soprattutto il seondo, sono del tutto inaettabili. D altra parte, mentre una immagine di ui interessa solo il ontrasto, ad esempio per lassifiare le varie zone, puó essere ottenuta dalle ampiezze ovvero rappresentando σ 0 ), he seguono una statistia di Rayleigh, una misura di σ 0 segue la distribuzione esponenziale, e on ISNR = 1 non é possibile aluna estrazione dei valori di σ 0. Oorre ridurre ISNR, e l unio modo per farlo é di eseguire delle medie su N r pixel in range e su N a in azimuth on N r anhe non intero, vedi 23) ). Poihé la varianza viene ridotta di N V = N r N a, una media su N V pixel valore he prende il nome di numero equivalente di viste) produe rispettivamente ISNR = N r N a 3.66 e ISNR = N r N a 73) sempre nei due asi di misura di ampiezza o di potenza rievuta. Pertanto la misura di ampiezza migliora in maniera piú onsistente a paritá di numero di viste. 1 Generalmente si usa, ome bersaglio noto, un orner refletor, ovvero un triedro metallio he ha la proprietá di avre una sezione radar ostante rispetto all angolo di inidenza ovviamente in un erto intervallo). 27

28 L /4 S v Fig. 1: Partizione della zona di aquisizione del pixel in A N A = 4). Per quanto riguarda la media in azimuth, questa potrebbe essere eseguita on una elaborazione a piena risoluzione, seguita poi dalla media. Ma in genere si segue un approio diverso, he ridue notevolmente la omplessitá omputazionale. Si può infatti, in fase di elaborazione, dividere la lunghezza L S in N a parti uguali Fig. 1). I segnali di iasuna parte vengono sempre pesati on i pesi 52) neessari a foalizzare l immagine del punto A. In questo modo si ottengono N a pixel indipendenti sovrapposti, iasuno di lunghezza N a L)/2. La loro media viene quindi assegnata al pixel risultante. Ilvantaggio éhela profonditàdimessaafuooèdatadalla 55), maon X A =N a L)/2. Quindi si trova F =F min/ Na 2 he normalmente risulta maggiore dello swath, e quindi onsente l elaborazione usando solo un set di pesi per tutto lo swath per iasuna immagine da mediare). A 11 EFFETTO DEL RUMORE TERMICO Il valore di σ 0 misurato da un SAR é affetto, oltre he dallo spekle, anhe dal rumore termio. Il segnale rievuto da un oggetto posto a ϕ = 0 è quindi S R = γs X +N essendo N una V.A. omplessa di rumore, indipendente dal segnale, e distribuita normalmente on varianza σ 0 N. Poihè la varianza di S X diventa unitaria dopo la alibrazione, allora vars R ] = σ 0 +σ 0 N e la distribuzione della ampiezza S R e della potenza P R omplessivamente rievuta sono date da pdf S R ) = S R σ 0 +σ 0 N exp S R 2 ] 2σ 0 +σn 0 ) ] 1 pdfp R ) = 2σ 0 +σn 0 ) exp P R 2σ 0 +σn 0 ) Media statistia e varianza di S R e P R sono allora 74) 28