1 Metodi classici. 1.1 Generalità

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1 1 Metodi classici 1.1 Generalità Le paratie sono opere di sostegno flessibili che hanno la funzione di contrastare le spinte orizzontali dovute al terreno e ad un eventuale sovraccarico attraverso la resistenza a taglio offerta dal terreno nel quale sono immerse e quella di un elemento (se presente) quale un puntone o tirante. Il proporzionamento di una paratia deve essere fatto in modo da verificare che il complesso terreno paratia sia stabile (verifica allo stato limite ultimo), che gli spostamenti della paratia e del piano campagna siano compatibili con la funzionalità di eventuali opere presenti (verifica allo stato limite di servizio) e che le sollecitazioni nell'elemento strutturale costituente l'opera di sostegno siano ammissibili (determinazione delle tensioni di contatto, interazione terreno struttura). I metodi di calcolo generalmente adottati fanno riferimento ad ipotesi di comportamento del terreno e della paratia molto spinte, tra questi ricordiamo: 1) Parete rigida e terreno rigido plastico Il legame pressioni spostamento è del tipo rigido plastico, il valore delle pressioni di contatto è indipendente dall'entità degli spostamenti e dalle modalità con cui la parete si muove. Vengono definite lungo la parete i valori limiti che le pressioni di interazione possono assumere; detti valori sono determinati avvalendosi dei coefficienti di spinta attivi e passivi della teoria della spinta delle terre. Dove il terreno subisce, a causa degli spostamenti della parete, decrementi di pressione la pressione di interazione passa dal valore a riposo s o a quello limite attivo s a. Quando la parete tende a comprimere il terreno la pressione di interazione passa da s o a s p. 2) Parete elastica e terreno elastico lineare e non Il terreno viene schematizzato come un letto verticale di molle con il quale interagisce la parete ipotizzata questa volta deformabile. Il modulo di reazione K del terreno, schematizzato alla Winkler, può essere costante o variabile con la profondità, oppure può avere un legame costitutivo non lineare. Nel presente capitolo verranno illustrati alcuni metodi cosiddetti "classici", che fanno riferimento, per lo stato limite ultimo ad un comportamento rigido plastico per il terreno (tipo 1) e, per lo stato limite di servizio, ad un comportamento alla Winkler (tipo 2).

2 1.2 Stato limite ultimo Paratie libere in assenza di falda Le paratie libere sono in genere utilizzate quando l'altezza di ritenuta non è superiore ai 5m. Facendo riferimento a considerazioni di equilibrio limite, dette opere spesso si progettano considerando una distribuzione di tensioni del tipo riportato in figura 1.1 (metodo del doppio triangolo). La stabilità dell'opera viene garantita ricavando la profondità di infissione tale da soddisfare un opportuno coefficiente di sicurezza. Facendo riferimento alla figura 1.1, si ha : equilibrio alla traslazione (1.1) fig.1.1

3 equilibrio alla rotazione intorno a F (1.2) I termini che compaiono nelle (1.1) e (1.2) hanno il seguente significato: Kph=componente orizzontale del coefficiente di spinta passiva; Kah=componente orizzontale del coefficiente di spinta attiva; g =peso dell'unità di volume; Nelle equazioni sopra scritte, non si è indicato espressamente il coefficiente di sicurezza, potendo questo essere applicato al coefficiente di spinta passiva, per cui il Kph che compare nelle (1.1) e (1.2) è da intendersi come Kph/Fp, oppure all'angolo d'attrito, per cui Kph e Kah che compaiono nelle due equazioni sono quelli calcolati con riferimento ad un angolo di attrito tale che. Ricavata l'infissione, per determinare il momento massimo si calcola la profondità alla quale il taglio è nullo, (1.3) e quindi il momento è dato da: (1.4)

4 Altro metodo per il calcolo delle paratie libere e` quello proposto da Blum (1943) (fig.1.2) in cui si assume che il diagramma di pressioni nette abbia un andamento crescente fino al punto di rotazione assunto ad una profondità, e che la risultante delle pressioni di compenso (uguali a quelle aggiunte dalla parte passiva) e quelle al di sotto del centro di rotazione sia applicata proprio nel punto di rotazione. fig.1.2 La stabilita` dell'opera anche in questo caso viene garantita calcolando la profondità di infissione (i=1,2i0) tale da soddisfare un opportuno coefficiente di sicurezza, si ottiene quindi: (1.5) I termini che compaiono nella (1.5) hanno lo stesso significato dei corrispondenti nelle equazioni (1.1) e (1.2). La forza R viene determinata imponendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale:

5 (1.6) Per il calcolo del momento si ricorre ancora alle equazioni (1.3) e (1.4). E' evidente che le (1.1), (1.2) e (1.5) possono essere utilizzate anche per il calcolo del coefficiente di sicurezza quando è nota la geometria. In tali condizioni nelle (1.2) e (1.5) l'incognita non è più l'infissione (i) ma Kph (che assume il significato del coefficiente di spinta passiva mobilitato Kphm) per cui il coefficiente di sicurezza è, per esempio Fp, dato da Fp=Kph/Kphm. Il metodo di Blum anche se più semplice introduce tuttavia un'ulteriore approssimazione, anche se a vantaggio di sicurezza, dal momento che porta ad infissioni maggiori rispetto al doppio triangolo a parità di coefficiente di sicurezza, ovvero, ad un coefficiente di sicurezza inferiore a parità di infissione. Le differenze tra i due metodi sono schematicamente rappresentate in fig.1.3. fig 1.3 Per una descrizione più dettagliata delle varie definizioni del coefficiente di sicurezza si rimanda alla tesi di Sarno (1993).

6 1.2.2 Paratie vincolate in assenza di falda Le paratie vincolate, come già detto, contrastano la spinta del terreno non solo attraverso la resistenza offerta dal terreno nel quale sono immerse, ma anche mediante un elemento quale puntone o tirante. I procedimenti di calcolo utilizzati, fanno riferimento a due metodi: "free end method" (metodo della parete libera al piede) e "fixed end method" (metodo della parete vincolata al piede). Con il primo metodo, la parete viene ipotizzata rigida e il cinematismo di rottura è rappresentato da una rotazione intorno al punto dove è posizionato il puntone (tirante) il quale viene assunto come un vincolo fisso, non si ammettono cioè spostamenti orizzontali. Le azioni agenti sulla parete sono schematizzate in figura 1.4. fig.1.4 Anche in questo caso la stabilità dell'opera viene garantita ricavando l'infissione tale da soddisfare un opportuno coefficiente di sicurezza, per cui, dall'equilibrio intorno a T: (1.7)

7 si ricava i. Mentre dall'equilibrio alla tralazione: (1.8) si ricava la reazione T. Valgono anche in questo caso le considerazioni fatte per il coefficiente di sicurezza. Per ricavare il momento massimo si deve determinare la profondità alla quale il taglio è nullo. Aggiungiamo ancora che la (1.7), anche in questo caso, può essere utilizzata per il calcolo del coefficiente di sicurezza quando è nota la geometria. In effetti una distribuzione lineare delle pressioni attive e passive non si verifica nella realtà a causa del manifestarsi dell'effetto arco tra il livello dell'ancoraggio e il piano di scavo e dell'inflessione della parete nel tratto immerso. Senza entrare nel merito di questi fenomeni, diciamo solo che essi portano ad una riduzione del momento massimo rispetto a quello calcolato (Rowe, 1952, Terzaghi, 1953). Con il secondo metodo, invece, la paratia viene considerata flessibile e vincolata nel tratto terminale; la deformata e il diagramma di spinta assumono l'andamento rappresentato in figura 1.5. La soluzione di questo problema è un pò complicata perchè alle incognite derivanti dall'iperstaticità del sistema si aggiungono la profondità di infissione, la profondità alla quale lo spostamento è nullo e la profondità alla quale il momento è nullo. fig.1.5

8 Per risolvere questo problema si può far ricorso al metodo proposto da Blum (1930) detto metodo della trave equivalente (fig.1.6). L'Autore ha trovato che la profondità alla quale il momento è nullo è funzione dell'angolo di attrito e ha fornito i seguenti valori : La profondità alla quale le pressioni nette assumono valore nullo è ricavabile dalla semplice equazione: (1.7) fig1.6

9 Considerata la trave TC con i carichi indicati in figura 1.6, si ricavano le reazioni Rc e T. L'equilibrio, quindi, alla rotazione intorno a P consente di calcolare l'infissione incognita (i). Tenendo presente l'imprecisione nella determinazione approssimata di x ed il fatto che Rp non è una forza concentrata, si aumenta l'infissione i del 20%. Nota la geometria e noti i carichi è semplice quindi determinare l'andamento del momento. In sintesi possiamo dire che il free end method è più cautelativo per quanto riguarda i momenti e lo sforzo nel tirante mentre il fixed è più cautelativo per quanto riguarda la profondità di infissione Paratie in presenza di falda Come e` noto la presenza di pressioni interstiziali positive nell'intorno di un'opera di sostegno ne aggrava le condizioni di spinta e ne riduce la stabilita`. In effetti il moto dell'acqua genera un incremento delle pressioni verticali effettive a monte e una diminuzione delle pressioni verticali a valle per effetto delle forze di trascinamento, con conseguente aggravio dello stato di sollecitazione per quanto riguarda lo stato tensionale effettivo orizzontale, e precisamente, un aumento delle spinte attive squilibranti a monte e una diminuzione delle spinte passive equilibranti a valle. Per il calcolo delle paratie in presenza di falda sono disponibili in letteratura varie procedure che differiscono nell'ipotesi assunta circa l'andamento delle pressioni neutre. Tra questi ricordiamo il metodo proposto da Terzaghi (1953) il quale assume un andamento delle pressioni neutre del tipo riportato in figura 1.7 e quindi una distribuzione di pressioni effettive a monte pari a quella che si avrebbe se si considerasse l'assenza di falda (con g =g ') ovvero la falda in condizioni idrostatiche, viceversa l'effetto a valle sulla diminuzione di s 'v, e` fatta dipendere da una diminuzione del peso alleggerito, che viene posto pari a g ''=g ' D g ' con D g '=sohw/3i. Burland e Potts (1981) assumono che le pressioni neutre nell'intorno della paratia variano linearmente, con l'andamento schematizzato in figura 1.8, per cui le tensioni orizzontali effettive sono calcolate come segue:

10 fig.1.8

11 dove K assume il valore di Kah per la parte a monte, e Kph per quella a valle (fig.1.9). fig1.9 Di Maio e Evangelista (1989) invece determinano la distribuzione di pressioni neutre nell'intorno della paratia mediante integrazione alle differenze finite dell'equazione del moto (D 2h=0) e poi utilizzano il metodo del Trial Wedge per il calcolo delle spinte sulla parete. Per il confronto, tra i vari metodi disponibili, si rimanda al lavoro di Di Maio e Evangelista (1989) e alla tesi di Sarno (1993). Aggiungiamo inoltre che per la presenza della falda, l'azione delle forze di trascinamento può portare all'annullamento delle tensioni effettive verticali e quindi al manifestarsi del cosiddetto sifonamento. E' chiaro dunque che a valle dei calcoli sopra accennati si debba eseguire anche la verifica nei riguardi di detto fenomeno, e cioè valutare il coefficiente di sicurezza con Jcrit=g '/so, e J il gradiente di uscita.

12 1.3 Stato limite di servizio Nel paragrafo precedente si è fissata l'attenzione sulla determinazione delle condizioni di collasso del complesso paratia terreno, assumendo il comportamento del terreno rigidoplastico cosicchè gli spostamenti sono nulli fintantochè non si raggiungono le condizioni critiche, per poi essere indeterminati in condizioni limite. Volendo fissare adesso l'attenzione sul problema degli spostamenti, bisogna osservare che essi sono sia orizzontali (spostamenti della paratia e del terreno) che verticali (spostamenti del piano campagna strettamente legati allo spostamento orizzontale del terreno). La determinazione degli spostamenti orizzontali può essere effettuata schematizzando il terreno con un letto di molle il cui legame costitutivo può essere di tipo elastico lineare ("Winkler classico") o elasto plastico incrudente (Evangelista e Fenelli., 1985, Becci e Nova, 1986). Se da un lato tale schematizzazione può risolvere il problema degli spostamenti orizzontali, dall'altro restano comunque delle incertezze sulla determinazione di quelli verticali. Per risolvere tale problema si può procedere con un metodo approssimato dovuto a Bransby e Milligan (1975), che permette di ottenere una stima dell'ordine di grandezza dei cedimenti verticali. Secondo tali Autori lo spostamento verticale è legato a quello orizzontale dalla relazione: dove y è l'angolo di dilatanza. In effetti, assumendo un comportamento elasto plastico per le molle, il modello proposto da Evangelista e Fenelli (1985) e Becci e Nova (1986) e` in grado di riprodurre molti degli aspetti del comportamento delle paratie e cioè pressioni, deformazioni, sollecitazioni, altezza critica. Risulta però opportuno osservare che se da un lato l'utilizzo di un modello a molle può ridurre al massimo i tempi di calcolo, dall'altro la non facile determinazione dei parametri in gioco fa si che il suo utilizzo, almeno per il momento, può non essere di facile gestione (Evangelista e Fenelli, 1985). Fintantoché, quindi, non si riesce a individuare una metodologia atta alla corretta determinazione dei parametri, il ricorso a tecniche di calcolo numeriche, tipo elementi finiti, resta senza dubbio la strada più idonea allo studio e alla comprensione del comportamento delle paratie di sostegno.