Esercitazioni di Fisica Generale T2

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1 Esercitazioni di Fisica Generale T2 Lorenzo inaldi 18/9/ Elettrostatica nel vuoto 1.1 Due piccole palline di sughero identiche di massa m hanno ugual carica q. Esse sono appese a due fili di lunghezza l, a loro volta vincolati in un medesimo punto. In condizioni di equilibrio, determinare l angolo θ che i due fili formano con la verticale (risolvere nell approssimazione θ 0 (: θ = 3 q πɛ 0mgl 2. Tre cariche positive puntiformi identiche q 1 = q 2 =q 3 =4 mc sono disposte su un piano cartesiano ortogonale rispettivamente nei punti di coordinate (0;3m, (0;-1m e (-1m;1m. Una quarta carica positiva q 4 =2 mc è posta nel punto di coordinate (1m;1m. Determinare: a la forza a cui è sottoposta la carica q 4 ; (: F = q1q4 4πɛ î = 3.09î J b l energia necessaria a spostare la carica q 4 dalla posizione iniziale (1m;1m all origine del sistema di riferimento. (: L = q1q πɛ 0 30 = 4.65J 1.3 Tre cariche puntiformi sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato a=10cm. Sapendo che q 1 = C, q 2 = C e q 3 = C, determinare l energia elettrostatica del sistema. (: U = 10q2 4πɛ 0a = J 1.4 Quattro particelle con la stessa carica Q=-1nC si trovano ai vertici di un quadrato di lato l=12cm. Si calcoli: 1.5 a il modulo dell intensità del campo elettrico nel centro O del quadrato e nel punto medio M di ciascun lato (: E O = 0, E M = 4 5 q 25 πɛ 0l = V/m; 2 b la differenza di potenziale tra i punti O e M;(: V = q πɛ 0l (1 + 5/5 2=1.12 V c il lavoro che si deve compiere per avvicinare le cariche e disporle ai vertici di un quadrato di lato l/2. (: L = q2 1 4πɛ 0 Σ i,j>i r ij = J Si consideri una carica elettrica distribuita uniformemente con densità di carica lineare λ=10 5 C/m su di un filo di lunghezza L=10 cm. Si calcoli il campo elettrico in un punto A posto a distanza h=3 cm da un estremità del filo, perpendicolarmente ad esso. (E x = λ L, E h 2 +L 2 y = λ h 1 h 2 +L πɛ 0h 4πɛ 0h ( Sia data una sbarretta di lunghezza L e dimensioni trasversali trascurabili, disposta lungo il semiasse delle x positive in un sistema di riferimento avente l origine coincidente con uno degli estremi. Sulla barretta è depositata una carica Q con densità lineare λ = kx. Determinare in funzione di Q e di L, l espressione del potenziale generato dalla barretta nel punto P = (2L, 0, 0. (V = 1 Q 2πɛ 0L (ln 4 1

2 1.7 Una sottile barra di plastica ha una densità lineare di carica positiva λ uniforme. La barra è curvata a forma di semicerchio di raggio. Determinare: 1.8 a il potenziale elettrostatico nel centro O del semicerchio (V = λ 4ɛ 0 ; b il campo elettrostatico nel punto O ( E = λ 2πɛ 0ĵ Calcolare il campo elettrostatico nei punti dell asse x di un anello di raggio uniformemente carico con carica Q. Descrivere il moto di una carica q (opposta a Q e massa m che si trova inizialmente ferma in un punto dell asse vicino al centro dell anello. (: E = Q x 4πɛ 0 î, oscillatore armonico con pulsazione (x ω = 1.9 qq 4πɛ 0m 3 Calcolare il campo elettrico lungo l asse x di un disco di raggio caricato uniformemente con densità di carica σ. (: E = σx 2ɛ 0 [ 1 x (x ] 1.10 Sia dato un guscio sferico di raggio e di spessore trascurabile su cui è distribuita uniformemente una carica totale Q. Calcolare il campo elettrostatico ed il potenziale in tutto lo spazio, in funzione della distanza r dal centro del sistema Sia data una sfera di raggio in cui è distribuita uniformemente una carica totale Q. Calcolare il campo elettrostatico ed il potenziale in tutto lo spazio, in funzione della distanza r dal centro della sfera Sia data una sfera di raggio nel cui volume presente una carica distribuita con densità di volume ρ(r = kr, con k costante. Calcolare: a la carica totale Q della sfera (: Q = πk 4 ; b il campo elettrostatico in tutto lo spazio, in funzione della distanza r dal centro della sfera (: E(r < = kr2 4ε 0 ˆr, E(r > = k4 4ε 0r ˆr; 2 c il potenziale elettrostatico in un generico punto interno della sfera a distanza r dal centro (: V (r = k 12ε 0 (4 3 r Sia data un cilindro di raggio e altezza indefinita in cui è distribuita uniformemente una carica con densità volumetrica di carica ρ. Calcolare: a il campo elettrostatico in tutto lo spazio, in funzione della distanza r dall asse del cilindro; b il potenziale elettrostatico in tutto lo spazio, imponendo che il potenziale sia nullo sulla superficie del cilindro Si consideri un volume sferico di raggio in cui è presente una carica Q distribuita con densità ρ(r dipendente dalla distanza radiale r dal centro della sfera. Sapendo che il campo elettrico all interno della sfera ha modulo costante ed è diretto radialmente, determinare l espressione della densità di carica ρ(r. (: ρ = Q 2π 2 r

3 1.15 Calcolare l energia elettrostatica di una sfera di raggio in cui è distribuita uniformemente una carica con densità ρ costante. (: 4πρ2 5 15ε In una certa regione di spazio sono presenti i due campi vettoriali E1 = K 1 xî + K 2 y 2 ĵ + K 1 zˆk e E 2 = K 2 xyî + K 2 x 2 ĵ. Determinare a il gradiente della grandezza E 1 E 2 (: (2K 1 K 2 + 2K 2 1xyî + (K1K2x 2 + 1K 2 2X 2 yĵ; b quale dei due campi pu essere considerato elettrostatico (: E 1 ; 1.17 Si consideri il campo F (x, y, z = 2xî z 2 ĵ ayzˆk. Determinare: a per quali valori di a il campo risulta conservativo (: a=2; b il potenziale ϕ generato dal campo F (: ϕ = x 2 + yz 2 ; c la densità di carica ρ che genera il campo F (: ρ = 2ɛ 0 (y Si consideri il campo F (x, y, z = 2xî zĵ ayˆk. Determinare: a per quali valori di a il campo risulta conservativo (: a=1; b il potenziale ϕ generato dal campo F (: ϕ = yz x 2 ; c la densità di carica ρ che genera il campo F (: ρ = 2ɛ Sia dato il campo E(x, y, z = α(4xî + zĵ + yˆk. a Verificare che E è conservativo; (: verificare che E = 0 b calcolare il flusso di E attraverso un cubo di spigolo L con un vertice nell origine del sistema di riferimento e tre spigoli posizionati sui tre semiassi positivi; (: Φ = 4αL 3 c calcolare la carica totale contenuta nel cubo, utilizzando il teorema di Gauss sia in forma integrale che differenziale (: Q = 4αε 0 L 3 2 Elettrostatica dei conduttori 2.1 Una sfera conduttrice di raggio r 1 =5 cm porta una carica Q 1 =+10 6 C. Un guscio sferico di materiale conduttore, concentrico alla prima sfera, di raggio interno r 2 =10cm e raggio esterno r 3 =12cm è caricato con una carica Q 2 =10 Q 1. Nell ipotesi che il sistema sia nel vuoto, calcolare: Q a la densità di carica superficiale σ 2 sulla superficie interna del guscio sferico (: σ 1 2 4πr2 2 C/m; b la differenza di potenziale tra i due conduttori. (: V = Q r 2 r 1 4πε 0 r 1r 2 = 15kV =

4 2.2 Si consideri un sistema formato da un volume sferico di raggio a in cui è contenuta una carica +Q distribuita uniformemente nel volume, e da un sottile guscio di materiale conduttore di raggio b (b > a, concentrico al volume sferico, sul quale è depositata una carica Q. Determinare: a l espressione del campo elettrostatico in tutto lo spazio in funzione della distanza r dal centro del sistema, disegnando un grafico qualitativo dell andamento del campo; (: E(r < a, E(a < r < b vedi es 1.12, E(r > b = 0 b l espressione del potenziale sulla superficie del volume sferico (in r = a, considerando nullo il potenziale all infinito. (:V (a = Q 4πε 0a ( 1 3 a 1 b 2.3 Due sfere conduttrici di raggi 1 =2 m e 2 =3 m, caricate inizialmente ciascuna con carica Q=1 mc, vengono collegate da un filo conduttore sottile. Nel caso in cui le sfere siano poste a distanza tale da poter trascurare effetti di induzione elettrostatica, come si ridistribuisce la carica?(: Q 1 = 2Q =0.8 mc, Q 2 = 2Q =1.2 mc 2.4 Calcolare la capacità di un condensatore sferico. 2.5 Calcolare la capacità di un condensatore cilindrico. 2.6 Dato il circuito rappresentato in figura 1 ( V A = 300V, C 1 = 3µF, C 2 = 2µF, C 3 = 4µF, determinare la carica e la differenza di potenziale di ciascun condensatore. (: Q 1 = 0.6mC, Q 2 = 0.2mC, Q 3 = 0.4mC, V 1 = 200V, V 2 = V 3 = 100V A C 1 C 2 C 3 A C 3 C 1 C 2 Figure 1: 2.7 Dato il circuito rappresentato in figura 2 ( V A = 12V, C 1 = C 2 = 2µF, C 3 = 5µF, determinare: S a la carica e la differenza di potenziale ai capi di ogni condensatore del circuito (: Q 1 = 12µC, Q 2 = Q 3 = 60µC, V 1 = V 2 = 6V, V 3 = 12V ; C 1 C 2 b l energia accumulata su ciascun condensatore (: U 1 = U 2 = 36µJ, U 3 = 360µJ.

5 1 C 2 C 3 A C 3 Figure 2: C 1 C 2 S 2.8 C Siano dati due condensatori rispettivamente di capacità 2 C 1 = 3 mf e C 2 =4 mf disposti come in figura 3. Inizialmente le armature del condensatore C A 1 sono poste ad una d.d.p. V 1 = 100 V, il condensatore 2 è scarico e l interruttore S aperto. Una volta collegati tramite la chiusura di S, i due condensatori arrivano dopo un transitorio ad una fase di Aequilibrio. Calcolare: C 3 a l energia immagazzinata nel sistema prima della chiusura dell interruttore S (: U = U 1 = 15J ; C b l energia immagazzinata nel sistema dopo la chiusura 3 dell interruttore S (: U = c2 1 V 2 1 2(c = 6.43J; 1+c 2 C 2 c dimostrare che la situazione di equilibrio corrisponde ad un minimo di energia elettrostatica del sistema (S: scrivere U in funzione del potenziale sul condensatore V 1, e poi du(v1 dv 1 = 0. C 1 C 2 S C 1 C 2 Figure 3: 2.9 Un condensatore a facce piane parallele poste ad una distanza D è inizialmente caricato in modo da possedere una energia elettrostatica pari a U in = 10 4 J. Supponendo di mantenere isolato il condensatore si allontanino la due armature di una quantità δx = D/2. Calcolare il lavoro fatto dalle forze del campo elettrico.(: L = 1 2 U in 2.10 Una lastra a forma di parallelepipedo di spessore b e area S viene inserita parallelamente all interno di un condensatore piano ideale avente le armature di area S distanti tra di loro a > b. Determinare la variazione di energia elettrostatica nei due casi in cui il processo avviene rispettivamente a carica e a differenza di potenziale costante. (: le energie finali dipenderanno dalla capacità finale c F = ε0s a b, a seconda se sia costante la carica ovvero la d.d.p Un condensatore piano ideale formato da due armature quadrate di lato L disposte parallelamente a distanza d. Il condensatore è isolato e su di esso è depositata una carica Q. Inizialmente tra le armature c è il

6 vuoto. Successivamente si introduce nel condensatore, parallelamente alle facce del condensatore, una lastra metallica quadrata di spessore d/2 e lato L/2. Determinare il lavoro fatto per introdurre interamente la lastra all interno del condensatore. (: L = DQ2 10ε 0L Tre condensatori di capacità C 1 =0.5 µf, C 2 =0.8 µf, C 3 =0.1 µf, sono collegati in serie (vedi figura 4. I punti A e sono collegati inizialmente ad un generatore di tensione V 0 =100 V. a calcolare la carica elettrica su ciascun condensatore. Successivamente i condensatori vengono staccati dal generatore e il punto viene collegato ad un punto tra i condensatori C 1 e C 2. b determinare la variazione di energia nelleffettuare il nuovo collegamento. Figure 4: 3 Correnti elettriche 3.1 Un conduttore cilindrico cavo di lunghezza d=2cm ha raggi a=2mm e b=5mm; esso è costituito da una sostanza con resistività ρ = 2Ωm. Una f.e.m. E=20 V può essere applicata al conduttore in modo che la corrente fluisca parallelamente all asse del cilindro oppure radialmente dalla superficie interna a quella esterna. Calcolare nei due casi l intensità di corrente i che percorre il conduttore, la potenza dissipata e la densità di corrente sulle superfici terminali. 3.2 Un resistore di forma cilindrica di sezione A è composto da una parte di lunghezza l 1 fatta di materiale di resistività ρ 1 = ρ e da un altra parte di lunghezza l 2 fatta di materiale di resistività ρ 2 = 3ρ. Il resistore è attraversato da una corrente I uniformemente sulla sezione A. Determinare: 3.3 a l intensità dei campi elettrici E 1 e E 2 nelle due parti del resistore; b la differenza di potenziale ai capi del resistore; c il valore della carica elettrica presente sulla superficie di separazione tra i due materiali che formano il resistore. Nel circuito in figura 5, calcolare l intensità di corrente i, il potenziale nei quattro vertici e il bilancio energetico ( = 50Ω, E 1 =50 V, r 1 = 20Ω, E 2 =100 V, r 2 = 30Ω

7 Figure 5: 3.4 Nel circuito rappresentato in figura 6, determinare l intensità di corrente che circola in cascuno dei resistori. (V 1 =12V, V 2 =8V, 1 = 2 = 4Ω, 3 = 2Ω 1 V 1 V Figure 6: 3.5 Dimostrare che nel circuito rappresentato in figura 7 si ottiene il massimo trasferimento di potenza su una resistenza esterna, quando questa è uguale alla resistenza interna r del generatore E. Figure 7: 3.6 Nel circuito in figura 8, la pila ha una f.e.m. f= 60 V e resistenza interna trascurabile. Le resistenze hanno i valori indicati in figura, dove = 10Ω; i condensatori hanno capacitaà C 1 = 1µF e C 3 = 3µF. Determinare l energia U 2 immagazzinata in C 2.

8 I2 Nel circuito in figura, la pila ha una f.e.m f = 60 V e resistenza interna trascurabile. Le resistenze hanno i valori indicati in figura, dove = 10 Ω; i condensatori hanno capacità C 1 = 1 µf e C 3 = 3 µf. Determinare l energia W 2 immagazzinata in C Figure 8: I3 Sia dato il circuito in figura, dove 1 = 10 Ω, 2 = 20 Ω, 3 = 5 Ω. La d.d.p fra i punti A e vale V A = 13 V. Calcolare la forza elettromotrice f della pila, trascurando la sua resistenza interna. Si consideri il circuito mostrato in figura 9 composto da due condensatori di capacitaà C 1 = 1µF e C 2 = 2µF, da quattro resistenze 1 = 4 = 10Ω, 2 = 3 = 20Ω e da un generatore di resistenza interna r = 10Ω che fornisce una forza elettromotrice E=100V. Determinare in regime stazionario: a la corrente elettrica che circola nelle 4 resistenze; b il valore del potenziale ai due capi di C 1 ; c lenergia totale immagazzinata nel sistema. d la potenza dissipata nel sistema. 1 2 C 1 C 2 3 ε r 4 Figure 9: 3.8 Si consideri il circuito rappresentato in figura 10 (f=10v, 1 = 5Ω, 2 = 15Ω, C 1 = 2mF, C 2 = 3mF, C 3 = 6mF. Determinare: a la potenza dissipata nella resistenza 1 in condizioni stazionarie; b se dal circuito viene staccato il generatore, dopo quanto tempo l energia immagazzinata nel circuito si dimezza?

9 Determinare: a l energia dissipata nella resistenza 1 in condizioni stazionarie; b se dal circuito viene staccato il generatore, dopo quanto tempo l energia imma si dimezza? 2 1 C 1 f C 2 C 3 ESECIZIO 3 Figure 10: 3.9 Un elettrone inizialmente fermo è accelerato da una differenza di potenziale ΔV=100 Si consideri il circuito in figura l elettrone 11 (C entra in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico un 1 = 2nF, C 2 =4nF, C 3 = C 4 =1nF, = 2MΩ, E=10V. Inizialmente gli interruttori T 1 e T 2 sono aperti. intensità =3 T. Calcolare: a l accelerazione dell elettrone nel caso in cui la direzione del moto dell elettron a Ad un certo punto l interruttore T b 1 viene chiuso. Calcolare il valore finale della carica sul condensatore il raggio di curvatura della traiettoria dell elettrone nel caso in cui la C 3 e la differenza di potenziale V 3 ai suoi capi. (:Q 3 = 5.71nC, V 3 = 5.71V dell elettrone formi un angolo di α=30 con. b Successivamente viene aperto T 1 e viene chiuso T 2. Calcolare il valore finale della carica su C 3 e C 4 e le differenze di potenziale V ESECIZIO 3 e V 4 ai loro capi. (:Q 4 3 = Q 4 = 2.85nC, V 3 = V 4 = 2.85V c con riferimento al punto b, calcolare la legge con cui varia nel tempo la carica sul condensatore C 4, assumendo come t = 0 l istante Una spira in cuiquadrata viene chiuso di lato T 2.(: L=20 q(t cm = è Q3 2t percorsa Cda una corrente i=2a in senso orario. C 2 (1 e 3 a il momento magnetico della spira; b il campo induzione magnetica nel centro della spira. T 1 T 2 C 1 ε C 3 C 4 C 2 Figure 11: 4 Moto di cariche in campi elettrici e magnetici, effetto Hall 4.1 Un elettrone avente velocità iniziale v 0 attraversa un condensatore piano ideale di lunghezza L, in cui presente un campo elettrico di modulo E, rivolto verso il basso. Inizialmente la direzione del moto dell elettrone è parallela alle facce del condensatore. Determinare l angolo di deflessione dell elettrone all uscita del condensatore. 4.2 Un elettrone (m e = kg, q e = C, accelerato da una differenza di potenziale V =100 V, viene a trovarsi in una regione di spazio in cui c è un campo magnetico uniforme di modulo = 10 4 T. Il vettore velocità dell elettrone forma un angolo α = π/3 con la direzione di. L elettrone inizierà a percorrere una traiettoria elicoidale cilindrica. Determinare: a il periodo di rotazione; b il passo p (distanza tra due convoluzioni dell elica; c il raggio dell elica cilindrica.

10 4.3 In uno spettrometro di massa (vedi figura 12, un fascio di ioni viene prima fatto passare attraverso un selettore di velocità, costituito da un condensatore piano che genera un campo elettrico E uniforme nella direzione ˆx, immerso in un campo magnetico uniforme ortogonale a ˆx. a Se una carica q viene lanciata in direzione ŷ in corrispondenza di un foro su una lamina che blocca le cariche, quale deve essere la sua velocità v affinché riesca a passare? b Determinare a quale distanza l dal foro impattano gli ioni che passano attraverso i foro, attraversando la regione in cui è presente un campo magnetico ortogonale alla direzione di moto. y v i E x Figure 12: 4.4 Una striscia conduttrice di rame di sezione rettangolare ab, con a = 1mm e b =3mm è disposta prependicolarmente ad un campo di induzione magnetica di modulo =2T. La strisciaè percorsa da una corrente i = 50A. Sapendo che nel rame la densità degli elettroni liberi è n = elettroni/m 3, si calcoli la differenza di potenziale sui lati opposti della striscia. 5 Magnetostatica nel vuoto 5.1 Calcolare il campo magnetico al centro di una spira quadrata di lato L percorsa da una corrente i. 5.2 Due fili rettillinei percorsi entrambi da correnti di stessa intensità i 1 = i 2 = i, sono disposti paralleli all asse y di un sistema di riferimento cartesiano e intersecano l asse x a distanze ±a dall origine. Studiare il campo magnetico lungo gli assi cartesiani nei due casi in cui le correnti siano concordi e discordi. 5.3 Un nastro di lunghezza infinita, spessore trascurabile e larghezza a è percorso da una corrente superficiale uniforme i. Determinare il valore del campo magnetico in un punto a distanza l dal bordo, giacente sullo stesso piano del nastro. 5.4 Calcolare il campo magnetico sull asse di una spira circolare di raggio percorsa da corrente i. 5.5 Si consideri il sistema rappresentato in figura 13. Determinare il valore del campo magnetico nel centro della spira circolare in funzione delle resistenze 1, 2 e della corrente i che circola sui rami esterni.

11 1 v v i v v 2 Figure 13: 5.6 Un disco isolante di raggio e spessore trascurabile, uniformemente carico con carica Q, ruota con velocità angolare costante ω attorno all asse passante per il centro. Determinare: 5.7 a il campo magnetico nel centro del disco; b il momento magnetico m del disco. Una spira quadrata di lato L = 10 cm, percorsa da una corrente i =1.3 A in senso antiorario, è posta in una regione di spazio dove è presente un campo magnetico uniforme avente intensità =2.1 T. Sapendo che due lati della spira sono paralleli al campo magnetico, calcolare: 5.8 a la forza agente sulla spira; b il momento delle forze M agente sulla spira. Si consideri il circuito rappresentato in figura 14. Il tratto semicircolare del circuito è immerso in un un campo magnetico uniforme = 0 ĵ. Determinare la forza che agisce sul circuito. y x ε r v v v v Figure 14: 6 Legge di Ampère 6.1 Determinare il campo magnetico generato da un solenoide cilindrico di raggio composto da n spire per unità di lunghezza, percorse da una corrente stazionaria i.

12 6.2 Determinare il campo magnetico di un solenoide toroidale di raggio maggiore e raggio interno a, dotato di N spire percorse da una corrente i. ( = µ0ni 2πr 6.3 Un cavo coassiale di lunghezza indefinita formato da due conduttori, il primo cilindrico di raggio a e il secondo cilindrico cavo di raggio interno b e raggio esterno c. I due conduttori sono percorsi da correnti uniformi, di ugual modulo e verso opposto. Tra i due conduttori vi è il vuoto. Determinare il campo induzione magnetica in tutto lo spazio. ((r < a = µ0i 2πa r, (a < r < b = µ0i 2 2πr 6.4, (b < r < c = µ0i 2πr (c 2 r 2 (c 2 b 2,(r > c = 0 Determinare il campo magnetico in tutto lo spazio generato da un cilindro indefinito di raggio percorso da una densità di corrente dipendente dalla distanza radiale dall asse j(r = krˆn con k costante, diretta parallelamente all asse del cilindro. ((r < = µ0k 3 r3, (r > = µ0k3 3r 6.5 Sia dato un circuito composto da un generatore di f.e.m. V collegato in serie ad una resistenza ed a un condensatore di capacità C. Inizialmente il circuito è aperto ed il condensatore e scarico. Alla chiusura del circuito, determinare la corrente di spostamento all interno del condensatore, in funzione del tempo. (I S = V e t C 6.6 Su un condensatore piano, con armature circolari di raggio =40cm e distanti tra loro h=1cm, viene applicata una d.d.p. variabile secondo la legge V (t = V 0 sin(2πνt, con V 0 =50v e ν=6mhz, t espresso in secondi. Trascurando gli effetti di bordo, calcolare: a il valore massimo del campo elettrico nel condensatore; (E max = V 0 /h b il valore massimo della corrente di spostamento; (I s,max = ε 0 π 2 2 νv 0 /h c il valore massimo del campo magnetico indotto all interno del condensatore alla distanza r=10 cm dall asse centrale del condensatore. ( max = µ 0 ε 0 rπνv 0 /h 7 Induzione magnetica e legge di Faraday-Neumann-Lenz 7.1 Un circuito rigido è costituito da un filo conduttore, di resistenza = 5Ω, rivestito di materiale isolante piegato a forma di 8 su un piano (vedi fig. 15. L area S della superficie piana delimitata dal filo è uguale alla somma dell area della prima ansa S 1 =20cm 2 e di quella della seconda S 2 =12 cm 2. Il circuito è immerso in un campo magnetico uniforme, diretto perpendicolarmente al piano della spira, con verso entrante nel piano e variabile nel tempo secondo la legge = kt, con k=0.04 T/s. Calcolare la corrente indotta nel circuito, indicando il verso di percorrenza. (i = k (S 2 S 1, verso orario in S Un solenoide cilindrico di raggio r 0 = 3cm e lunghezza d=100cm è costituito da N = spire percorse da una corrente variabile nel tempo secondo la legge i(t = i 0 e t/τ, con i 0 = 50A e τ = 5s. Si consideri una spira circolare di raggio r e resistenza = 0.5Ω, con piano perpendicolare all asse del solenoide e centro su tale asse. Nell approssimazione di solenoide indefinito e trascurando gli effeti di autoinduzione della spira, determinare la corrente i indotta nella spira al tempo t = 1s per due valori del raggio della spira r=1cm e r=5cm. (i (r < r 0 = µ0nπri0e t/τ dτ, i (r > r 0 = µ0nπr0i0e t/τ dτ

13 S 2 S 1 Figure 15: 7.3 Una spira quadrata conduttrice di lato l=20 cm e resistenza = 0.1Ω si trova ad una distanza fissa a=80 cm da un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente i. Due dei lati della spira sono paralleli al filo. Calcolare: a il flusso del campo magnetico generato dal filo, supponendo che la corrente sia costante i 0 =3A (Φ = a+l ln = W b; µ 0li 0 2π a b la f.e.m. massima indotta sulla spira supponendo che la corrente sul filo vari con secondo la legge i(t = i 0 cos(ωt, con ω = 2 rad/s; (E max = µ0li0ω 2π ln a+l a = V 7.4 c la massima potenza dissipata dalla spira, nel caso di corrente variabile nel tempo. (P max = E2 max = W Una bacchetta conduttrice di lunghezza L = 9.83cm e resistenza = 415 mω viene fatta muovere con velocità costante v = 4.86 m/s su dei binari conduttori (di resistenza trascurabile paralleli. La bacchetta si muove in un campo magnetico generato da una corrente i = 110A che scorre in un filo parallelo ai binari, a distanza a = 10.2mm. Calcolare: a la corrente indotta che scorre nella spira; (i ind = µ0iv 2π ln ( a+l a b la forza che bisogna applicare esternamente alla bacchetta per tenerla in moto uniforme; (F est = µ 0ii ind 2π ln ( a+l a 7.5 c confrontare la potenza dissipata sulla bacchetta con la potenza fornita dalla forza esterna. (P = i 2 ind = F v Una spira quadrata di lato L=30 cm, resistenza = 2Ω e massa m = 10g, si muove senza attrito su un piano orizzontale con velocità v 0 =1 m/s, perpendicolare ad un lato. Ad un certo istante t 0 la spira entra in una regione in cui presente un campo magnetico uniforme e costante di modulo =0.5 T, diretto perpendicolaremente al piano della spira (il bordo della regione con il campo magnetico è parallelo al lato della spira che sta entrando, come mostrato in figura 16. Calcolare: a la velocità della spira nell istante t in cui essa è entrata completamente nella regione con campo magnetico; (v(t = v 0 2 L 3 m b la corrente che percorre la spira nell istante t ; (i(t = Lv(t c la potenza dissipata all istante t. (P = 2 L 2 v(t 2

14 L v 7.6 Figure 16: Sia data una bobina avente N = 20 spire a forma di triangolo equilatero di lato l = 3cm e resistenza complessiva = 2Ω. La bobina attraversa con velocità costante v=2cm/s uno spazio di lunghezza d=0.1m in cui è presente un campo magnetico uniforme di instensità =1T, prependicolare al piano delle spire e verso entrante (vedi figura 17. Assumendo come istante iniziale (t 0 = 0s l istante in cui il vertice C del triangolo entra nel campo magnetico, calcolare il modulo ed il verso della corrente indotta agli istanti t 1 = 1s, t 2 = 3s t 3 = 5.5s. (i(t 1 = 2Nv2 3 t 1, i(t 2 = 0, i(t 3 = 2N 3 (vt 3 d l x x x x v x x x x x Figure 17: 7.7 Una spira quadrata di lato a = 4cm, resistenza = 0.2Ω, disposta con due lati verticali, è immersa in un campo magnetico uniforme e costante = 0.5 T, diretto orizzontalmente. La spira è collegata ad un generatore di f.e.m. E = sin(ω G t V, e resistenza interna trascurabile. La spira ruota con velocità angolare costante ω attorno ad un asse verticale passante per il centro della spira. Inizialmente (t = 0 il piano della bobina è ortogonale al campo magnetico. Determinare: 7.8 a quanto vale la f.e.m. indotta in funzione del tempo; (E ind = a 2 ω sin ωt b che valore deve avere la pulsazione del generatore ω G affinchè la corrente che circola nella spira si mantenga costante. (ω G = ω = 0.1 a 2 Un avvolgimento di forma toroidale a sezione rettangolare è costituito da N = 100 spire. I raggi interno ed esterno sono rispettivamente a=5cm e b=6cm e la larghezza del toroide è h=1cm (fig.18 Calcolare l induttanza del toroide e l energia magnetica in esso immagazzinata nel caso in cui nel circuito scorra una corrente i = 5 A. (L = µ0n 2 h 2π ln(b/a, U = µ0n 2 h 4π i2 ln(b/a

15 h b a Figure 18: 7.9 Un solenoide torioidale costituito da N = 1000 spire ciascuna di raggio r=1cm. Il raggio maggiore del solenoide è =10cm. Un filo di lunghezza indefinita è posto lungo l asse del toroide ed è percorso verso l alto da una corrrente variabile nel tempo i F = βt con β = 100A/s. Calcolare: a il flusso Φ T ( F del campo magnetico generato dal filo attraverso le spire del toroide; (Φ T ( F = µ 0Nβtr 2 b la f.e.m indotta nel toroide; (E = µ0nβr2 c l induttanza L T del toroide. (L T = µ0nr Siano dati due solenoidi cilindrici aventi gli assi coincidenti. Il primo solenoide di lunghezza l è formato da N spire di area A. Esso è posto all interno del secondo solenoide più grande, di lunghezza l S >> l e avente N S spire di area S >> A. Calcolare il coefficiente di mutua induzione. (M = µ0anns l S 7.11 Si considerino due spire circolari concentriche sullo stesso piano di raggi r e >> r. La spira piccola è percorsa da una corrente i r (t = i 0 sin(ωt. Determinare la f.e.m. indotta sulla spira grande. (f.e.m. = µ0πr2 2 i 0ω cos ωt 7.12 Una spira rettangolare di lati a e b percorsa da corrente i s = i 0 sin(ωt è posta con il lato a a distanza b da un filo rettilineo di lunghezza L >> a. Determinare la differenza di potenziale E ind ai capi del filo. (E ind = µ0aωi0 2π ln 2 cos ωt 7.13 Si consideri il circuito mostrato in figura 19 composto da due induttanze L 1 = L 2 = L, da tre resistenze 1 = 2 = 3 =, da un generatore di resistenza interna r = /2 che fornisce una forza elettromotrice E e da un interruttore T inizialmente aperto. Determinare: a la corrente elettrica che circola nelle tre resistenze in funzione del tempo; (i(t = E (1 e L t Determinare inoltre in regime stazionario: b il valore del potenziale nel punto A; (V A = 0 c l energia totale immagazzinata nel sistema; (U = 1 2 L E2 2 d la potenza dissipata nel sistema. (P = E2

16 rcuito mostrato in figura composto da due 2=2L, da tre resistenze 1 = 2 = 3 = 2, da T L 1 A resistenza interna r=/2 che fornisce una ice uito ε mostrato e da un in interruttore figura composto T inizialmente L 2 da due T L 1 A re: 2 1 2L, da tre resistenze 1 = 2 = 3 = 2, da e esistenza elettrica interna che circola r=/2 nelle che tre fornisce resistenze una in e ε e da un interruttore T inizialmente L 2 el tempo; 3 ε r e: re in regime stazionario (t : 2 1 elettrica potenziale che circola nel punto nelle A; tre resistenze in l otale tempo; immagazzinata nel sistema. 3 ε r dissipata in regime nel stazionario sistema. (t : l potenziale nel punto A; tale immagazzinata nel sistema. rcuito issipata mostrato nel sistema. in figura composto da = L 2 =L, da tre resistenze 1 = 2 = 3 = tore di resistenza interna r=/2 che A T Figure L 1 19: uito elettromotrice mostrato in 7.14 ε figura e da un composto interruttore da T T L L 2 to. L 2 Determinare: =L, da tre resistenze 1 = 2 = 3 = 1 Si consideri il circuito mostrato in figura A 20 composto da tre induttanze L 1 = L 2 = L 3 = 2L, da tre resistenze te re di elettrica resistenza che 1 = interna circola 2 = r=/2 3 = nelle, da che un tre 1 2 generatore di resistenza interna trascurabile che fornisce una forza elettromotrice elettromotrice in funzione del ε E tempo; e da un dueinterruttore condensatori T di capacitaà C 1 = C 2 = C. ε Determinarer in regime L 2 3 stazionario:. e Determinare: regime stazionario (t : elettrica che a circola corrente nelle elettrica tre che circola 1 nelle tre 2 resistenze; (i = E 1+ 3 el potenziale nel punto ; otale funzione immagazzinata del tempo; ε r b lenergia nel sistema. totale immagazzinata nel sistema; (U = 3 in regime stazionario (t : 2 L E CE 2 dissipata nel sistema. l potenziale nel punto c la; potenza dissipata nel sistema. (P = E tale immagazzinata nel sistema. cuito issipata mostrato nel sistema. in figura composto da tre =L 3 =2L, da tre resistenze 1 = 2 = 3 =, L 2 C 1 di resistenza interna trascurabile che a ito elettromotrice mostrato in figura ε e da composto due condensatori da tre L 3 =2L, da tre resistenze 1 = 2 = 3 =, L 2 2 2=C. Determinare in regime stazionario: L 3 C 1 1 di te resistenza elettrica interna che circola trascurabile nelle che tre elettromotrice ε e da due condensatori A ; 2 C. Determinare in regime stazionario: L 3 el potenziale nel punto A; 3 ε C 2 1 L 1 e otale elettrica immagazzinata che circola nel sistema. nelle tre A dissipata nel sistema. l potenziale nel punto A; 3 ε C 2 L 1 cuito tale immagazzinata mostrato in figura nel sistema. composto da issipata L nel sistema. 1 =L 2 =L 3 =L, da tre resistenze L 2 FigureC20: 1 a un generatore di resistenza interna ornisce ito mostrato una forza in figura elettromotrice composto da ε e 1=L 2 =L 3 =L, da tre resistenze 2 L 2 C 1 satori di capacità C 1 = C 2 =2C. L 1 3 un generatore di resistenza interna gime stazionario: A rnisce una forza elettromotrice ε e te elettrica che circola nelle tre 2 1 atori di capacità C 1 = C 2 =2C. L 3 ; 3 ε C 2 L 1 ime stazionario: A el potenziale nel punto A; elettrica che circola nelle tre otale immagazzinata nel sistema. 3 ε C 2 L 1 dissipata nel sistema. l potenziale nel punto A; tale immagazzinata nel sistema. issipata nel sistema.