ESPONENZIALE E LOGARITMO, COORDINATE CARTESIANE E POLARI

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1 ESPONENZIALE E LOGARITMO, COORDINATE CARTESIANE E POLARI Passiamo adesso a considerare la trasformazione complessa derivata dalla funzione esponenziale. Dalle rette orizzontali di ordinata y b, che scriviamo come punti X = x + y b j, si ottiene: e X = e x + yb j = e x [cos(y b ) + sen(y b ) j] = E r + E i j quindi E r = e x cos(y b ), E i = e x sen(y b ) = E r tan(y b ) vengono perciò originate delle rette radiali con coefficiente angolare m = tan(y b ), ed essendo la funzione trigonometrica tangente periodica con periodo, queste rette radiali vengono interamente percorse ad ogni incremento di y b. Dalle rette verticali di ascissa x a, che si possono scrivere come punti X = x a + y j, otteniamo: e X = e xa + y j = e xa [cos(y) + sen(y) j] = x v + y v j e x v = e xa cos(y), cos(y) = x v / e xa, sen(y) = 1 x v / e xa y v = e xa sen(y) = e xa 1 x v / e xa = e xa x v allora, posto R = e xa, si ha y v = R x v ; otteniamo cioè dei cerchi con raggio proporzionale ad e xa. Per un dato valore dell ascissa x a, al variare della y, questi cerchi dal raggio sempre positivo R = e xa vengono percorsi con periodicità. Allora, la trasformazione complessa Esponenziale fa emergere in modo naturale un collegamento tra le coordinate cartesiane e le coordinate Polari, introducendo radialmente una scala esponenziale. 3

2 Per la trasformazione complessa derivata dalla funzione logaritmo, partendo dalle rette orizzontali di ordinata y b, con i punti X = x + y b j abbiamo Ln(X) = ln(x + y b j) = ½ ln(x + y b ) + atan(yb /x) j = Lr + Li j Lr = ½ ln(x + y b ) x = e Lr yb Li = atan(y b /x) = atan(y b / e Lr y b ) Con validità per Lr ln(y b ). Partendo dalle rette verticali di ascissa x a, con i punti X = x a + y j abbiamo Ln(X) = ln(x a + y j) = ½ ln(x a + y ) + atan(y / xa ) j = x v + y v j Xv x v = ½ ln(x a + y ) x = e xa y v = atan(y / x a ) = atan( e Xv x a / xa ) Con validità per x v ln(x a ). La trasformazione, conforme, trasporta l intero piano sulla striscia orizzontale semi-illimitata compresa tra gli assi e la retta orizzontale di ordinata /j, ovvero nella striscia orizzontale semi-illimitata compresa tra l asse verticale e le due rette orizzontali di ordinata /j, se si considerano anche le soluzioni negative per i radicali. Questa trasformazione potrebbe rappresentare un sistema di coordinate logaritmoarcotangenti. La sua rappresentazione è visibile nella figura che segue. 33

3 Per la funzione complessa logaritmo è interessante esaminare la relativa trasformazione conforme a partire dal reticolo delle coordinate polari. Per le rette radiali, rappresentate algebricamente dal luogo di punti X = x r + m x r j, possiamo scrivere Ln(X) = ln(x r + m x r j) = ½ ln(x r + m xr ) + atan(m xr / x r ) j = Lr + Li j = = ½ ln [ x r (1 + m ) + atan(m) j = ln xr + ln(1 + m ) ½ + atan(m) j ; ed abbiamo ottenuto delle rette orizzontali, sul piano complesso, poiché la parte immaginaria è atan(m) j ed è una costante. Su tale retta la densità dei punti segue una scala logaritmica. La condizione di validità x r > 0 nel termine ln x r non è un problema, anzi combacia perfettamente con il senso della trasformazione: ogni semiretta (x r > 0) del reticolo delle coordinate polari viene trasformata in retta orizzontale completa, dato che per x r > 0 il termine ln x r comprende tutti i valori reali positivi e negativi. 34

4 Prendendo in considerazione i cerchi delle coordinate polari, scriviamo X = x r R x r j e quindi ln(x r R x r j) = ½ ln(xr + R xr ) + atan( R xr / xr j = = ½ ln( R ) atan R x r / xr j = ln( R ) atan ( R /xr ) 1 j k j e queste sono rette verticali, essendo costante la parte reale. Le rette verticali sono complete perché il campo di validità della funzione atan, limitato tra / e + /, è illimitatamente esteso dal termine k j. Allora, la trasformazione complessa Logaritmo fa emergere in modo naturale un collegamento tra le coordinate Polari e le coordinate cartesiane, introducendo nella direzione orizzontale una scala logaritmica. L azione del logaritmo di trasformare le coordinate polari in cartesiane, come ci si poteva aspettare essendola funzione logaritmo l inversa dell esponenziale, è esattamente l inversa della trasformazione operata dall esponenziale, che trasformava le coordinate ortogonali in polari. 35

5 FUNZIONE QUADRATO, COORDINATE PARABOLICHE Per completare questo piccolo studio, consideriamo adesso una trasformazione molto semplice, quella derivata dalla funzione complessa di elevamento al quadrato. Partendo sempre dal luogo geometrico dei punti di una retta orizzontale sul piano complesso, da X = x + x b j, scriviamo X = (x + y b j) = x y b + x yb j = x q + y q j x = y q / y b, x q + y b = (yq / y b ) = y q /4 yb y q = 4 yb (xq + y b ) yq = y b x q + y b giungendo a descrivere parabole ad asse orizzontale con vertice in y b e concavità verso destra sia per y b > 0 che per y b < 0 (cambiando il segno si scambiano solamente il ramo in basso con quello in alto, e viceversa), mentre per y b = 0 la parabola coincide con il semiasse reale positivo: si può dire che vi degenera presentando il vertice nel punto nullo. Dalle rette verticali X = x a + y j ricaviamo X = (x a + y j) = x a y + xa y j = x v + y v j y = y v / x a, x v + x a = (yv / x a ) = y v /4 xa y v = 4 xa (xa x v ) y v = x a x a x v e questa volta si hanno ancora delle parabole ad asse orizzontale, ma con concavità rivolta a sinistra e vertice in x a (per xa = 0 la parabola coincide con il semiasse reale negativo). Il grafico che segue rappresenta questa trasformazione: 36

6 Se scriviamo le due famiglie di parabole nelle forme y q = 4 yb (xq + y b ) e yv = 4 xa (xa x v ) risulta evidente che le distanze tra i vertici ed i fuochi delle parabole sono y b e x a e poiché i vertici si trovano in y b ed in x a, se ne deduce che le due famiglie di parabole sono entrambe confocali con fuoco nel punto nullo (come anche evidente nel grafico). Poiché il loro asse è il medesimo, coincidendo con l asse reale per entrambe, possono essere assimilate sia ad un sistema di coordinate cilindriche paraboliche che, se fatte ruotare attorno all asse comune, ad un sistema di coordinate paraboidali. 37

7 CONCLUSIONI Le trasformazioni conformi operate dalle funzioni complesse sono veramente notevoli. Oltre all importanza che hanno di per se stesse, esse fanno emergere le relazioni esistenti tra i vari tipi di coordinate: cartesiane, polari, cilindriche paraboliche ed ellittiche. Ne effettuano, identificandovisi, le conversioni. Fanno inoltre scorgere la possibilità di utilizzare altri tipi di coordinate, come ad esempio coordinate cilindriche iperboliche o logaritmiche-arcotangenti. In ultimo, per ogni trasformazione di coordinate si può ottenere quella inversa, come avviene tra le coordinate cartesiane e quelle polari. Ad esempio, se partiamo dalle parabole orizzontali confocali appena ottenute attraverso la trasformazione di F(X) = X, utilizzando la trasformazione inversa, la F(X) = X 1/, dovremmo ottenere le coordinate ortogonali. Infatti, sostituendo alla X nella F(X) = X 1/ la famiglia di parabole confocali con concavità verso destra y q = 4 yb (xq + y b ) otteniamo, dopo le opportune sostituzioni e semplificazioni che lasciamo la lettore, X 1/ = x q + y b yb j che è una retta orizzontale, dato che y b j è un valore costante. E sostituendo la famiglia di parabole confocali con concavità verso sinistra espresse dalla y v = 4 x a (xa x v ), sempre dopo le opportune sostituzioni e semplificazioni che lasciamo la lettore, si giunge a X 1/ = x a x a xv j che è una retta verticale, essendo costante la parte reale x a. Come si può vedere, abbiamo riottenuto le coordinate ortogonali partendo da quelle cilindriche paraboliche, utilizzando la trasformazione corrispondente alla funzione complessa inversa. Allo stesso modo si potrebbero riottenere, ad esempio, le coordinate ortogonali partendo da quelle cilindriche ellittiche, utilizzando le funzioni inverse F(X)= arcsen(x) ed F(X)= arccos(x), e così via. Pinerolo, settembre