INTERAZIONI TRA ATMOSFERA E IDROSFERA

INTERAZIONI TRA ATMOSFERA E IDROSFERA PIETRO CALOI Isiuo Naionale di Geofisica - Roma. RIASSUNTO: Fra i legami che vincolano i movimeni di pari della idrosfera mari, laghi a quelli dell'amosfera, si prendono in esame l'aione del veno e il ransio di perurbaioni della pressione amosferica, con paricolare riguardo ai moi di masse liquide non sraificae indefinie, parialmene o oalmene limiae, o sraificae indefinie o limiae, considerando o rascurando l'effeo della viscosià e della roaione della Terra. Viene soolineaa l'imporana che rivesono la velocià e il verso di propagaione dei disurbi microbarici, nel provocare ampli sposameni dell'acqua in mare apero o alla base di baie, di golfi e di insenaure in genere. Nel discuere il problema delle onde inerne in mare apero o in bacini chiusi, si consaa, fra l'alro, che le eorie finora sviluppae sono insufficieni a chiarire l'ampiea e la persisena di lee onde in casi paricolari lago di Garda, lago di Bracciano,..., nei quali inervengono indubbi fenomeni di risonana con perurbaioni coperiodali dell'amosfera. Si delineano quindi le modalià di formaione della ona del salo ermico nei laghi e nei mari, e si accenna infine all'arduo problema della previsione delle mareggiae «Surges», consegueni a cospicue perurbaioni amosferiche. INTRODUZIONE La muua influena fra amosfera ed idrosfera si manifesa soo forma di fenomeni moleplici, che ineressano il clima e le variaioni del empo, la sraificaione e la circolaione negli oceani e nei laghi. Lungi da me il proposio di accennare a quesi fenomeni grandiosi, come il iolo alquano preenioso della mia comunicaione porebbe far supporre; mi limierò

solano ad alcuni aspei di qualcuno di dei fenomeni, con paricolare riguardo a quelli che possono comunque ineressare l'adriaico. Riengo superfluo accennare al moo ondoso, e alle sue relaioni con il veno: il fenomeno assume proporioni cospicue negli oceani e su di esso hanno condoo pregevoli lavori parecchi oceanografi, quali G. Neumann e W. Munk. Esulano pure dall'assuno le sree relaioni fra circolaione dell'amosfera e correni oceaniche, nonchè fra l'umidià dell'aria, l'evaporaione sopra i mari, la precipiaione e la disribuione della salinià e della emperaura nel mare. Neppure porò accennare alle noevoli influene in campo biologico, che ali muue relaioni comporano. Sosanialmene, il mio inerveno vererà sui moi liberi e forai di inere masse liquide, nei loro legami con paricolari fenomeni amosferici, nonchè sull'inusiaa ampiea e duraa di onde inerne - legae alla ermologia delle acque -, quando sulla sraificaione di una massa liquida ineragisca l'amosfera, in deerminae siuaioni fisiche. - Movimeni ineressani masse liquide noia sraificae. Riengo inuile mosrare come quesi movimeni si realiano. Per quano concerne le oscillaioni libere di masse liquide, limiae da superfic ie qualunque, mari chiusi, laghi, ecc. o di pari di masse liquide canali chiusi ad un esremo, golfi, baie, ecc., ua un'ampia leeraura ormai è saa sviluppaa. L'imposaione scienifica, dal puno di visa idrodinamico, è saa daa dai geniali lavori di Chrysal. Pregevoli conribui porarono in seguio Proudman, Maeui, Defan, Goldberg e, soprauo, Hidaka. Alcune esensioni furono realiae dallo scrivene. Qui ci soffermeremo paricolarmene sulle cause di quesi movimeni, liberi o forai che siano. a Consideriamo dapprima le variaioni di livello provocao da variaioni della pressione amosferica per disese d'acqua indefinie. Supponiamo che il n movimeno si realii nel piano x,, essendo x l'asse orionale giacene sulla superficie indisurbaa del mare e l'asse vericale, rivola posiivamene verso l'alo. Sia inolre h la profondià cosane del mare di densià ρ. Sia infine rascurabile l'acceleraione delle paricelle fluide raggiune dal moo.

u ξ Quando una pressione superficiale P 0 si propaga sul mare, l'equaione del moo è dove v è il coefficiene di viscosià dinamica eddy viscosiy, gh c è la velocià di propagaione di un'onda lunga e ud ξ denoa lo sposameno orionale delle paricelle. Poiché possiamo anche scrivere L'assena di fora angeniale sulla superficie libera pora alla condiione-limie per 0, l'alra condiione limie essendo u0 per -h. Ponendo nella p 0 Ae i-mx, si rova dove δ v U c m essendo m U la velocià di propagaione della pressione superficiale. Nel caso di una correne di marea, provocaa da una fora Xf e i -mx, l'equaione del movimeno diviene da cui 4 ' cosh ' cosh mx i e h i i c U m if u δ δ, dove v c U m / ' δ x p u v x c 0 ρ ξ ξ x p u v x u c u 0 ρ cosh cosh mx i e h i i U c m A u δ δ ρ 3 mx i fe u v x c ξ ξ 0 u

Se U >> c, δ c v U v ' Il calcolo numerico delle pari reali di 3 e 4 permee di deerminare la disribuione della velocià delle paricelle liquide con la profondià. Tale calcolo è sao compiuo da S. Unoki, il quale - anche sulla base dei valori osservai da S. Ogura per le correni di marea nel Mar Giallo - è arrivao alla conclusione che, a differena di quano si verifica per correni oceaniche, nel caso di ala marea e correni di marea si può rienere essenialmene uniforme la disribuione della velocià dalla superficie al fondo, anche soo l'aione della viscosià cinemaica. Nei confroni di un'onda lunga perano, possiamo rienere che ue le paricelle di una seione vericale subiscono una uniforme resisena. Da queso puno di visa, in luogo della viscosià, noi possiamo considerare la fora d'ario proporionale alla velocià delle paricelle fluide, consideraa come la più semplice forma di resisena. A queso riguardo, un confrono con i dai di osservaione può consenire di valuare la bonà dell'ipoesi dell'aenuaione di un'onda lunga colpe effeo dell'aione di resisena proporionale alla velocià. Le equaioni di moo e coninuià sono 5 u g ku, x w g kw, u h x w, dove k è il coefficiene di resisena e è l'innalameno. Quando si considera u, w e proporionali a e l, si ha 6 i i k c x In coordinae polari, fao f r e imr, si perviene all'equaione c d dr f imc df dr c m ik f 0

Quando k <<, condiione generalmene soddisfaa, una soluione assume la forma f Ae L'essere finio ad r pora a rascurare il segno. Perano 7 Ae Perciò l'ampiea di un'onda lunga anulare decresce gradualmene, proporionalmene a e k r c k r c Ae : una perurbaione avana quindi con un dao periodo ma con velocià c caraerisica di quel deerminao mare. Dalla 7 abbiamo im± ik r c k r i m r c c Ae i mr, da cui k ± r i m± r c c Ae k r c kr lg 0 M B c essendo Mlge 0. Perciò lg 0 può essere espresso linearmene in funione di r. Applicando la 5 a osservaioni di onde lunghe oenue a Nakano, Unoki oenne k5,5x0-4 c.g.s. Nel caso di sesse di lago per h00 m e periodi dell'ordine di 0 m, Defan oenne per k il valore 5x0-4 c.g.s., dello sesso ordine di grandea di quello oenuo da Unoki. Se ne conclude che è ragionevole, nel caso delle onde lunghe, sosiuire all'aione della viscosià una resisena proporionale alla velocià delle paricelle. Per le grandi disese d'acqua, non può essere rascurao l'effeo della roaione della Terra. Aggiungendo alla fora di ario proporionale alla velocià delle paricelle fluide, la fora di Coriolis, le equaioni divengono 8 u ku λw g '; x dove λω sinϑ è il coefficiene di Coriolis e e r i c w kw λu g ', p 0 ' gρ denoa l'innalameno che equilibri la pressione superficiale p 0. e ρ u h x w,

Prendendo u, w, ' e proporionali a e i ed eliminando u, w, abbiamo l'equaione dipendene da solano; essa è Dove K Assumendo come pressione superficiale Unoki oiene dove Quesa soluione mosra che la fase di innalamene non coincide con quella della pressione, rispeo la quale presena una differena di fase pari a ε o una differena di empo ε /. Poiché è numericamene provao che ε non supera mai π /, la condiione sufficiene per avere ε nel primo quadrane è che c m n -, nel denominaore della, sia sempre posiivo. Ne consegue, ' ' x k x 9, cos 0 n Ae p mx i, cos n e n m n m g A m i ε γ α ρ 0 { } an λ λ ε n m c k k k g, λ α k c k, λ γ k c k k, < c U m n λ λ k c k k k c k i

con manifeso significao dei simboli U e c. quesa condiione è generalmene rispeaa, salvo che per mari esremamene poco profondi. Possiamo quindi rienere che le variaioni di livello riardano nei confroni delle variaioni di pressione. D'alronde, se deriviamo ang ε rispeo a λ, poichè λ ang ε è posiivo, c m n - dev'essere posiivo; deve essere cioè n U 3 <, m c condiione generalmene soddisfaa come la. Poiché ang ε è una funione crescene di λ, possiamo concludere che il riardo di fase ε cresce con la laiudine ϑ. Fao mn, la diviene, approssimaivamene, 4 U an gε T c λ k 4πk, dove π T indica il periodo di un'onda di pressione superficiale ed π m, essendo LTU la lunghea d'onda. Ne consegue che quano L più grandi sono il periodo e la velocià di una pressione superficiale ano maggiore diviene il riardo di fase, menre quano più grande è la profondià dell'oceano ano minore è la differena di fase. La eoria brevemene riassuna è saa applicaa ad esese osservaioni compiue nei mari che circondano il Giappone. E' saa consaaa una generale concordana fra eoria ed osservaione, anche quaniaivamene, quando però si engano nella dovua consideraione gli effei di ue le grandee in giuoco, e cioè non solo della laiudine ϑ, ma anche della profondià, del mare, della velocià e del periodo di un'onda di pressione superficiale. Ciò appare chiaro anche dalla Tav., dedoa dalla 4.

TAV. EFFETTO della laiudine della profondià della velocià del periodo ϑ Riardo di fase h Riardo U Riardo T Riardo 0 30 60 90 h 8 m 5 8 m 000 000 3000 4000 6 h,4 3 h,3 h, h,3 0 km/h 30 km/h 40 km/h 50 km/h 0,5 h 0,, 3,4 3 giorni 6 giorni 9 giorni 0,6 h,3 4,8 ϑ h 3000 m U 40 km/h T 6 giorni 35 40 km/h 6 giorni 35 3000 m 6 giorni 35 3000 m 40 km/h La Fig. ripora il confrono fra la marea meereologica e la pressione amosferica, quali furono osservae nelle localià cosiere di Mera e di Hono, nel Giappone. La marea meerelogica è saa oenua soraendo da quella osservaa, la marea previsa. Anche da quesa figura si rae una qualiaiva conferma della eoria. Va ancora enuo presene che nello sviluppo eorico, non si è enuo cono - causa le noevoli difficolà d'ordine maemaico che ciò avrebbe richieso - degli effei del veno e delle caraerisiche geografiche. Ciò malgrado, la sua aderena alla realà può rienersi più che soddisfacene. Gli sviluppi precedeni sono sai fai nell'ipoesi che l'onda superficiale di pressione sia una semplice onda armonica, del ipo e i - m x cos n. S. Unoki considera pure il caso di un'onda soliaria. La pressione superficiale P 0 sia rappresenaa da x F, U

con il solio significao dei simboli Ricorrendo agli inegrali di Fourier e valendosi di un meodo di calcolo seguio, per analoghe indagini, dal giapponese H. Yamada, Unoki giunge alla seguene conclusione, per quano concerne la variaione di livello legaa al ransio della pressione P 0. 5 x x c x ρ ψ φ F c c g U c U La 5 rivese noevole ineresse. Da essa risula infai che il ransio di un ciclone è accompagnao da un'onda progressiva, da un'onda regressiva e da un'ala marea, e che il livello del mare diviene di più in più alo col endere della velocià del ciclone a quella di un'onda lunga del mare. soosane, per fenomeno di risonana. Non è quesa esposa la sola eoria sulle onde lunghe in un Fig.

mare indefinio: ha però il pregio di delineare, in modo chiaro, l'inerdipendena fra variaioni della pressione amosferica e variaioni del livello del mare, almeno nei suoi aspei più significaivi. b I casi che a noi più ineressano sono però quelli che si riferiscono a bacini oalmene o parialmene limiai. Anche qui le ricerche compiue sono numerose. Per quano concerne l'origine delle oscillaioni libere in un lago, Chrysal ha pubblicao nel 906 un noevole lavoro sulla sima dell'effeo delle variaioni della pressione amosferica sulle sesse in un lago simmerico parabolico di larghea uniforme 3. Si raa della prima ricerca maemaica sull'argomeno, da cui appare chiara l'influena delle variaioni della pressione amosferica sulla formaione delle oscillaioni libere. Fra le alre numerose che seguirono, riengo degne ili menione le ricerche di Takaharu Nomisu, paricolarmene quella pubblicaa nel Vol. XVIII N. 4 935 delle «Memoirs of he College of Science» 4. In essa si prova che quando un veno cosane o un disurbo baromerico comincia ad agire sopra un bacino d'acqua e, dopo un empo, l'aione cessa bruscamene, allora insorge un aumeno del livello medio del mare o del lago, generalmene accompagnao da oscillaioni libere. Lungi da me la preesa di riassumere la eoria di Nomisu. Riengo però uile riporarne le conclusioni per ciò che concerne l'effeo di risonana, come quello che maggiormene può ineressare alcuni aspei dei movimeni dell'adriaico. Se indichiamo con m la fora perurbane proveniene da veno o da gradiene baromerico, consideraa come semplice funione sinusoidale del empo, m Zsin ' α per 0 0 per < 0 e > se m rappresena l'effeo sul livello del liquido, ' la pulsaione della fora agene e m la pulsaione del moo provocao nell'acqua nel caso di viscosià rascurabile v 0 e <, si ha 6 ρ m Z m ' m m ' m { sin ' α sin α } m { sin ' α sin α } m

7 Per > la corrispondene formula diviene Z m [ sin ' cos{ ' α} ' cos ' ] α Perciò se il è grande, l'ampiea crescerà sensibilmene col empo; ma se, è piccolo, l'ampiea non sarà noevolmene ingrandia nemmeno per un periodo di perfea risonana. Per esempio, quando uguaglia un meo periodo, cioè se π solano una cresa dell'onda di fora, il massimo valore di m non può superare / πz, e quando è pari ad un inero periodo, il possibile massimo valore è m πz La eoria può essere esesa alle sesse di una baia, dello occolo di mare o di uno sreo; con lievi variaioni, vale pure nel caso di fora aiva progressiva in un canale sena fine. Uno dei pregi della eoria di Nomisu è che essa, nella sua pare generale, iene cono della viscosià del liquido. Per profonde disese d'acqua, la viscosià non influisce sensibilmene sugli elemeni dinamici delle oscillaioni. Non così per acque poco profonde e per oscillaioni di appreabile ampiea. In queso caso l'aione della viscosià diviene così marcaa da provocare l'allungameno del periodo e, in casi esremi, può anche condurre ad un moo non periodico. Ebbi occasione di dimosrare quesi fai sia nello sudio delle sesse del golfo di Triese 5, sia esendendo la eoria di Nomisu alla spiegaione delle oscillaioni libere del poro di Civiavecchia, in cui il periodo appariva insoliamene lungo, nei confroni di quello che ci si sarebbe dovui aspeare considerando - come d'abiudine - l'acqua quale fluido ideale 6. In al modo, si ha pure la possibilià di deerminare il coefficiene d'ario sul fondo e la viscosià cinemaica del liquido viscoso ili movimeno, dai che ho pouo appuno oenere nei casi sopra ciai. Sovene, però, ceri cospicui effei dell'ineraione fra pressione amosferica e bacini idrici non possono essere spiegai, se non si iene debio cono anche del senso di propagaione della perurbaione amosferica e della forma del bacino soosane.

Consideriamo, p. es., un canale di profondià uniforme h. Indichiamo con U la velocià con cui si propaga il nucleo perurbane e sia lo sposameno che subisce la superficie libera del mare, inorno al suo x livello medio. Indichiamo con F la fora perurbane, U espressa dal peso della colonna d'acqua corrispondene alla variaione baromerica. Se il canale è chiuso all'esremo x0, ma si rova indefiniivamene nella direione posiiva delle x, si rova 7 : 8 9 U c All'esremo x0 è perano F x U U c F U x F c c Fig.

Se U è posiivo, cioè se la perurbaione amosferica ransia lungo il canale nel senso delle x posiive, il rapporo /F è sempre minore dell'unià; ma se U è negaivo, cioè se il disurbo amosferico ransia lungo il canale verso l'esremià chiusa, allora deo rapporo può assumere valori grandi olre ogni limie. Fig. 3 Infai nel puno x0, quando U/c -,. Perciò eoricamene, se il fenomeno si verifica nelle condiioni ammesse, quando le variaioni di pressione si propagano con velocià prossima a quella consenia alle onde libere del mare e in direione opposa a quella delle x cresceni posiivamene, in prossimià del fondo canale baia, golfo, ecc. lo sposameno del livello dell'acqua assume valori noevolissimi.

Nauralmene, in praica, quesi casi ideali non si verificano che in pare. Ad ogni modo, almeno qualiaivamene, il fenomeno oiene chiara spiegaione: quando la condiione in parola viene soddisfaa con sufficiene approssimaione, in prossimià della cosa sono da aendersi Fig. 4 fluuaioni dell'acqua con ampiee noevolmene maggiori di quelle consenie dai valori saici. Solo per quesa via mi è sao possibile spiegare, nel 938, le visose fluuaioni del mare, che si verificano alla base del golfo di Triese, quando nuclei ciclonici o semplici variaioni baromeriche si propagano

da Veneia a Triese, con velocià paragonabili a quella consenia alle oscillaioni libere del mare soosane: ransiando sopra Triese, ali disurbi microbarici deerminano nel mare movimeni più o meno ampi, a seconda che le condioni richiese si verificano con maggiore ominore approssimaione. Nel lavoro pubblicao a suo empo, ho riporao una ampia esimoniana sulla validià di queso principio. Qui mi limio agli esempi fornii dalle figg., 3, e 4. Osservo, ai fini delle conseguene sul livello del mare, che la 8 presena sosaniali analogie con la 5 valevole - come si è viso - per mare apero. Sempre a proposio del verificarsi della condiione U/c -, vediamo come essa, presenandosi alla base di un mare chiuso, possa provocare noevoli sposameni del livello marino in lagune, baie o insenaure limirofe dove la condiione sessa è ben lungi dall'essere realiaa, anche in assena di fenomeni di risonana. Ora, se indichiamo con f, la salia e la discesa della superficie liquida nell'inerno di una baia di lunghea l, con la bocca in x0, si prova che c l s πx sin l s 0 0 F sin s d Se Fαsin' per 0<< e F0 per >, allora cα s x π l 0 s ssin ' ' sin s sin per 0 < < s ' l ' sin cos ' cα πα l s s s s cos s sin ' sin per > 0 s ' l ' sin s

Quindi per un generico m quando m ', allora 0 cα sin cos m πx m m m sin per o< < m l m l cα cos sin m m m cos m per l > m Perciò, quando il periodo della vibraione foraa della baia, concorda con quello dell'oscillaione libera, la sessa si sviluppa con noevole ampiea. Però, anche in assena di risonana, alla base della baia può verificarsi un'ampia oscillaione, quando essa si apre sopra un bacino in cui le variaioni di pressione possono propagarsi secondo la legge U/c ~. Al realiarsi di quesa condiione, un ampio sposameno ne deriva, che, a sua vola, sviluppa oscillaioni libere nella baia, come fenomeno secondario. E' noo infai che, quando vi è variaione di livello alla bocca di una baia, oscillaioni secondarie si sviluppano nel suo inerno. Quesi che sono venuo riassumendo non sono nauralmene che alcuni lineameni del complesso problema dell'ineraione fra amosfera e bacini idrici, quesi ulimi presi nel loro insieme: li riengo però sufficieni per lumeggiare l'imporana che ale ineraione può assumere anche nei confroni dell'idrodinamica dell'adriaico, dei suoi golfi e delle sue lagune. II - Vediamo ora gli sviluppi che ale ineraione può assumere quando il mare o il lago, o pari di essi, sono sraificai. Noi limieremo le nosre consideraioni alla sraificaione conseguene all'esisena di una sola superficie di disconinuià: del reso, è quella che più frequenemene si presena e che più ineressa nelle sue manifesaioni eserne. Quando due masse d'acqua di differene densià sono sovrappose, la superficie di separaione può divenar sede di sisemi d'oscillaione onde inerne, il massimo sposameno vericale delle quali si osserva appuno alla superficie di separaione delle due masse d'acqua.

.Teoricamene, le onde inerne possono essere riguardae come una soluione per le onde che insorgono lungo una disconinuià orionale fra due srai di diversa densià. Faremo uso dei simboli abiuali in idrodinamica Basse, Lamb, ecc. La disconinuià corrisponda da 0, essendo l'ordinaa, direa posiivamene verso l'alo. π π Poso e k T λ T e λ essendo il periodo e la lunghea d'onda rispeivamene, il poeniale della velocià negli srai superiore ed inferiore sono φ ' A cosh k Bsinhk cos kxe i φ C cosh k rispeivamene. h cos kxe i Siano la superficie libera e il fondo compresi fra h' e -h rispeivamene. Ricorriamo alle condiioni cinemaiche sull'inersuperficie. Inano abbiamo Per 0 avremo φ' kasinhk kbcoshkcoskxe φ kcsinh hcoshkxe i i 3 cioè φ' 0 φ kb kcsinhkh 0 Se a coskxe i

è l'equaione dell'onda inerna sulla superficie di separaione, su ques'ulima la condiione di conao dei due liquidi richiede d d φ' φ, per 0 cioè, ricordando la 3 4 kcsinhkh kb ia Se δp, δp' sono gli incremeni della pressione dovui al moo ondoso, immediaamene soo e sopra la superficie di separaione, allora dφ δp gρ ρ d dφ ' 0 ; dp' gρ ' ρ' 0, d essendo ρ, ρ' rispeivamene le densià soo e sopra la superficie di disconinuià. Ora dφ ' i i Acoshk Bsinhkcoskxe ; d dφ i ic cosh h coskxe d Per cui, dovendo essere δpδp', avremo, per 0, ; i gρ ' a ρ' ia coskxe gρa cioè ρic cos hkh coskxe i 5 ρ ic cosh kh ga ρ' ia ga Ricordiamo ora la condiione - dea di Poisson - alla superficie libera 6 ϕ ϕ g 0

che esprime la cosana e l'uniformià della pressione alla superficie libera. Applicando la 6 alla, per h', oeniamo 7 A coshkh' Bsinhkh' gk Asinhkh' Bcoshkh' Eliminando le cosani A, B, C fra le 4, 5 e 7. Si oiene B ρ' A ρ coh kh gk ρ ρ ' che sosiuia nella 7 conduce alla seguene relaione fra e k: 8 4 ρ cohkhcoh kh' ρ' ~ ρ coh kh coh kh' gk ρ ρ ' g k 0 Tale equaione è quadraica in. Ciò significa che vi sono due diversi ipi di onde. Una è un'onda ordinaria, quale si osserva alla superficie eserna. A noi ineressa qui l'alro ipo, cioè quello delle onde inerne, che si sviluppano inorno alla superficie di disconinuià. Risolvendo la 8 in nell'ipoesi di kh molo grande coh kh, si oiene per il segno posiivo ρ cohkh' ρ cohkh' ρ ' gh ρ cohkh' ρ ' da cui 9 ρ ρ ' gk ρ coh kh ' ρ ' Qualora anche kh' sia molo grande, consegue 0 ρ ρ ρ' gk ρ'

Per kh' piccolo -cioè per coh kh /kh' - dalla 9 si deduce ρ ρ' g' k ρ Per kh, kh' enrambi piccoli si ha gk h h ' Per gli alri casi, la equaione 8 può essere risola in ermini esai. Le ampiee delle velocià orionali u' e u, conseguono dalle φ ' uguagliane u', u e sono immediae. x Per quano riguarda lo sposameno vericale, esso è dao - come è noo - da dφ &, d Perano, in valore assoluo, quando h ' k Asinhk Bcosh k cos kxe da cui si deduce per l'ampiea, l'espressione i 3 k ' Asinhk B coshk Analogamene 4 k Csinhk h 5 Le ampiee delle velocià orionali sono invece u ' k Acosh k Bsinhk 6 u kccosh k h

Figg. 5, 6 Figg. 7, 8

Figg. 9, 0 Figg.,

È chiaro che le onde prese in consideraione non possono idenificarsi con quelle che ineressano le superficie di disconinuià ermica, quali si osservano nei bacini chiusi: nella eoria sviluppaa non figurano, infai, gli elemeni propri della forma del bacino, in relaione con le sue dimensioni orionali. Riuscirà ugualmene ineressane invesigare, con il calcolo, l'ordine di grandea delle ampiee delle onde inerne qui delineae. I calcoli furono condoi da K. Hidaka e T. Kusunoki 8. Fu calcolao dapprima il caso per h 60 m, h' 40 m, ρ',03, ρ,05 per assegnai valori di απ k. λ Le figg. da 5 a 9 riassumono i risulai e riporano gli assegnai valori per periodi e lunghee d'onda. Le frecce mosrano che la velocià orionale è in direione opposa nei due srai. L'esempio h 4000 m, h' 50 m rienra nel caso h» h'. I risulai dei calcoli sono diagrammai nelle figg. 0-; per ρ' e ρ i valori sono immuai. La disribuione delle ampiee e delle velocià orionali, per lunghea d'onda molo grande nei confroni di h e h', è riporaa nella fig. 3, dove λ 50 Km., h 3000 m, h'50 m. Dall'esame di quesi risulai appare chiaro che onde inerne la cui lunghea d'onda sia piccola confronaa con le profondià h e h', non possono svilupparsi compiuamene, ecceo sulla o presso la superficie di disconinuià, menre, al conrario, quando diviene grande, sia il moo vericale che la velocià orionale delle paricelle liquide conservano valori appreabili anche a considerevoli disane sopra e soo la superficie di disconinuià, e decrescono quasi linearmene verso l'alo e verso il basso. Ad ogni modo, la eoria prevede sposameni vericali nulli per la superficie libera dell'acqua, qualunque sia il ipo di onde inerne in propagaione.. - Consideriamo ora un bacino chiuso e cerchiamo di valuare l'influena che sui movimeni di superficie può essere deerminaa da onde inerne, associae all'aione perurbane dei veni facilmene esensibile ad alra causa perurbane, quale il ransio di variaione di pressione.

Sia x la coordinaa orionale, giacene sulla superficie indisurbaa, con origine sulla cosa di un canale consisene di due srai di diversa densià, e perpendicolare alla cosa sessa. Sia l'asse vericale, direa verso l'alo. Siano inolre u la velocià lungo l'asse x, ρ la densià, v la viscosià cinemaica, p la pressione e g l'acceleraione di gravià. Fig. 3 Le equaioni del moo in sao saionario sono 7 p u v 0, x p ρg 0.

Se è l'elevaione della superficie, h la profondià della superficie di separaione dei due srai e d la profondià del fondo, come equaioni di coninuà prenderemo 8 h h u d, u d 0 0 d dove gli indici e si riferiscono rispeivamene allo srao superiore ed inferiore. Indichiamo con T la ensione cosane eserciaa dal veno sulla superficie dell'acqua. Le condiioni ai limii sono allora 9a 9b Quando si rienga rascurabile v lungo la superficie inerna, lo srao d'acqua superiore non inconra ario sulla superficie limie inferiore, e la condiione 9 b si riduce a 9c Nello sao saionario, l'acqua nello srao inferiore è in quiee, perché l'effeo d'ario dello srao liquido superiore cessa sulla superficie limie e la pressione dovua all'innalameno della superficie è equilibraa dalla depressione della superficie di disconinuià. Quesa condiione si raduce nella seguene relaione: da cui u v T per e u u v v u v 0 ρ ρ ρ h x per per h h 0 ρ h H ρ ρ

ρ ρ ρ α essendo H lo spessore medio dello srao superiore. Dalla seconda delle 7 si ha per cui, inegrando la prima delle 7 dalla profondià della superficie di separaione alla superficie eserna, oeniamo Inegrando, ricordando la 9 a e enendo cono che, per la 0, poso si oiene Dalla si ha, inegrando, oppure, fao cos. g p per e g p ρ ρ ρ h h d u v d x g h H ρ ρ ρ T x H g α ρ 0 α α ρ α C x g T H 0;,,, A bx a C A g T b H a α α ρ α

3 da cui a ± a 4 bx A Si prende, nella 3, il segno posiivo a secondo membro, l'innalameno poendo essere posiivo in qualunque puno. La cosane di inegraione A può essere dedoa dalla legge di conservaione della massa. se l è la larghea del canale, ale legge si esprime nella relaione dx 0 0 dalla si rae che b a T/ρ g H; perano l'andameno della superficie assume l'espressione - in virù della 3-4 Hρ T bx A a g 4 / Nel puno x-a/b dove per la 3, 0 non c'è innalameno d'acqua; ivi l'inclinaione è la sessa che nell'acqua omogenea di profondià H, e menre nel lao sopra veno di queso puno essa è più accenuaa, essa è più ridoa nel lao soo veno. Dalle 7 si ha u ρg v x da cui, inegrando due vole e limiandoci al primo srao, 5 ρg u B C v x Dove B e C sono cosani di inegraione.

Dalla 4 si deduce u v ρg B x che, per, e per la 9 a si idenifica con T. Ma ricordando il valore di ques'ulimo dao della, si deduce B α H Per cui, richiamando il valore di x e ricordando la 0, B h Perano, la prima delle 8 assume la forma: 6 h ρ g h C d v x 0 Nell'ipoesi che sempre si verifica in naura di decisamene più piccolo di h, inegrando la 6 si oiene La 5 diviene allora C h 3 7 u ρg h h v x 3 La disribuione vericale della velocià è quindi simile a quella che si osserva in acqua omogenea di profondià h con fondo piano. La precedene eoria fu applicaa da K.Kajiura dell'isiuo Geofisico dell'universià di Tokyo al lago Suwa, profondo circa 6-7 m e lungo 4Km. L'applicaione è saa faa in regime esivo, quando alla profondià di circa 5 m si forma una ermoclima.

Fig. 4

L'osservaa inclinaione delle isoerme di C 3 C nel lao sopra veno, risulò in buon accordo con quella calcolaa. Anche nel caso considerao, di onde inerne legae alla formaione della superficie del salo ermico esivo-auunnale, la eoria prevede sposameni del livello eserno del lago pressochè nulli vedansi la 0 e la 3 ; in ogni modo, non rilevabili da srumeni di superficie. In quesi calcoli, preoccupaione del ricercaore è di riprodurre, per via eorica, l'andameno dell'isoerma. coincidene con il salo ermico e rivelaa da misure di emperaura dell'acqua, ripeue in più luoghi, in superficie e in profondià. E dei movimeni di quesa superficie, infai, ci si preoccupa in ricerche del genere, nel soineso che ali movimeni non possano ineressare la superficie eserna. Se le cose sessero effeivamene in quesi ermini, le onde inerne porebbero sen'alro essere rascurae, ai fini di quesa noa, che concerne sopra uo movimeni comunque capaci di alerare, più o meno sensibilmene il livello eserno di un bacino d'acqua. III -. - Le cose non sanno precisamene come è deo nei numeri precedeni. Anni fa, esaminando i limnogrammi oenui a Riva del Garda, fui sorpreso di risconrare fra essi ampie oscillaioni non aribuibili ad oscillaioni libere ordinarie: esse si presenano abiualmene fra Luglio ed Oobre ed hanno periodi dell'ordine di 50 h, con soomulipli di 4 h e h ca., paricolarmene frequeni e sviluppai quelli di 4 h. Non mi fu difficile provare raarsi di onde inerne 0 sesse ermiche, legae alla formaione della superficie del salo ermico a 0 meri circa di profondià. Non poei però non considerare srana la loro insolia ampiea, che conseniva loro di rivelarsi in superficie in modo così appariscene, e la loro persisena che si proraeva per inere seimane fig. 4. I mio supore derivava sopra uo dal fao che la eoria negava sosanialmene che la superficie eserna poesse essere ineressaa da onde inerne. Non dimenicavo, fra l'alro, l'aspra reaione di diniego sulla possibilià di simili fenomeni, provocaa nell'inglese Wedderburn - valoroso specialisa in quesi sudi - dalla leura di una, noa di Endros, in

Fig. 5 a

Fig. 5 b

cui lo sudioso edesco aribuibili ad onda inerna una sporadica perurbaione a lungo periodo, regisraa da un limnografo di superficie in un lago della Pomerania. Parecchi anni dopo, ebbi modo, di porare la mia aenione sui laghi dell'ialia cenrale, con paricolare riguardo al lago di Bracciano. Anche qui l'ineresse della ricerca fu sensibilmene acuio dalla scopera di lunghe serie di oscillaioni, aveni un periodo di 6 ore circa, regisrae, con limnografi opporunamene filrai, alla superficie del lago. Traavasi ancora una vola di onde inerne; o meglio, della manifesaione di superficie figg. 5 a, 5 b delle oscillaioni cui viene sooposa la superficie del salo ermico, che - durane i mesi della arda esae e dell'auunno - nel lago di Bracciano si forma alla profondià media di 4-6 m. Ciò che, a prima visa, appariva inesplicabile come nel caso del Garda, erano l'inusiaa ampiea dei movimeni regisrai e la loro duraa la superficie del lago resa infai ondulane per seimane e seimane. L'idrodinamica, come abbiamo viso, prevede pressoché rascurabili i movimeni superficiali legai alle onde inerne. Nei casi del laghi di Garda e di Bracciano è giuocofora invocare, per la persisena e ampiea delle relaive onde inerne, una siuaione conseguene a risonana. Ciò presuppone una causa agene pressochè coninua, associaa a periodi dell'ordine di quelli propri della superficie del salo ermico, che si forma nei due laghi, durane i mesi d'esae e d'auunno. Per quano concerne il lago di Bracciano, in un primo empo ho rienuo acceabile idenificare la causa perurbane nelle maree solide deerminae dalle maree quaro-diurne del vicino Tirreno. La semplice eoria schemaiaa, pare dall'equaione del moo di un'onda lunga - in mancana di viscosià - e dall'equaione di coninuià, cioè della - per v 0 - e dalla 5 - limiaa alla sola u ed inegraa rispeo al empo. x v Se M 0 M cosk rappresena l'onda foraa di marea solida., si prova che dall'inegrale dell'equaione del moo che ne deriva, si perviene - per quano concerne gli

sposameni vericali - alla seguene espressione 3 cosk x v hm m sink l vcoskm x l ρc m sinklm sink l vcoskm x dove m v / c, superiore c ρ ' ' ρ ' g ρ ' ' ρ ' h' h' ρ' e h' riferendosi allo srao π 4l T kv i, gh esendo h' ρ' ' ρ' h h' ρ' ρ' ' h' ' ende all'infinio quando sin klm ende a ero, cioè quando s essendo un inero e T i il periodo di un'onda inerna in un lago di lunghea l i T T i s Quando il periodo della causa perurbane approssima quello dell'oscillaione libera della superficie di separaione dei due srai sovrapposi, saremo in fase di realiaione delle condiioni di risonana. Nel lago di Bracciano ciò si verificherà quando, per s, T enderà al periodo dell'uninodale dell'onda inerna i. Ulimamene però mi sono orienao a rienere più probabile, come causa perurbane, le oscillaioni della pressione amosferica, con periodo dell'ordina di 6 h circa. Tali oscillaioni sono frequenemene preseni nell'amosfera. Quesa ipoesi vale nauralmene anche per il lago di Garda, dove le onde inerne più ampie sono le binodali, di circa 4 h.

Qui la causa agene può idenificarsi con la ben noa oscillaione diurna dell'amosfera, laddove la non meno appariscene onda semidiurna amosferica, può essere causa delle rinodali inerne. La eoria esposa, nauralmene, conserverebbe la sua validià salvo lievi modifiche. Le ricerche per quano concerne le cause delle ecceionali onde inerne nei due laghi, coninuano in queso senso.. - Sempre con riferimeno alle cause delle onde inerne, riengo opporuno accennare ad un lavoro di Haurwi 4 sulle onde inerne a caraere di marea. Osservaioni ripeue di emperaura e salinià negli oceani hanno provao l'esisena di variaioni periodiche, i cui periodi sono di circa e 4 ore, dell'ordine cioè di quelli delle fore di marea. Conrariamene al parere più diffuso fra gli oceanografi, è sao osservao che quese oscillaioni non possono essere rienue vere onde inerne generae da fore di marea, perchè i periodi di libere oscillaioni sulle disconinuià inerne sono molo più lunghi aese le grandi esensioni oceaniche di quelli delle fore di marea, di modo che non porebbero essere soddisfae le richiese condiioni di risonana. L'argomeno venne riesaminao da Haurwi nel lavoro ciao: in conseguena della roaione erresre - in precedena rascuraa -, egli prova che i periodi delle onde inerne sono sensibilmene più brevi e le loro velocià molo più grandi di quano in precedena supposo. Conseguenemene le condiioni di risonana per oscillaioni sulle inerne superficie di disconinuià sono molo più favorevoli di quelle in precedena suppose. Inrodoo il ermine di Coriolis λ ω sin ϕ, dove ω è la velocià angolare della roaione della Terra e ϕ la laiudine, Haurwi perviene alle segueni espressioni per le velocià delle onde libere: c c λ λ h' h' ' bh H ρ' ρ '' ρ ' gh' h'' H ρ ' '

dove ρ è la pulsaione della fora di marea essendo manifeso il significao degli alri simboli. La c è sosania lmene la velocià in uno srao singolo di profondià H la parenesi quadra avendo un valore prossimo all'unià, menre c esprime la velocià delle onde libere alla superficie inerna di disconinuià, se i due srai fluidi sono relaivamene di piccolo spessore. Fig. 6 Si noa che, nel caso di fluido roane, la velocià d'onda è noevolmene aumenaa. Un'alra noevole relaione oenua da Haurwi è quella fra il periodo e la lunghea d'onda. Mi limio a riporarne il grafico relaivo fig. 6. Da esso risula che al crescere della lunghea d'onda, il periodo T,0 dell'onda inerna cresce rapidamene, se l'effeo della roaione erresre è rascurabile, menre in fluido sraificao roane il periodo T i ende asinoicamene ad un limie cosane pari a «half a pendulum day». T e è il periodo dell'onda superficiale. Perano se le onde inerne sono generae da fore di marea, il periodo dell'onda libera deve approssimarsi a quello della fora di marea. Solano allora. l'effeo di risonana può divenire cospicuo.

3 Alrimeni le ampiee delle oscillaioni forae resano insignificani. Per quano concerne le ampiee delle superfici oscillani, Haurwi oiene il seguene rapporo fra l'ampiea 0 alla superficie libera e l'ampiea dell'onda inerna: 0 λ c h' h' ' ρ ' gh' ρ '' c / λ / Si prova che la validià delle, compora la risonana per 0 e. A causa dell'ario, le ampiee resano ugualmene finie. D'alronde il rapporo 0 / rimane finio anche nel caso di ario nullo. Se in 3 a c sosiuiamo - la velocià d'onda alla superficie libera - si oiene, approssimaivamene 0 H h'' che vale per onde superficiali. Se in 3 a c sosiuiamo il valore c, dao dalla - espressione del quadrao della velocià per onde inerne - si oiene 0 approssimaivamene. Cioè - una vola ancora - la superficie libera resa inaleraa per effeo delle onde inerne, anche in caso di risonana. Le conclusioni di Haurwi possono valere per i laghi di Bracciano e di Garda? Evidenemene, no. Per quano concerne dei laghi, i periodi delle onde inerne, regisrae in superficie, sono quelli che loro speano, aese le caraerisiche fisiche dei due srai sovrapposi, e la forma e dimensione del loro alveo. D'alronde, l'aione della roaione errese su superfici così poco esese è del uo rascurabile. 0

Siamo quindi in casi di risonana fra causa agene e onda inerna. C'è piuoso da chiedersi se i casi discussi da Harwi non possano essere meglio spiegai, rienendo, anche per essi, come causa efficiene le oscillaioni diurne e semidiurne dell'amosfera, ali periodi rienrando come armoniche superiori delle più lunghe oscillaioni libere dell'inerna superficie di disconinuià. IV - Condiione necessaria per lo sviluppo delle onde inerne è la formaione della superficie del salo ermico alla quale è associaa quella della densià, e della viscosià, e, nel caso del mare, anche quella della salinià. Solo la chiara formaione di quesa superficie crea le condiioni fisiche ae a consenire l'insorgere di libere oscillaioni nella superficie sessa, che viene a realiare - in qualche modo - la superficie di separaione di due mei fluidi non miscibili. In alre parole, solo l'esisena di una simile superficie - o di una ona di lieve spessore, ale da poersi assimilare ad una superficie -, permee che l'ineraione fra amosfera ed idrosfera, possa radursi in sisemi di onde inerne. Come si forma la superficie del salo ermico? È una quesione piuoso complessa, che presena qualche difficolà d'ordine maemaico, specie se si volesse ener cono dei principali faori che in essa giuocano un ruolo deerminane. Sulla conducibilià ermica nell'acqua la leeraura non è molo nuria, sebbene su ale argomeno si siano cimenai fisicomaemaici famosi, fra i quali persino il grande Riemann. Ad ogni modo, specie per quano si riferisce allo srao del salo ermico «Sprung Schich» dei Tedeschi, non è esao dire che solo Munk e Anderson, e Erel si siano occupai di ale argomeno 5. Prima di loro, una pregevole ricerca è saa pubblicaa dal giapponese H. Arakawa nel 93 6, con un anicipo di 6 anni sul lavoro di Munk e Anderson e di 4 su quello di Erel. Fra i vari faori che influenano la ermologia di un lago, Arakawa dà la preminena alla radiaione solare, e si preoccupa - innani uo - di rovare la legge secondo cui l'energia raggiane viene assorbia dall'acqua. Considerare una variaione annua della emperaura, come conseguena di una variaione eserna alla superficie aria-acqua, sena conoscere la legge

di peneraione dell'energia calorifica nel liquido o scegliendo per essa una legge formalmene idenica a quella della diffusione è sena dubbio insufficiene e può condurre a risulai effimeri. Procedendo con il meodo di Arakawa, si può anche prescindere dall'andameno annuo della radiaione solare e supporre che ua l'energia assorbia serva per l'aumeno della emperaura, rascurando appuno la variaione nel empo della radiaione solare. La formula fondamenale della condiione del calore è cρϑ div kgradϑ ϕ x, y,, dove c è il calore specifico, ρ la densià, a. la emperaura, ϑ la conducibilià ermica e ϕ x, y,, l'ammonare «rae» della generaione del calore per unià di volume. Arakawa si ripropone di risolvere la, discuendo l'effeo della radiaione solare. Innani uo rova - sulla base delle esperiene eseguie sul lago Seneca - che l'assorbimeno dell'energia radiane da pare dell'acqua segue la legge del reso, ben noa γ J J 0 e dove τ 0 è l'energia per cm per unià di empo associaa all'aumeno di emperaura, γ il coefficiene d'assorbimeno e la profondià in meri. La quanià di calore assorbia per una profondià infiniesima è perano γ τ γj e 0 Per il lago Seneca risulò γ 0,37 per mero. Per l'inegraione della si fa l'ipoesi che la variaione della emperaura vicino alla superficie, avvenga per piani perpendicolari alla vericale. Malgrado la conducibilià, il calore specifico e la densià dell'acqua muino generalmene di luogo in luogo, essi vengono rienui cosani. Supposo rivolo posiivamene verso il basso, allora la diviene ϑ k ϑ ϕ ρc ρc

c k a ρ e γ γτ ϕ 0, Si assuma in ; ciò equivale a supporre che l'energia assorbia venga ua ramuaa in aumeno di emperaura, rascurando la variaione della radiaione solare nel empo. Le condiioni al limie ed iniiale sono Con quese premesse, fao come espressione delle diffusivià, si prova che l'inegrale generale della assume forma 6: dove Se 0 Θ esprime la emperaura iniiale cosane, allora avremo { } [ Θ a k J a e γ γ φ φ ϑ φ ϑ 0 0 0 0 { } ] a a a a e a e e γ φ γ φ γ γ γ 0 0 0 per f per ϑ ϑ ϑ { } a a e x x a e e e a k J d e e f a a a a 0 4 4 0 0 0 γ φ γ φ φ γ λ ϑ λ π ϑ ϑ γ γ γ γ λ λ d e 0 β π φ β 4

L'applicaione della 4 presuppone la conoscena di ϑ 0 e θ 0 ; τ 0 può essere rao dalle avole per cosani fisiche, sulla base della laiudine ; γ va dedoo dalle osservaioni sul lago in esame; c e ρ possono essere uguagliai all'unià. Per quano concerne k, va ricordao che per acqua pura le conducibilià ermica è all'incirca,5 X 0-5 a 0 C. II suo valore però cresce più o meno sensibilmene in caso di urbolena. k, ad ogni modo, giuoca un ruolo imporane nella diffusione della emperaura. L'esperiena infai prova che, in caso di urbolena, e quindi con k grande, la emperaura è quasi la sessa come se mancasse la radiaione solare. Ma se l'acqua è calma e la conducibilià è comparabile a quella che si ha in mancana di urbolena, la disribuione ermica devia noevolmene da quella corrispondene a mancana di radiaione. È in corso un'esensione della 4 ad alcuni laghi ialiani, V. - IL problema delle prediioni. Quando gli sposameni vericali del mare, comunque deerminai, superano ceri limii, possono verificarsi inondaioni lungo le cose, con conseguene alora disasrose. Per limiarci all'europa e ai empi più receni, baserà ricordare le inondaioni provocae da cicloni nel 953, lungo le cose del Mare del Nord. Parecchie dighe furono abbaue in Olanda, 5.000 Km di erreno furono invasi dalle acque,.000 persone uccise e 600.000 rimasero sena eo. Possono predirsi simili iaure almeno 4 ore prima del loro verificarsi? La previsione, nauralmene, dev'essere sufficienemene accuraa così da poer disinguer fra sollevameno dannoso e sollevameno sena conseguene delle acque, poichè la popolaione non può essere evacuaa da aree espose all'avvicinarsi di qualsiasi ciclone. Allo sao auale delle nosre conoscene e dei mei ecnici a disposiione, bisogna riconoscere che ali accurae previsioni non sono ancora possibili. Ad ogni modo, sono sai fai, negli ulimi empi, sensibili progressi su quesa via. Un'accuraissima valuaione degli elemeni meeorologici è comunque necessaria, così da poer deerminare, nel più approssimao dei modi, gli effei sommai del veno e della pressione amosferica sul livello del mare o del lago, associai ad ogni singola empesa.

È noo che l'effeo di un ciclone sul livello delle acque, varia a seconda della sruure della empesa e della localià ineressaa. In mare apero, gli effei sono generalmene piccoli; le inondaioni più caasrofiche si sviluppano su acque basse. Seri enaivi di previsione sono in corso specialmene per le empese ineressani il mare del Nord 7, le cose dell'alanico seenrionale 7 Alanic Ciy, il mar Balico 7, il lago Okeechobee 7, il lago Michigan 7, ecc. I problema non è solo di caraere meeorologico; esso invese in pieno anche l'idrodinamica, sia per quano concerne le oscillaioni libere, sia quelle forae, sia le onde lunghe. Infai, onde lunghe originani dalla ona ciclonica possono pure provocare mareggiae in acque basse, p. es., onde lunghe provenieni dall'alanico penerano nel mare del Nord; esse sembrano propagarsi aorno alla Scoia e quindi inolrarsi lungo le cose del Mare del Nord in senso aniorario. Esse vengono idenificae con le così dee onde di Kelvin. La roaione anioraria può essere aribuia all'effeo delle fore di Coriolis, dovue alla roaione erresre. I meodi per la prediione praica in passao erano principalmene basai sulle correlaioni fra livello del mare e parameri meeorologici. Il paramero chiave in caso di empese cicloniche è dao dalla pressione cenrale del ciclone, al duale alcuni aggiungono un faore di amplificaione dinamica. Gli auali meodi di prediione numerica sono basai sull'inegraione numerica delle equaioni idrodinamiche, governani il moo del mare. Le ensioni del veno osservao e la pressione superficiale sono usai come funioni di fora. Le valuaioni per quesa via, sviluppae sopra uo da Velander 7, sono ecnicamene molo complicae. Oggi possono essere agevolae dall'uso di macchine eleroniche. La quesione non rivese ineresse pressane per quano riguarda l'adriaico, sebbene l'acqua ala che si verifica sovene a Veneia, specie d'auunno, cosiuisca un inconveniene non del uo rascurabile. Una sua empesiva previsione porebbe, se non alro, eviare pare dei danni ad essa connessi. A queso fine pero, bisognerebbe inensificare lo sudio dei faori fisici che enrano in giuoco: meeorologici, mareografici, ermologici, idrodinamici e ermodinamici. Solo una vasa ricerca, lunga ed accuraa, porà permeere di seguire i movimeni anormali dell'adriaico, in ui i loro aspei, anche quelli che possono recare danno alle persone e alle cose.

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