Gabriele Ferrari

Gabriele Ferrari 31-01-2018 1

Dalla Gazzetta Ufficiale del 12-12-2017 2

ESPRESSIONE ALGEBRICA: si chiama «espressione algebrica» un insieme qualunque di numeri relativi legati fra loro da segni di operazioni. ESPRESSIONI ALGEBRICHE LETTERALI: insieme di operazioni da eseguire su numeri relativi che possono essere rappresentati anche da lettere dell alfabeto. 4

MONOMIO: qualunque espressione algebrica in cui non figurano addizioni o sottrazioni. La SOMMA di più monomi si chiama POLINOMIO. 5

COSA Si dice espressione algebrica, ogni scrittura in cui compaiono numeri e lettere, ed eventualmente parentesi, legati tra loro da simboli di operazione. Un'espressione algebrica può essere Razionale o Irrazionale. Si dice razionale un'espressione algebrica nella quale compaiono come operazioni soltanto l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e l'elevamento a potenza con esponente intero relativo. Quando è irrazionale compaiono estrazioni di radice. Può essere intera (quando fra i segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non c è la divisione) o frazionaria (quando c è un denominatore per le lettere). N.B. Numeri relativi: -5-4 -3-2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 L espressione algebrica ha significato quando i valori numerici sostituiti alle lettere la rendono vera. Viceversa: perde di significato. Perde di significato anche: quando il denominatore è ZERO; valori che rendono NEGATIVI le espressioni sotto radice (radici con indice PARI). Per SEMPLIFICARE una FRAZIONE ALGEBRICA occorre: - se possibile SCOMPORRE numeratore e denominatore in fattori; - DIVIDERE numeratore e denominatore per TUTTI i FATTORI COMUNI. 7

COME 1) Comprendi come combinare i termini simili. Combinare i termini simili significa semplicemente sommare (o sottrarre) i termini di uguale grado. Questo significa che tutti gli elementi x 2 possono essere combinati con altri elementi x 2, che tutti i termini x 3 possono essere combinati con altri termini x 3 e che anche tutte le costanti, numeri che non sono legati ad alcuna variabile, come 8 o 5, possono essere sommati o combinati. 2) Capisci come fattorizzare un numero. Se stai lavorando su un equazione algebrica, cioè hai un espressione per ciascun lato del segno di uguaglianza, allora puoi semplificarla usando un termine comune. Guarda i coefficienti di tutti i termini (i numeri che precedono le variabili, o costanti) e controlla se c è un numero che puoi eliminare dividendo ogni termine per quel numero. Se lo puoi fare, puoi anche semplificare l equazione e iniziare a risolverla. Ecco come: 3x + 15 = 9x + 30 Ogni coefficiente è divisibile per 3. Ti basta eliminare il fattore 3 dividendo ogni termine per 3 e avrai semplificato l equazione. 3x/3 + 15/3 = 9x/3 + 30/3 x + 5 = 3x + 10 3) Comprendi l ordine in cui svolgere le operazioni. L ordine delle operazioni, conosciuto anche con l acronimo PEMDAS, spiega la sequenza in cui devono essere svolte le operazioni matematiche. L ordine è: Parentesi, Esponenti, Moltiplicazione, Divisione, Addizione e Sottrazione. Ecco un esempio di come funziona: (3 + 5) 2 x 10 + 4 8

Esercizi 9

CONTINUITA : L insieme R non ha «buchi». Quindi c è corrispondenza biunivoca tra numeri e punti di una retta ordinata. 15

La percentuale (esempio: 78%) corrisponde ad un numero razionale con denominatore 100 Esempio: 78/100 ovvero 0,78 La somma di tutte le «parti» deve dare il 100% ovvero l unità! Per fare la pizza per 4 persone: 1) 600 g di farina OO 2) 600 g di acqua tiepida 3) 15 g di olio e.v.o. 4) 5 g di zucchero 5) 25 g di lievito di birra 6) 5 g di sale da cucina 7) 500 g di mozzarella 8) 250 g di passata di pomodoro Suggerimento totale: 2.000 g 18

Esempio: 37 pere su 48 frutti in dispensa Impostare la PROPORZIONE: 37 : 48 = x : 100 x = (37 100 )/ 48 = 77% circa 19

Si possono sommare o sottrarre le percentuali solo sulla stessa quantità di riferimento! x = (100 50) 20/100(100 50) = 50 1/5(50) = 50 10 = 40 20

CRITERI DI DIVISIBILITA 25

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI DI UN NUMERO: o fattorizzazione in numeri primi è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri PRIMI. 180 2 90 2 45 3 divisori: 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 10 ; 9 ; 15 ; 12 ; 20 ; 18 ; 36 ; 45 ; 90 ; 60 (tutte le combinazioni dei fattori primi) 15 3 5 5 Fattorizzazione: 2 2 3 2 5 La fattorizzazione serve, tra le altre cose, a trovare tutti i divisori di un numero; inoltre serve a trovare il m.c.m. e il M.C.D. tra due o più numeri. 63 3 21 3 divisori: 3 ; 7 ; 9 ; 21 7 7 Fattorizzazione: 3 2 7 26

a 0 = 1 a 1 = a a 1/2 = a 29

Esercizi: 30

CALCOLO DELLA RADICE QUADRATA CON METODO APPROSSIMATO: 32

CALCOLO DELLA RADICE QUADRATA CON METODO APPROSSIMATO (moltiplicazioni): 33

Estrapolazione 34

y = a x Retta che passa per l origine. La «a» è il coefficiente angolare: maggiore è la «a» maggiore è la pendenza della retta. Se la «a» è NEGATIVA, allora la retta è speculare rispetto all asse delle ordinate (y). Proporzionalità DIRETTA. 36

y = a / x Iperbole equilatera. Divisa su due rami. Proporzionalità INVERSA. In x=0 la funzione non è definita. N.B. a = x y (costante) 37

y = a x + b Retta che passa per l origine SOLO se b=0; viceversa è traslata (in ALTO con «b» POSITIVO). La «a» è il coefficiente angolare: maggiore è la «a» maggiore è la pendenza della retta. Se la «a» è NEGATIVA, allora la retta è speculare rispetto all asse delle ordinate (y). Funzione LINEARE. b = -1/2 : si vede dal punto (0,-1/2). Con l altro punto, sostituendo, ottengo: 0 = a [-3/2] 1/2-3a = 1 da cui: a = -1/3 38

y = a x 2 Parabola con vertice nell origine ed asse di simmetria coincidente con l asse delle ordinate. Il parametro «a» indica, con il suo segno, la concavità: «a» POSITIVA dà una concavità verso l ALTO. E maggiore è «a» più la parabola è a concavità «stretta»! La parabola è il luogo dei punti equidistanti dal FUOCO e dalla retta direttrice. E una funzione QUADRATICA. 39

DISTANZA TRA DUE PUNTI: teorema di Pitagora. Esempio: C(-1;2) e B(4;-2) distanza x = 4-(-1)=5 distanza y = 2-(-2)=4 [25 + 16] = 41 cioè circa: 6+ 5/12 = 6,41 41

ESERCIZIO: Area? a) 4 u 2 b) 4,5 u 2 c) 5,5 u 2 2p? a) 7 2 u b) (2 2 + 3 5) u c) (2 5 + 3 2) u CBA è retto? 42

EQUAZIONE DI PRIMO GRADO AD UN INCOGNITA E data da un uguaglianza tra due membri: abbiamo due espressioni contenenti l incognita (x) di cui una a sinistra e una a destra dell uguale. L equazione è LINEARE se l incognita «x» compare solo al PRIMO GRADO e non compare al DENOMINATORE. Trovare, se esiste, l eventuale soluzione dell equazione. 44

!!! 47