Elettrotecnica prof.g.m.veca Capitolo Introduttivo Generalità
Sistemi e modelli Matematico Circuitale Grafico 2
3 Modelli matematici γ S ds t D J d l H r r r r r t B rote r r γ S ds t B d l E r r r r t D J roth r r r Legge di Faraday (o prima equazione di Maxwell) Legge di Ampere (o seconda equazione di Maxwell) Legge di Gauss 0 B div r 0 ds B S r r D δ div r τ τ δ d ds D S r r
Modelli matematici elazioni costitutive dei mezzi r D r εe r r B µ H Legge di Ohm fra grandezze specifiche r E r ρj Legge di continuità r divj δ t S r J r ds τ δ t dτ 4
Modelli circuitali - 12 V Sistema fisico Schema funzionale g l T U E 0 l Modello circuitale 5
Modelli circuitali I modelli circuitali possono rappresentare oggetti reali le cui dimensioni fisiche sono trascurabili: più precisamente, gli oggetti la cui dimensione geometrica maggiore, L, risulta significativamente minore della lunghezza d'onda, λ, corrispondente alla massima frequenza, f, di funzionamento del sistema L < λ / 100 3 10 (con λ c / f, dove c è la velocità della luce, i.e. ) 8 ms 1 PE I SISTEMI ELETTICI DI POTENZA f 50 Hz λ 6000 km L < 60 km 6
Modelli grafici I Icc 7
Unità di misura Le unità di misura fondamentali del Sistema Internazionale, SI, sono sette, una per ogni grandezza fondamentale della fisica. Grandezza Nome Simbolo lunghezza metro m massa kilogrammo kg tempo secondo s intensità di corrente elettrica Ampere A temperatura Kelvin K quantità di sostanza mole mol intensità luminosa candela cd 8
Unità di misura Le unità di misura derivate del SI (Sistema internazionale)di più specifico interesse per l Elettrotecnica sono le seguenti. 9
Unità di misura 10
Carica elettrica La quantità di elettricità ( o -) di un corpo, è sempre un multiplo intero della carica elementare (pari alla carica, q e, di un elettrone). L'unità di misura della quantità di carica elettrica è il coulomb, C. Nella materia sono presenti gli elettroni(-), i protoni() e i neutroni(carica Ø) q e 1.60217733 10 19 C m e 9.1093897 10 31 kg m p 1.6726231 10 27 kg m n 1.6749286 10 27 kg 11
Intensità di corrente E il rapporto tra la quantità di carica elettrica che attraversa la sezione, S, di un conduttore ed il tempo impiegato per tale attraversamento. d dt qt Valore i() t Valore istantaneo () medio I Q t Verso di riferimento Moto effettivo delle convenzionale [q] cariche elettriche [-q] 12
Potenziale, d.d.p. e tensione Il potenziale elettrico in un punto, A (i.e. V(A)), è l energia che l unità di carica positiva possiede quando si trova in A, ed equivale al lavoro compiuto dalla forza campo elettrico per spostare la carica positiva unitaria da A all infinito (riferimento per i potenziali, i.e. potenziale nullo). Si misura in volt, [V]. La d.d.p. fra due punti, A e B, è pari alla differenze dei valori dei potenziali in A e in B. Si misura in volt, [V]. V(A)-V(B). La tensione fra due punti, A e B (i.e. U AB ), è il lavoro richiesto per spostare una carica positiva unitaria da A a B. Se il campo elettrico è conservativo coincide con la d.d.p. fra i due punti, i.e. U AB V(A)-V(B), Si misura in volt, [V]. 13
Potenziale, d.d.p. e tensione 14
Potenza ed energia L energia, w(t), è la capacità di produrre un lavoro. Si misura in joule,[j], o in watt ora, [wh] pt () d dt wt () d dqt () wt () d dt qt () vt ()it ( ) La potenza p(t), è la rapidità con cui l energia viene erogata o assorbita. Si misura in watt, [W]. 15
Strumenti di misura a) Amperometro strumento di misura della corrente e si inserisce in serie b) Voltmetro strumento di misura della tensione si inserisce in parallelo c) Wattmetro strumento di misura della potenza a quattro morsetti, due in serie e due in parallelo. 16
Capitolo II eti Elettriche
Bipoli: definizione Gli elementi discreti con cui vengono modellati i sistemi elettrici per analizzare i fenomeni energetici che in essi avvengono sono detti elementi bipolari, o più semplicemente bipoli, componenti cioè che hanno due poli o morsetti od estremi accessibili, od anche una porta. 18
Bipoli: relazione costitutiva Il bipolo risulta completamente definito quando è nota la sua relazione costitutiva, i.e., il legame funzionale fra la tensione e la corrente ai morsetti di accesso (esprimendo la tensione in funzione della corrente si ha u(t) f(i(t)), ovvero, esprimendo la corrente in funzione della tensione si ha i(t) f(v(t)) ). Quando la relazione costitutiva può essere tracciata su di un piano volt-amperometrico prende nome di caratteristica esterna del bipolo Salvo diversa indicazione, lo studio sarà svolto per elementi finiti, bilaterali, concentrati, tempo invarianti e lineari. In questo caso, la rappresentazione del legame funzionale nel piano cartesiano (V, I), quando esiste, non può che essere una retta. 19
Multipoli e Multiporta 20
eti elettriche: definizione Definizione comunque bipolari Interconnessione complessa di elementi 21
eti elettriche: regime In relazione al tipo di variazione nel tempo delle trasformazioni di energia che in essa avvengano, la rete si può trovare condizioni transitorie oppure permanenti. La rete è in regime transitorio quando variano nel tempo l'energie associate ai campi di polarizzazione elettrica e magnetica. La rete è in regime permanente (e.g., continuo oppure sinusoidale a bassa frequenza, i.e. in condizioni quasi stazionarie) quando non si hanno variazioni nel tempo delle energie associate ai campi di polarizzazione elettrica e magnetica. In particolare il regime permanente continuo è caratterizzato dall invarianza nel tempo delle tensioni e delle correnti. Ed è a questo regime che si fa tradizionalmente riferimento per impostare i concetti fondamentali dell'analisi delle reti elettriche. 22
Bipoli passivi: simboli (G) esistore L Induttore C Condensatore 23
eti elettriche: elementi topologici Definizione: Interconnessione comunque complessa di elementi bipolari Topologia Nodo: Punto in in cui convergono convergo-no almeno tre lati. Lato: Tratto di di circuito compreso compre-so fra due nodi. Maglia: Percorso chiuso costituito da lati consecutivi. 24
Leggi di Kirchhoff Le Leggi di Kirchhoff impongono legami lineari fra le correnti di lato e le tensioni di lato e valgono per ogni rete elettrica a parametri concentrati indipendentemente dalla natura degli elementi che la compongono 25
Prima legge di Kirchhoff (LKC) In ogni rete elettrica a parametri concentrati e per ogni istante di tempo la somma algebrica di tutte le correnti dei lati che convergono entranti ed uscunti, in un qualsiasi nodo è identicamente nulla. LKC - Legge di Kirchhoff delle Correnti i l 0 l Somma Correnti entranti Somma Correnti uscenti 26
LKC: Esempio LKC al i () t i () t i () t 0 nodo 3 5 8 27
Seconda legge di Kirchhoff (LKT) In ogni rete elettrica a parametri concentrati e per ogni istante di tempo la somma algebrica di tutte le tensioni dei lati che compongono una qualsiasi maglia è identicamente nulla. LKT - Legge di Kirchhoff delle Tensioni v l 0 l La Somma delle f.e.m. La Somma delle c.d.t. 28
LKT: Esempio LKT maglia 2761 v 2() t v 7 () t v 6 () t v 1 () t 0 29
Bipoli attivi I bipoli attivi, o generatori di energia, si classificano in generatori ideali di tensione e di corrente, e rappresentano le trasformazioni di energia, di altra forma, in energia elettrica (ad es. la batteria di accumulatori delle autovetture trasforma energia chimica in energia elettrica). I Generatore ideale di corrente - U Generatore ideale di tensione U 30
Generatore di tensione Il generatore ideale di tensione è un dispositivo capace di mantenere tra i suoi morsetti una tensione pari alla sua f.e.m. indipendente dalla corrente erogata. I E Generatore Utilizzatore B I E - A U B I E - A 31
Generatore di corrente Utilizzatore U I S B - I I S Generatore B U - I S U corrente invariante tensione tra i suoi Il generatore ideale di corrente è invece un dispositivo capace di produrre una qualunque sia il valore della morsetti. A A 32
Generatori ideali: valori limite 33
Bipoli passivi: definizione I bipoli passivi sono modellati mediante: i resistori, gli induttori e i condensatori. esistori rappresentano le trasformazioni di energia elettrica in energia di altra forma (un termo-ventilatore trasforma ad esempio energia elettrica in calore - utilizzatore). Induttori rappresentano le trasformazioni di energia elettrica in energia di polarizzazione magnetica dei materiali e dello spazio vuoto, e la trasformazione inversa. Condensatori rappresentano le trasformazioni di energia elettrica in energia di polarizzazione elettrica dei materiali e dello spazio vuoto, e la trasformazione inversa. 34
Legge di Ohm Applicando agli estremi di un bipolo resistivo una f.e.m. V, il bipolo è attraversato da una corrente I correlata alla tensione V dalla seguente relazione: VI Vcausa, I effetto ovvero se un bipolo resistivo è percorso da una corrente I, ai suoi estremi (nodi) si stabilisce una d.d.p. pari a: VI Veffetto, Icausa 35
esistore Nella tabella sono riportate le caratteristiche di alcuni materiali a 0 C. Materiale ρ : *mm 2 /m α : C -1 *10-3 ame 0,017 4,3 Alluminio 0,027 4,5 Oro 0,021 4 Argento 0,015 4,1 Ferro 0,13 6,5 Tungsteno 0,051 4,8 Nichel-Cr 1,06 0,1 Manganina 0,4 0,01 Carbone 50-0,4 Silicio 2,5*10 9 negativo 36
esistore ρ l A 0 c.to c.to c.to aperto 37
Legge di Joule Se un resistore è percorso da una corrente I nel resistore si dissipa una potenza, sottoforma di calore, pari a: P J I 2 V 2 / [W] con V d.d.p. ai capi del bipolo In generale si ha: p() t u AB ()it t u AB () t 2 it () 2 38
Induttore Premesso che una corrente I crea un campo magnetico il cui flusso concatenato φ è correlato alla corrente dalla relazione: φ LI (1) L coefficiente di autoinduzione o induttanza o induttore. Premesso inoltre che per qualsiasi variazione di flusso nel tempo si ha la nascita di una f.e.m. la cui intensità e verso sono definiti dalla legge di Lenz: e(t)-d φ(t)/dt (2) 39
Induttore Se L è costante ed indipendente dalla corrente i(t) la relazione (2) si può scrivere: e(t)-ldi(t)/dt Tutto ciò premesso la legge di Ohm per un bipolo induttivo si può scrivere: V(t)Ldi(t)/dt nota: se la corrente è costante, la d.d.p.è identicamente nulla e l induttanza in corrente continua è un corto circuito. 40
Condensatore La capacità di un condensatore è definita dal seguente rapporto: CQ/V Ove Q è la carica elettrica e V è la d.d.p. ai capi delle armature. Pertanto ricordando che V 1 C t 0 idt Q t 0 idt 41
Condensatore La legge di Ohm del bipolo capacitivo i( t) C dv ( t) dt nota: se la tensione V è costante nel tempo, la corrente che attraversa il bipolo capacitivo è identicamente nulla; in altri termini, in corrente continua (cc) la capacità equivale ad un circuito aperto! 42
Condensatore ε 0 8.854 F m 1 pt () u AB ()it t wt () W d u AB ()C t t u AB d () t 1 2 C 1 2 C u AB ()2 t U 2 AB U AB cost. I 0 u AB () t t 1 it () dt u C AB ( 0) 0 43
Elementi circuitali e scambi energetici 44
Trasformazioni delle reti EQUIVALENZA ELETTICA Due bipoli A e B che hanno la stessa relazione costitutiva, i.e., sono elettricamente equivalenti (da un punto esterno), possono cioè essere scambiati senza alterare le tensioni (v A (t) e v B (t)) e le correnti (i A (t) e i B (t)) presenti ai morsetti di collegamento con la rete. i ( t) i ( t) A B e VA ( t) VB ( t) 45
Bipoli: equivalenza energetica L'equivalenza elettrica fra due bipoli non comporta necessariamente anche una loro equivalenza energetica interna. Infatti, l'identità delle relazioni costitutive impone che sia uguale la potenza scambiata dalla rete con in due bipoli, ovvero il saldo fra la potenza generata e quella assorbita al loro interno, ma non vincola in alcun modo i valori assunti da queste potenze; da ciò segue che, in generale, le potenze interne di un bipolo (erogate e/o assorbite) non coincideranno con le analoghe potenze del bipolo elettricamente equivalente. P B PB La potenza trasferita dalla rete originaria è coincidente con quella trasferita dalla rete equivalente. P (rete) P (rete ) La potenza dissipata o erogata all interno della rete originaria è diversa da quella della rete equivalente (rete ). 46
Trasformazioni di reti passive A C D B A B 1 2 3 ' esistenza equivalente serie per si ha ' 1 2 3 1 2 3 ' n A A 1 2 3 ' ' 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 B B 47
48 Trasformazioni bc ac ab bc ac ab b a ) ( bc ac ab ab ac bc c b ) ( bc ac ab bc ab ca a c ) ( Nel caso in cui T ac bc ab S T 3 e se S c b a 3 T S
Trasformazione Triangolo-Stella a b c ab ab ab abac ac abbc ac bcac ac bc bc bc 49
50 b a c c b b a ac a a c c b b a bc c a c c b b a ab Trasformazione Stella-Triangolo
Metodi generali di analisi delle reti Metodo dei nodi Si basa sulla legge di Ohm generalizzata e la prima legge di Kirchhoff, comporta la soluzione di un sistema di pn-1 equazioni. Da questo sistema si ottengono i potenziali dei p nodi rispetto all n-esimo fissato arbitrariamente(di solito 0). I potenziali che si ottengono sono legati da semplici relazioni alle differenze di potenziale tra gli estremi dei lati e quindi alle correnti nei lati. Si procede come segue: Si trasformano tutti i generatori reali di tensione in generatori reali di corrente. Si fissa in maniera arbitraria uno dei nodi della rete come punto di riferimento dei potenziali. Si risolve il sistema di n-1 equazioni lineari. 51
Metodi generali di analisi delle reti Metodo delle maglie Si basa sulla legge di Ohm generalizzata e la seconda legge di Kirchhoff, comporta la soluzione di un sistema di ml-(n- 1)l-p equazioni. Da questo sistema si ottengono delle correnti fittizie associate alle m maglie indipendenti della rete. Si procede come segue: Si fissa arbitrariamente il verso delle correnti incognite in ciascun lato della rete. Si determinano le correnti fittizie di ciascuna maglia che insieme alle correnti delle sorgenti (di corrente) permettono di ricavare le correnti incognite di ciascun lato. Si risolve il sistema delle m equazioni risultanti. 52
Metodi generali di analisi delle reti Principio di sovrapposizione degli effetti Il metodo della sovrapposizione degli effetti afferma che in una rete lineare: Ogni tensione di lato è pari alla somma delle tensioni che ciascun generatore di tensione ideale produce nel lato quando sono annullate le grandezze impresse da tutti gli altri generatori ideali. Ogni corrente di lato è pari alla somma delle correnti che ciascun generatore ideale produce nel lato quando sono annullate le grandezze impresse da tutti gli altri generatori ideali. 53
Teorema di Thévenin Una qualsiasi porzione di rete elettrica (sistema Sa)accessibile attraverso due morsetti può essere sostituita da un bipolo equivalente generalizzato (sistema Sb)senza che ciò alteri il funzionamento della restante parte della rete elettrica. La forza elettromotrice da attribuire a tale bipolo coincide con la tensione a vuoto della porzione di rete in questione; la sua resistenza è data invece dal rapporto fra la tensione a vuoto (determinata in precedenza) e la corrente di corto circuito tra i due morsetti considerati (ciò equivale alla resistenza della rete quando quest ultima è resa passiva, cortocircuitando tutti i generatori di tensione ed aprendo tutti i generatori di corrente). A vuoto: In corto circuito: e( t) V i cc ( t) 0 ( t) e( t) e e e( t) icc( t) V i ( t) ( t) 0 cc 54
Teorema di Norton Il teorema di Norton è il duale del teorema di Thevenin in quanto rappresenta la porzione di rete Sa con un bipolo generalizzato ottenuto con un collegamento in parallelo di un generatore ideale di corrente e di un resistore. I valori da attribuire ai due componenti si deducono come precedentemente visto. A vuoto: V 0 ( t) e i e ( t) In corto circuito: i cc ( t) i e ( t) e V i e ( t) ( t) 0 V i 0 cc ( t) ( t) 55
56 Teorema del massimo trasferimento di potenza Concetto di: rendimento e adattamento Sia data la rete di figura schematizzabile con il suo equivalente di Thevenin potenza scambiata alla porta AB potenza erogata dal generatore potenza dissipata nella rete potenza assorbita dal carico ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u u u u i i i d u i g u i u u i u i u AB u i u u u i E I P W E I P W E EI P E E E UI E I U E I
57 Teorema del massimo trasferimento di potenza Ovviamente sussiste la relazione: Si definisce rendimento ( ) del generatore il rapporto tra la potenza erogata sul carico e quella generata: η u i u i u u i i u i u i u i i g d g d g g u E E P P P P P P P 1 1 ) ( ) ( 1 1 2 2 2 η u d g P P P
Teorema del massimo trasferimento di potenza A tensione costante E e resistenza interna i la potenza trasferita sul carico è funzione del valore di u: P u u I 2 u 2 ( ) 2 i E u Il massimo trasferimento si ottiene per u i. In tal caso la potenza erogata dal generatore andrà metà al carico e metà sarà dissipata all interno della rete. La condizione u i è detta adattamento del carico. 58