Operazioni coi ettori Opposto di un ettore I ersori Somma e differenza tra ettori Componenti di un ettore Prodotto scalare Prodotto ettoriale Rappresentazione matriciale di un ettore
I ettori Per definire un ettore occorre precisarne: Intensità o modulo Direzione (retta dʼ azione) Verso (segno) Origine o punto di applicazione Direzione Verso Modulo Notazione:, oppure ν Il modulo si indica
Prodotto di uno scalare per un ettore L operazione di prodotto di un numero reale a per un ettore associa ad ogni coppia (a, ) il ettore: così definito: se a0 oero allora se sia a che non sono nulli, allora la direzione di il erso di è concorde con quello di se a>0, discorde se a<0 il modulo di 0 di a ed il modulo di w a w coincide con quella di w w è il prodotto tra il alore assoluto w a w 0 w a>0 w a<0
Vettori uguali ed opposti Due ettori sono uguali se hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso erso Lʼ opposto di un ettore è un ettore che ha stesso modulo, stessa direzione e erso opposto. 1 1
Versori Un ersore è un ettore di modulo unitario (modulo1) disposto lungo una particolare direzione Notazione: ˆ Un ersore funge da riferimento per una particolare direzione ˆ w ˆ Qualunque ettore lungo tale direzione è dato dal prodotto del suo modulo per il ersore indicante la direzione: w w ˆ x VERSORI DEGLI ASSI CARTESIANI i k z j ˆx î ŷ ĵ ẑ ˆk y
Somma di due ettori L operazione di somma di due ettori è una legge che associa ad ogni coppia di ettori ( Elemento neutro (ettore nullo) Proprietà Commutatia u, ) il ettore somma +0 u + + u s u + Proprietà Associatia ( u + ) + w u + ( + w) s In Fisica è anche chiamato ettore risultante di e u
Somma (grafica) di ettori IMPORTANTE w s + w Dati due ettori e, la loro somma è un ettore il cui modulo, in generale, non coincide con la somma dei moduli. s w s + w e w hanno la stessa direzione e lo stesso erso + Due metodi equialenti: Metodo del parallelogrammo Metodo punta-coda
Somma di ettori: metodo del parallelogramma s + w w s w
Somma di ettori: metodo punta-coda La somma può essere estesa ad un numero qualunque di ettori. Per sommare più ettori tra loro risulta particolarmente comodo il metodo punta-coda s u + + w w u s u w
Differenza di ettori Aendo definito lʼ opposto di un ettore si può definire la differenza w d w w + ( w) tra due ettori e come la somma tra e lʼ opposto di w w d w d
Componenti di un ettore La somma di ettori effettuata con il metodo grafico è utile per aere delle indicazioni di massima sul ettore risultante. Per la risoluzione di problemi reali occorre però poter calcolare per ia analitica modulo e direzione del ettore risultante, operazione possibile dopo la scomposizione di ciascun ettore nelle sue componenti secondo gli assi di un sistema di riferimento. x y z i j k k z j y i x ˆ ˆ ˆ x y i j j y i x ˆ ˆ
Trigonometria e triangoli rettangoli C AB BC Cateto Cateto β AC Ipotenusa A α B cosα AB AC sen α BC AC tg α BC AB AB AC cosα BC AC senα BC AB tgα Relazioni analoghe si possoni ricaare per l angolo β
Teorema di Pitagora c b a + a b c c a b à Es: a b b a b b a b a CASI PARTICOLARI: c b a 30 o 60 o a c 1 4 3 1 a a a c a b a b 3 45 o 45 o Triangoli rettangoli Consente, noti due lati, di ricaare il terzo:
Componenti cartesiane di un ettore Dato un ettore nel piano xy, le sue componenti lungo gli assi del sistema di riferimento coincidono con la proiezione del ettore sugli assi stessi. y y Vett. componente di lungo asse x x Vett. componente di lungo asse y y θ x x Il ettore può essere scritto come somma ettoriale dei suoi ettori componenti: + x y
y j y Componenti polari di un ettore θ x i x x x y y x x î y y ĵ cosϑ sen ϑ x î + y ĵ Rispetto alle componenti cartesiane, il modulo e la direzione di potranno essere espressi come: x + y tgϑ y x
Esercizio 1 Determinare modulo e direzione del ettore A 5î + 40 ĵ
PROCEDURA Somma di ettori mediante le loro componenti 1. Si ricaano le componenti di ciascun ettore ( x, y, ), (w x,w y, ). Si sommano tra loro le componenti lungo ciascun asse del sistema di riferimento s s x y s + w x y + + w w x y +... +... 3. Si calcola del modulo del ettore somma: s s s x + s y 4. Si calcolo della direzione del ettore somma tgξ s y s x
Esempio di somma di ettori mediante le componenti PASSAGGIO 1: Si ricaano le componenti di ciascun ettore y y θ + w w y y φ x x w x x Componenti: x cosϑ y sen ϑ w x w cosϕ w y w sen ϕ
Esempio di somma di ettori mediante le componenti PASSAGGIO : Si sommano tra loro le componenti lungo ciascun asse del sistema di riferimento y s y s y y + w y w y s y y x s x w x s x s x x x + w x
Esempio di somma di ettori mediante le componenti PASSAGGIO 3: Si calcola il modulo del ettore somma y s s s x + s y w y s s y y x s x w x x
Esempio di somma di ettori mediante le componenti PASSAGGIO 4: Si calcola la direzione del ettore somma y s y w y s y tgξ s y s x ξ x s x w x x
Prodotto di uno scalare per un ettore () Dato un numero reale qualunque a ed un ettore cartesiano, di componenti x e y, il ettore arà componenti w a w x a x w y a y del piano
Dati i ettori determinare: A 3î ĵ B î 4 ĵ Esercizio A + B, A + B, direzione di A B, A B, direzione di A + B A B
Prodotto tra ettori Ø Prodotto scalare à Il risultato è uno scalare Es.: Il laoro di una forza è il prodotto scalare tra la forza applicata ad un corpo e lo spostamento che il corpo compie Ø Prodotto ettoriale à Il risultato è un ettore Es.: Il momento di una forza è il prodotto ettoriale tra la forza applicata ad un corpo rigido e la distanza dal punto di rotazione.
Prodotto scalare Il prodotto scalare è una legge che associa ad ogni coppia di ettori e un numero reale (quindi uno scalare) così definito: w w wcosφ w cosφ proiezione del ettore sul ettore w CASI PARTICOLARI: w φ 90 // w concordi φ 0 // w discordi φ 180 w cosφ w 0 w w w w Il prodotto scalare è nullo se almeno uno dei due ettori è nullo o se i due ettori sono perpendicolari φ w
Prodotto scalare () w Note le componenti dei ettori e nel piano cartesiano xy, ( x, y ) e (w x, w y ) w w x wx + ywy w In uno spazio n-dimensionale in cui ( 1,, n ) e (w 1, w, w n ) w n k1 k w k cos(0) ( x x + y x ) + ( y ) y Proprietà del prodotto scalare: Commutatia Distributia Di omogeneità w u + w w ( ) u + u w (a u) u (a ) a( u ) a R
il cui modulo ale: u wsenφ Prodotto ettoriale Il prodotto ettoriale è una legge che associa ad ogni coppia di ettori e un ettore: w u w φ la cui direzione è ortogonale al piano su cui giacciono e w u w La direzione e il erso si ricaano con la legge della mano destra. Es.: F q B Forza di Lorentz
u w Prodotto ettoriale () u wsenφ CASI PARTICOLARI: w φ 90 // w concordi φ 0 // w discordi φ 180 w w w 0 w 0 0 ( ) NON ale la prop. commutatia: w w Note le componenti dei ettori e nello spazio cartesiano xyz ( x, y, z ) e (w x, w y,w z ) w ux ywz zwy w u y z w x x w z u z x w y y w x
Rappresentazione matriciale dei ettori Un ettore che nello spazio cartesiano R 3 ha componenti x, y, z può essere rappresentato come una matrice colonna: à Per eseguire le operazioni sui ettori si possono usare le regole del calcolo matriciale " x y z $ % VETTORE SCALARE w a a x $ a y " a z % SOMMA/DIFFERENZA DI VETTORI u " u x u y u z $ % " x y z $ % s u ± u x ± x $ u y ± y " u z ± z %
Prodotto scalare Dati due ettori di R 3 " x y z $ % w " w x w y w z $ % " w $ T w (x, y, z ) $ $ w x w y w z PRODOTTO SCALARE % ' ' x w x + y w y + z w z ' T ( x, y, z ) ettore trasposto di Data la matrice A m n si definisce matrice trasposta di A la matrice A T n m ottenuta scambiando le righe e le colonne della matrice A. à Il ettore trasposto di un ettore colonna è un ettore riga ettore riga ettore colonna 5 $ T " 5 1 4 1 " 4 % $
Prodotto ettoriale Dati due ettori di R 3 " x y z $ % w " w x w y w z $ % u x w x w î ĵ ˆk x y z w x w y w z y w y z w z î x z ĵ - + ˆk w x w z x w x y w y ( y w z z w y )î ( x w z z w x ) ĵ + ( x w y y w x ) ˆk ( y w z z w y )î + ( z w x x w z ) ĵ + ( x w y y w x ) ˆk u x y w z z w y u y z w x x w z u z x w y y w x
Esercizio 3 Dati i ettori u " 1 % $ ' $ 3 ' determinare " % $ ' 1 $ 3 ' u u + 3 e calcolarne i moduli. Determinare il ettore perpendicolare sia a u che a
r s Esercizio 4 I ettori e giacciono sul piano xy, i loro moduli algono 4.5 e 7.3 e le loro direzioni sono 30 o e 85 o misurate in senso antiorario rispetto al semiasse positio delle x. Determinare: r s r s
Esercizio 5 Un aereo iaggia inizialmente a 00 km/h in direzione Est ed entra in una regione doe il ento soffia a 100 km/h in direzione 30 NE. Quali sono la nuoa elocità e direzione dell aereo?
Esercizio 6 Un corpo di (forza) peso pari a 100 N è sospeso a due funi come mostrato nella figura sottostante. Sapendo che il corpo si troa in equilibrio, ossia la risultante delle forze che agiscono sul corpo è nulla, determinare il modulo della forza esercitata sul corpo da ciascuna fune. F F 1