Università degli Studi di Genova Facoltà di Ingegneria - Polo di Savona via Cadorna 7-700 Savona Tel. +39 09 64555 - Fax +39 09 64558 Analisi Matematica Testi d esame e Prove parziali a prova - Ottobre 998...................................................................... pag. a prova - 5 Novembre 998.................................................................... pag. 4 3 a prova - 6 Dicembre 998..................................................................... pag. 6 Esame - 0 Gennaio 999........................................................................ pag. 8 Esame - 8 Febbraio 999.........................................................................pag. 0 Esame - 4 Febbraio 999........................................................................pag. Esame - 4 Giugno 999......................................................................... pag. 3 Esame - Luglio 999.......................................................................... pag. 4 Esame - 0 Settembre 999...................................................................... pag. 6 a prova - 5 Novembre 999......................................................................pag. 8 a prova - 6 Novembre 999.................................................................... pag. 0 3 a prova - 7 Dicembre 999..................................................................... pag. Esame - 0 Gennaio 000........................................................................ pag. 4 Esame - 3 Gennaio 000........................................................................ pag. 6 Esame - Febbraio 000........................................................................pag. 8 PlainTex - DviPdf. op - 6 Maggio 00 OP
Analisi Matematica I se ANALISI MATEMATICA (Sv) - Ottobre 998 - ( a prova parziale) h a) Si consideri l insieme - Determinare sup A. - È vero che sup A = max A? A = { x x + }, x R Si osservi che x x + è definito per ogni x reale. Per determinare l estremo superiore di A cerchiamone i maggioranti: m è un maggiorante di A se e solo x x + m x R. Sviluppando i calcoli si ottiene (essendo x + sempre positivo) mx x + m + 0 che è verificata per ogni x R se e solo se il primo coefficiente è maggiore di zero ed il discriminante è minore od uguale a zero, ovvero { m > 0 m m + 0 cioè { m > 0 m m Pertanto m è maggiorante di A se e solo se m ; ne segue che il minimo dei maggioranti, ovvero l estremo superiore di A è. Per quanto riguarda la seconda domanda, poiché l equazione x x + =. ha come soluzione x =, si ha che A ovvero è anche il massimo di A. ) Sia f : R R una funzione il cui grafico è quello in figura: Disegnare i grafici di f (x) = f(x), f (x) = f( x ), f 3 (x) = f(x), f 4 (x) = f(x + ) Per quanto riguarda f sarà sufficiente ribaltare la parte negativa di f.
Analisi Matematica I 3 Per quel che riguarda f si osservi che, se x 0 risulta f (x) = f(x), ed inoltre f è pari, per cui il suo grafico sarà simmetrico rispetto all asse delle ordinate. Per disegnare il grafico di f 3 è sufficiente moltiplicare per la scala delle ordinate. Infine, il grafico di f 4 sarà semplicemente la traslazione di un unità verso sinistra del grafico di f. I quattro grafici richiesti saranno pertanto
4 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA (Sv) - 5 Novembre 998 - ( a prova parziale) h a) Si consideri la successione { an+ = a n + 3 a = - Provare che a n è crescente. - Determinare il ite di a n. La successione a n è crescente se e solo se a n+ a n per ogni n, ovvero se e solo se Sviluppando i calcoli ciò è vero se e solo se a n + 3 a n n N. a n a n + 36 0 n N che risulta sempre vero, essendo il primo membro uguale ad (a n 6). Per quanto riguarda la seconda domanda, poiché la successione è crescente, esisterà sicuramente il ite di a n ; tale ite (che coincide con l estremo superiore) può essere a R oppure +. (Dalla figura a fianco si può facilmente desumere che il ite è reale e vale 6) Proviamo pertanto che a n è itata superiormente da 6, ovvero che a n 6 n N Utilizzando l induzione si ha, per n =, a = 6 che è vero. Supponendo poi a n 6 proviamo che a n+ 6; la tesi è vera se e solo se a n + 3 6 ovvero se e solo se a n 36 che risulta vera per l ipotesi (ricordando che a n è crescente e quindi maggiore di a = > 0). Pertanto essendo a n itata, si ha a n = a R. Per calcolare il valore di a sarà sufficiente passare al ite nella relazione di ricorrenza (ricordando che a n+ = a) dalla quale si ottiene a = a + 3 ovvero a = 6. b) Sia f : R R definita da x + 4, x 0 x + 4, 0 < x 3 f(x) = x + 3, 3 < x 6 (x 6), x > 6 - Disegnare il grafico di f. - Determinare il più grande intervallo che contiene l origine in cui f è invertibile, disegnare il grafico dell inversa g e trovare, se possibile, g(9). - Determinare una espressione esplicita di g.
Analisi Matematica I 5 Il grafico di f risulta Si noti che f : (, 6) (, 0) è iniettiva (e non lo è su intervalli più grandi contenenti l origine); infatti f : (, 3] (, 7] è strettamente crescente, mentre f : (3, 6) (7, 0) è strettamente decrescente. Pertanto l intervallo richiesto è (, 6). Il grafico dell inversa g : (, 0) (, 6) è e, poiché f(4) = 9, risulta g(9) = 4. Una espressione esplicita di g è (trovando l inversa sui vari intervalli) 4 x, x 4 g(x) = x 4, 4 < x 7 x + 3, 7 < x < 0
6 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA (Sv) - 6 Dicembre 998 - (3 a prova parziale) h ) Calcolare, se esiste, al variare del parametro α R x 0 + arctan(αx) x 3 + cos(x) sin(x 3 ) x + α x Intanto deve essere α 0 affinché la funzione sia definita. Consideriamo prima il caso α > 0: il numeratore è la somma di tre funzioni infinitesime: arctan αx di ordine x 3 di ordine 3 cos(x) di ordine mentre il denominatore è la somma di tre funzioni infinitesime: sin(x 3 ) di ordine 3 x di ordine α x di ordine Pertanto x 0 + arctan(αx) x 3 + cos(x) sin(x 3 ) x + α x Se invece α = 0 allora il ite diventa x 0 + = x 0 + arctan(αx) α x x 3 + cos(x) sin(x 3 ) x = x 0 + e per le considerazioni fatte sopra si ha, (tenendo come sempre gli ordini inferiori) x 0 + x 3 + cos(x) sin(x 3 ) x = x 0 + cos(x) x arctan(αx) α = α α x = 4 cos(x) x 0 + (x) = 4 = ) Si consideri, al variare di a, b R, la funzione f(x) = { ln( + x x ) x 0 3x + (a b + 3)x (a + b ) x > 0 a) Determinare a e b in modo che f risulti continua sul suo dominio. b) Determinare a e b in modo che f risulti derivabile sul suo dominio. c) Per i valori di a e b per i quali f è derivabile, disegnare il grafico di f. Per quel che riguarda il dominio di f dovrà essere, per x 0, + x x > 0 ovvero x ( 5, 0]. Essendo formata a tratti da funzioni continue, f risulta quindi continua in ( 5, 0) ed in (0, + ). Resta da verificare la continuità in 0. Poiché x 0 ln( + x x ) = 0 x 0 + 3x + (a b + 3)x (a + b ) = a b
Analisi Matematica I 7 dovrà risultare 0 = a b ovvero a + b =. Per quanto riguarda la derivabilità, ancora come sopra f risulta derivabile (in quanto formata da funzioni derivabili) in ( 5, 0) ed in (0, + ). Nell origine si ha f (x) = x 0 x 0 x + x x = f (x) = 6x + (a b + 3) = (a b + 3) x 0 + x 0 + Dovrà quindi risultare a b + 3 =, che unita alla condizione di continuità sopra trovata, fornisce a = 0, b =. Si ha Disegnamo ora (nel caso a = 0 e b = ) il grafico di { f(x) = ln( + x x ) 5 < x 0 3x + x x > 0 f(x) = ln( + x x ) = x 5 x 5 f(x) = x + x + 3x + x = Intersezioni con gli assi: per x = 0, f(0)=0; inoltre per x 0, ln( + x x ) = 0 fornisce + x x = ovvero x = 0 (e x = non accettabile); infine, per x > 0, 3x + x = 0 fornisce x = 3 (e x = 0). Crescenza e decrescenza: essendo f (x) = { x 5 + x x < x 0 6x + x > 0 dallo studio di f x (x) 0, si ha, per x 0, + x x 0, e ricordando che il denominatore è sempre positivo, risulta x, ovvero sempre verificato (essendo x 0); infine, per x > 0, si ha 6x + 0 ovvero x 6. In conclusione f risulta crescente in ( 5, 6 ] (il suo massimo si ha per x = 6 e vale ) e quindi il grafico è:
8 Analisi Matematica I e Si consideri la funzione a) Disegnare il grafico di f. ANALISI MATEMATICA (Sv) - 0 Gennaio 999 h f(x) = e (x ) 4 f risulta definita per e (x ) 4 0, ovvero per x ± ln 4. Si ha f(0) = e 4 mentre f non si annulla mai. Inoltre f(x) > 0 se e solo se x (, ln 4) ( + ln 4, + ) Calcolando la derivata prima x ( f(x) = +, ln 4) x ( f(x) = ln 4) + x (+ ln 4) f(x) =, x (+ ln 4) + f(x) = + f(x) = 0, f(x) = 0 x x + f (x) = (x (e (x ) )e(x ) 4). essa risulta positiva per x <, x ln 4 ; pertanto f sarà crescente in (, ln 4) ( ln 4, ). Il grafico di f risulterà pertanto: (Si poteva più semplicemente disegnare la funzione pari e x, quindi traslarla a sinistra di ed in basso di 4, e infine disegnarne la reciproca). b) Calcolare, se esiste, l equazione della retta tangente al grafico di f, per x = 0. f è derivabile in 0 e quindi l equazione della retta richiesta è y = f(0) + f (0)x = e 4 + e (e 4) x c) Determinare, se esiste, l inversa di f su [0, ]. Poiché si è già visto che f risulta strettamente crescente in [0, ], allora f : [0, ] [ e 4, 3 ] è invertibile e risolvendo x = f(f (x)) = si ottiene e ( f ( x ) ) 4 f (x) = ln ( 4 + ) x x ove si è scelto il segno negativo della radice perché f (x) [0, ]. [ ] e 4, 3
Analisi Matematica I 9 Si consideri la successione { an+ = a n a = 3 a) Verificare che, per ogni n naturale, a n = + n. Per n = si ha a = + = 3, che risulta vero. Supponendo ora a n = + n, si ottiene e quindi il risultato è provato per induzione. a n+ = ( + n ) = + n+ b) Calcolare, se esiste, l ordine di infinito di ln a n. Per quanto visto sopra ln a n = ln( + n ) = ln[ n ( + n ] = ln( n ) + ln( + n ) = n ln + ln( + n ) Poiché ln( + n ) 0, la parte che è infinita risulta n ln, che ha ordine. (In altre parole ln( + n ) si comporta all infinito come ln( n ) = n ln ).
0 Analisi Matematica I Si consideri la funzione ANALISI MATEMATICA (Sv) - 8 Febbraio 999 h f(x) = { ax + x + b, se x 0 e x + c, se x < 0 a) Determinare a, b, c R in modo che f sia continua su R. f risulta sicuramente continua per x 0. Inoltre f(x) = e x + c = c +, f(x) = ax + x + b = b = f(0) x 0 x 0 x 0 + x 0 + per cui f sarà continua su tutto R se e solo se b = c +. b) Determinare a, b, c R in modo che f sia derivabile su R. f risulta sicuramente derivabile per x 0 e vale f (x) = { ax +, se x > 0 e x, se x < 0 Supponiamo ora, come visto al punto precedente, che sia b = c +, e studiamo la derivabilità in x = 0. Poiché i iti delle derivate esistono e valgono f (x) = e x =, f (x) = ax + = x 0 x 0 x 0 + x 0 + allora f (0) = e f è derivabile su tutto R se e solo se b = c +. Si consideri la funzione a) Disegnare il grafico di g. g(x) = ln( + x ) g risulta definita per ln( + x ) 0, ovvero per x ± e. Si ha g(0) = mentre g non si annulla mai. Inoltre g(x) > 0 se e solo se ln( + x ) > ovvero e + x > e se e solo se x (, e ) ( e, + ) x ( g(x) = +, e ) x ( g(x) = e ) + Calcolando la derivata prima x ( e ) g(x) =, x ( e ) + g(x) = + g(x) = 0, g(x) = 0 x x + g (x) = (ln( + x ) ) + x x
Analisi Matematica I essa risulta positiva per x < 0, x e ; pertanto g sarà crescente in (, e ) ( e, 0). Il grafico di g risulterà pertanto: (Si poteva più semplicemente disegnare la funzione pari ln( + x ), quindi traslarla in basso di, e infine disegnarne la reciproca). b) Calcolare, se esiste, l equazione della retta tangente al grafico di g, per x =. g è derivabile in e quindi l equazione della retta richiesta è y = g() + g ()(x ) = ln (x ) ln c) Determinare, se esiste, l inversa di g su [, 0]. Si è già visto che g risulta strettamente crescente in [, 0], allora g : [, 0] [ ln, ] è invertibile e risolvendo x = g(g (x)) = ln(+( g (x)) si ottiene [ ] g (x) = e + x x ln, ove si è scelto il segno negativo della radice perché g (x) [, 0].
Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA (Sv) - 4 Febbraio 999 h Si consideri la successione definita da { an+ = a n a n + a = a) Stabilire se a n è crescente. a n è crescente se e solo se a n+ a n per ogni n N, ovvero se e solo se che è vero per ogni n N. Pertanto a n è crescente. a n a n + a n (a n ) 0 b) Calcolare, se esistono, a n, inf{a n }, sup{a n }, min{a n }, max{a n }. Poiché a n è crescente esiste il a n = sup{a n } e tale ite può essere o + o reale (= a). Se è reale, passando al ite nella definizione di a n, si ha a = a a + ovvero a = che è impossibile perché a = e a n è crescente. Pertanto a n = + ; da cui sup{a n } = + e non esiste max{a n }. Inoltre, sempre per la crescenza di a n, inf{a n } = min{a n } = a =. Si consideri la funzione a) Disegnare il grafico di f. f(x) = 3x + ln(x + ) f è definita per x + > 0 ovvero x >. Inoltre f(0) = e 3x + ln(x + ) =, 3x + ln(x + ) = x x + Calcolando la derivata prima si ha f (x) = 3 + x + che è positiva (essendo x > ), per < x < 3. f risulta pertanto crescente in (, 3 ] e decrescente in [ 3, + ) e il suo grafico è: b) Determinare il più grande intervallo contenente 0 in cui f è invertibile. Si è già visto che f è strettamente decrescente in [ 3, + ) e quindi è ivi invertibile (e non su intervalli più grandi). c) Calcolare, se esiste, (f ) (). Poiché f(0) = ed f (0) = si avrà, per il teorema di derivazione della funzione inversa (f ) () = f (0) =
Analisi Matematica I 3 ANALISI MATEMATICA (Sv) - 4 Giugno 999 h Si consideri la successione definita da { a n+ = 6 a n a = 3 a) Verificare che a n = + ( ) n n È possibile verificare quanto richiesto per induzione: infatti si ha a = = 3 a n+ = 6 a n = 6 ( ) n n = ( )n n+ = + ( )n+ n+ e b) Calcolare a n Risulta a n = (poiché ( ) n n 0). Si consideri la funzione definita da c) Disegnare il grafico di f. f(x) = x + arctan(x + ) + arctan f è definita per x e si ha, essendo composta di funzioni derivabili, f (x) = + + (x + ) (x + ) + = (x+) x + d) Disegnare il grafico di f. Per quanto visto sopra risulterà { x + a, se x < f(x) = x + b, se x > Poichè si ha f( ) = + arctan( ) + arctan( ) = π e f(0) = arctan() + arctan() = π avremo che { x π f(x) =, se x < x + π, se x > e) Determinare, se esiste, l inversa di f. Essendo f : (, ) (, + ) (, π ) ( + π, + ) strettamente monotona, essa risulta invertibile e si ha { x + f π (x) =, se x < π x π, se x > + π
4 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA (Sv) - luglio 999 h Si consideri la funzione definita da a) Verificare che f è invertibile su R f(x) = x 3 + x Poiché f è la somma di due funzioni strettamente crescenti (x 3 ed x) risulterà strettamente crescente, e quindi invertibile, su tutto il suo dominio, che è R. b) Detta g l inversa di f su R, calcolare, se esiste g () ha Poiché f è derivabile su R, = f() e f () = 4, per il teorema di derivazione della funzione inversa, si g () = f () = 4 c) Calcolare l ordine di infinitesimo di g(x) g() in x = La funzione considerata si annulla per x = ed inoltre la sua derivata prima vale g () = 4 cui l ordine di infinitesimo è (ordine della prima derivata non nulla). 0, per Si consideri la funzione h il cui grafico è d) Disegnare il grafico di k(x) = h(x + ). Il grafico cercato si ottiene, prima traslando a sinistra di una unità il grafico di h, ottenendo in tal modo il grafico di h(x + ), e quindi disegnando, per x > 0 un grafico analogo a quello di h (essendo x crescente per x > 0), e facendo poi il simmetrico rispetto all asse delle ordinate, essendo la funzione k una funzione pari. Si noti che k(0) = h() = 0 e che l asintoto verticale per x > 0, si ha per x + = 3, ovvero per x =. Inoltre, nell origine, k deve essere derivabile e quindi non vi può essere una punta nel grafico.
Analisi Matematica I 5 e) Disegnare il grafico di k. Essendo k una funzione pari, k sarà una funzione dispari. È quindi sufficiente disegnarla per x > 0 (essendo poi il grafico simmetrico rispetto all origine). Si ha k (0) = 0 e k (x) < 0 per ogni x > 0, x. Inoltre x k (x) = e x + k (x) = 0. Infine, essendo k convessa per x > risulterà k crescente per x > (e decrescente per 0 < x < ). In definitiva il grafico richiesto è
6 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA (Sv) - 0 settembre 999 h Si consideri la successione a n = n + 3 n + a) Verificare che a n è decrescente. a n è decrescente se e solo se a n+ a n per ogni n, ovvero (n + ) + 3 (n + ) + n + 3 n + e sviluppando i calcoli, ne segue 4n + 0, che è sempre vero per ogni n naturale. Più rapidamente si poteva notare che che risulta decrescente. a n = n + + n + = + n + b) Determinare, se esistono, il massimo, il minimo, l estremo superiore e l estremo inferiore della successione data. Essendo a n decrescente si ha max{a n } = sup{a n } = a =, inf{a n } = a n = mentre non esiste il minimo, non essendo alcun termine della successione uguale a. Si consideri la funzione f : R R, il cui grafico è: c) Disegnare il grafico di f( x) Il grafico richiesto si ottiene traslando a sinistra di e quindi ribaltando orizzontalmente il grafico di f.
Analisi Matematica I 7 d) Disegnare il grafico di f (x) La funzione f è decrescente (e quindi f è negativa per x < 0 e per a < x < b, ove si sono indicati con a e b i punti di massimo e di minimo relativo di f per x > 0. Inoltre x infty f (x) = 0 poiché la perdenza tende a diventare nulla. Infine, sempre dall esame del grafico di f, si ha x 0 f (x) e x 0 + f (x). Si noti che non sono richieste considerazioni sulla derivata seconda di f; in ogni caso si avrebbe f crescente (cioè f convessa) per x maggiore del punto di flesso vicino ad. Un grafico ragionevole sarà pertanto e) Disegnare il grafico di g( x ), dove g è l inversa di f su [3, + ). Per x > 0, sarà sufficiente considerare la parte di grafico di f con x 3 e disegnarne il simmetrico rispetto alla bisettrice del o e 3 o quadrante; essendo poi g( x ) una funzione pari, ci sarà anche il ramo simmetrico rispetto all asse delle ordinate.
8 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA (Sv) - 5 Novembre 999 - ( a prova parziale) h a) Provare che, per ogni n naturale, n k=0 3 k = 3n+ È possibile provare ciò per induzione: per n = si ha k=0 3 k = 3 0 + 3 = + 3 = 4 = 3 e quindi la formula risulta vera. Supponiamo ora che n k=0 3k = 3n + e proviamo che n+ k=0 3 k = 3n + ; si ha n+ k=0 3 k = n k=0 3 k + 3 n+ = 3n+ e quindi la formula è valida per ogni naturale. Si consideri la funzione b) Determinare l estremo superiore di f. f(x) = + 3 n+ = 3n+ + 3 n+ x x + Osserviamo intanto che x x + non si annulla mai. Determiniamo quindi l insieme dei maggioranti, ovvero degli m R tali che x x + m x R = 3n+ Risolvendo la disequazione (ricordando che il denominatore della frazione è sempre positivo) si ottiene mx mx + m 0 Tale disequazione sarà verificata per ogni x reale se e solo se m è positivo ed il discriminante è negativo o nullo, ovvero se e solo se { m > 0 m m 0 { m > 0 m 0 oppure m che fornisce come soluzione m. Pertanto l estremo superiore (minimo dei maggioranti) è. c) Disegnare il grafico di f. Il grafico di x x + è una parabola di vertice (,) con la concavità rivolta verso l alto. Da tale grafico è immediato dedurre quello di f (reciproco del precedente).
Analisi Matematica I 9 d) Verificare che f è invertibile su (, 0). f è sicuramente invertibile su (, 0) essendo ivi strettamente crescente (lo si deduce dal grafico, o dal fatto che è la reciproca di una funzione strettamente decrescente e positiva). e) Determinare l inversa di f su (, 0). Poiché f : (, 0) (0, ), si avrà f : (0, ) (, 0) ed essendo y = x x + x = ± y si ricava facilmente l espressione dell inversa (ricordando che il rango di f è (, 0) ) f (x) = x Dato il grafico della funzione g : R R f) Disegnare il grafico di g(x + 3), g(x) e g( x ). Il grafico di g(x + 3) si ottiene traslando a sinistra di 3 unità quello di g; il grafico di g(x) si ottiene ribaltando in alto la parte negativa del grafico di g; il grafico di g( x ) si ottiene ribaltando a sinistra la parte del grafico di g avente ascissa positiva:
0 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA (Sv) - 6 Novembre 999 - ( a prova parziale) h Si consideri la successione definita da { an+ = a n + a n a = 5 a) Provare che, per ogni n naturale, si ha a n > 0. Per n = si ha a = 5 > 0. Supponendo poi a n > 0 si ha a n+ = (essendo positivi sia il numeratore che il denominatore). Pertanto quanto richiesto è provato per induzione. b) Provare che a n è decrescente. a n + a n > 0 a n è decrescente se e solo se a n+ a n, n, se e solo se se e solo se (essendo + a n > 0) che è banalmente vero. c) Determinare, se esiste, il a n. a n + a n a n, n a n a n + a n ovvero 0 a n n Essendo a n decrescente, esiste sicuramente a n = a R (essendo a = inf{a n } si ha che a R oppure a =, ma il secondo caso è impossibile poiché a n è sempre positiva). Pertanto, passando al ite nella relazione di ricorrenza, si ottiene a = a + a da cui a = 0. d) Calcolare, se esistono, i seguenti iti n 3 + n + n + n, x 0 x( cos(x)) (sin(3x)) 3, x x 3 x + x + x 3. Tutti e tre i iti risultano forme indeterminate o 0 0. Si ha n 3 + n + n + n = n x 0 x x( cos(x)) (sin(3x)) 3 x 3 x + x + x 3 = x 3 n + n + n + = = x 0 x (x) (3x) 3 (x )(x + x ) (x )(x + 3) ( cos(x)) (3x) 3 (x) (sin(3x)) 3 = 4 7 = x x + x x + 3 = 4 = 7
Analisi Matematica I e) Verificare, utilizzando la definizione di ite, che x + x x + = ovvero Si tratta di verificare che ɛ > 0 δ ɛ > 0 : x I o (+, δ ɛ ) ɛ > 0 δ ɛ > 0 : x > δ ɛ Si ha x x + = x + ovvero se x > ɛ e la tesi, scegliendo (se ɛ < ), δ ɛ = ɛ. x I(, ɛ) x + x x + < ɛ < ɛ se e solo se x + > ɛ
Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA (Sv) - 7 Dicembre 999 - (3 a prova parziale) h Determinare, al variare di α R, α 0 x 0 + cos(3x) + x sin(x) x 3 cos(x) + ln( + αx ) Si tratta di una forma indeterminata 0 0 ; esaminando gli ordini di infinitesimo, si ha cos(3x) è infinitesima di ordine x sin(x) è infinitesima di ordine 3 x 3 cos(x) è infinitesima di ordine 3 ln( + αx ) è infinitesima di ordine se α > 0 Pertanto, se α > 0, il ite richiesto è uguale a x 0 + cos(3x) ln( + αx ) = x 0 + cos(3x) αx (3x) (3x) ln( + αx ) αx = 9 α = 9 α. Se invece α = 0, sempre per le considerazioni fatte sugli ordini, il ite risulta +, essendo il numeratore di ordine inferiore al denominatore. Si consideri la funzione definita da { a + arctan(x), se x < 0 f(x) = b x +, se x 0 a) Stabilire per quali a, b R f risulta continua su R. f è sicuramente continua per x 0, essendo formata da composte di funzioni continue. Per quel che b riguarda x = 0, si ha x 0 a + arctan(x) = a e x 0 + x+ = b = f(0) per cui f sarà continua su R se e solo se a = b b) Stabilire per quali a, b R f risulta derivabile su R. f è sicuramente derivabile per x 0, essendo formata da composte di funzioni derivabili e f +4 x, se x < 0 (x) = b (x + ), se x > 0 Per quel che riguarda x = 0, si ha x 0 R se e solo se +4 x = e x 0 + a = b = b (x+) = b per cui f sarà derivabile su c) Per i valori di a e b per i quali f risulta derivabile in R disegnarne il grafico. Si tratta di disegnare il grafico di { + arctan(x), se x < 0 f(x) = x +, se x 0
Analisi Matematica I 3 d) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f in x = 0. Essendo f(0) = e f (0) =, l equazione della retta tangente risulta y = f(0) + f (0)(x 0) = + x e) Detta f l inversa di f, determinare (f ) (). Si noti che f risulta invertibile su tutto R essendo strettamente crescente; inoltre, essendo f(0) =, si ha (f ) ( ) = f (0) =
4 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA (Sv) - 0 Gennaio 000 - h Si consideri la successione definita da { an+ = a n a = 7 a) Determinare α, β R tali che, per ogni n, si abbia a n = β α n +. Se a n = β α n + si ha, sostituendo nell equazione che definisce la successione β α n+ + = β α n + da cui, semplificando e dividendo per βα n (βα 0 in quanto se fosse nullo si avrebbe a n identicamente ), α = Dalla condizione a = 7 si ha poi βα + = 7 ovvero β + = 7 e quindi β = 3. b) Determinare, se esiste, l ordine di infinito di ln(a n ). Poichè a n = 3 n + si ha ln(a n ) = ln(3 n + ) che tende all infinito con lo stesso ordine di ln(3 n ) = ln 3 + n ln, ovvero di ordine. Si consideri la funzione definita da f(x) = ex x c) Disegnare il grafico di f, precisando dominio, iti, continuità, derivabilità e crescenza. La funzione risulta definita per x 0 e sul suo dominio è continua e derivabile, in quanto composta da funzioni derivabili. Inoltre, utilizzando per il secondo ite gli ordini di infinito, Si ha poi, per x 0, x e x x = 0, x + e x e x = +, x x 0 x = + f (x) = e x x x x 4 da cui f risulta crescente per x x > 0 ovvero per x < 0 oppure per x >. Nel punto di minimo si ha f() = e 4 Il grafico di f sarà pertanto:
Analisi Matematica I 5 d) Scrivere, se esiste, l equazione della retta tangente al grafico di f per x =. L equazione della retta richiesta è y = f() + f ()(x ) = e e(x ) = e( x) e) Determinare, al variare di k R, il numero degli zeri dell equazione e x = kx. L equazione data è equivalente, per x 0, a k = ex x (d altra parte per x = 0 l equazione diventa = 0 per ogni k e quindi x = 0 non è mai soluzione). Dal grafico della funzione al punto c) si deduce pertanto che si avranno nessuna soluzione per k 0 una soluzione per 0 < k < e 4 due soluzioni per k = e 4 tre soluzioni per k > e 4
6 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA (Sv) - 3 Gennaio 000 - h Si consideri la successione definita da { an+ = 3a n + 4 a = a) Determinare α, β R tali che, per ogni n, si abbia a n = β α n. Se a n = β α n si ha, sostituendo nell equazione che definisce la successione β α n+ = 3β α n 6 + 4 da cui, semplificando e dividendo per βα n (βα 0 in quanto se fosse nullo si avrebbe a n identicamente -), α = 3 Dalla condizione a = si ha poi βα = ovvero 3β = e quindi β =. b) Determinare, se esiste, l ordine di infinito di ln(a n ). Poichè a n = 3 n si ha ln(a n ) = ln(3 n ) che tende all infinito con lo stesso ordine di ln(3 n ) = n ln 3, ovvero di ordine. Si consideri la funzione definita da f(x) = ex x 3 c) Disegnare il grafico di f, precisando dominio, iti, continuità, derivabilità e crescenza. La funzione risulta definita per x 0 e sul suo dominio è continua e derivabile, in quanto composta da funzioni derivabili. Inoltre, utilizzando per il secondo ite gli ordini di infinito, x Si ha poi, per x 0, e x x 3 = 0, x + e x = +, x3 x 0 f (x) = e x x3 3x da cui f risulta crescente per x 3 3x > 0 ovvero per x > 3. Nel punto di minimo si ha f(3) = e3 7 Il grafico di f sarà pertanto: x 6 e x =, x3 x 0 + e x x 3 = +
Analisi Matematica I 7 d) Scrivere, se esiste, l equazione della retta tangente al grafico di f per x =. L equazione della retta richiesta è y = f() + f ()(x ) = e e(x ) e) Determinare, al variare di k R, il numero degli zeri dell equazione e x = kx 3. L equazione data è equivalente, per x 0, a k = ex x 3 (d altra parte per x = 0 l equazione diventa = 0 per ogni k e quindi x = 0 non è mai soluzione). Dal grafico della funzione al punto c) si deduce pertanto che si avranno una soluzione per k < 0 nessuna soluzione per 0 k < e3 7 una soluzione per k = e3 7 due soluzioni per k > e3 7
8 Analisi Matematica I Si consideri la successione ANALISI MATEMATICA (Sv) - Febbraio 000 - h a) Provare che, per ogni n naturale, si ha a n = n i= i a n = n Utilizzando il principio di induzione si ha, per n = Supponendo ora vera la formula per n, a n+ = n+ i= i = a = n i= e quindi il risultato è provato anche per n +. i= i = =. i + n+ = n + n+ = n+ b) Calcolare, se esiste, a n + a n. Si ha a n+ = n + a n = n Si consideri la funzione definita da c) Determinare il rango di f. f(x) = x x Dal grafico della funzione (facilmente ottenibile da quello di x x) si deduce che il rango è (, ] (0, + ).
Analisi Matematica I 9 In altro modo si possono cercare i valori di y per cui l equazione y = ha soluzioni (diverse da 0 e -). Risolvendo si ottiene x x yx yx = 0 da cui x = y ± y + y y e quindi affinché esistano soluzioni deve essere y + y > 0, con y 0, ed il risultato precedente. d) Determinare, se esiste, l inversa di f in (, 0). f : (, 0) (0, + ) è invertibile in quanto strettamente crescente. Dai calcoli del punto precedente, scegliendo quindi la soluzione negativa, si ha f (y) = y y + y y, y > 0. e) Calcolare, se esiste x + x x x x + Si ha x + x x x = x + x + x + x x + x x + x + x x = x = x + x + x + x x = = = x + + /x + /x