Costruzione di macchine Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità Marco Beghini ezione 6: Combinazioni di variabili aleatorie
Combinazioni di più variabili aleatorie continue Distribuzione bivariata Variabili Aleatorie indipendenti Carico-resistenza (caso statico) Metodo di Montecarlo
Combinazioni di più variabili aleatorie continue (1/2) Distribuzione bivariata o combinata di due V.A.: definizione y y1 + dy y 1 1 1 + d { (, + ) (, + )} =ϕ (, ) P d y y y dy y ddy 1 1 1 1 1 1
Combinazioni di più variabili aleatorie continue (2/2) Distribuzione bivariata o combinata di due V.A.: proprietà Distribuzioni marginali ( ) ( ) ( ) = ϕ (, ) ( ) { } 1, 1 1, ϕ (, ) f d = P + d y = y dy d f y dy ( ) ϕ (, ) f y y = y d Parametri e momenti Covarianza e correlazione μ, μy, σ, σ y (, ) = ( μ ) ( ) μ y ϕ(, ) COV X Y y y ddy COV ( X, Y ) 1 ρ ( XY, ) = 1 σσ y
Algebra delle variabili aleatorie 1/2 Date due V.A. che assumono valori e y e una funzione: z = (, ) g y le proprietà della V.A. che assume valori z sono: in particolare: (, ) (, ) ϕ(, ) μz = E g y = g y y ddy (, ) 2 (, ) 2 σ z = g y μz ϕ y ddy E[ ± y] = E( ) ± E( y) 2 2 [ ± ] = ± 2 + VAR y σ ρσ σ σ y y 2 2 [ ± ] = + se scorrelate VAR y σ σ y
Algebra delle variabili aleatorie 2/2 Combinazioni lineari Dati due paramenti deterministici non nulli: a, a ( ) ( ) E a± ayy = ae ± aye y VAR a ± a y = a σ ± 2ρa a σ σ + a σ 2 2 2 2 y y y y y y 2 2 2 2 se scorrelate VAR a ± ayy = aσ + ayσ y
Due variabili aleatorie gaussiane Distribuzione combinata di due V.A. gaussiane ϕ (, y) = 1 2 2πσ σ 1 ρ y e 2 2 1 μ y μ y y μ μ y 2ρ + 2 21 ( ρ ) σ σσ y σ y ( )( ) Esempio Mathcad sull effetto dei parametri
Due variabili aleatorie gaussiane μ = μ = 50; σ = 13; σ = 33; y y ρ = 0; y y
μ = μ = 50; σ = 13; σ = 33; y y ρ = 0.9; Due variabili aleatorie gaussiane y
Due variabili aleatorie gaussiane indipendenti Indipendenti Scorrelate ρ = 0 ϕ (, y) 2 1 μ y μ y + 2 σ σ y 1 = e = 2πσ σ y 2 ( ) ( ) 2 1 μ 1 y μ y 2 σ 2 σ y 1 1 e e = 2πσ 2πσ = f f y y y 2
Calcolo dell affidabilità per carichi statici Esempio 6.1 Un tirante ha una resistenza definita da una V.A. S gaussiana con parametri: μs = 30kN, σ S = 5kN il carico è anch esso una V.A. gaussiana con parametri: μ = 20kN, σ = 6kN determinarne l affidabilità per una singola applicazione del carico. 0.1 f ( ) 0.05 f ( ) fs ( ) 0 0 20 40 60 ( kn)
Es. 6.1: I soluzione Si considera la V.A. D differenza resistenza carico: D = S È una combinazione lineare di due V.A. gaussiane Proprietà: a differenza di due V.A. gaussiane è una V.A. gaussiana. Dimostrazione D1 D1 + dd D Determinare la probabilità che la differenza D sia nell intervallo specificato:
S S = D 1 ϕ ( S, ) D1 + dd D 1 f ( D 1 ) dd D + dd+ (, D = ϕ S ) ds d 1 D 1+ ( ) ( ) 2 2 =,, + 2 f D N D μ μ σ σ ρσ σ D S S S
In generale: Dati due paramenti deterministici non nulli: a, a ( ) = (, μ, σ ) f N e due V.A. gaussiane : f y N y con coefficiente di correlazione: ρ ( ) = (, μ, σ ) y y y y a V.A.: z = a + a y y Ha la seguente densità di probabilità: ( ) ( ) 2 2 2 2 =, μ + μ, σ + 2ρ σ σ + σ f z N z a a a a a a z y y y y y y
D = S è la combinazione lineare di due V.A. gaussiane indipendenti D ( ) ( ) 2 2 =,10, 5 + 6 = (,10,7.81) f D N D N D fd ( D) 0.06 0.04 0.02 0 20 0 20 40 D R = 0.90
Es. 6.1: II soluzione S S > = S ϕ ( S, ) > S R = P( S > ) = ϕ (, S) ds d
Es. 6.1: III soluzione (1/2) f ( ) ( ) S f RS ( ) 1 1 1 + d per il carico nell intervallo, ( ) 1 1 + d Il contributo alla probabilità di non rottura (affidabilità) è dr = f d P S > = f d f d = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 S = f d R ( ) ( ) 1 S 1 1
III soluzione (2/2) A questo punto è necessario considerare tutte le possibilità per il livello di carico ed effettuarne la somma: = = R dr f R d ( ) ( ) Integrando con inversione di variabili: = S R f F d S ( ) ( )
Definizioni Safety Margin D SM = μ è il reciproco del CV per la differenza S σ D μs μ SM = 2 2 σ + σ S f ( D ) D F ( D ) D SM σ D μ D P rottura D = F ( 0) ( ) D R= 1 F D 0 D
Definizioni oading Roughness R = σ = σ σ 2 2 D σ + σ S f f f R 0 R 1 f f S f S P rottura P rottura
Probabilità di rottura in funzione del SM Hyp. S e variabili aleatorie gaussiane 0 P rott. 10-2 10-4 10-6 10-8 10-10 10-12 10-14 10-16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 SM
Coefficiente di sicurezza statico? Esempio 6.2 Dati i seguenti valori di V.A. gaussiane (valori in MPa): = N,120,42 ; S = N,270,30 ( ) ( ) determinare il coefficiente di sicurezza convenzionale, il SM e la probabilità di rottura Carico ma: 98 percentile alto 0.015 0.01 0.005 f ( ) fs ( ) ma = 206MPa 0 S am = 221MPa 0 100 200 300 400 Resistenza ammissibile 5 percentile basso
SM = 2.91; R = 0.81 Sam η = = 1.07 ma P rottura = = 3 1.83 10 0.183% Esempio 6.2 bis Dati i seguenti valori di V.A. gaussiane (valori in MPa): = N,500, 40 ; S = N,672,30 ( ) ( ) determinare il coefficiente di sicurezza convenzionale, il SM e la probabilità di rottura Sam 623 η = = = 1.07 582 ma SM = 3.44; R = 0.80 P rottura = = 4 0.291 10 0.029%
Valori tipici di CV per resistenze meccaniche (leghe metalliche) Resistenza CV Ultimate stress 0.05 Yielding stress 0.07 Fatigue limit 0.10 Hardness (Brinnel) 0.05 Fracture strength (lower shelf) 0.08
Interpretazione dell affidabilità statica (Trasformazione di Mellin) X = F u = R f u R u du ( ) Y = R u ( ) ( ) S ( ) S f u du = df u = dx ( ) ( ) Y = R S 1 R = Y dx P R R 1 X = F
Metodo Montecarlo Strumento per effettuare simulazioni numeriche Algoritmo per calcolare integrali Permette di simulare in forma numerica situazioni complesse Esempio Valutare la probabilità che una palla da biliardo lanciata a caso si fermi all interno di una figura disegnata sul tavolo
anciare un palla a caso significa che la posizione finale è definita da una distribuzione bivariata uniforme nel rettangolo e coordinate della posizione finale della palla sono V.A. indipendenti uniformemente distribuite Un generatore di numeri casuali tra 0 e 1 definisce una coordinata insieme di punti che si ottengono per ripetizione della procedura si chiama campo di Poisson Non serve avere l espressione analitica del contorno della figura, basta una funzione che stabilisca se il punto è dentro o fuori Il risultato si ottiene applicando la definizione statistica di probabilità (si prendono tantissimi punti a caso) Si comprende l uso del metodo per il calcolo degli integrali
Generatori di numeri (pseudo)casuali =?; = c+ a mod m; r = / m ( ) 0 i i 1 i i m > 0 modulus 0 < a< m multiplier 0 c< m increment c e m primi tra loro, a 1 è divisibile per tutti i fattori primi di m, a 1 è multiplo di 4 se m è multiplo 4 Esempi m a c Numerical Recipes 2 32 1664525 1013904223 Borland C/C++ 2 32 22695477 1
Campi di Poisson n = 50 n = 200 n = 1000
Esempio 6.3 Stimare π con il metodo Montecarlo Probabilità che il punto stia dentro lo spicchio di cerchio: P = π 4 π = 4P Si genera una distribuzione di Poisson di n punti e si calcola la frazione degli n int punti interni : π n 4 int n
Soluzione n 4 int n 4 3 2 1 0 0 200 400 600 800 1000 n
Generazione di numeri casuali con distribuzione voluta (1/2) y dy 1 F( ) Numero di punti nell intervallo: d df dy = d = f ( ) d d δ = f y = = Se la densità di y è costante e pari a: ( ) 1/1 1 δ dy dy d Densità di corrispondenti valori di : δ = f ( ) y
Generazione di numeri casuali con distribuzione voluta (2/2) 1 = F y ( ) Applicando a una V.A. distribuita uniformemente in (0,1) la funzione cumulata inversa di una distribuzione nota, si genera una V.A. con tale distribuzione Esempio 6.3 Generare n=20 valori distribuiti secondo una Weibull con parametri: α = 1, β = 2, = 3 0 (, α, β, ) 0 F 0 0 β = α 1 e > 0 0
( ) 0 0 0 1/ 0 1/ 0 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 F e F F F β α β β β α α α = > = = = + 1/ 0 1 ln 1 y β α = +
k 1 y k k 0.394 4.001 s k 3.081 Fs k 0.034 2 0.586 4.763 3.117 0.083 3 0.480 4.310 3.152 0.132 4 0.102 3.215 3.215 0.181 5 6 7 0.425 4.107 0.692 5.355 0.387 3.977 3.338 3.373 3.743 0.230 0.279 0.328 Fs k = k 0.5 n 8 0.780 6.025 3.977 0.377 9 0.420 4.088 4.001 0.426 10 0.155 3.338 4.088 0.475 11 0.461 4.236 4.107 0.525 12 0.547 4.583 4.236 0.574 13 0.310 3.743 4.31 0.623 14 0.073 3.152 4.583 0.672 14 0.040 3.081 4.763 0.721 16 0.617 4.921 4.921 0.770 17 0.797 6.188 5.355 0.819 18 0.057 3.117 5.655 0.868 19 0.735 5.655 6.025 0.917 20 0.170 3.373 6.188 0.966
F 1 0.8 0.6 F Fs 0.4 0.2 0 3 3.5 4 4.5 5 5.5
1 ln ln 1 F 2 0 Fs 2 F 4 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 ( ) ln 0
Esempio 6.4 a sollecitazione di un elemento meccanico è definita da una V.A. di Weibull con parametri: α = 50, β = 2.0, = 100 0 e la resistenza è una V.A. di Weibull con parametri: α = 100, β = 3.0, = 120 S S 0S Determinare l affidabilità per un singolo caricamento statico. R f u R u du = ( ) 0 ( ) ( ) S u α 0 S βs S R u = min(1, e ) S ( ) 0 ( ) β 1 u 0 α β u f u = e u α α β 0
Distribuzioni f ( u) 0.02 0.015 0.01 S 0.005 0 0 100 200 300 u R th = 0.948
Soluzione con Montecarlo Soluzione numerica in funzione della numerosità del campione di valori del metodo Montecarlo R 1 0.95 0.9 1 1000 2000 n
Precisione e convergenza con Montecarlo Indichiamo con n il numero di tentativi della simulazione e rispet.: P, P n la probabilità teorica da calcolare e quella ottenuta con Montecarlo È stato dimostrato che: P( 1 P) Prob P Pn < 2 = 0.95 n Oppure, equivalentemente, che con la confidenza del 95% l incertezza relativa sulla probabilità (semiampiezza dell intervallo relativo di previsione) è: P P 1 1 e = n = 2 1 P P n
a formula mostra che l incertezza relativa è più alta per la stima di probabilità basse (necessità di n elevati) Nel caso esaminato: P = 0.948 Stima della semiampiezza dell intervallo relativo di previsione e 0.1 0.01 0.001 10 100 1000 10000. n
Stima della semiampiezza dell intervallo relativo di previsione: scala lineare e 0.1 0.05 0 2000 4000 6000 8000 1. 10 4 n
Intervalli di confidenza del 95% per il caso esaminato R 1 0.95 0.9 0 1000 2000 n