www.mtefili.it Indirizzi: LI, EA SCIENTIFICO; LI3 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE CALENDARIO BOREALE AMERICHE 5 PROBLEMA Si f l funzione definit d f(x) = (4x ) e x. ) Dimostr che l funzione possiede un unico punto di minimo e un unico punto di flesso. Clcol le coordinte del minimo e del flesso e trcci il grfico G f dell funzione. Studimo l funzione f(x) = (4x ) e x. Dominio: < x < + Intersezioni con gli ssi: Se x = : y = Se y = : (4x ) e x = d cui x = Segno dell funzione: L funzione è positiv se (4x ) e x >, x > Limiti: lim x (4x ) e x = (si ricordi il limite notevole lim x (x e x ) = ). lim x + (4x ) e x = + ; non c è sintoto obliquo perché l funzione, per x che tende più infinito, si comport come 4x e x, che non è un infinito del primo ordine. Derivt prim: y = 8xe x se x : quindi l funzione è crescente se x> e decrescente se x<o; x= è quindi punto di minimo reltivo (e ssoluto), con ordint y =. L funzione mmette quindi un unico punto di minimo m, con coordinte m = (; ). Americhe 5 - Problem / 5 www.mtefili.it
Derivt second: y = 6xe x + 8e x = 8e x (x + ) se x : quindi il grfico di f volge l concvità verso l lto se x > e verso il bsso se x < : x = è quindi l unico punto di flesso, con ordint y = 4e = 4. e L funzione mmette un unico flesso F, di coordinte F = ( ; 4 e ). Il grfico dell funzione è il seguente: ) Dimostr che l funzione g(x) = ( 4x ) e x è simmetric f rispetto ll sse y e trccirne il grfico G g. L simmetric di f rispetto ll sse delle y h equzione che si ottiene scmbindo x in x, quindi l equzione è: f( x) = ( 4x ) e x = g(x) Il grfico G g dell g(x), ffincto quello dell f(x), è il seguente: Americhe 5 - Problem / 5 www.mtefili.it
Verifichimo se i due grfici hnno ltre intersezioni oltre quell sull sse y: (4x ) e x = ( 4x ) e x, e 4x = 4x 4x = x x Rppresentimo nello stesso pino crtesino le due curve: y = e 4x funzione esponenzile che intersec l sse y nel punto di ordint. y = x : funzione omogrfic di centro x ( ; ), sintoti x = per il punto di coordinte (; ). e y =, pssnte Si h l seguente situzione grfic: Si deduce dl grfico che le due curve si intersecno solo se x=: quindi G f e G g hnno l sol intersezione (;-). 3) Detti P e Q i punti di intersezione rispettivmente del grfico G f e del grfico G g con l sse x, determin l re A dell porzione di pino delimitt dl segmento PQ e di grfici G f e G g. Per l simmetri verifict nel punto precedente l re A richiest è il doppio dell re S dell porzione di pino delimitt dgli ssi crtesini e dl grfico G f ; tle zon è nel qurto qudrnte: Americhe 5 - Problem 3/ 5 www.mtefili.it
Risult quindi: S = ( f(x))dx = f(x)dx = (4x ) e x dx Cerchimo un primitiv di (4x ) e x integrndo per prti: (4x ) e x dx = (x ) e x dx = (x ) (e x ) dx = = (x )e x e x dx = (x )e x e x = (x )e x Pertnto: S = (4x ) e x dx = [(x )e x ] = [ e ( )] = e.78 L re A richiest è quindi: A = S = (e ) u.44 u Americhe 5 - Problem 4/ 5 www.mtefili.it
4) Si f l fmigli di funzioni definite d f (x) = (x ) e x, con ε R {}. Per ogni funzione f l tngente l grfico nel punto di flesso intersec l sse x e l sse y delimitndo un tringolo rettngolo. Determin i vlori di per i quli tle tringolo è nche isoscele, spiegndo il procedimento seguito. Clcolimo, per ogni, l derivt prim dell funzione: f (x) = e x + (x ) e x = e x (x) = x e x f (x) = [e x + x e x ()] = e x ( + x) Per l derivt second si nnull per x = e siccome il segno dell derivt second è dt dl fttore + x, siccome quest ultimo cmbi il segno prim e dopo x = (si per positiv che per negtiv), possimo concludere che l funzione mmette uno ed un solo flesso per x = ; l ordint del flesso è: f ( ) = ( 4) e = 4 F = ( ; 4 ) ; notimo che l ordint del flesso non e e dipende d, quindi i flessi pprtengono ll rett di equzione y = 4. e L tngente nel punto di flesso h coefficiente ngolre dto d: f ( ) = e = e ; l tngente nel punto di flesso h quindi equzione: y + 4 e = e (x + ), y = e x 6 e Cerchimo le intersezioni dell tngente inflessionle con gli ssi crtesini: Se x =, y = 6 e Se y =, x = 3 Il tringolo rettngolo individuto dll tngente inflessionle con gli ssi crtesini è nche isoscele se: 6 e = 3 d cui 3 = ± 6 e quindi: = ± e Per = e l tngente inflessionle h equzione: y = x 6 e crtesini ngoli di 45. Per = e l tngente inflessionle h equzione: y = x 6 e crtesini ngoli di 45. che form con gli ssi che form con gli ssi Con l collborzione di Angel Sntmri Americhe 5 - Problem 5/ 5 www.mtefili.it