lim f (x)=f (x 0 ) x x 0 Funzioni continue Dal punto di vista intuitivo dire che una funzione è continua in un intervallo è come dire che nel disegnare il suo grafico non stacchiamo mai la penna dal foglio. Scriviamo adesso la definizione rigorosa di continuità in un punto: Sia f (x) una funzione definita in un intorno di x 0. La funzione si dice continua nel punto x 0 quando esiste il limite di f (x) per x x 0 e tale limite è uguale al valore f (x 0 ) della funzione calcolata in x 0, ovvero: In sostanza questo significa che affinché una funzione sia continua in un punto x 0 devono essere verificate tre condizioni: 1. deve esistere il valore della funzione nel punto x 0 (cioè deve essere possibile calcolare f (x 0 ) e questo numero deve essere finito); 2. deve esistere il limite della funzione per x tendente a x 0 3. il valore di questo limite deve coincidere con f (x 0 ) Se anche una sola di queste condizioni non è verificata allora la funzione non è continua nel punto x 0 (in questi casi si dice che è discontinua nel punto x 0 ) Una prima immediata conseguenza della definizione è che se x 0 non appartiene al dominio della funzione, la funzione stessa è discontinua nel punto x 0. Infatti, se x 0 non appartiene al dominio, non possiamo calcolare f (x 0 ) perché esso non esiste. Esempio1: y= 1 x. Il dominio è D: R-{0} La funzione è discontinua nel punto x=0 perché il valore della funzione nel punto 0 (cioè f (0) ) non esiste. page 1/5
Esempio 2: Dal grafico si vede immediatamente che questa funzione è discontinua nel punto x=3. Analizziamo ora, per quanto riguarda questo esempio, la definizione rigorosa di continuità in un punto: 1) deve esistere il valore della funzione nel punto f (x 0 ). Nel nostro caso x 0 =3 e f (3)=2 (pallino pieno). Questa condizione è quindi soddisfatta. 2) Deve esistere il limite della funzione per x tendente a x 0. Nel nostro caso x 0 =3 e f (x)=1. Sia il limite destro che il limite sinistro esistono ed entrambi valgono 1. lim x 3 (Infatti, se x si avvicina a 3, sia da destra che da sinistra, la funzione si avvicina a 1). Anche questa condizione è quindi soddisfatta. 3) Il valore del limite deve coincidere con f (x 0 ). Nel nostro caso il limite è 1 mentre f (3)=2. Questa condizione non è soddisfatta. La funzione è quindi discontinua nel punto x=3 page 2/5
Esempio 3 Questa funzione è simile a quella di prima ma è diversa. Essa è infatti continua nel punto x=3. Vediamo perché: 1) deve esistere il valore della funzione nel punto x 0. Nel nostro caso x 0 =3 e f (3)=1 Questa condizione è quindi soddisfatta. 2) Deve esistere il limite della funzione per x tendente a x 0. Nel nostro caso x 0 =3 e f (x)=1. Sia il limite destro che il limite sinistro esistono ed entrambi valgono 1. lim x 3 (Infatti, se x si avvicina a 3, sia da destra che da sinistra, la funzione si avvicina a 1). Anche questa condizione è soddisfatta. 3) Il valore del limite deve coincidere con f (x 0 ). Nel nostro caso il limite è 1 e f (3)=1. La funzione è quindi continua nel punto x=3 Continuità in un intervallo Se la funzione risulta continua in ogni punto di un certo intervallo allora diciamo che la funzione è continua in quell'intervallo. L'intervallo può essere anche tutto R. In questo caso diciamo che la funzione è continua in R. page 3/5
Nell'esempio 1: la funzione è continua ovunque tranne che in x=0 Nell'esempio 2: la funzione è continua per tutti i punti del suo intervallo di definizione tranne che nel punto x=3. Nell'esempio 3: la funzione è continua in tutto l'intervallo di definizione. Teoremi: Se due o più funzioni sono continue in un intervallo anche la loro somma algebrica è una funzione continua nell'intervallo. Lo stesso vale per il prodotto di due o più funzioni. Il rapporto di due funzioni continue in un intervallo è una funzione continua nell'intervallo con l'eccezione di quei valori per i quali si annulla il denominatore Usando questi teoremi è facile dimostrare che: 1. La funzione costante è continua in ogni punto 2. Ogni funzione razionale intera è continua in R 3. Ogni funzione razionale fratta f(x)=a(x)/b(x) è continua per ogni valore che non annulli il denominatore. 4. La funzione y=a x è continua per ogni valore di x 5. La funzione y=log x a è continua per ogni valore positivo di x Le funzioni più comuni hanno la seguente proprietà: gli intervalli di continuità coincidono con il dominio ma non è sempre così. Nell'esempio 2, infatti, troviamo una funzione il cui dominio è: D=[0,4] ma l'intervallo di continuità è: [0,3)U(3,4]. Un altro esempio: Studiare la continuità della seguente funzione f ( x)= { 4x+4 se x 1 x 2 +1 se x<1 Questa funzione è una retta per ogni x maggiore o uguale a 1 ed è una parabola per ogni x minore di 1. La funzione è sicuramente continua per x<1 (è una funzione polinomiale, parabola in questo caso) ed è continua anche per x>1 (è una funzione polinomiale, retta in questo caso). L'unico punto da studiare è x=1 1. f (1)=0 si trova osservando che se x=1 dobbiamo considerare la retta e non la parabola 2. Il limite in questo caso non esiste: il limite destro è diverso dal limite sinistro. Infatti risulta: lim f (x)=2 lim f (x)=0 x 1 - x 1 + N.B. Quando fai il limite destro devi avvicinarti partendo da valori più grandi di 1 e quindi devi considerare la retta. Quando fai il limite sinistro devi avvicinarti da sinistra e quindi devi page 4/5
considerare la parabola. La funzione è quindi discontinua nel punto x=1 e, pertanto, gli intervalli di continuità sono: (,1)U (1,+ ) Abbiamo quindi stabilito gli intervalli di continuità senza disegnare il grafico. Possiamo, comunque, verificare quanto detto disegnando il grafico della funzione: Teoria da pag. 113 mod U Esercizi : studia la continuità delle funzioni di pag. 198 e 199 mod U numeri: 642,644,648,649. (Tralascia la classificazione dei punti di discontinuità) page 5/5