Equazioni differenziali

Capitolo 2 Equazioni differenziali I modelli matematici per lo studio di una popolazione isolata sono equazioni differenziali. Premettiamo dunque allo studio dei modelli di popolazioni isolate una breve introduzione alle equazioni differenziali. 2.1 Equazioni differenziali del primo ordine Esprimono un legame tra una variabile indipendente x; una variabile dipendente y (che sta ad indicare una funzione y = y(x)); una o più derivate della funzione y. Esempi 2.1. 1. y = f(x) è un equazione differenziale una cui soluzione è una primitiva di y. Ad esempio se y = e x + x 2, una soluzione è y = e x + x 3 /3 ed una generica soluzione è y = e x + x 3 /3 + c, con c una costante arbitraria. 2. y = y ha come soluzione y(x) = e x ed una generica soluzione è y(x) = ce x, con c una costante arbitraria. Infatti la derivata di y(x) = ce x è proprio y stesso. Dagli esempi vediamo che le soluzioni delle equazioni differenziali non sono uniche ma dipendono da una o, in generale, piu costanti arbitrarie. Una equazione differenziale in cui compare solo la derivata prima della funzione incognita si dice equazione differenziale del 1 o ordine; se compare anche y si dice del 2 ordine, e così via. Un equazione differenziale del primo ordine si dice in forma normale se è del tipo: y = F (x, y). Esempio 2.2. y = y è un equazione differenziale del primo ordine in forma normale. 8

1 0 Equazioni differenziali 9 Equazioni differenziali del primo ordine e campi di direzioni Un equazione differenziale del primo ordine in forma normale y = F (x, y) può essere interpretata geometricamente come l associare a ogni punto (x, y) del piano cartesiano una direzione (determinata da y che è il coefficiente angolare della funzione incognita y = y(x)). 1 0.5 1 2 3 4 t 0.5 y(t) di una delle soluzioni, l unica che passa per P. Questo giustifica (intuitivamente) il seguente 1.5 In altre parole ogni soluzione y = y(x) dovrà avere in (x, y) retta tangente di coefficiente angolare y = F (x, y). Si determina allora un campo di direzioni associando a ogni (x, y) la direzione determinata dal coefficiente angolare y = F (x, y). Ad esempio l equazione y = y(1 y) determina il campo di direzioni in figura. Intuitivamente, se partiamo da un punto P e ci muoviamo seguendo punto per punto la direzione data dal campo di direzioni, la nostra traiettoria è una curva; si tratta proprio Teorema 2.3 (di esistenza e unicità della soluzione di un equazione differenziale del 1 ordine in forma normale). Data un equazione differenziale y = F (x, y) e un punto P (x 0, y 0 ), sotto opportune condizioni di regolarità della funzione F (x, y) esiste una e una sola funzione y = f(x) soluzione dell equazione differenziale tale che y 0 = f(x 0 ). (cioè tale che la curva y = f(x) passa per il punto P (x 0, y 0 ).) Data un equazione diffenziale y = F (x, y) il problema di trovare la soluzione y = y(x) tale che y 0 = f(x 0 ) si dice problema di Cauchy. Equazioni differenziali a variabili separabili Un equazione differenziale della forma si dice a variabili separabili. y = f(x)g(y) Esempio 2.4. L equazione y = sin(x) y è a variabili separabili. Modelli Matematici applicati all Ecologia (03.04.06)

1 0 1 0 1 0 10 Capitolo 2 1.5 y(t) 0.5 0.5 1 1.5 y(t) 0.5 0.5 1 1.5 y(t) 0.5 0.5 1 1 2 3 4 t 1 2 3 4 t 1 2 3 4 t (a) Soluzione passante per un punto (b) Soluzioni per varie condizioni iniziali (c) Soluzioni e campo di direzioni Per risolverla scrivo y come dy e tratto questo termine come una frazione. dx Moltiplico i due membri per dx e porto quindi tutto ciò che contiene la y dalla stessa parte di dy e tutto ciò che contiene x da quella di dx, ottenendo: dy g(y) = f(x)dx. e poi Nell esempio scrivo dy dx = sin(x) y dy y = sin(x)dx Infine, integrando ambo i membri trovo la soluzione generale. Nell esempio dy = sin(x)dx y 2 y = cos(x) + c y = ( 1 2 cos(x) + c 2) 2. Esempio 2.5. Anche l equazione del 1 ordine omogenea a coefficienti costanti y ky = 0 S. Console M. Roggero

Equazioni differenziali 11 è a variabili separabili. Portando ky a secondo membro si ottiene infatti: y = ky. Risolvendo col metodo sopra illustrato si trovano le soluzioni: y = c e kx. Si noti che k è la soluzione dell equazione T k = 0 ottenuta mettendo T al posto di y e 1 al posto di y. 2.2 Equazioni differenziali del secondo ordine Una equazione diffenrenziale in cui compare anche y oltre eventualmente a y e a y e a funzioni note della variabile x, ma non derivate della y di ordine superiore, si dice del 2 ordine. Si dirà in forma normale se è del tipo: y = F (x, y, y ). Anche in questo caso vale un risultato di esistenza e unicità: Teorema 2.6. Data un equazione differenziale y = F (x, y, y ) e inoltre un punto P (x 0, y 0 ) e un numero reale m, sotto opportune condizioni di regolarità della funzione F (x, y, y ) esiste una e una sola funzione y = f(x) soluzione dell equazione differenziale tale che y 0 = f(x 0 ) e m = f (x 0 ) (cioè tale che la curva y = f(x) passa per il punto P (x 0, y 0 ) e in quel punto la sua retta tangente ha coefficiente angolare m.) In questo caso l equazione differenziale ha infinite soluzioni dipendenti da 2 parametri. Equazioni del 2 ordine omogenee a coefficienti costanti Una equazione differenziale della forma: y + αy + β = 0 con α, β R si dice omogenea del 2 ordine a coefficienti costanti. In analogia con quanto visto nell Esempio 2.5 cerchiamo eventuali soluzioni di tipo esponenziale y = e kx. Derivando due volte y = ke kx e y = k 2 e kx e sostituendo otteniamo: e kx ( k 2 + αk + β ) = 0. Se k è soluzione dell equazione T 2 + αt + β = 0, la funzione y = e kx sarà soluzione dell equazione differnziale. Distinguiamo a seconda che l equazione T 2 + αt + β = 0 abbia discriminante = α 2 4β positivo, nullo oppure negativo Modelli Matematici applicati all Ecologia (03.04.06)

12 Capitolo 2 se > 0 ci solno due soluzioni reali distinte k 1 e k 2. Le soluzioni dell equazione differenziale sono al variare di c 1, c 2 R: y = c 1 e k 1x + c 2 e k 2x se = 0 c è una sola soluzione reale (doppia) k = α/2. dell equazione differenziale sono al variare di c 1, c 2 R: y = e kx (c 1 + c 2 x) Le soluzioni se < 0 si ponga a = α/2 e b = ( )/2. Le soluzioni dell equazione differenziale sono al variare di c 1, c 2 R: y = e ax (c 1 cos(bx) + c 2 sin(bx)) Per verificare la correttezza delle soluzioni anche nel secondo e terzo caso, basta derivare e sostituire. Consideriamo ora il caso più generale di una equazione differenziale a coefficienti costanti non omogenea ossia del tipo: y + αy + βy = f(x). (1) Possiamo osservare che se y 1 (x) è una sua soluzione e y 0 (x) è una soluzione dell equazione omogenea associata (ottenuta sostituendo 0 al posto di f(x)), allora la loro somma è ancora una sua soluzione. Potremo allora ottenere tutte le soluzioni della (1) sommando una (qualunque) sua soluzione particolare con ciascuna soluzione dell omogenea associata. Esempio 2.7. Una soluzione di y + 4y = x è la funzione y 0 (x) = 1 4x. Risolvendo l omogenea associata y +4y = 0 e sommando a ciascuna soluzione la funzione y 0 (x) si trovano tutte le soluzioni di y + 4y = x: y(x) = 1 4 x + c 1 cos(2x) + c 2 sin(2x). La risoluzione di una equazione differenziale a coefficienti costanti procede quindi in due passi. Il metodo prima illustrato permette di risolvere facilmente l equazione omogenea associata; purtroppo però non esiste un algoritmo che permetta anche di trovare una soluzione particolare dell equazione differenziale completa. Un metodo che talvolta funziona è quello di cercare una soluzione che sia dello stesso tipo di f(x). Un caso particolarmente importante è quello in cui f(x) è polinomiale: in tal caso c è sempre una soluzione che è una funzione polinomiale dello stesso grado. In generale quando non si riesce a determinare una qualche soluzione esatta, se ne può cercare una approssimata di tipo polinomiale approssiamando f(x) con un polinomio opportuno mediante lo sviluppo di Taylor. S. Console M. Roggero

Equazioni differenziali 13 2.3 Cenni sulla formula di Taylor Lo sviluppo di Taylor serve per approssimare una funzione localmente (vicino a un punto) con un polinomio. Data una funzione f(x) (derivabile fino all ordine n) e un punto x 0 del dominio il polinomio di Taylor di ordine n è P n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 1 2! f (x 0 )(x x 0 ) 2 + 1 3! f (x 0 )(x x 0 ) 3 +...+ + 1 n!!f (n) (x 0 )(x x 0 ) n. Notiamo che il polinomio di Taylor di grado 1 in x 0 altro non è che l approssimazione della funzione con la retta tangente nel punto x 0. Sotto la condizione che la funzione abbia derivate continue fino all ordine n, la differenza tra f(x) e P n (x) e trascurabile rispetto a (x x 0 ) n (resto della formula di Taylor secondo Peano). Intuitivamente, al crescere di n, il polinomio P n (x) è un approssimazione sempre migliore di f(x) vicino a x 0. Esempio 2.8. Consideriamo f(x) = sin(x). I suoi polinomi di Taylor calcolati nel punto x 0 = 0 sono: P 1 (x) = P 2 (x) = x, P 3 (x) = P 4 (x) = x x3 6, P 5(x) = P 6 (x) = x x3 6 + x5 5!, P 7(x) = P 8 (x) = x x3 6 + x5 5! x7 7!,... Vediamo i disegni della funzione sin(x) e di P 1 (x) (a sinistra) e della funzione assieme ai polinomi di Taylor in 0, P 1 (x) e P 3 (x) (a destra). Modelli Matematici applicati all Ecologia (03.04.06)

14 Capitolo 2 Se disegnamo ora la funzione sin(x) assieme ai polinomi di Talylor in 0 fino all ordine 5 (a sinistra) e fino all ordine 7 (a destra), vediamo come l approssimazione di sin(x) con P n (x) sia sempre migliore al crescere di n. 2.4 Esercizi risolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale tale che y(0) = 1. Soluzione: Separando le variabili si trova dy y = x2 dx, y = x 2 y 1 y dy = lny = x3 3 + c, y = ke x 3 3. x 2 dx, Imponendo y(0) = 1, si trova k = 1 e la funzione richiesta è y = e x3 3. 2.5 Altri esercizi 2. Data l equazione differenziale dire se (a) y = x 4 è una soluzione; (b) trovare la soluzione generale. 4y = xy, 3. Verificare che le funzioni y = x 2 + cx sono soluzionidell equazione differenziale e trovare la soluzione tale che y(1) = 0. xy x 2 y = 0 S. Console M. Roggero

Equazioni differenziali 15 4. Determinare la soluzione dell equazione differenziale tale che y(0) = 1. y x = y 5. Determinare la soluzione dell equazione differenziale y = x + 1. y 6. Determinare la soluzione dell equazione differenziale tale che y(1) = 2. y = (x 1)(y + 1) Modelli Matematici applicati all Ecologia (03.04.06)