Unersà degl Sud d assno sercazon d leroecnca: crcu n eoluzone dnamca nono Maffucc maffucc@uncas er oobre 7
rcu dnamc del prmo ordne S Nel seguene crcuo è assegnaa la correne nell nduore all sane caare la correne sull nduore per grafcarne l andameno e smare la duraa del ransoro aluando l equalene d Noron a cap dell nduore: eq 7 I cc s oene la ree equalene n fgura descra dalle equazon: Icc dalle qual s rcaa faclmene l equazone dfferenzale nell ncogna () Icc doe ms eq solendo l equazone caraersca dell omogenea assocaa / 7 s 7 possamo esprmere la soluzone generale nella forma: ( ) Ke ( ) doe P () rappresena l ermne d regme sazonaro In ale condzone l nduore è equalene ad un coro-crcuo per cu: ( ) I P () 4 H k I 4 [] per eq P S Nel seguene crcuo all'sane = s apre l'nerruore alcolare la ensone sul condensaore per ogn sane () Per l crcuo è n regme sazonaro qund l condensaore s compora come un crcuo apero Per ale ragone s ha: ( ) Per applcando la K all'unca magla e la caraersca del condensaore s oene faclmene l'eq dfferenzale d prmo ordne nell'ncogna () d d doe a radce dell equazone caraersca dell omogenea assocaa è par a / s qund la soluzone generale s esprme nella forma: ( ) Ke P ( ) doe P () è una soluzone parcolare che s può aluare calcolando la soluzone d regme Poché per s ende ad un regme sazonaro l condensaore s compora come un crcuo apero a cap del quale c sarà ( ) 8 P esa da deermnare la cosane K che s oene dalla condzone nzale oenua mponendo la connuà della arable d sao () da cu ( ) 8 e k ( ) ( ) K 8 K S Dao l seguene crcuo aluare la ensone () per 8 mf a cosane K s oene mponendo la connuà della arable d sao () all sane : ( ) 4 ( ) K K 8 4 e () ) ( ) mf 4 7 da cu ( ) 8e per l cu andameno nel empo è grafcao a lao a duraa del ransoro è smaa n 4 4 ms 4 7 8 /au 7 sulao: ( ) 7 7e 4
S 4 onsderao l seguene crcuo che fno all sane = laora n regme sazonaro calcolare la correne nell'nduore per ogn sane grafcare l andameno e smare la duraa del ransoro () x e () () () y ) mh S Il seguene crcuo è a rposo fno a sane n cu s chude l'nerruore alcolare: a) la cosane d empo del crcuo; b) la ensone a cap del condensaore per (raccarne anche l grafco) ) () ) cos( ) rad / s mf Per l crcuo è n regme sazonaro qund l'nduore s compora come un coro crcuo Per ale ragone poso a // s ha: a ( ) ) a Per aluare la soluzone per s può procedere come nell eserczo aluando dapprma l equalene d Noron a cap dell nduore: eq e I cc ) ( ) e qund rcaare l equazone dfferenzale nell ncogna () Icc doe 8 s lernaamene s possono oamene applcare le legg d Krchhoff alla ree d parenza: d eq x y e y x y da cu e a radce dell equazone caraersca dell omogenea assocaa è / s qund la soluzone generale s esprme nella forma: [] ( ) Ke P ( ) doe P () è la soluzone d regme sazonaro: P ( ) Imponendo la connuà della correne () : ( ) ( ) K K 4 da cu: ( ) 4e Il ransoro s esnguerà n crca 4 ms - - - - - - 4 /au a) Per calcolare la cosane d empo basa aluare la ressenza dell equalene d héenn so a cap del condensaore: eq ( // ) eq 7 ms b) Per l crcuo è a rposo qund c ( ) c ( ) Per rcaando la ensone a uoo dell equalene d héenn so a cap del condensaore s ha: ) ( ) pplcando le legg d Krchhoff al crcuo oenuo sosuendo a cap d l generaore equalene d héenn s rcaa l equazone dfferenzale nell ncogna c : dc c a radce dell equazone caraersca dell omogenea assocaa è par a / 8 s qund la soluzone generale s esprme nella forma: ( ) exp( 8) ( ) c doe cp () è la soluzone d regme snusodale aluable araerso l meodo fasorale Poso: Z Z Z e applcando rpeuamene la regola del parore d ensone s ha poso Z x Z // Z : Z x Z c 8 c 7e [] Z Z Z x da cu: cp () 7 cos( 8) Dalla condzone nzale s ha: c ( ) 7 cos( 8) -4 Qund n defna s oene la ensone c ( ) 4exp( 8) 7 cos( 8) - l cu andameno è raccao nella fgura a lao c cp - - - - [s]
S Il seguene crcuo è n regme sazonaro fno a sane n cu s apre l'nerruore alcolare la ensone a cap dell nduore n ogn sane e raccarne l grafco 4 sulao: ( ) per ; ( ) 88e per S 7 Il seguene crcuo è n regme sazonaro fno a sane n cu s chude l'nerruore alcolare la ensone sul condensaore n ogn sane e raccarne l andameno 4 sulao: ( ) 7 per ; ( ) 4 874e per S 8 a seguene ree dnamca è a rposo per a) raccare l andameno della ensone a cap d per b) alcolare l energa dsspaa da nell nerallo ms () () ssendo ( ) ( ) è opporune rsolere l problema nell ncogna () arable d sao Per l crcuo è a rposo qund ( ) Per aluando l equalene d Noron a cap d s oene: eq ( ) () e ( ) J da cu l equazone dfferenzale nell ncogna () : - J k I cc H F k J 4 mh ms I cc con ms omogenea assocaa fornsce un equazone caraersca aene radce / s a soluzone assume qund la forma: ( ) Ke P eq ( ) doe P () è la soluzone d regme sazonaro qund assumendo come coro crcuo: P ( ) J 4 esa da deermnare la cosane K che s oene dalla condzone nzale: ( ) ( ) K 4 K 4 da cu ( ) ( ) 48( e ) per Per l'equazone dfferenzale sarà d e qund ua la soluzone concde con la soluzone dell omogenea ( ) He doe H è una cosane arbrara deermnaa mponendo la condzone nzale per da cu 4(-e ( ) ( ) ) He H 44 ( ) ( ) 8e per andameno della soluzone è raccao nel grafco a lao Per calcolare l energa dsspaa da nell nerallo [ fn ] con fn ms basa negrare la poenza sananea assorba: W W ( ( fn fn fn fn ( ) ( ) ( ) 48 ) ) 48 J [] ( e fn ) 8 e 4 [ms] 7 8
S a seguene ree rappresena un semplce crcuo d carca e scarca d un condensaore a carca aene ra l'sane e l'sane nerallo n cu l'nerruore resa chuso Per nece l condensaore ene collegao al reso della ree araerso la chusura dell'nerruore B Supponendo la ree a rposo per aluare: a) la ensone sul condensaore () per ; b) l'energa massma W max erogable da per ; e () sulao: a) ( ) 4e 447sn( ) per ; b) Wmax 8 4 J ; S Nella seguene ree è noa la ensone a cap del condensaore all sane d chusura dell nerruore aluare la correne () nel ressore per () sulao: ( ) 8e / sn( 4) S Nella seguene ree l nerruore s chude all sane sane n cu la correne crcolane n è noa alcolare: a) l crcuo equalene d heenn a cap d per > ; b) la correne che crcola nell nduore per > () () sulao: a) eq / b) ( ) 4e con 4 ms () e () B apero chuso ) sn() apero mf () ) sn() mf s ( ) 4 mh rcu dnamc del secondo ordne S a seguene ree è n regme sazonaro fno all sane alcolare la ensone sul condensaore n ogn sane grafcarne l andameno e smare la duraa del ransoro e () Per l crcuo è n regme sazonaro qund l condensaore s compora come un crcuo apero e l'nduore come un coro crcuo Per ale ragone: ) ( ) ) ( ) Per la connuà delle arabl d sao s arà: ( ) ( ) e ( ) ( ) eoluzone dnamco del crcuo per sarà descra dalle seguen equazon derae mponendo le legg d Krchhoff e le caraersche de bpol: d d e Da al equazon s perene al ssema delle equazon d sao: d e d equazon dfferenzale nell ncogna () sarà qund d d equazone caraersca dell omogenea assocaa è la seguene: e fornsce le radc ( ) a soluzone dell omogenea assocaa può qund essere espressa nella forma: e ( ) e [ k cos( ) k sn( )] ale soluzone a agguna la soluzone d regme sazonaro che per effeo delle consderazon sole precedenemene sarà banalmene par a: ( ) a soluzone generale per assume qund la forma: () () () ( ) e [ k cos( ) k sn( )] per ) per H F p
e cosan arbrare s deermnano mponendo la connuà delle arabl d sao nell sane ale propreà mpone le seguen condzon nzal su () e su () : ( ) k k d a soluzone è qund: ( ) ( ) k k k k ( ) e [cos( ) sn( )] S Il seguene crcuo è n regme sazonaro fno a alcolare: a) l alore delle grandezze d sao all'sane b) la correne () per > ( ) () ( ) H F andameno della ensone n ogn sane d empo è rporao nel grafco a lao a cosane d empo della ree è par a / s menre l perodo delle delle oscllazon naural è par a / 8 s Durane l ransoro qund è sble meno d una oscllazone naurale complea [] - - 4 [us] S Nella seguene ree sono assegna alor delle grandezze d sao all sane alcolare la ensone sul condensaore per e () sulao: ( ) e [cos(87 ) 7sn(87 )] per () - - per H F a) Per l crcuo è n regme sazonaro qund l condensaore s compora come un crcuo apero e l'nduore come un coro crcuo Per ale ragone: ( ) ( ) / ( ) ( ) / Per la connuà delle arabl d sao s ha: c ( ) c ( ) e ( ) ( ) b) Per l crcuo è n eoluzone lbera Per oenere le equazon d sao s possono mporre le equazon d Krchhoff e le caraersche come fao nell eserczo Un meodo pù effcace consse nella rsoluzone prelmnare del crcuo resso assocao Queso crcuo può essere sudao applcando ad esempo l meodo de poenzal nodal modfcao onsderando c come nodo d rfermeno e osserando che l poenzale del nodo a è par a c menre quello del nodo b è par a s ha: a e arabl non d sao saranno esprmbl come: b _ c cordando le caraersche de bpol dnamc da quese equazon s oengono mmedaamene le equazon d sao della ree: d caando dalla prma e sosuendola nella seconda s oene l'equazone dfferenzale: d la cu equazone caraersca fornsce ( ) a soluzone è qund: ( ) exp( )[ k cos( ) k sn( )] doe le cosan k k anno deermnae mponendo le condzon nzal su e su d / : ( ) ( ) k ( ) k k k k Perano la soluzone sarà: ( ) exp( )[cos( ) sn( )]
S 4 Il seguene crcuo è n regme snusodale fno sane n cu l generaore s spegne alcolare la correne () n ogn sane e raccarne l andameno S on rfermeno al seguene crcuo n regme sazonaro per calcolare la ensone () e la poenza p () assorba dal condensaore n ogn sane ( ) () cos() ( ) mh mf e () - () ) H F Per l crcuo è n regme snusodale qund s può rcorrere al meodo fasorale ponendo: J Z Z Z Z Z Z Per l parore d correne la correne dell'nduore sarà I Z J Z Z 7 4exp( ) pplcando la K s rcaa: I J I 7 da cu la ensone: Z Per la connuà delle arabl d sao: I ( ) 4cos( ) 74exp( 4 ) ( ) 74cos( 4) c ( ) c ( ) 7 ( ) ( ) 7 Per l crcuo è n eoluzone lbera pplcando la K all'unca magla s oene: Derando ale equazone e sosuendo la caraersca d s oene l'equazone dfferenzale d la cu equazone caraersca ammee le radc 74 e 7 a soluzone s può esprmere qund nella forma: ( ) k exp( ) k exp( ) doe le cosan k k sono deermnae dalle condzon nzal su e su d / : ( ) 7 k k ( ) ( ) 8 k k solendo ale ssema s oengono: k 4 8 k qund per la soluzone è daa da: ( ) 48exp( 74) exp( 7) 4 [] - - - -4 - - [s] ndameno della soluzone n ogn sane Per l crcuo è n regme sazonaro qund l condensaore s compora come un crcuo apero e l'nduore come un coro crcuo Per ale ragone: ( ) ) / ( ) ) / Per la connuà delle arabl d sao s ha: c ( ) c ( ) e ( ) ( ) Osseramo che essendo c ( ) s ha banalmene p ( ) ( ) ( ) c c c Per l crcuo è forzao dal generaore ) a parre dalle condzon nzal ndduae precedenemene solendo l crcuo resso assocao mosrao n fgura: e s oengono le equazon d sao: d e caando dalla prma e sosuendola nella seconda s oene l'equazone dfferenzale: d c dc de e c 'equazone caraersca dell'omogenea assocaa fornsce: ( ) qund la soluzone s può esprmere nella forma: ( P ) e [ k cos( ) k sn( )] ( ) doe P () è una soluzone parcolare che può essere scela come la soluzone d regme a cu l crcuo ende per (regme sazonaro): P ( ) ) / e cosan k k anno deermnae mponendo le condzon nzal su e su d / : dc a ensone sul condensaore per è qund: ( ) k k ; ( ) ( ) e ( ) 8 k k k e () - - 4
( ) e [cos( ) sn( )] 8e [cos( 7)] a poenza assorba per s può aluare n due mod: possamo calcolare prelmnarmene la correne che crcola nel condensaore: p ( ) ( ) d ( ) ( ) 4e ( ) e 4 sn( 7) da cu: [sn(4 ) 7] 4e sn( 7) W llo sesso rsulao s perene rcordando l espressone dell energa d un condensaore: Per la connuà delle arabl d sao s ha: c ( ) c ( ) e ( ) ( ) Il crcuo da analzzare per è dsegnao a lao Dal crcuo resso assocao s rcaano le equazon: () da cu è semplce oenere le equazon d sao della ree: () d - caando dalla seconda e sosuendola nella prma s oene l'equazone dfferenzale: () p d ( ) d ( ) [8e cos( 7) ] S Il seguene crcuo rappresena un semplce ssema rasmeore-canale-rceore alcolare la ensone sul rceore ( U ) n ogn sane e raccarne l andameno S 44 sulao: ( ) per ; ( ) 74e 74e per ; ( ) e 44 U () e S () 4 e S nh pf per S 7 a ree n fgura è n regme sazonaro fno sane n cu s chude l'nerruore alcolare la correne () per () U ns / mh mf () e S d e radc dell'equazone caraersca dell'omogenea assocaa sono: qund la soluzone s può esprmere nella forma: ( ) k e ke P doe P () è una soluzone parcolare che può essere scela come la soluzone d regme a cu l crcuo ende per (regme sazonaro): ( ) / P ( ) e cosan k k anno deermnae mponendo le condzon nzal su e su d / : ( ) k k ; ( ) k k da cu: k k 4 e qund la soluzone per è ( ) e 4e S 8 a ree n fgura è n regme sazonaro per Deermnare: a) le grandezze d sao all sane b) la correne nel condensaore e la ensone nell nduore all sane c) la ensone sul condensaore per d) la ensone sull nduore per () () () () () ( ) sn( ) rad/s H F Il crcuo da analzzare per è dsegnao a lao ssendo n regme sazonaro l condensaore s compora come un crcuo apero e l'nduore come un coro crcuo: ( ) / ( ) / ( ) () () sulao: a) ( ) ( ) ) b) ( ( ) c) ( ) 8e cos( ) cos( ) per d) ( ) cos( ) e [sn( )] per